川大離散數(shù)學(xué)習(xí)題5

1、121212121.設(shè)A=(a,b)習(xí)題a,bUN.定義R=DDa,b),(c,d)|ad二be,證明Ab軋,bNR=(證：自反性：由A的定義，abbaa,b)A上的等價(jià)關(guān)系,(c,d)|ad=bca,bN關(guān)系12121212a,b,a,bR對(duì)稱性設(shè)a,bdR，則adbc即cbdac,d,a,bR傳遞性設(shè)%，b1WdR，則a1d1b、c1cddcaddbcdbdcadbc1121121121212a,b,dR11222.定義復(fù)數(shù)集合的子集合C二a+bii2=-l,a、b.R,a0,在C上定1義關(guān)系S為：(a+bi)S(c+di)ac0。證明：S是C上的一個(gè)等價(jià)關(guān)1系，并給出S的等價(jià)類的幾何說(shuō)明

2、。證明：因?yàn)?a+bi)S(c+di)ac0(a,bR,a.),c.)r:a3,a20(a+bi)S(a+bi)s:(a+bi)S(c+di)ac0ca0(c+di)S(a+bi)t:(a+bi)S(c+di)(c+di)S(u+vi)ac0u0au0(a+bi)S(u+vi)綜上，S是C上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。1由于ac0,必須a)，c)且a和c同號(hào),故S只有2個(gè)等價(jià)類，其一是l=a+bi|a0,另一個(gè)是于復(fù)平面上右半部和左半部。-1=a+bi|a0，它們分別對(duì)應(yīng)3.集合A二1,2,3,4的一個(gè)分劃為盲1，2,4，3，求由S導(dǎo)出0的A上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系R.解：A2,3,4厚S0設(shè)A2,3疋A12R，

3、1，2翼，!M2fh?(2flh試確定在4個(gè)元素的集合上可以定義出的等價(jià)關(guān)系數(shù)目解：每個(gè)集合的劃分就可以確定一個(gè)等價(jià)關(guān)系口集合有多少個(gè)劃分就可以確定多少個(gè)等價(jià)關(guān)系4321CCCC15種。4444設(shè)R和R是非空集合A上的兩個(gè)等價(jià)關(guān)系.試確定下列各個(gè)關(guān)系12是否是A上的等價(jià)關(guān)系：如果是，加以證明；如果不是，舉例說(shuō)明：R八R；(3)r(R-R)；(4DRR11I21212解：RR不是A上的等價(jià)關(guān)系12RR是A上的等價(jià)關(guān)系12rHR是A上的等價(jià)關(guān)系12ROR不是A上的等價(jià)關(guān)系6.設(shè)R是非空集合A上的一個(gè)二元關(guān)系,具有對(duì)稱性和傳遞性.證明如果對(duì)每一個(gè)x.A,存在y.A使xRy,那么，R是A上的等價(jià)關(guān)系。

4、如果對(duì)每一個(gè)x.A,存在y.A使xRy,那么，R是A上的等價(jià)關(guān)系。證明：由題可知，對(duì)于每一個(gè)x,都存在y使xRy,則非空集合A上所有的元素都存在關(guān)系（x,y），又因?yàn)镽具有對(duì)稱性，則對(duì)于所有的x，R中也必然存皿y,x)又因?yàn)镽具有傳遞性，則對(duì)于所有的x,R中也必然存皿x,x),即R具有自反性綜上，據(jù)等價(jià)關(guān)系定義，R是A上的等價(jià)關(guān)系7.設(shè)M是全體n階矩陣的集合n.如果對(duì)矩陣A、B.M,n存在可逆矩陣p.M使得A二PBP-1,則記為AdnB（讀為A相似于B）.證明：D是M上的n等價(jià)關(guān)系證明r:設(shè)E是單位矩陣，則.A,A二EAE1.AAs:AB.A=PBP-1.P-1AP=B.B=P-1A(P-1)-1.BAt:AB.BC.A=PBP-1.B=QCQ-1.A=P(QCQ-1)P-1.A=(PQ)C(PQ)-1.AC所以是Mn上的等價(jià)關(guān)系.8.設(shè)A是由54的正因子構(gòu)成的集合，丨表示整除.作出偏序集0000002a,.使得是的拓?fù)渑判?。（y,x）,所以逆序關(guān)系是反對(duì)