52向量空間的定義和基本性質.

1、5.2線性空間的定義和基本性質理解并掌握線性空間的定義及基本性質3學時線性空間的定義及基本性質性質及有關結論的證明(3)3零向量0,對Va有0 + a=a(4)對V以，有一以使以+ (-以)=0(5) a(以 + P) = a以 + aP(6)(a + b)以=a以+ ba(7) (ab)a = a (ba)(8)1 -a =a5.2向量空間的定義和基本性質授課題目 教學目標 授課時數(shù) 教學重點 教學難點 教學過程一、線性空間的定義引例定義產生的背景例子.設a, P,Y g Fn,a,b g F則向量的加法和數(shù)與向量的乘法滿足下述運算律.(2)(以 + p) +丫 =以 + (p +丫)這里a

2、, P,y g Fn,a,b g Fa,p,y,. ； f是一個數(shù)域向量空間的定義一抽象出的數(shù)學本質Def:設V是一個非空集合，其中的元素稱為向量。記作a,b,c. g F ,如果在集合V中定義了一個叫做加法的代數(shù)運算，且定義了 Fx V到V的一 個叫做純量乘法的代數(shù)運算.(F中元素a與V中a的乘積記作aa,aa g V )。如果加法和 純量乘法滿足：a + P = P +a(a + P) +y =a + (P +y)30gV,對VaeV,有0+a =a (找出0元)*Va g V, 3 a , g V使得a + a =0稱a 為a的負向量(找出負元)a (a + p ) = aa + ap(

3、a + b)a = aa + ba(ab)a = a (ba)8) 1 a = aV是F上的一個線性空間，并稱F為基數(shù)域.進一步的例子一一加深定義的理解例1：復數(shù)域C對復數(shù)的加法和實數(shù)與復數(shù)的乘法作成實數(shù)域R上的線性空間.例2：任意數(shù)域F可看作它自身的線性空間.例3 V = a 其加法定義為a+a=a ,數(shù)乘定義為aa=a ,則V是數(shù)域F上的線性空間.注:V=0對普通加法和乘法是數(shù)域F上的線性空間，稱為零空間.例 4 :設 F 是有理數(shù)域，V 是正實數(shù)集合，規(guī)定 a P =aP, a a =a a (a, P e V, a e F)練習集合V對規(guī)定的，口是否作成數(shù)域F上的線性空間？V = Fn

4、,(a , a , , a ) (b , b , , b )12n12 n=(a + b , a + b , , a + b ),1122 n n , , ,氣(a1,a?* ,a ) = (0,0, ,0)解 顯然V對，口滿足條件1)7)，但對任意的(a , a , , a ) e Fn有 1(d, a , , a ) = (0,0, ,0)豐(a , a , , a ),U 12 n12 n故集合V對規(guī)定的不作成數(shù)域F上的線性空間.由此例可以看出，線性空間定義中的條件8)是獨立的，它不能由其他條件推出.二、線性空間的簡單性質1、線性空間V的加法和純量乘法有以下基本性質.Th5.2.1V的零

5、向量唯一，V中每個向量的負向量是唯一的. (a ) = a證明：1)設。,。是V的兩個零向量，則0 = 0 + 0 = 0 .121122設氣是a的負向量，則有a +a = 0, a +a = 0,于是 a. =a. + 0 = a. + (a+a ) = (a.+a) +a = 0 + a =a*由于負向量的唯一性，以后我們把的a唯一負向量記作-a .因a + (a) = 0,所以(a) = a.*我們規(guī)定：a p=a + (p),且有a + p=yoa=y p.定理5.2.2對F的任意數(shù)a, b和V中任意向量偵,P ,則有0 =a0 = 0.a (a) = (a )a= aa,特別地，(i

6、a=a.aa = 0 n a = 0或a = 0.a (a P) = aa a P,(a b)a = aa ba.證明：1)因為0a = (0 + 0)a = 0a + 0a.所以0a = 0.類似地可證a0 = 0.2)因為aa+a( a) = a (a+ (-a)=a0 =0 所以 a (a)是a a的負向量，即a (a) = aa .同理可證(-a)a = aa.設aa = 0, 如果 a豐0, 貝ij 有a-1 e F,于是a = 1a a = a )a ia=(aa ) = a 0 =0 .a (a P) = a (a + (P) = aa + a (P) = aa a P,(a b

7、)a = (a + (b)a = aa + (b)a = aa ba.注：線性空間的定義中1a =a與定理5.2.2的性質3)在其他條件不變的情況下等價.事實上，由線性空間的定義可推出定理5.2.2的性質3).反之，由線性空間定義中的條件1)7)及定理5.2.2的性質3)可推得1a=a1 - (La a) = 1(La + (a)因為 =1. (La) +1 - (a) = (11)a + (1)-a=1 -a + (1)-a = 0,由性質3)1 -a a =0所以1a =a .課堂討論題：檢驗以下集合對于指定的線性運算是否構成相應數(shù)域上的線性空間：起點在原點，終點在一條直線上的空間向量的全

8、體作成的集合V,按通常集合向量的加 法及數(shù)乘運算；V = (x ,x , ,x ) lx + x + + x = 1,x e F)112 n 1 12n iV = (x ,x , ；x ) lx + x + + x = 0,x e F)212 n 1 12ni按通常數(shù)域F上n維向量的加法及乘法運算；V = X|Tr(X) = 0,X e Fnxn七=數(shù)域F上n階對稱與反對稱方陣的全體按通常數(shù)域F上矩陣的加法及乘法運算； V = ax + a x3 + + ax2n+1 a g F TOC o 1-5 h z 5132 n+1iV = a + a x + a X2 + + a xn-1 a +

9、a + + a = 1, a g F6012n-101n-1i按通常數(shù)域F上多項式的加法及數(shù)乘運算；.全體實數(shù)R的集合按通常數(shù)的加法與乘法運算是否構成復數(shù)域C上線性空間？ 全體復數(shù)域C的集合按通常數(shù)的加法與乘法運算是否構成實數(shù)域R上線性空間？數(shù)域F上的n階方陣全體，按通常數(shù)與矩陣乘法，但加法定義為A B = AB- BA三、子空間1、子空間的定義定義2：子空間的定義：V是F上一個線性空間，W是V的一個非空子集，如果W對V的 加法和Fx V到V的純量乘法，也作成F上的一個線性空間，則稱W是V的子空間。例5： Fn x是Fx的子空間.例6： V是它本身的一個子空間.0也是V的子空間.V和零空間叫做

10、V的平凡子空間，V的其他子空間叫做V的真子空間.2、子空間的判斷：Th5.2.3設V是數(shù)域F上的線性空間,W是V的一個非空子集，則W是V的子空間 的充要條件：Va, p g V,有a + B g VVa g F,a g V有aa g W證明：W對加法封閉，即對任意a,p G W,有a + p g W.W對純量乘法封閉，即對任意a g F,a g W,有aaG W.證明：必要性.設W是V的子空間，則V的加法是W的代數(shù)運算，從而W對V的加法 封閉；另外，F(xiàn) x V到V的純量乘法也是F x W到W的純量乘法，因此W對純量乘法 也封閉.充分性.由于W對V的加法封閉，對F x V到V的純量乘法封閉，所以

11、V的加法是W 的代數(shù)運算，F(xiàn) x V到V的純量乘法也是F x W到V的純量乘法的代數(shù)運算.線性空間 定義中的算律1), 2), 5), 6), 7), 8)對V中任意向量都成立，自然對W的向量也成立.由W對純量乘法的封閉性和定理5.2.2,對于a g W,0 = 0a g W,所以V中的零向量屬于W,它自然也是W的零向量，并且-a = (-1)aG W ,因此條件3)和條件4)也成立，故W是V的子空間.推論1： W是V的一個非空子集，則W是V的子空間的充要條件:Va,b e F,a,。e W有aa + b。e W3、生成子空間例7：設七a2,氣是數(shù)域f上的線性空間V的一組向量.L(a ,a ,

12、，a ) = a a + a a + + a a | a e F12n112 2n n i則L(a ,a2,a)作為v的一個子空間.事實上取a = 0(i = 1,2, , n),于是0 = 0a + 0ai +0a e L(a ,a , ,a )所以偵七氣，,氣)主加12n 12n又因(a a + a a + a a J + (ba + b a + ba )1 12 2n n 1 12 2n n=(a + b )a+(a+ b)a+ +(a+ b )a ) e L(a, a, a) a (a a + a a + a a )111222 n 12/1 12 2n n=(aa )a + (aa

13、)a + + (aa )a e L(a , a , , a ),1122nn12n所以L (a1, a 2, , a)作成V的一個子空間.L(a ,a , ,a-)稱為由a ,a , ,a生成的 子空間,a1,a2, ,a稱為它的一組生成元4、子空間的交與并Th4: W,W2是V的兩個子空間，則W C W2仍是V的子空間.(問W D W2是否為V 的子空間.)證明：因為W1,W2是V的兩個子空間，所以0 e W,0 e W2,從而0 e W C W2,于是對任意a,b e F,a, P e W c W2,有 aa + b P e W, aa + b P e W因而ua+ b。gW1cW2,所以

14、W n W2是V的子空間.推廣：若W1, W2即是V的子空間，則Pl W(i = 12n)也是V的子空間.例：A 是一個 n 階矩陣，S (A) =Bg Mn F |AB=BA則 S (A)是 U. F 的一 個子空間.證：IA = AI . I g S(A)衛(wèi)VB ,B g S(A),于是AB = B A，AB = B A121122又A(kB + IB ) = kAB + lAB=kB A + IB A=(kB1 + IB) A:.kB1 + lB2 g S (A)2.兩個子空間的并則不一定是子空間.(W1 U W2=以I以g W1或以g W2 )例：設U，V是V的兩個子空間，證明V U V是V的子空間的充要條件是V c V或U c V .12121221證：“n” (充分性)當匕c V2時匕U匕