第7講假設檢驗

1、第7講假設檢驗一、 基本概念在自然科學和社會科學等中，常常要對某些重要問題做出回答：是或否。如月球比地球早形成嗎？一種新藥對某種病有效嗎？某種股票會漲嗎？新推出的電視節(jié)目收視率高嗎？等等。為了回答這些問題，我們需要對感興趣的問題進行試驗或觀察獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)決定是或否的過程稱為假設檢驗。(Hypothesis Testing)在這節(jié)，給出一般的Neyman-Pearson假設檢驗構(gòu)架。原假設和備擇假設布或關(guān)于參數(shù) 的推測，稱為假設，其中 是 的非空真子集。在一個假設檢驗中，常涉及兩個假設。所要檢驗的假設稱為原假設或零假設，記為 。而與 不相容的假設，稱為備擇假設或?qū)α⒓僭O，記為 。對

2、參數(shù)統(tǒng)計模型 而言，原假設和備擇假設這對矛盾的統(tǒng)一體稱為假設檢驗問題。在假設檢驗問題中，不相交的非空子集，一定成立。保留這個的靈活性，不僅是理論的需要，也有其實際意義。則稱為簡單假設(Simple Hypothesis)，否則稱為復合假設(Composite Hypothesis)，對備擇假設也有簡單假設和復合假設。拒絕域、接受域、檢驗統(tǒng)計量檢驗一個假設，就是根據(jù)某一法則在原假設和備擇假設之間做出選擇，而基于樣本做出拒絕 或接受 所依賴的法則稱為檢驗。這樣一個檢驗就等同于將樣本空間分成兩個互不相交的子集 和 ，絕 ，稱 為拒絕域，(Rejection Region)稱為接受域(Acceptan

3、ce Region)。這樣檢驗和拒絕域就建立起一一對應關(guān)系。為了確定拒絕域，往往根據(jù)問題的直觀背景，尋找合適的統(tǒng)計量 ，要能由統(tǒng)計量 確定出拒絕域 ，這樣的統(tǒng)計量 稱為檢驗統(tǒng)計量(Test Statistic)。兩類錯誤由于樣本時隨機的，進行檢驗時可能犯兩類錯誤，其一是當 為真時，卻拒絕 ，稱為第一類錯誤，其概率為其二是當 為假時，卻接受 ，稱為第二類錯誤，其概率為定義8.1一個檢驗的功效(Power)定義為當 不成立時拒絕 的概率，即檢驗的顯著性水平當樣本容量 固定時，要減少犯第一類錯誤的概率，就會增大犯第二類錯誤的概率；反之，若要減少犯第二類錯誤的概率，就會增大犯第一類錯誤的概率。即就是說

4、當樣本容量固定時，不可能同時減少犯兩類錯誤的概率，這是一對不可調(diào)和的矛盾。類錯誤的概率在給定的范圍內(nèi)，尋找檢驗使得犯第二類錯誤的概率盡可能的小，即就是使檢驗的功效盡可能的大。這樣就是在給定一個較小的數(shù) (一般取為0.01,0.05,0.1等)，在滿足的檢驗方法中，尋找使得功效盡可能大的檢驗方法。Neyman-Pearson檢驗原理就是控制犯第一將 稱為顯著性水平。假設檢驗的步驟（1）提出假設檢驗問題，（2）根據(jù) ，選取適當?shù)慕y(tǒng)計量，并確定其分布；（3）給定顯著性水平 ；（4）確定拒絕域；（5）由樣本觀測值，計算統(tǒng)計量的值；（6）作出推斷，是拒絕 ，還是接受 。二、 單個正態(tài)總體的檢驗（一） 總

5、體方差已知時，總體均值的檢驗檢驗統(tǒng)計量的簡單樣本，設 是來自正態(tài)總體方差 已知，考慮檢驗問題給定顯著性水平 ，拒絕域（雙側(cè)假設檢驗）單側(cè)假設檢驗(1)(2)(3)(4)理論上，可以證明(1)與(2)、(3)與(4)的檢驗法相同，而(1)和(3)的拒絕域容易求出，分別為（二） 總體方差未知時，總體均值的檢驗檢驗統(tǒng)計量給定顯著性水平 下，拒絕域為給定顯著性水平 下，拒絕域為給定顯著性水平 下，拒絕域為（三） 總體方差的檢驗的簡單樣本，設 是來自正態(tài)總體考慮檢驗問題當 未知時，檢驗統(tǒng)計量為拒絕域當 已知時，檢驗統(tǒng)計量為拒絕域類似的也有相應形式單側(cè)檢驗，在此就不列出。三、 兩個正態(tài)總體的檢驗設 是來自

6、正態(tài)總體的樣本容量為 簡單樣本，是來自正態(tài)總體 的樣本容量為 的簡單樣本，且兩樣本獨立?？紤]檢驗問題 兩個正態(tài)總體均值的檢驗給定顯著性水平 ，拒絕域（一） 已知時，總體均值的檢驗（二） 未知但相等，總體均值的檢驗檢驗統(tǒng)計量 成立時，當 成立時，檢驗統(tǒng)計量為拒絕域其中 兩個正態(tài)總體方差的檢驗考慮檢驗問題當 未知時，當 成立時，檢驗統(tǒng)計量為拒絕域當 已知時，當 成立時，檢驗統(tǒng)計量為拒絕域類似的也有相應形式單側(cè)檢驗，在此就不列出。0.0 0.0 -1.0 -0.1 -0.4 0.0 -1.9 0.3 0.0 1.2 0.0 -1.0 0.9 -1.4 -0.5標準正態(tài)分布 產(chǎn)生的隨機數(shù) ， One-

7、sle t-Testdata: x1 t = -1.2344, df = 14, p-value = 0.2374 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval:-0.7117407 0.1917407 sle estimates: mean of x ，-0.26四、 似然比檢驗設 是來自密度函數(shù)（或分布率）為 的總體的簡單樣本，考慮檢驗問題：一個比較直觀且自然方法是考慮似然比當 較大時，拒絕原假設 ，這種檢驗方法稱為似然比檢驗。例對正態(tài)總體，方差已知，檢驗問題似然比為否則

8、，接受令 ，則拒絕域為因為 均已知且 ，的單調(diào)增函數(shù)，故由等式所以 是可得 。這樣檢驗統(tǒng)計量可取為這是通常的單邊 檢驗。對一般的假設檢驗問題檢驗的拒絕域為定義似然比檢驗統(tǒng)計量為其中臨界值 可由確定。下面也通過例子說明其具體應用。例似然比對正態(tài)總體，方差未知，檢驗問題這里當 未知時，其極大似然估計分別為當 已知時， 極大似然估計為所以似然比為若令 ，則當 成立時，且 是 單調(diào)增函數(shù)，因此由可得臨界值為這樣檢驗統(tǒng)計量為拒絕域為當 成立時，且 是 單調(diào)增函數(shù)，因此由當然也可令，則這是通常的雙邊 檢驗。拒絕域為這樣檢驗統(tǒng)計量也可以為可得臨界值為可以證明這時的 檢驗和 檢驗是等價的。從上述兩個例子可得求

9、似然比檢驗的一般步驟：（1）在 內(nèi)求 的極大似然估計 ，在 內(nèi)求 的極大似然估計（2）計算并化簡使成形式 ，滿足兩個要求，是 的單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；當 成立時， 的分布完全已知。（3）增函數(shù)時，由 求臨界值減函數(shù)時，由 求臨界值（4）檢驗統(tǒng)計量取為增函數(shù)時，拒絕域為減函數(shù)時，拒絕域為其一：其二：注：（1）正態(tài)總體下參數(shù)的檢驗基本都是似然比檢驗（2）似然比檢驗可用于檢驗樣本來自兩個不同類型分布之一，樣本來自正態(tài)總體族樣本來自雙參數(shù)指數(shù)分布族其中如（3）似然比檢驗適應面廣，（4）一般情形下，難獲得，總體均可以構(gòu)造，且構(gòu)造的檢驗常具有一些優(yōu)良性質(zhì)，如在某種意義下具有最有性。因此臨界值的求法有兩種。其一，利用Monte-Carlo模擬計算；其二，當樣本容量 很大時，利用似然比統(tǒng)計量的極限分布近似給出。正態(tài)總體和非正態(tài)似然比統(tǒng)計量的精確分布很五、 非正態(tài)總體大樣本參數(shù)檢驗依書上的例子說明檢驗過程六、 Pearson( )檢驗法考慮總體分布的檢驗問題假設分布函數(shù) 的形式已知，但包含 個未知參數(shù)，用極大似然法給出未知參數(shù)估計。Pearso