2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國Ⅰ卷)理-試卷真題、答案及詳細(xì)解析

1、絕密 啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國卷,理)(本試卷共4頁,23小題,滿分150分,考試用時(shí)120分鐘)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若z=1+i,則|z2-2z|=()A.0B.1C.2D.22.設(shè)集合A=x|x2-40,B=x|2x+a0,且AB=x|-2x1,則a=()A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A.5

2、-14B.5-12C.5+14D.5+124.已知A為拋物線C:y2=2px(p0)上一點(diǎn),點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p=()A.2B.3C.6D.95.某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:)的關(guān)系,在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn),由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,20)得到下面的散點(diǎn)圖:由此散點(diǎn)圖,在10 至40 之間,下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+bln x6.函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖像在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為(

3、)A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+17.設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+6在-,的圖像大致如右圖,則f(x)的最小正周期為()A.109B.76C.43D.328.x+y2x(x+y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A.5B.10C.15D.209.已知(0,),且3cos 2-8cos =5,則sin =()A.53B.23C.13D.5910.已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),O1為ABC的外接圓.若O1的面積為4,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為()A.64B.48C.36D.3211.已知M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2

4、=0,P為l上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)|PM|AB|最小時(shí),直線AB的方程為()A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=012.若2a+log2a=4b+2log4b,則()A.a2bB.ab2D.a0,b0)的右焦點(diǎn),A為C的右頂點(diǎn),B為C上的點(diǎn),且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3,則C的離心率為.16.如圖,在三棱錐P-ABC的平面展開圖中,AC=1,AB=AD=3,ABAC,ABAD,CAE=30,則cosFCB=.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。

5、第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:共60分。17.(12分)設(shè)an是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項(xiàng).(1)求an的公比;(2)若a1=1,求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和.18.(12分)如圖,D為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD.ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點(diǎn),PO=66DO.(1)證明:PA平面PBC;(2)求二面角B-PC-E的余弦值.19.(12分)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽,負(fù)者下一場(chǎng)輪空,直至有一

6、人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為12.(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.20.(12分)已知A,B分別為橢圓E:x2a2+y2=1(a1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),AGGB=8.P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.(1)求E的方程;(2)證明:直線CD過定點(diǎn).21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)x0時(shí),f(x)12x3+1

7、,求a的取值范圍.(二)選考題:共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。22.選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=coskt,y=sinkt(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為4cos -16sin +3=0.(1)當(dāng)k=1時(shí),C1是什么曲線?(2)當(dāng)k=4時(shí),求C1與C2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).23.選修45:不等式選講(10分)已知函數(shù)f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)畫出y=f(x)的圖像;(2)求不等式f(x)f(x+1)的解集.2020年數(shù)學(xué)(全

8、國卷,理)查缺補(bǔ)漏表題組及考查主題題型考查要點(diǎn)和核心素養(yǎng)查缺補(bǔ)漏2(集合)選擇題集合的基本運(yùn)算(交集)、不等式的解法;數(shù)學(xué)運(yùn)算6,12,21(函數(shù)與導(dǎo)數(shù))選擇題導(dǎo)數(shù)的幾何意義;數(shù)學(xué)運(yùn)算選擇題指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;邏輯推理解答題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、求參數(shù)的取值范圍;數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算7,9(三角函數(shù)與三角恒等變換)選擇題三角函數(shù)的周期、圖像;直觀想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算選擇題倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式;數(shù)學(xué)運(yùn)算14(平面向量)填空題平面向量的數(shù)量積、平面向量的模;數(shù)學(xué)運(yùn)算17(數(shù)列)解答題數(shù)列基本量的計(jì)算,錯(cuò)位相減法求和;數(shù)學(xué)運(yùn)算13(

9、不等式)填空題線性規(guī)劃;直觀想象3,10,16,18(空間向量與立體幾何)選擇題求空間幾何體的基本元素;直觀想象選擇題球的切接問題、球的表面積;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算填空題線線、線面位置關(guān)系,翻折問題;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題空間線面垂直的證明、二面角;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算4,11,15,20(平面解析幾何)選擇題拋物線的定義的應(yīng)用;直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算選擇題直線與圓的位置關(guān)系;直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算填空題雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系;直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題求橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系;邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算續(xù)表題組及考查主題題型考查要點(diǎn)和核心素養(yǎng)查缺補(bǔ)漏5,

10、8,19(計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì))選擇題回歸方程的應(yīng)用;數(shù)據(jù)分析選擇題二項(xiàng)式定理的應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率;數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析1(復(fù)數(shù))選擇題復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模;數(shù)學(xué)運(yùn)算22(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)解答題極坐標(biāo)與參數(shù)方程;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算23(不等式選講)解答題絕對(duì)值不等式、分段函數(shù)的圖像;直觀想象、邏輯推理【試題分析】2020 年全國I卷理科數(shù)學(xué),突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)(約占40%)以及主干內(nèi)容的考查,如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(22分),空間向量與立體幾何(27分),解析幾何(27分),概率統(tǒng)計(jì)(22分),三角函數(shù)與三角恒等變換(10分).縱觀全卷,在穩(wěn)定中求創(chuàng)新,重視對(duì)學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)

11、、思想方法與能力的考查,關(guān)注學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí),試卷梯度明顯,有良好的區(qū)分度.試題重視數(shù)學(xué)本質(zhì),突出理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)作用,突出對(duì)關(guān)鍵能力的考查.第12題不僅考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力,同時(shí)也考查了學(xué)生的觀察能力、運(yùn)算能力、推理判斷能力與靈活運(yùn)用知識(shí)的綜合能力.第21題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法、導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,綜合考查學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.第19題在三人的羽毛球比賽中,以參賽人的獲勝概率設(shè)問題,考查邏輯思維能力.第3題以世界建筑奇跡埃及的胡夫金字塔為背景,設(shè)計(jì)了正四棱錐的計(jì)算問題,將立體幾

12、何的基本知識(shí)與世界文化遺產(chǎn)有機(jī)結(jié)合,考查學(xué)生的分析能力和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).1.D由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.2.B由已知得A=x|-2x2,B=xx-a2.因?yàn)锳B=x|-2x1,所以有-a2=1,解得a=-2.3.C如圖,設(shè)正四棱錐的高為h,底面邊長為a,側(cè)面三角形底邊上的高為h,則有h2=12ah,h2=h2-a22,因此有h2-a22=12ah,化簡得4ha2-2ha-1=0,解得ha=5+14.(負(fù)值舍去)4.C設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y).由點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9可得x=9,由點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為12,可得x+p2=12,解

13、得p=6.【解題方法】 解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的典型,因此要將題干中的代數(shù)條件轉(zhuǎn)化為圖形語言,數(shù)形結(jié)合,快速解題.本題運(yùn)用了拋物線的定義.5.D結(jié)合題中散點(diǎn)圖,由圖像的大致走向判斷,此函數(shù)應(yīng)該是對(duì)數(shù)函數(shù)模型,故應(yīng)該選用的函數(shù)模型為y=a+bln x.6.B對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f(x)=4x3-6x2,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的斜率為k=f(1)=-2.又因?yàn)閒(1)=-1,所以切線方程為y-(-1)=-2(x-1),化簡得y=-2x+1.7.C由題圖知f-49=cos-49+6=0,所以-49+6=2+k(kZ),化簡得=-3+9k4(kZ).因?yàn)門22T,即2

14、|24|,所以1|2,解得-119k-79或19k59.當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí),1|2.所以=32,最小正周期T=2|=43.8.C因?yàn)?x+y)5的通項(xiàng)公式為C5rx5-ryr(r=0,1,2,3,4,5),所以當(dāng)r=1時(shí),y2xC51x4y=5x3y3,當(dāng)r=3時(shí),xC53x2y3=10 x3y3,所以x3y3的系數(shù)為10+5=15.9.A原式化簡得3cos2-4cos -4=0,解得cos =-23或cos =2(舍去).(0,),sin =1-cos2=53.【思路點(diǎn)撥】 應(yīng)用二倍角公式cos 2=2cos2-1直接求解即可.10.A由題意知O1的半徑r=2.由正弦定理知ABsinC=2r

15、,OO1=AB=2rsin 60=23,球O的半徑R=r2+|OO1|2=4.球O的表面積為4R2=64.11.D由已知得M:(x-1)2+(y-1)2=4.因?yàn)镾四邊形PAMB=12|PM|AB|=2SPAM=|PA|AM|=2|PA|=2|PM|2-4,所以|PM|AB|最小,即|PM|最小,此時(shí)PM與直線l垂直,PM所在直線的方程為y=12x+12,直線PM與直線l的交點(diǎn)為P(-1,0).|PM|=(1+1)2+(1-0)2=5,在RtAPM中,|AP|=|PM|2-|AM|2=1.又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)為圓心,|AP|=1為半徑作圓,則AB為M與P的公共弦,P的方程

16、為(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.兩圓方程相減得4x+2y+2=0,即直線AB的方程為2x+y+1=0.12.B由指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.因?yàn)?2b+log2b22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a22b+log22b.令f(x)=2x+log2x,由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得f(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增.由f(a)f(2b)可得a2b.13.1畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分)所示,將目標(biāo)函數(shù)z=x+7y變形可得y=-17x+17z,平移直線y=-17x.由圖可得z在點(diǎn)A處取得

17、最大值.由x-y-1=0,2x+y-2=0,得x=1,y=0,所以A(1,0),所以zmax=1+70=1.【思路點(diǎn)撥】 解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出可行域,分別求出交點(diǎn)坐標(biāo),可知z在點(diǎn)(1,0)處取得最大值.14.3|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=1+1+2ab=1,ab=-12,|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2ab=3,|a-b|=3.15.2由題意可得A(a,0),F(c,0),其中c=a2+b2.由BF垂直于x軸可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為c,代入雙曲線方程可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為Bc,b2a.AB的斜率為3,Bc,b2a.kAB=b2ac-a=b2a(c-a)

18、=c2-a2a(c-a)=c+aa=e+1=3,e=2.16.-14由題意得BD=2AB=6,BC=AC2+AB2=2.D,E,F重合于一點(diǎn)P,AE=AD=3,BF=BD=6,在ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2ACAEcosCAE=12+(3)2-213cos 30=1,CE=CF=1.在BCF中,由余弦定理,得cosFCB=BC2+CF2-BF22BCCF=22+12-(6)2221=-14.17.解 (1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故an的公比為-2.(2)記Sn為nan的

19、前n項(xiàng)和.由(1)及題設(shè)可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2(-2)+n(-2)n-1,-2Sn=-2+2(-2)2+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n.可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n=1-(-2)n3-n(-2)n.所以Sn=19-(3n+1)(-2)n9.18.(1)證明 設(shè)DO=a,由題設(shè)可得PO=66a,AO=33a,AB=a,PA=PB=PC=22a.因此PA2+PB2=AB2,從而PAPB.又PA2+PC2=AC2,故PAPC.所以PA平面PBC.(2)解 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OE的方向?yàn)閥軸正方向,|OE|為單位長,建立如圖所示的空間直

20、角坐標(biāo)系O - xyz.由題設(shè)可得E(0,1,0),A(0,-1,0),C-32,12,0,P0,0,22.所以EC=-32,-12,0,EP=0,-1,22.設(shè)m=(x,y,z)是平面PCE的法向量,則mEP=0,mEC=0,即-y+22z=0,-32x-12y=0.可取m=-33,1,2.由(1)知AP=0,1,22是平面PCB的一個(gè)法向量,記n=AP,則cos=nm|n|m|=255.所以二面角B -PC-E的余弦值為255.19.解 (1)甲連勝四場(chǎng)的概率為116.(2)根據(jù)賽制,至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽,至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽.比賽四場(chǎng)結(jié)束,共有三種情況:甲連勝四場(chǎng)的概率為116;乙連勝四

21、場(chǎng)的概率為116;丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為18.所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為1-116-116-18=34.(3)丙最終獲勝,有兩種情況:比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為18;比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝,則從第二場(chǎng)開始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況:勝勝負(fù)勝,勝負(fù)空勝,負(fù)空勝勝,概率分別為116,18,18.因此丙最終獲勝的概率為18+116+18+18=716.20.(1)解 由題設(shè)得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).則AG=(a,1),GB=(a,-1).由AGGB=8得a2-1=8,即a=3.所以E的方程為x29+y2=1.(2)證明 設(shè)C(x1,y1),D(x2

22、,y2),P(6,t).若t0,設(shè)直線CD的方程為x=my+n,由題意可知-3n3.由于直線PA的方程為y=t9(x+3),所以y1=t9(x1+3).直線PB的方程為y=t3(x-3),所以y2=t3(x2-3).可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).由于x229+y22=1,故y22=-(x2+3)(x2-3)9,可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.將x=my+n代入x29+y2=1得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.所以y1+y2=-2mnm2+9,y1y2=n2-9m2+9.代入式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0.解得n=-3(舍去),n=32.故直線CD的方程為x=my+32,即直線CD過定點(diǎn)32,0.若t=0,則直線CD的方程為y=0,過點(diǎn)32,0.綜上,直線CD過定點(diǎn)32,0.21.解 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex+x2-x,f(x)=ex+2x-1.故當(dāng)x(-,0)時(shí),f(x)0.所以f(x)在(-,0)單調(diào)遞減,在(0,+)單調(diào)遞增.(2)f(x)12x3+1等價(jià)于12x3-ax2+x+1e-