MMATLAB 語 言 數(shù)值計(jì)算功能

1、2022/7/20數(shù)值計(jì)算功能Chapter Three: The function of numerical calculationMMATLAB 語 言MATLAB Language2022/7/20【引例】求下列三階線性代數(shù)方程組的近似解MATLAB程序?yàn)椋篈=2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4；b=5;6;5；x=Ab % =inv(A)*b=A-1*b2022/7/20在MATLAB命令窗口，先輸入下列命令構(gòu)造系數(shù)矩陣A和右端向量b：A=2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4A = 2 -5 4 1 5 -2 -1 2 4b=5;6;5b = 5 6 5然后只需輸入命令x=A

2、b即可求得解x：x=Abx = 2.7674 1.1860 1.34882022/7/20一、 特殊矩陣 零矩陣，幺矩陣 單位矩陣，數(shù)量矩陣 對(duì)角陣，上三角矩陣 下三角矩陣，空矩陣 范德蒙矩陣2022/7/201.零矩陣(Null matrix)所有元素值為零的矩陣稱為零矩陣。零矩陣可以用zeros函數(shù)實(shí)現(xiàn)。zeros是MATLAB內(nèi)部函數(shù)，使用格式如下：zeros(m)：產(chǎn)生mm階零矩陣；zeros(m,n)：產(chǎn)生mn階零矩陣，當(dāng)m=n時(shí)等同于zeros(m)；zeros(size(A)：產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣。一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)常見的特殊矩陣有零矩陣、幺矩陣、單位矩陣、三角形矩陣等

3、，這類特殊矩陣在線性代數(shù)中具有通用性；還有一類特殊矩陣在專門學(xué)科中有用，如有名的希爾伯特(Hilbert)矩陣、范德蒙(Vandermonde) 矩陣等。2022/7/202.幺矩陣(Unitary matrix)所有元素值為1的矩陣稱為幺矩陣。幺矩陣可以用ones函數(shù)實(shí)現(xiàn)。它的調(diào)用格式與zeros函數(shù)一樣?！纠?】 試用ones分別建立32階幺矩陣、和與前例矩陣A同樣大小的幺矩陣。用ones(3,2) 建立一個(gè)32階幺陣：ones(3,2) % 一個(gè)32階幺陣ans =1 1 1 1 1 1一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)2022/7/203.單位矩陣(Unit matrix)主對(duì)角線的元素值為1、其余

4、元素值為0的矩陣稱為單位矩陣。它可以用MATLAB內(nèi)部函數(shù)eye建立，使用格式與zeros相同。4.數(shù)量矩陣(Scalar Matrix)主對(duì)角線的元素值為一常數(shù)d、其余元素值為0的矩陣稱為數(shù)量矩陣。顯然，當(dāng)d=1時(shí)，即為單位矩陣，故數(shù)量矩陣可以用eye(m)*d或eye(m,n)*d建立。5.對(duì)角陣（Diagonal matrix）對(duì)角線的元素值為常數(shù)、其余元素值為0的矩陣稱為對(duì)角陣。我們可以通過MATLAB內(nèi)部函數(shù)diag，利用一個(gè)向量構(gòu)成對(duì)角陣；或從矩陣中提取某對(duì)角線構(gòu)成一個(gè)向量。使用格式為diag(V)和diag(V,k)兩種。一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)2022/7/20 向量V的對(duì)角陣(D

5、iagonal matrix of vector V) 設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)mm階對(duì)角陣，其主對(duì)角線的元素值即為向量的元素值；diag(V,k)將產(chǎn)生一個(gè)nn(n=m+|k|，k為一整數(shù))階對(duì)角陣，其第k條對(duì)角線的元素值即為向量的元素值。注意：當(dāng)k0，則該對(duì)角線位于主對(duì)角線的上方第k條；當(dāng)k0，該對(duì)角線位于主對(duì)角線的下方第|k|條；當(dāng)k=0，則等同于diag(V)。用diag建立的對(duì)角陣必是方陣?！纠?】已知向量v，試建立以向量v作為主對(duì)角線的對(duì)角陣A；建立分別以向量v作為主對(duì)角線兩側(cè)的對(duì)角線的對(duì)角陣B和C。MATLAB程序如下：一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)2022/7/

6、20v =1;2;3; % 建立一個(gè)已知的向量AA=diag(v)A= 1 0 0 0 2 0 0 0 3B=diag(v,1)B = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0C=diag(v,-1)C = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0按各種對(duì)角線情況構(gòu)成相應(yīng)的對(duì)角陣A、B和C一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)2022/7/206.從矩陣中提取某對(duì)角線我們也可以用diag從矩陣中提取某對(duì)角線構(gòu)成一個(gè)向量。設(shè)A為mn階矩陣，diag(A)將從矩陣A中提取其主對(duì)角線產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的向量。diag(A,k)的功能是：當(dāng)k0，則將從矩陣A中

7、提取位于主對(duì)角線的上方第k條對(duì)角線構(gòu)成一個(gè)具有n-k個(gè)元素的向量；當(dāng)k0，則將從矩陣A中提取位于主對(duì)角線的下方第|k|條對(duì)角線構(gòu)成一個(gè)具有m+k個(gè)元素的向量；當(dāng)k=0，則等同于diag(A)。一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)2022/7/20【例3】 已知矩陣A，試從矩陣A分別提取主對(duì)角線及它兩側(cè)的對(duì)角線構(gòu)成向量B、C和D。MATLAB程序如下：A=1 2 3;4 5 6; % 建立一個(gè)已知的23階矩陣A% 按各種對(duì)角線情況構(gòu)成向量B、C和DB=diag(A)B = 1 5C=diag(A,1)C = 2 6D=diag(A,-1)D = 4一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)2022/7/207.上三角陣(Upper

8、triangular matrix)triu(A)和triu(A,k)返回矩陣A的上三角矩陣。設(shè)A為mn階矩陣，triu(A)將從矩陣A中提取主對(duì)角線之上的上三角部分構(gòu)成一個(gè)mn階上三角陣；triu(A,k)將從矩陣A中提取主對(duì)角線第|k|條對(duì)角線之上的上三角部分構(gòu)成一個(gè)mn階上三角陣。注意：這里的k與diag(A,k)的用法類似，當(dāng)k0，則該對(duì)角線位于主對(duì)角線的上方第k條；當(dāng)k0，該對(duì)角線位于主對(duì)角線的下方第|k|條；當(dāng)k=0，則等同于triu (A)一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)2022/7/20【例4】試分別用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,-1)從矩陣A提取相應(yīng)的上三角部分構(gòu)

9、成上三角陣B、C和D。MATLAB程序如下：A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;9 8 7; % 一個(gè)已知的43階矩陣AB=triu(A) % 構(gòu)成上三角陣BB = 1 2 3 0 5 6 0 0 9 0 0 0C=triu(A,1) % 構(gòu)成上三角陣CD=triu(A,-1) % 構(gòu)成上三角陣D8.下三角陣(Lower triangular matrix)tril(A)和tril(A,k)返回A的下三角矩陣。tril的功能是從矩陣A中提取下三角部分構(gòu)成下三角陣。用法與triu相同。一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)2022/7/209.空矩陣(Empty matrix)在MATLAB里，把行數(shù)、列數(shù)為

10、零的矩陣定義為空矩陣?？站仃囋跀?shù)學(xué)意義上講是空的，但在MATLAB里確是很有用的。例如A=0.1 0.2 0.3;0.4 0.5 0.6;B=find(A1.0) %結(jié)果為B=這里 是空矩陣的符號(hào)，B=find(A1.0)表示列出矩陣A中值大于1.0的元素的序號(hào)。當(dāng)不能滿足括號(hào)中的條件時(shí)，返回空矩陣。另外，也可以將空矩陣賦給一個(gè)變量，如：B=, C=B10.范德蒙矩陣(Vandermonde matrix)vander(V) 以向量V中的元素為基準(zhǔn)生成范德蒙矩陣。一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)2022/7/20二、矩陣的特征值 與特征向量2022/7/20對(duì)于NN階方陣A，所謂A的特征值問題是：求數(shù)和N

11、維非零向量x（通常為復(fù)數(shù)），使之滿足下式：A x = x則稱為矩陣A的一個(gè)特征值（特征根），而非零向量x為矩陣A的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。對(duì)一般的NN階方陣A，其特征值通常為復(fù)數(shù)，若A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則A的特征值為實(shí)數(shù)。二、矩陣的特征值與特征向量2022/7/20MATLAB提供的內(nèi)部函數(shù)eig可以用來計(jì)算特征值與特征向量。eig函數(shù)的使用格式有五種，其中常見的有E=eig(A)、V,D=eig(A)和V,D=eig(A,nobalance)三種，另外兩種格式用來計(jì)算矩陣的廣義特征值與特征向量：E=eig(A,B)和V,D=eig(A,B)。最常用的是E=eig(A)V,D=eig(A)分別介紹

12、如下：二、矩陣的特征值與特征向量2022/7/20(1) E=eig(A)：由eig(A)返回方陣A的N個(gè)特征值，構(gòu)成向量E；(2) V,D=eig(A)：由eig(A)返回方陣A的N個(gè)特征值，構(gòu)成NN階對(duì)角陣D，其對(duì)角線上的N個(gè)元素即為相應(yīng)的特征值，同時(shí)將返回相應(yīng)的特征向量賦予NN階方陣V的對(duì)應(yīng)列，且A、V、D滿足AV=VD；(3) V,D=eig(A,nobalance)：本格式的功能與格式(2)一樣，只是格式(2)是先對(duì)A作相似變換(balance)，然后再求其特征值與相應(yīng)的特征向量；而本格式則事先不作相似變換；二、矩陣的特征值與特征向量2022/7/20(4) E=eig(A,B)：由

13、eig(A,B)返回NN階方陣A和B的N個(gè)廣義特征值，構(gòu)成向量E。(5) V,D=eig(A,B)：由eig(A,B)返回方陣A和B的N個(gè)廣義特征值，構(gòu)成NN階對(duì)角陣D，其對(duì)角線上的N個(gè)元素即為相應(yīng)的廣義特征值，同時(shí)將返回相應(yīng)的特征向量構(gòu)成NN階滿秩矩陣，且 滿足AV=BVD。二、矩陣的特征值與特征向量2022/7/20【例5】試用格式(1)求下列對(duì)稱矩陣A的特征值；用格式(2)求A的特征值和相應(yīng)的特征向量，且驗(yàn)證之。A = 1.0000 1.0000 0.5000 1.0000 1.0000 0.2500 0.5000 0.2500 2.0000 ;執(zhí)行eig(A)將直接獲得對(duì)稱矩陣A的三個(gè)

14、實(shí)特征值：二、矩陣的特征值與特征向量2022/7/20eig(A)ans = -0.0166 1.4801 2.5365而下列命令則將其三個(gè)實(shí)特征值作為向量賦予變量E：E=eig(A)E = -0.0166 1.4801 2.5365二、矩陣的特征值與特征向量2022/7/20三、行列式的值 行列式求值函數(shù)det 行列式的矩陣的秩rank2022/7/20MATLAB提供的內(nèi)部函數(shù)det用來計(jì)算矩陣的行列式的值。設(shè)矩陣A為一方陣(必須是方陣)，求矩陣A的行列式值的格式為：det(A)。注意：本函數(shù)同樣能計(jì)算通過構(gòu)造出的稀疏矩陣的行列式的值。關(guān)于如何構(gòu)造稀疏矩陣，將在本章最后一節(jié)介紹。三、行列式

15、的值【例6】利用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生一個(gè)三階方陣A，然后計(jì)算方陣之行列式的值。A=rand(3)A = 0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214det(A)ans = 0.42892022/7/20四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2022/7/201 . 矩陣求逆若方陣A,B滿足等式A*B = B*A = I (I為單位矩陣)則稱A為B的逆矩陣，或稱B為A的逆矩陣。這時(shí)A，B都稱為可逆矩陣(或非奇異矩陣、或滿秩矩陣)，否則稱為不可逆矩陣(或奇異矩陣、或降秩矩陣)。inv(A)或A-1給出A的逆矩陣pinv(A)給出A

16、的廣義逆矩陣pinv(a)=inv(a*a)*a四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2022/7/20【例7】試用inv函數(shù)求方陣A的逆陣A-1賦值給B，且驗(yàn)證A與A-1是互逆的。A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1;B=inv(A)B = -1.4000 0.4000 0.2000 0.2000 -0.2000 0.4000 2.6000 -0.6000 0.2000A*Bans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000B*Aans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.00

17、00 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2022/7/202. 矩陣求逆解法利用求系數(shù)矩陣A的逆陣A-1，我們可以得到矩陣求逆解法。對(duì)于線性代數(shù)方程組Ax=b，等號(hào)兩側(cè)各左乘A-1，有：A-1Ax=A-1b由于A-1A=I，故得：x=A-1b四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2022/7/20【例8】試用矩陣求逆解法求解矩陣A為系數(shù)矩陣的線性代數(shù)方程組Ax=b的解。A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1;b=2;-3;1;x=inv(A)*bx = -3.8000 1.4000 7.2000四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2022/7

18、/203. 直接解法對(duì)于線性代數(shù)方程組Ax=b，我們可以運(yùn)用左除運(yùn)算符“”象解一元一次方程那樣簡(jiǎn)單地求解： x=Ab當(dāng)系數(shù)矩陣A為N*N的方陣時(shí)，MATLAB會(huì)自行用高斯消去法求解線性代數(shù)方程組。若右端項(xiàng)b為N*1的列向量，則x=Ab可獲得方程組的數(shù)值解x（N*1的列向量）；若右端項(xiàng)b為N*M的矩陣，則x=Ab可同時(shí)獲得同一系數(shù)矩陣A、M個(gè)方程組數(shù)值解x（為N*M的矩陣），即x(:,j)=Ab(:,j)，j=1,2,M。四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2022/7/20四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2022/7/20解法1：分別解方程組 (1)Ax=b1；(2)Ay=b2A=1 -1 1

19、;5 -4 3;2 1 1;b1=2;-3;1;b2=3;4;-5;x=Ab1x = -3.8000 1.4000 7.2000y=Ab2 -3.6000 -2.2000 4.4000得兩個(gè)線性代數(shù)方程組的解： (1) x1= -3.8， x2= 1.4， x3= 7.2； (2) y1= -3.8， y2= 1.4， y3= 7.2四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2022/7/20解法2：將兩個(gè)方程組連在一起求解：Az=bb=2 3;-3 4;1 -5z=Abz = -3.8000 -3.6000 1.4000 -2.2000 7.2000 4.4000很明顯，這里的解z的兩個(gè)列向量便是前

20、面分別求得的兩組解x和y四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2022/7/20 將矩陣分解為幾個(gè)具有特殊構(gòu)造性質(zhì)的矩陣的乘積，MATLAB提供的函數(shù)可將這種在數(shù)學(xué)上非常繁重的工作簡(jiǎn)單化。五、矩陣的分解2022/7/201、三角分解(lu分解)： l,u=lu(a)將 任意方陣a分解為一個(gè)準(zhǔn)下三角方陣l和一個(gè)上三角方陣u的乘積。 l：準(zhǔn)下三角方陣； u：上三角方陣；且滿足如下條件：l*u=aabs(det(l)=1 % 即det(l)=1或-1det(u)*det(l)=det(a)或abs(det(u)=abs(det(a)五、矩陣的分解2022/7/20a = 2 9 0 0 0 4 1 4

21、7 5 5 1 7 8 7 4 l,u=lu(a)l = 0.2857 1.0000 0 0 0 0.5283 0.6838 1.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 0.3962 1.0000 0u = 7.0000 5.0000 5.0000 1.0000 0 7.5714 -1.4286 -0.2857 0 0 2.5660 3.1132 0 0 0 2.0221五、矩陣的分解2022/7/20 l*uans = 2.0000 9.0000 0 0 0 4.0000 1.0000 4.0000 7.0000 5.0000 5.0000 1.0000 7.0000 8.0000

22、 7.0000 4.0000abs(det(l)ans = 1det(a)=-275det(l)=-1det(u)= 275.0000五、矩陣的分解2022/7/202、正交分解(qr分解) q,r= qr(a)將任意nm階矩陣分解為一個(gè)正交方陣q和一個(gè)與原矩陣同階的上三角矩陣r的乘積。正交方陣：滿足A*A=I的方陣A。length(q)=min(size(a)det(q)=1五、矩陣的分解2022/7/20b = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15q,r=qr(b)q = -0.0796 0.9094 0.4082 -0.4773 0.3248 -0.81

23、65 -0.8751 -0.2598 0.4082r = -12.5698 -14.0018 -15.4338 -16.8658 -18.2978 0 0.9744 1.9487 2.9231 3.8974 0 0 0.0000 0.0000 0.0000五、矩陣的分解2022/7/20q*rans = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000q*qans = 1.0000 -0.0000 0 -0.0000 1.0

24、000 0 0 0 1.0000det(q)=1 五、矩陣的分解2022/7/203、奇異值分解(Singular value decomposition，svd分解) u,s,v=svd(a)將任意nm階矩陣a分解為三個(gè)矩陣u、s和v的乘積。其中u、v分別為n、m階正交方陣，s為nm階對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素就是a的奇異值。矩陣s的最大奇異值與最小奇異值的比就是原矩陣的條件數(shù)。u,s,v=svd(a)cond(a)=max(diag(s)/min(diag(s) % cond(a) 為a的條件數(shù)五、矩陣的分解2022/7/20 u,s,v=svd(b)u = -0.2017 0.8903 0.4082 -0.5168 0.2573 -0.8165 -0.8320 -0.3757 0.4082s = 35.1272 0 0 0 0 0 2.4654 0 0 0 0 0 0