函數(shù)的單調性及最值講義

1、-. z.函數(shù)的單調性講義知識點一：函數(shù)單調性(1)相關概念增函數(shù)：一般地，設函數(shù)的定義域為，如果對于屬于定義域*個區(qū)間上任意兩個自變量的值，當，都有，則就說在這個區(qū)間上是增函數(shù)，如以下列圖1；用數(shù)學符號表示：是增函數(shù).減函數(shù)：一般地，設函數(shù)的定義域為，如果對于屬于定義域*個區(qū)間上任意兩個自變量的值，當，都有，則就說在這個區(qū)間上是減函數(shù)，如以下列圖2.用數(shù)學符號表示：是減函數(shù).單調性：如果函數(shù)在*個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)在這一區(qū)間具有嚴格的單調性.單調區(qū)間：函數(shù)在*個區(qū)間上具有單調性，則這一區(qū)間就叫做函數(shù)的單調區(qū)間.對于函數(shù)單調性的定義的理解，要注意以下三點：單調性是與區(qū)間嚴密相關的

2、概念，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調性；單調性是函數(shù)在*一區(qū)間上的整體性質，因此定義中的具有任意性，不能用特殊值代替.由于定義都是充要性命題，因此由是增減函數(shù)，且，這說明單調性使得自變量間的不等關系和函數(shù)值之間的不等關系可以正逆互推.知識點二：函數(shù)單調性的判定方法常用的定義法根本法；取值：任取，且；作差：；變形：通常是因式分解或配方；定號：即判斷差的正負；下結論：即指出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調性.例：判斷函數(shù)在1，+上的單調性變式訓練：證明函數(shù)在上是減函數(shù).利用函數(shù)的單調性；在研究函數(shù)的單調性時，常需要先將函數(shù)化簡，轉化為討論一些熟知的單調性，因此掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指

3、數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性，將大大縮短我們的判斷過程. 如果函數(shù)在*個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，則就說函數(shù)在這一區(qū)間具有嚴格的單調性，區(qū)間叫做的單調區(qū)間.的單調性：增函數(shù)，減函數(shù)；的單調性：減區(qū)間；增區(qū)間；的單調性：，減區(qū)間，增區(qū)間；，增區(qū)間，減區(qū)間；在區(qū)間上是增減函數(shù)，則時，在上是增減函數(shù)；時則相反；假設、是區(qū)間上的增減函數(shù)，則在區(qū)間上是增減函數(shù)；假設且在區(qū)間上是增減函數(shù)，則在上是減增函數(shù)，在上是增減函數(shù)；軸與軸垂直對稱圖形的函數(shù)在它們的對稱區(qū)間上的單調性相反，中心對稱圖形的函數(shù)在它們的對稱區(qū)間上單調性一樣，例如求以下函數(shù)的單調區(qū)間：，.利用函數(shù)的圖像；函數(shù)y|*22*3|的單調增區(qū)間是_【解

4、析】y|*22*3|(*1)24|，作出該函數(shù)的圖像(如圖)由圖像可知，其增區(qū)間為1,1和3，)依據(jù)一些常用結論及復合函數(shù)單調性的判定方法；兩個增減函數(shù)的和仍為增減函數(shù)；一個增減函數(shù)與一個減增函數(shù)的差是增減函數(shù)；奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有一樣的單調性；偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調性；互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有一樣的單調性；如果在區(qū)間上是增減函數(shù)，則在區(qū)間的任一子區(qū)間上也是增減函數(shù)；如果單調性一樣，則是增函數(shù)；如果單調性相反，則是減函數(shù).對于復合函數(shù)的單調性，列出下表以助記憶.上述規(guī)律可概括為同性則增，異性則減例：函數(shù)的單調減區(qū)間是 A. B. C. D.求導以后會學到.知識點三：函數(shù)單調性

5、的應用利用函數(shù)的單調性可以比較函數(shù)值的大小；例：對稱軸為，比較、 的大小。利用函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值圍；例：在 上是減函數(shù)，數(shù)的取值圍。變式訓練：函數(shù)yf(*)在R上為增函數(shù)，且f(2m)f(m9)，則實數(shù)m的取值圍是()A(，3) B(0，)C(3，) D(，3)(3，)求*些函數(shù)的值域或最值；直接法：利用常見函數(shù)的值域來求一次函數(shù)y=a*+b(a0)的定義域為R，值域為R；反比例函數(shù)的定義域為*|*0，值域為y|y0；二次函數(shù)的定義域為R，當a0時，值域為；當a0時，值域為。配方法：轉化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉化為型如：的形式；分式轉化法或改為別離常數(shù)法換元法：通過變量

6、代換轉化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；根本不等式法：轉化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；單調性法：函數(shù)為單調函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調性求值域。數(shù)形結合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結合的方法來求值域。例1.求以下函數(shù)的值域：1；2；3；4；5；6；7；8；9。解：1配方法，的值域為。改題：求函數(shù)，的值域。利用函數(shù)的單調性函數(shù)在上單調增，當時，原函數(shù)有最小值為；當時，原函數(shù)有最大值為。函數(shù)，的值域為。2求復合函數(shù)的值域：設，則原函數(shù)可化為。又，故，的值域為。3法一反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域為，原函數(shù)的值域為。法二別離變量

7、法：，函數(shù)的值域為。4換元法代數(shù)換元法：設，則，原函數(shù)可化為，原函數(shù)值域為。注：總結型值域，變形：或5三角換元法：，設，則，原函數(shù)的值域為。6數(shù)形結合法：，函數(shù)值域為。7判別式法：恒成立，函數(shù)的定義域為。由得：當即時，即，當即時，時方程恒有實根，且，原函數(shù)的值域為。8，當且僅當時，即時等號成立。，原函數(shù)的值域為。9法一方程法：原函數(shù)可化為：，其中，原函數(shù)的值域為。點評：上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見類型與方法，在現(xiàn)行的中學數(shù)學要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數(shù)的最大與最小值，在后面的復習中要作詳盡的討論。章末練習：一、選擇題1以下說法中，正確的有()假設任意*1，*2A，當*

8、10，則yf(*)在A上是增函數(shù)；函數(shù)y*2在R上是增函數(shù)；函數(shù)yeq f(1,*)在定義域上是增函數(shù)；函數(shù)yeq f(1,*)的單調區(qū)間是(，0)(0，)A0個B1個C2個D3個2以下函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()Ay|*| By3*Cyeq f(1,*) Dy*243四個函數(shù)的圖像如以下列圖所示，其中在定義域具有單調性的函數(shù)是()4函數(shù)yf(*)在R上為增函數(shù)，且f(2m)f(m9)，則實數(shù)m的取值圍是()A(，3) B(0，)C(3，) D(，3)(3，)5(2013高一檢測)函數(shù)f(*)4*2m*5在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，則有()Af(1)25 Bf(1)25Cf(1)25 Df(1)25二、填空題6f(*)eq blcrc (avs4alco1(*12，*0，,*1，*0，)則f(*)的單調增區(qū)間是_7假設函數(shù)f(*)2*2m*3在(，2上為減函數(shù)，在2，)上為增函數(shù)，則f(1)_.