7.1微分方程的基本概念（教案）

1、7.1微分方程的基本概念（教案）7.1微分方程的基本概念（教案）7.1微分方程的基本概念（教案）山東理工職業(yè)學(xué)院教案首頁 學(xué)年 第 學(xué)期課程名稱 高等數(shù)學(xué)任課教師授課班級授課時間第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題7.1微分方程的基本概念教學(xué)目的理解微分方程，微分方程的階，微分方程的解，通解、初始條件和特解等概念。教學(xué)重點(diǎn)微分方程的基本概念教學(xué)難點(diǎn)微分方程的基本概念教學(xué)用具備 注 引入新課新授課小結(jié)引例我們通過例題來說明微分方程的一些基本概念.例1 一條曲線經(jīng)過點(diǎn)，且曲線上任意點(diǎn)

2、 處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，求這條曲線的方程.解 設(shè)所求曲線方程為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及已知條件，得 （1）兩邊積分，得 (2) 式中，為任意常數(shù).由于所求曲線過點(diǎn),即代入(2),得,所以所求曲線方程為 （3）例2 一質(zhì)量為的物體在重力作用下作自由落體運(yùn)動，假設(shè)時，初始位移和初速度分別為，求該物體的運(yùn)動規(guī)律. 解 設(shè)物體的運(yùn)動方程為,則 (4)且未知函數(shù)滿足條件 (5)將式（4）兩邊積分一次，得 (6)再積分一次，得 (7)其中是任意常數(shù).將式(5)代入式(6)、(7)，得,.因此,所求運(yùn)動規(guī)律為 (8)微分方程的基本概念定義1 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程，未知函數(shù)是

3、一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.我們只討論常微分方程,以下簡稱為微分方程. 例1中的方程（1）和例2中的方程（4）都是微分方程. 定義2 微分方程中所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階階數(shù)，稱為微分方程的階.例如, 方程（1）是一階微分方程, 方程（4）是二階微分方程,而方程 是三階微分方程.階微分方程的一般形式是，其中是自變量，是未知函數(shù)，最高階導(dǎo)數(shù)是階. 二階和二階以上的微分方程稱為高階微分方程. 定義3 如果把某個函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)代入微分方程,能使方程成為恒等式,則稱這個函數(shù)為微分方程的解.例如,函數(shù)（2）和函數(shù)（3）都是方程（1）的解，函數(shù)（7）和函數(shù)（8）都是方程（4）的解.在例1中，一階微

4、分方程（1）的解式（2）中含有一個任意常數(shù)；在例2中，二階微分方程（4）的解式（7）中含有兩個任意常數(shù).像這樣,若微分方程的解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相等,則稱此解為方程的通解.例如,函數(shù)（2）, （7）分別是方程（1）,（4）的通解.給通解中的任意常數(shù)以特定值的解,稱為方程的特解.如函數(shù)（3）, （8）分別是方程（1）,（4）的特解.用以確定通解中任意常數(shù)的條件稱為初始條件.一般的,一階微分方程的初始條件為:;二階微分方程的初始條件為:. 驗證函數(shù)是微分方程的通解，并 求滿足初始條件的特解.解 求的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),得將代入原方程,有因此, 是微分方程的解,又因為其中含有兩個獨(dú)立的任意常數(shù),且與方程的階數(shù)相等,所以它是方程的通解.將初始條件代入和的表達(dá)式中,得,解得,所以滿足初始條件的特解為.求微分方程滿足某初始條件的解的問題,稱為微分方程的初值問題小結(jié)：（1）含有一元未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分的等式,稱為常微分方程（2）微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階（3）代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)，稱為方程的解（4）若微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，稱這種解為方程的通解（5