9.1二元函數(shù)的基本概念教案

1、9.1二元函數(shù)的基本概念教案9.1二元函數(shù)的基本概念教案9.1二元函數(shù)的基本概念教案山東理工職業(yè)學(xué)院教案首頁 學(xué)年 第 學(xué)期課程名稱 高等數(shù)學(xué)任課教師授課班級授課時間第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題9.1二元函數(shù)的基本概念教學(xué)目的 1理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。 2了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，會求二元函數(shù)極限。教學(xué)重點1.二元函數(shù)的極限與連續(xù)教學(xué)難點1.二元函數(shù)與一元函數(shù)在概念上的區(qū)別教學(xué)用具備 注 引入新課新授課前面我們已經(jīng)討論了只限于一個變量的函數(shù)，

2、也就是一元函數(shù)的微積分學(xué)，但是在很多實際問題中，我們遇到的函數(shù)卻可能依賴兩個或更多個變量，即多元函數(shù).多元函數(shù)微積分是一元函數(shù)微積分的推廣，它具有一元函數(shù)的許多性質(zhì)，但也存在本質(zhì)上的差別.本章我們探討二元函數(shù)，即有兩個變量函數(shù)的微分與積分.知識準(zhǔn)備1.平面區(qū)域 定義：由平面上的一條或者幾條曲線所圍成的一部分平面或者整個平面，稱為平面的平面區(qū)域，簡稱區(qū)域.圍成區(qū)域的曲線成為區(qū)域的邊界，邊界上的點稱為邊界點.分類：若區(qū)域可以延伸到平面的無限遠(yuǎn)處，則稱為無界區(qū)域；若區(qū)域可以包圍在一個以原點為中心，以適當(dāng)大的長為半徑的圓內(nèi)，則稱為有界區(qū)域.包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域；不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開區(qū)域.

3、平面區(qū)域一般用表示，例如：表示整個坐標(biāo)平面，是無界區(qū)域；表示圓心在原點，半徑為1的圓面(不包括邊界)，是有界開區(qū)域(圖9-1)；表示以直線為界的上半平面，包括直線，是無界閉區(qū)域(圖9-2). 圖9-1 圖9-22.鄰域定義：在平面上，以點為中心，為半徑的開區(qū)域，稱為點的鄰域.它可以表示為：，或者簡記為： .二、二元函數(shù)基本概念我們知道：矩形的面積、與矩形的長、寬之間有公式：.當(dāng)、取定一組值時，矩形面積就確定了.一定質(zhì)量的理想氣體的壓強P、體積V和絕對溫度T之間有關(guān)系式：，其中R為常數(shù).可知當(dāng)V、T取定一組值時，壓強P就有一個確定的值與之對應(yīng). 在現(xiàn)實生活中，我們也會遇到這樣的例子：某部門需要購

4、買2種商品，單價(單位：元)分別為、，購買數(shù)量(單位：件)分別為、，則購買需要的費用，當(dāng)購買數(shù)量、給定一對值時，費用P就有一個確定的值與之對應(yīng). 以上各例具有共同點：兩個變量每取定一對值時，按照確定的對應(yīng)關(guān)系可以確定另外一個變量的取值，這就是二元函數(shù).二元函數(shù)定義： 設(shè)是三個變量，是一個給定的非空數(shù)對集，若對于每一數(shù)對，按照某一確定的對應(yīng)發(fā)則，變量總有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱是的函數(shù)，記作：，其中稱為自變量，稱為因變量，數(shù)對集稱為該函數(shù)的定義域. 對照一元函數(shù)概念，若取有序數(shù)組時，則稱該函數(shù)在有定義；與對應(yīng)的的數(shù)值稱為函數(shù)在點的函數(shù)值，記作或.當(dāng)取遍數(shù)對集中的所有數(shù)對時，對應(yīng)的函數(shù)值全體構(gòu)

5、成的數(shù)集稱為函數(shù)的值域.從幾何上看，二元函數(shù)的定義域就是平面上的平面區(qū)域.例如，二元函數(shù)的定義域是整個平面；二元函數(shù)的定義域是平面上的一個有界區(qū)域，如圖9-3中的陰影部分. 圖9-3類似的可以定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù).二元函數(shù)及二元以上函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).例1 求函數(shù)的定義域.解：顯然當(dāng)根式內(nèi)的表達式非負(fù)時才有確定的值，所以定義域為在平面上，表示以原點為圓心，以為半徑的圓以及圓的內(nèi)部全部點構(gòu)成的閉區(qū)域.二元函數(shù)在幾何上通常表示空間曲面.設(shè)點是二元函數(shù)的定義域內(nèi)的任一點，則相應(yīng)的函數(shù)值是，于是，有序數(shù)組確定了空間一點.當(dāng)點在內(nèi)變動時，對應(yīng)的點在空間的軌跡形成的曲面即為二元函數(shù)的圖像，其定義

6、域就是空間曲面在面的投影(圖9-4).圖9-42.二元函數(shù)的極限與連續(xù)對于一元函數(shù)，“時函數(shù)的極限”就是討論當(dāng)自變量無限接近時，函數(shù)的變化趨勢.類似的，二元函數(shù)的極限問題，就是討論當(dāng)自變量，無限接近，時，即，時，該函數(shù)的變化趨勢.（1）二元函數(shù)極限定義： 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義(點可以除外)，如果當(dāng)點以任意方式無限趨向于點時，對應(yīng)的函數(shù)值趨向于一個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當(dāng)時的極限.記為 或 與一元函數(shù)的極限不同的是二元函數(shù)極限要求點以任何方式趨向于點時，函數(shù)值都趨向于同一個確定的常數(shù).因此，如果當(dāng)沿著兩條不同的路徑趨向于時，函數(shù)趨向于不同的值，那么可以斷定函數(shù)極限一定不存在.例2 討論函

7、數(shù)在點的極限.解：當(dāng)時，由于且，根據(jù)無窮小量的性質(zhì)之“無窮小量與有界函數(shù)的乘積還是無窮小量”，可知的極限存在，且.例3 討論函數(shù)，當(dāng)時的極限.解：令點沿趨向于點時，顯然取不同的值時，也不同，所以函數(shù)的極限不存在.（2）二元函數(shù)連續(xù)性定義： 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點趨向于點時，函數(shù)的極限存在，且等于它在點處的函數(shù)值， 即 ，則稱函數(shù)在點處連續(xù)，稱點為函數(shù)的連續(xù)點.若函數(shù)在點不滿足連續(xù)的定義，則稱這一點是函數(shù)的不連續(xù)點或間斷點.例如，函數(shù)當(dāng)時函數(shù)無定義，所以直線和上的點都是它的間斷點.若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，或稱為上的連續(xù)函數(shù).與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不等于零)仍為連續(xù)函數(shù)；二元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)，因此，二元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的.計算二元函數(shù)在其定義域內(nèi)一點的極限，只要求他在這點的函數(shù)值即可，即.例如，函數(shù)在點的極限為.三課堂練習(xí)四小