高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：16.1極坐標(biāo)與參數(shù)方程59（修）

1、第二節(jié) 極坐標(biāo)與參數(shù)方程(選修4-4)考綱解讀1.理解坐標(biāo)系的作用.2.了解在直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.3.能在極坐標(biāo)中用極坐標(biāo)表示點的位置.理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.4.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.5.了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中的點的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中表示點的位置方法相比較，了解它們的區(qū)別.6.了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義.7.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、

2、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.8.掌握參數(shù)方程化普通方程的方法.命題趨勢探究 本章是新課標(biāo)新增內(nèi)容，屬選考內(nèi)容，在高考中可能有所體現(xiàn). 參數(shù)方程是解析幾何、平面向量、三角函數(shù)、圓錐曲線與方程等知識的綜合應(yīng)用和進(jìn)一步深化，是研究曲線的工具之一，值得特別關(guān)注.知識點精講一、極坐標(biāo)系 在平面上取一個定點，由點出發(fā)的一條射線 、一個長度單位及計算角度的正方向(通常取逆時針方向)，合稱為一個極坐標(biāo)系.點稱為極點，稱為極軸.平面上任一點M的位置可以由線段的長度和從到的角度 (弧度制)來刻畫(如圖16-31和圖16-32所示). 這兩個實數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)對稱為點M的極坐標(biāo). 稱為極徑，稱為極角.圖 16-31圖

3、16-32二、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 設(shè)為平面上的一點，其直角坐標(biāo)為，極坐標(biāo)為，由圖16-31和圖16-32可知，下面的關(guān)系式成立:或 （對也成立）.三、極坐標(biāo)的幾何意義表示以為圓心，為半徑的圓；表示過原點(極點)傾斜角為的直線，為射線；表示以為圓心過點的圓. (可化直角坐標(biāo): .)四、直線的參數(shù)方程 直線的參數(shù)方程可以從其普通方程轉(zhuǎn)化而來，設(shè)直線的點斜式方程為，其中為直線的傾斜角)，代人點斜式方程: ,即.記上式的比值為,整理后得,也成立，故直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，為傾斜角，直線上定點，動點 ，為的數(shù)量，向上向右為正(如圖16-33所示). 圖 16-33五、圓的參數(shù)方程 若圓心為點，半徑

4、為，則圓的參數(shù)方程為.六、橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.七、雙曲線的參數(shù)方程 雙曲線的參數(shù)方程為.八、拋物線的參數(shù)方程 拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，參數(shù)的幾何意義是拋物線上的點與頂點連線的斜率的倒數(shù)）.題型歸納即思路提示題型196 極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程思路提示 對于極坐標(biāo)方程給出的問題解答一般都是通過化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)方程求解.這里需注意的是極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系建立的對應(yīng)關(guān)系及其坐標(biāo)間的關(guān)系.例16.7 在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線()的距離是 .分析 將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程求解.解析 極坐標(biāo)系中的圓轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程為，即，其

5、圓心為，直線轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的方程為：，即.圓心到直線的距離為.變式1在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為2sin ，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為_.解析解析由2sin ，得22sin ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0. 答案x2y22y0變式2 已知直線l的極坐標(biāo)方程為2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(2)，點A的極坐標(biāo)為Aeq blc(rc)(avs4alco1(2r(2)，f(7,4)，求點A到直線l的距離.解析解由2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r

6、(2)，得2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sin f(r(2),2)cos )eq r(2)，yx1.由Aeq blc(rc)(avs4alco1(2r(2)，f(7,4)，得點A的直角坐標(biāo)為(2，2).點A到直線l的距離deq f(|221|,r(2)eq f(5r(2),2).變式3 已知一個圓的極坐標(biāo)方程是，求此圓的圓心和半徑.解析 由圓的極坐標(biāo)方程得，得，故圓心坐標(biāo)為，半徑為。例16.8(2015江蘇卷)已知圓C的極坐標(biāo)方程為22eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)40，求圓C的半徑.解以極坐標(biāo)系的極點為平面直角坐標(biāo)系的

7、原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程化為22eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sin f(r(2),2)cos )40，化簡，得22sin 2cos 40.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40，(x1)2(y1)26，因此圓C的半徑為eq r(6).變式1 極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程（參數(shù))所表示的圖形分別是( )A.圓、直線 B.直線、圓 C.圓、圓 D.直線、直線解析 由極坐標(biāo)方程得，則，即，故表示的圖形是圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑為，參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消參數(shù)得，表示直線，故選A。變式2 在極坐標(biāo)系中，點到直線的距離

8、是 .解析 依題意，點P坐標(biāo)為，直線，得，即。所以點P到直線l的距離。變式3 （2012陜西理15）直線與圓相交的弦長為 .解析 將極坐標(biāo)方程化為普通方程為與，聯(lián)立方程組成方程組求出兩交點的坐標(biāo)和，故弦長等于。題型197 直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程思路提示 如果題目中已知的曲線為直角坐標(biāo)方程，而解答的問題是極坐標(biāo)系下的有關(guān)問題，這里要利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系式，將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.例16.9 【2015高考新課標(biāo)1，理23】在直角坐標(biāo)系中，直線:=2，圓：,以坐標(biāo)原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（）求，的極坐標(biāo)方程；（）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點為, ,求的面積.

9、【答案】（）,（）變式1 【2016高考新課標(biāo)理數(shù)1】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 QUOTE * MERGEFORMAT （t為參數(shù)，a0）.在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：=4cos .（I）說明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（II）直線C3的極坐標(biāo)方程為=0，其中0滿足tan 0=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.解析【答案】（I）圓，；（II）1題型198 參數(shù)方程化普通方程思路提示已知直線或曲線的參數(shù)方程討論其位置關(guān)系、性質(zhì)問題一般要通過消參（代入法、加減法，三角法)轉(zhuǎn)化為普通方程解答.例16.10 若直線與圓(

10、為參數(shù))沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是 .解析 將圓的參數(shù)方程( 為參數(shù))化為普通方程，圓心，半徑.直線與圓無公共點，則圓心到直線的距離大于半徑，得或，即的范圍是.變式1 在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程（參數(shù)），圓的參數(shù)方程為（參數(shù)），則圓圓心坐標(biāo)為 _，圓心到直線的距離為 .解析 直線l的方程為，圓C的方程為，其圓心為為，圓心到直線l的距離變式2 (2013湖北理16)在莊角坐標(biāo)系中，橢圓的參數(shù)方程（為參數(shù)，），在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸)中，直線與圓的極坐標(biāo)方程分別為（為非零數(shù)）與.若直線經(jīng)過橢圓的焦點，且與圓相切，則橢圓的離心率為 .分

11、析 先將參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程化為普通方程，再根據(jù)直線過焦點，直線與圓相切建立關(guān)于橢圓方程中a,b,c的等式，再結(jié)合求得離心率。解析 由已知可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為。由，可得。即直線的普通方程為。又圓的普通方程為，不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點，則得，又因為直線l與圓O相切，所以，因此，即。整理，得，故橢圓的的離心率為。變式3 參數(shù)方程（是參數(shù)）的普通方程是 .解析 利用，故普通方程是，例16.11 已知動圓（是正常數(shù)，是參數(shù)），則圓心的軌跡是 .解析 由動圓得.圓心坐標(biāo)為（為參數(shù)），設(shè)，則，即為所求軌跡方程，所以圓心的軌跡是橢圓.變式1 方程表示的曲線是（ ） A. 線段 B. 雙曲線的一支 C.

12、圓弧 D. 射線解析 由方程。故選A變式2 已知直線（為參數(shù)），（為參數(shù)）.(1)當(dāng)時，求與的交點坐標(biāo)；(2)過坐標(biāo)原點作的垂線，垂足為，為的中點.當(dāng)變化時，求點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線.解析 （1）當(dāng)時，的普通方程為。的普通方程為。聯(lián)立方程組，解得與的交點坐標(biāo)為，。（2）設(shè)點，由題意，得，整理得。故點P的軌跡是以為圓心，半徑為的圓。題型199 普通方程化參數(shù)方程思路提示 對于直線與圓錐曲線方程化為參數(shù)方程問題實質(zhì)是引入第三個變量的換元法，這里有代數(shù)換元（如拋物線的參數(shù)方程）或三角換元（如橢圓的參數(shù)方程）.例16.12 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)是橢圓上的一個動點，求的最大值.分析 利用

13、橢圓的參數(shù)方程，建立與參數(shù)的關(guān)系，運用三角函數(shù)最值的求法，求解的最大值.解析 點是橢圓上的一個動點，則（為參數(shù)），則，故.變式1 已知點是圓上的動點.(1)求的取值范圍；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析 （1）由圓的方程得，得。則可得的取值范圍是。，（2）若恒成立，則，因為，所以，故，得。所以的取值范圍是。變式2 直線過，傾斜角. （1） 寫出的參數(shù)方程； （2）與圓相交于兩點，求到兩點的距離之積.解析 （1）直線l的參數(shù)方程為（若M為l上的動點，則參數(shù)t是有向線段的數(shù)量）（2）解法一：將l的方程代入，則解法二：如圖16-43所示，連接OP并延長交圓于點C，反向延長交圓于點D，由相交弦定

14、理得，變式3 已知拋物線，點在軸的正半軸上，過的直線與相交于兩點，為坐標(biāo)原點.(1)若時，的斜率為，求以為直徑的圓的方程； (2)若存在直線使得成等比數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.解析 （1）若=1時，直線的斜率為1，則直線的方程為,設(shè),圓心，聯(lián)立方程，消去建立的一元二次方程得，所以，過焦點（1,0）,所以，那么以為直徑的圓的方程為.設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入拋物線方程中得：，即，且成等比數(shù)列，則,即，得，故4.因此實數(shù)的取值范圍為.題型200 參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化思路提示 參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化問題，需要通過普通方程這一中間橋梁來實現(xiàn)，先將參數(shù)方程（極坐標(biāo)方程）化為普通方程，再將

15、普通方程化為極坐標(biāo)方程（參數(shù)方程）.例16.13 (2016全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq blc(avs4alco1(xacos t，,y1asin t)(t為參數(shù)，a0).在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos .(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.解(1)消去t，得C1的普通方程x2(y1)2a2，曲線C1表示以點(0，1)為圓心，a為半徑的圓.將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為22

16、sin 1a20.(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組eq blc(avs4alco1(22sin 1a20，,4cos .)若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，從而1a20，解得a1(舍去)，a1.當(dāng)a1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上.所以a1.點撥(1)第(1)題將曲線C1的參數(shù)方程先化成普通方程，再化為極坐標(biāo)方程，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力.第(2)題中關(guān)鍵是理解極坐標(biāo)方程的含義，消去，建立與直線C3：0的聯(lián)系，進(jìn)而求a.(2)由極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)解決

17、，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解.變式1在極坐標(biāo)系中，已知直線l的極坐標(biāo)方程為sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)1，圓C的圓心的極坐標(biāo)是Ceq blc(rc)(avs4alco1(1，f(,4)，圓的半徑為1.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)求直線l被圓C所截得的弦長.解(1)設(shè)O為極點，OD為圓C的直徑，A(，)為圓C上的一個動點，則AODeq f(,4)或AODeq f(,4)，|OA|OD|coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)或|OA|OD|coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4).所以圓C的極坐標(biāo)方程為2coseq bl

18、c(rc)(avs4alco1(f(,4).(2)由sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)1，得eq f(r(2),2)(sin cos )1，直線l的直角坐標(biāo)方程為xyeq r(2)0，又圓心C的直角坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)滿足直線l的方程，直線l過圓C的圓心，故直線被圓所截得的弦長為直徑2.最有效訓(xùn)練題60(限時45分鐘)1.極坐標(biāo)方程表示的曲線為（ ）A. 一條射線和一個圓 B. 兩條直線 C. 一條直線和一個圓 D. 一個圓 2.圓的圓心的一個極坐標(biāo)是（ ）A. B. C. D. 3. 若以直角坐標(biāo)系的原

19、點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y1x(0 x1)的極坐標(biāo)方程為()A.eq f(1,cos sin )，0eq f(,2)B.eq f(1,cos sin )，0eq f(,4)C.cos sin ，0eq f(,2)D.cos sin ，0eq f(,4)4.直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則直線的傾斜角為（ ）A. B. C. D. 5.過點的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若此直線與直線相交于點，則=（ ）A. B. C. D. 6.設(shè)曲線的參數(shù)方程( 為參數(shù))，直線的方程為，則曲線上到直線的距離為的點的個數(shù)為（ ）A. B. C. D. 7.已知直線的極坐標(biāo)方程為，圓的參數(shù)方程為( 為參數(shù))，則圓上的點到直線的最短距離為 .8.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線和的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)，）和（為參數(shù)），則曲線與的交點坐標(biāo)為 .9.已知拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），其中，焦點為，準(zhǔn)線為，過拋物線上一點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，點的橫坐標(biāo)是，則= .10.在極坐標(biāo)系中，為極點，已知兩點的極坐標(biāo)分別為，,求的面積.11.已知橢圓，為坐標(biāo)原點，為橢圓上的兩動點，若，求的最大值.12. 已知曲線（為參數(shù)），曲線.（1）若分別是曲線和曲線上的兩個動點，求線段長度的最小值