工業(yè)設(shè)計(jì)機(jī)械基礎(chǔ)第三章--構(gòu)件與產(chǎn)品的強(qiáng)度分析課件

1、第三章 構(gòu)件與產(chǎn)品的強(qiáng)度分析 第一節(jié) 材料力學(xué)的研究目的 桿件的基本變形形式 第二節(jié) 內(nèi)力、應(yīng)力與應(yīng)變 第三節(jié) 材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能 第四節(jié) 拉壓桿的強(qiáng)度 第五節(jié) 剪切和擠壓強(qiáng)度 第六節(jié) 圓軸抗扭強(qiáng)度 第七節(jié) 梁的抗彎強(qiáng)度 第八節(jié) 梁的抗彎強(qiáng)度 第九節(jié) 組合變形強(qiáng)度問(wèn)題簡(jiǎn)介第一節(jié) 材料力學(xué)的研究目的 桿件的基本變形形式 一、材料力學(xué)的研究目的 材料力學(xué)是研究構(gòu)件與產(chǎn)品承載能力的學(xué)科。 承載能力指構(gòu)件在外載作用下滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性要求的能力。 構(gòu)件應(yīng)在使用中安全可靠第一，在載荷作用下不破壞，即有足夠的強(qiáng)度。第二，在載荷作用下不產(chǎn)生過(guò)大的變形，即要求有足夠的剛度。第三，對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿、薄板、

2、薄殼一類形狀的構(gòu)件來(lái)說(shuō)，還要求有足夠的穩(wěn)定性。二、安全性與經(jīng)濟(jì)性的關(guān)系 并非簡(jiǎn)單地用材多、用材貴，安全性就高。正確的截面形狀、合理的結(jié)構(gòu)形式，等等，通常更重要。 為了產(chǎn)品牢靠穩(wěn)固,最簡(jiǎn)單的辦法是把構(gòu)件加粗增厚或采用優(yōu)質(zhì)材料,但多用材料或采用優(yōu)質(zhì)材料都會(huì)增加成本。所以產(chǎn)品的安全可靠和產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)性一般是有矛盾的。材料力學(xué)將告訴我們?cè)鯓诱_處理這種矛盾。 任何產(chǎn)品都不應(yīng)盲目地加粗增厚、采用昂貴材質(zhì),以致造成產(chǎn)品笨重、成本攀升。實(shí)例 同等重量的空心棒材比實(shí)心棒材 承截能力高?！肮ぁ弊中位颉啊毙谓孛娴牧罕绕桨辶撼薪啬芰Ω?。圖3-1 省了材料卻更為耐用的例子 各種“型材”，其截面力學(xué)性能優(yōu)于同量的實(shí)心圓、

3、實(shí)心方截面材料，又能滿足某些結(jié)構(gòu)聯(lián)接的需要。 對(duì)于發(fā)動(dòng)機(jī)上的氣缸螺栓, 光桿較細(xì)的螺栓比光桿較粗的螺栓更耐用。因?yàn)榘l(fā)動(dòng)機(jī)氣缸蓋螺栓受到很大沖擊拉力的作用,光桿細(xì),柔性好,更有彈性,能對(duì)沖擊力起到緩沖作用,其螺紋部分不易發(fā)生疲勞損壞。 受拉的直桿,如果直徑有突變, 在凸臺(tái)的內(nèi)尖角處會(huì)出現(xiàn)“應(yīng)力集中”現(xiàn)象，容易在此處出現(xiàn)裂紋,進(jìn)而折斷。改為圓弧過(guò)渡，減小了應(yīng)力集中,它承受的拉力將能提高。三、變形體性質(zhì)的基本假設(shè)材料力學(xué)中把材料抽象化為“變形固體”的理想模型。 連續(xù)均勻假設(shè)假：設(shè)物體的內(nèi)部連續(xù)均勻、無(wú)間隙地充滿了材料,且各處的力學(xué)性質(zhì)均同。 各向同性假設(shè)：假設(shè)材料在所有不同方向上具有相同的力學(xué)性質(zhì)。

4、一般限于研究材料在彈性范圍內(nèi)變形較小的問(wèn)題。 材料力學(xué)中對(duì)變形固體賦予以下假設(shè): 以上假設(shè)對(duì)于金屬、塑料等多數(shù)常用材料是適用的。但是木材、竹子等纖維性材料在不同方向上力學(xué)性能有明顯差別,因而有關(guān)手冊(cè)上,對(duì)木、竹這類材料的力學(xué)性能,在不同方向上給出了不同的數(shù)據(jù)。四、桿件及桿件的基本變形形式1. 桿件 桿件：長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其他兩方向上的尺寸。 材料力學(xué)主要研究桿件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題。 構(gòu)件的形狀千差萬(wàn)別,但經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化歸類,可以歸納為四類,即桿、板、殼和塊體。桿件各個(gè)橫截面形心的連線叫桿件的軸線。垂直于桿件軸線的截面叫桿件的橫截面。軸線是直線的桿件叫直桿。軸線是曲線的桿件叫曲桿。各橫截面大小形狀相同

5、的直桿叫等直桿。圖3-2 桿件的基本變形形式 2. 桿件的基本變形形式 軸向拉伸或壓縮剪切扭轉(zhuǎn)彎曲 受力特點(diǎn)：拉力或壓力的作用線與桿件的軸線一致，且作用在橫截面的形心上。 復(fù)雜的變形可看成是四種基本變形形式的某種組合，稱為組合變形。 桿件在不同的受力情況下,將產(chǎn)生不同形式的變形。材料力學(xué)將基本的變形形式歸納為四種： 受力特點(diǎn):作用在構(gòu)件兩側(cè)面上外力大小相等、方向相反、作用線平行且相距很近。 受力特點(diǎn):在與桿件軸線垂直的平面內(nèi),受到一對(duì)大小相等、方向相反的力偶作用。 受力特點(diǎn):在通過(guò)桿的軸線的一個(gè)平面內(nèi),受到垂直于軸線的外力或力偶的作用,使桿件的軸線發(fā)生彎曲。第二節(jié) 內(nèi)力、應(yīng)力與應(yīng)變一、內(nèi)力與截

6、面法1. 內(nèi)力 由外力引起的構(gòu)件（材料）內(nèi)部各部分之間相互作用力的改變量，稱為內(nèi)力。內(nèi)力是材料力學(xué)中重要的概念。 內(nèi)力的作用者與被作用者是一個(gè)構(gòu)件中的這一部分與那一部分； 內(nèi)力是由外力引起的，是原有相互作用力的“改變量”；內(nèi)力的大小應(yīng)完全取決于外力；外力解除，內(nèi)力也隨之消失。 彈簧受力伸縮時(shí)，彈簧材料內(nèi)部產(chǎn)生阻止伸縮的抵抗力就是內(nèi)力。 材力中的強(qiáng)度、剛度計(jì)算，都以計(jì)算內(nèi)力為前提。 四種基本變形橫截面上的內(nèi)力各有特點(diǎn)，各有特定的名稱和表示符號(hào)。 軸向拉壓時(shí)橫截面上的內(nèi)力的作用線與橫截面垂直，且作用于橫截面圖形的形心上，特稱為“軸力”，表示符號(hào)是“N”。 2. 截面法用假想截面將構(gòu)件截分開來(lái)，然后

7、用平衡方程由外力求算內(nèi)力的方法。 圖3-3 截面法和內(nèi)力的概念 如圖中，求某橫截面m-m上的內(nèi)力 以假想截面m-m將桿截開，AB分成、兩部分 任選一段（如）研究，取分離體，畫受力圖 棄去另一段，將對(duì)于的作用以力來(lái)代替 內(nèi)力一般是指此截面上分布力系的合力 列平衡方程求內(nèi)力N Fx0， NF0求得m-m截面上的內(nèi)力： NF 。 如選為研究對(duì)象，通過(guò)同樣過(guò)程，畫出的受力圖如圖3-3c，可以得到另一個(gè) NF。求算內(nèi)力截面法很重要，通過(guò)上面示例，可得截面法應(yīng)用的3步驟：截開 在要計(jì)算內(nèi)力的截面，假想截開，留下研究對(duì)象，棄去另一部分。替代 以內(nèi)力替代棄去部分對(duì)研究對(duì)象的作用。求算 列平衡方程求算內(nèi)力。注意

8、：應(yīng)選取含有足夠已知信息（主要指已知外力）的部分作為研究對(duì)象。 2. 截面法 用假想截面將構(gòu)件截分開來(lái)，然后利用平衡方程由外力求算內(nèi)力的方法。圖3-4 用截面法求內(nèi)力舉例 例3-1 等直桿在軸線上A、B、C三點(diǎn)受三力組成的平衡力系的作用：F15kN，F(xiàn)28kN，F(xiàn)33 kN。求1-1、2-2兩橫截面上的內(nèi)力。 解 按截開、替代、求算“三部曲”求N1假想在1-1截面將桿件截開，留下左段研究，棄去右段，畫分離體。以軸力N1替代棄去部分對(duì)于留下部分的作用列平衡方程求解： Fx0， F1N10得到： N1F15kN按同樣的3個(gè)步驟求軸力N2Fx0， F1N2F20， 得到： N2F2F18kN5kN3

9、kN。 重要提示 求內(nèi)力的受力圖中，均假設(shè)軸力為背離截面的方向。背離截面的軸力是拉力，使桿件伸長(zhǎng)，規(guī)定為正值；而使桿件縮短的軸力為負(fù)值。 本題中N1為負(fù)值，說(shuō)明真實(shí)指向與圖中所畫相反，它使該桿段受壓；N2為正值，說(shuō)明真實(shí)指向與圖中一致，它使該桿段受拉。)二、應(yīng)力單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力。 材料破壞與否，不直接取決于內(nèi)力，而取決于應(yīng)力的大小。 方向與橫截面垂直的應(yīng)力，稱為正應(yīng)力，用希臘字母“”表示。 圖3-5 軸向拉壓橫截面上內(nèi)力均勻分布 理論與實(shí)踐證明，在等直桿軸向拉壓的條件下，橫截面的內(nèi)力是均勻分布的 （3-1） 式中，N為橫截面上的軸力值， A為橫截面面積。正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定與軸力N相同，

10、拉伸時(shí)為正，壓縮時(shí)為負(fù)。應(yīng)力的基本單位是帕斯卡，簡(jiǎn)稱帕，符號(hào)Pa ： 1Pa1N/m2。材料力學(xué)中的應(yīng)力單位是兆帕（MPa），有時(shí)還用吉帕（GPa）： 1MPa106Pa106N/m21N/mm2 1GPa109Pa103MPa 圖3-6 例3-2圖 例3-2重物G1=8kN置于水平梁BC上,如圖3-6a所示。均質(zhì)梁BC自重G2=5kN,左側(cè)圓截面吊桿AB的直徑d=30mm,右側(cè)正方截面吊桿DC橫截面的邊長(zhǎng)a=10mm。試求AB、CD兩桿橫截面上的正應(yīng)力。解 先求AB 、CD所受的拉力F1和F2由式（1）， 將F2值代入式（2）， F1（854.5）kN8.5kN。求AB桿的軸力N1、CD桿的

11、軸力N2從前面引例知，等直桿兩端受拉時(shí)，橫截面上軸力就等于拉力，取正值，即 N1F18.5kN N2F24.5kN圖3-6 例3-2圖 例3-2重物G1=8kN置于水平梁BC上,如圖3-6a所示。均質(zhì)梁BC自重G2=5kN,左側(cè)圓截面吊桿AB的直徑d=30mm,右側(cè)正方截面吊桿DC橫截面的邊長(zhǎng)a=10mm。試求AB、CD兩桿橫截面上的正應(yīng)力。解 求AB、DC兩桿橫截面上的應(yīng)力1、2 AB桿橫截面面積 AB桿橫截面上的應(yīng)力 CD桿橫截面面積 A2a2102mm2100mm2，CD桿橫截面上的應(yīng)力 2N2/A24.5103N/100mm245MPa。 三、拉壓變形與應(yīng)變 虎克定律1. 絕對(duì)變形圖3

12、-7 拉壓變形 桿件受拉時(shí)縱向尺寸伸長(zhǎng)，橫向尺寸縮短；受壓時(shí)，則縱向尺寸縮短，橫向尺寸伸長(zhǎng)。 長(zhǎng)度為l 、直徑為d的等直圓桿，兩端受F力軸向 拉伸后，長(zhǎng)度變?yōu)閘 1，直徑變?yōu)閐1 變形后的尺寸與變形前的尺寸之差，稱為絕對(duì)變形。 縱向和橫向絕對(duì)變形： l l 1 l ， dd1d 2. 相對(duì)變形線應(yīng)變 線應(yīng)變是變形量與原始尺寸的比值。 （3-2） 3. 胡克定律 桿件受軸向拉壓，應(yīng)力未超過(guò)某一限度時(shí)，絕對(duì)變形l與軸力N及桿件原長(zhǎng)l 成正比，與橫截面面積A成反比 。 引入材料性能參數(shù)作比例系數(shù)： （3-3） 式中 E稱為材料的拉壓彈性模量，簡(jiǎn)稱材料的彈性模量。彈性模量E表征了材料抵抗拉伸壓縮變形的

13、性能，是材料的剛性指標(biāo)。 EA是桿件抵抗拉壓變形能力的度量，稱為桿件的抗拉（壓）剛度。 胡克定律的另一表達(dá)式 E （3-4） 胡克定律又可表述為：應(yīng)力當(dāng)不超過(guò)某一限度時(shí)，應(yīng)變與應(yīng)力成正比。 材料的彈性模量E由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。 表3-1 幾種常用材料的彈性模量值“想把圓珠筆粗細(xì)的鋼棒拉長(zhǎng)千分之一，約需多大的力量？” “不是鋼棒而是尼龍棒呢？?jī)烧吣芟嗖疃嗌俦?？?圓棒的相對(duì)伸長(zhǎng)為千分之一，即線應(yīng)變10-3， 鋼材的E值 E200109Pa， 對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值 E（200109Pa）10-3200106Pa； 圓珠筆橫截面積約 A（102/4）mm280mm28010-6m2， 需要的拉力，即軸力 FNA（2

14、00106Pa）（8010-6m2） 16000N 1600kgf。 一千六百千克，要那么大的力量??！ 若換成尼龍棒，只要拉鋼棒力量的1/125，也就是12.8公斤力就行了！ 材 料 名 稱E材 料 名 稱E材 料 名 稱E碳鋼196214合金鋼186216灰鑄鐵113157銅及其合金73128硬鋁合金70橡膠0.0079木材(順紋)9.812木材(橫紋)0.50.98聚丙烯(PP)1.11.6耐熱型ABS2.5尼龍10101.6低壓聚乙烯0.490.78第三節(jié) 材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能材料的力學(xué)性能：材料從開始受力、加大受力,直到材料破壞整個(gè)過(guò)程中所表現(xiàn)出來(lái)的各種性能,叫做材料的力學(xué)性能

15、。一、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能 圖3-8 拉伸試驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)試件 標(biāo)準(zhǔn)試件 圓截面直徑d，“標(biāo)距” l10d 試件兩端裝卡在試驗(yàn)機(jī)卡頭上，施加緩慢增加的拉力，直到把試件拉斷為止。機(jī)器自動(dòng)繪制出拉伸圖，即 Fl “拉力伸長(zhǎng)量”的曲線圖。圖3-9 低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變圖 低碳鋼拉伸實(shí)驗(yàn)： 因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)試件的標(biāo)距l(xiāng) 和橫截面面積A都是常量,且為標(biāo)準(zhǔn)值，所以拉伸圖(F l曲線)也以一定比例代表著(F/A)( l / l)曲線,后者就是曲線,即應(yīng)力應(yīng)變曲線,也稱為應(yīng)力應(yīng)變圖。圖3-9 低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變圖 從-曲線得到的重要材料性能參數(shù)： 1. 比例極限p，彈性極限e 應(yīng)變與應(yīng)力成正比,材料服從胡克定律的最

16、大應(yīng)力值，稱為材料的比例極限p 。 即圖中a點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值。p與e很接近，有時(shí)不嚴(yán)格區(qū)分。 外力解除后能完全消失的變形稱為彈性變形,而把外力解除后仍保留的變形稱為塑性變形。因此,應(yīng)力-應(yīng)變曲線上a點(diǎn)的應(yīng)力值e,是材料只出現(xiàn)彈性變形的極限應(yīng)力值,稱為彈性極限。2. 屈服強(qiáng)度s-圖上bc對(duì)應(yīng)這一段叫材料的屈服階段。 這一階段應(yīng)力波動(dòng)的最低值s稱為屈服強(qiáng)度。由于屈服階段的變形量比較大,而且是塑性變形,在構(gòu)件和產(chǎn)品上一般是不允許出現(xiàn)的。屈服強(qiáng)度是材料重要的強(qiáng)度指標(biāo)。 國(guó)標(biāo)GB/T7001988中，碳素結(jié)構(gòu)綱牌號(hào)就由屈服極限來(lái)定，如s 215 MPa、235MPa、275MPa 的碳素結(jié)構(gòu)綱，牌號(hào)分別

17、為Q215、Q235、Q255等。 3. 抗拉強(qiáng)度b -曲線上cd段叫材料的強(qiáng)化階段。其最高點(diǎn)d對(duì)應(yīng)的b是試件能承受的最大應(yīng)力值，稱為材料的抗拉強(qiáng)度，是材料的另一個(gè)重要強(qiáng)度指標(biāo)。圖3-10拉伸試驗(yàn)中的縮頸現(xiàn)象4. 延伸率和斷面收縮率斷后伸長(zhǎng)率 （3-5） 斷面收縮率 （3-6） 頸縮現(xiàn)象: 應(yīng)力達(dá)到b后,試件的某一局部的軸向尺寸開始顯著增加,同時(shí)伴隨著該局部小段橫截面面積的顯著減小,稱為縮頸現(xiàn)象,根據(jù)拉斷后的有關(guān)尺寸定義以下兩個(gè)性能參數(shù): A為試件原始橫截面面積；A1為試件拉斷后斷口處的橫截面面積。 l為試件原始標(biāo)距; l 1為試件拉斷后原標(biāo)距線間的距離; l1-l為試件拉伸引起的軸向塑性變形

18、。 斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率是表征材料塑性的兩個(gè)性能指標(biāo)。 一般把斷后伸長(zhǎng)率5%的材料稱為塑性材料,如低碳鋼、銅、鋁等；把斷后伸長(zhǎng)率5%的材料稱為脆性材料,如鑄鐵等。低碳鋼的拉伸試驗(yàn)小結(jié)： 拉伸過(guò)程經(jīng)歷4個(gè)階段：彈性、屈服、強(qiáng)化和頸縮，然后拉斷。 通過(guò)-曲線獲得6個(gè)性能參數(shù)：p、e、s、b、和。 二、其他某些材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能 圖3-11 幾種塑性材料拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線 1. 幾種沒(méi)有屈服階段的塑性材料 2. 灰鑄鐵 灰鑄鐵的-曲線上沒(méi)有明顯的直線部分,但在應(yīng)力較小時(shí),可認(rèn)為灰鑄鐵近似地服從胡克定律。 定義：條件屈服強(qiáng)度0.2作為無(wú)屈服現(xiàn)象材料的強(qiáng)度指標(biāo)。 0.2是加載卸載后能殘留0.2%塑

19、性變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值， 曲線上沒(méi)有屈服階段和縮頸階段，灰鑄鐵試件拉伸中變形很小，會(huì)突然斷裂，屬于脆性材料。圖3-12 灰鑄鐵拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線 三、低碳鋼、灰鑄鐵壓縮時(shí)的力學(xué)性能 圖3-13 壓縮試驗(yàn)試件和應(yīng)力應(yīng)變曲線 a）壓縮試件 b）低碳鋼 c）灰鑄鐵 1. 低碳鋼 低碳鋼壓縮時(shí)p、e和E 都和拉伸時(shí)相同。但壓縮時(shí)不存在強(qiáng)度極限b。 2. 灰鑄鐵 灰鑄鐵壓縮破壞是沿約45的斜截面斷裂。 灰鑄鐵的抗壓強(qiáng)度bc灰鑄鐵價(jià)廉，吸震，耐摩，易澆鑄成型，是制作較大型產(chǎn)品底座的常用材料。 表32 幾種常用材料的力學(xué)性能比抗拉強(qiáng)度b高得多，約34倍，灰鑄鐵耐壓，宜做承壓件。 材料名稱、牌號(hào)屈服強(qiáng)度s/M

20、Pa強(qiáng)度極限/MPa(抗拉、抗壓)斷后伸長(zhǎng)率(%)應(yīng) 用 舉 例Q235(碳素結(jié)構(gòu)鋼)23537546026拉桿、螺釘、軸、支架45(優(yōu)質(zhì)碳素鋼)35560016傳動(dòng)軸、齒輪、銷、鍵65Mn(合金彈簧鋼)7859808各種較大尺寸的彈簧件灰鑄鐵拉147372壓6401300軸承蓋、底座、支架、機(jī)殼、泵體H68(黃銅棒材)3001545導(dǎo)管、外殼、彈殼、墊片3A21(LF21鋁合金板材)25541010油箱、油管、液體容器天然橡膠1729650900輪胎、膠帶、膠管、膠鞋杉木(順紋)拉79,壓36一般輕質(zhì)木制品與構(gòu)件硬聚氯乙烯(PVC)拉4550壓569130燈頭、插座、開關(guān)、裝飾板聚丙烯(PP

21、)拉3039壓3956200耐腐蝕件、受熱絕緣件耐熱ABS拉5356,壓70108116轎車車身、齒輪、軸承尼龍1010拉7478,壓79100250輕載、耐磨、低噪聲傳動(dòng)件尼龍6拉7478,壓90130輕載、濕差大、無(wú)潤(rùn)滑零件表3-2幾種常用材料的力學(xué)性能(常溫、靜載) 數(shù)量概念：對(duì)比鋼材， H68黃銅、杉木、PVC、ABS、尼龍6等材料性能差別如何？ 第四節(jié) 拉壓桿的強(qiáng)度一、許用應(yīng)力與安全系數(shù)1. 兩類材料的極限應(yīng)力 構(gòu)件喪失工作能力叫失效。 引起構(gòu)件失效的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力，用j表示。 2. 許用應(yīng)力與安全系數(shù)構(gòu)件在工作時(shí)允許產(chǎn)生的最大應(yīng)力，稱為許用應(yīng)力，用 表示。 由j除以大于1的系數(shù)n

22、得到，系數(shù)n稱為安全系數(shù)。 塑性材料 式中，ns是對(duì)應(yīng)于塑性材料的安全系數(shù)，一般取 ns1.41.8。 脆性材料 式中，nb是對(duì)應(yīng)于脆性材料的安全系數(shù)，一般取 nb2.03.5。 構(gòu)件失效危及人身安全或引起其他嚴(yán)重后果時(shí)，ns或nb的取值需適當(dāng)加大。 安全系數(shù)涉及諸多因素，較為復(fù)雜。 力學(xué)計(jì)算是分析該問(wèn)題的基礎(chǔ)。 塑性材料破壞前會(huì)產(chǎn)生較大塑性變形，變形過(guò)大會(huì)導(dǎo)至構(gòu)件失效。所以，塑性材料構(gòu)件的極限應(yīng)力是它的屈服強(qiáng)度s(或0.2)。 脆性材料發(fā)生破壞前變形很小，因此,脆性材料的極限應(yīng)力是它的抗拉(抗壓)強(qiáng)度b(bc)。二、拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算 （3-7） 式（3-7）稱為桿件在軸向拉伸或壓縮時(shí)的強(qiáng)度條

23、件。 式中，N為危險(xiǎn)截面上的軸力值，A為危險(xiǎn)截面的面積。 強(qiáng)度計(jì)算有以下三類問(wèn)題：強(qiáng)度校核 已知桿件尺寸、載荷和材料許用應(yīng)力，校核是否滿足強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)截面尺寸 已知載荷、材料的，確定桿件的橫截面面積（3-8） 計(jì)算許可載荷 已知桿件尺寸、材料的 ，確定軸力和許可載荷（3-9） 為保證受軸向拉伸或壓縮的桿件在工作中有足夠的強(qiáng)度,應(yīng)該使桿件橫截面上的工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力,即 危險(xiǎn)截面指構(gòu)件上產(chǎn)生最大工作應(yīng)力的截面。進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算,首先要確定危險(xiǎn)截面。危險(xiǎn)截面滿足了強(qiáng)度條件,整個(gè)桿件就安全了。（3-7） 圖3-14 例3-3圖 例3-3 兒童秋千座位由4根尼龍繩吊掛,如圖3-14所示。尼龍繩直

24、徑d=8mm,充分考慮人身安全的重要性,及露天使用尼龍繩的磨損、老化、4根繩子受力不均勻等多種不利因素后,取尼龍的許用應(yīng)力=8MPa;還難免會(huì)有大孩子來(lái)使勁蕩玩,也要顧及他們的安全,秋千的吊掛重量設(shè)定為G=900N。試校核尼龍繩的強(qiáng)度。解 尼龍繩橫截面上的軸力N等于每根尼龍繩的載荷： 尼龍繩橫截面面積為A，橫截面上的工作應(yīng)力為對(duì)比可知，因此結(jié)論為：尼龍繩的強(qiáng)度足夠。 圖3-15 例3-4圖 例3-4 氣動(dòng)夾具如圖3-15a所示,已知?dú)飧變?nèi)徑D=140mm,缸內(nèi)氣壓p=0.6MPa,活塞桿材料為20鋼,材料許用應(yīng)力=80MPa,試設(shè)計(jì)活塞桿的直徑d。根據(jù)式（3-8）計(jì)算活塞桿橫截面面積A解 氣缸

25、內(nèi)的氣體壓力使活塞桿受軸向拉伸構(gòu)件,如圖3-15a、b所示。拉力值F可由氣壓p及活塞面積A求得,此拉力也就是活塞桿內(nèi)的軸力N。活塞桿橫截面積遠(yuǎn)小于活塞面積,略去不計(jì)?；钊麠U的直徑d 一點(diǎn)說(shuō)明 得到“d12.1mm”結(jié)果，計(jì)算已經(jīng)結(jié)束。但實(shí)際“設(shè)計(jì)”時(shí)要把算得的結(jié)果“圓整化” ：取一個(gè)與計(jì)算結(jié)果接近的“圓整值”或“標(biāo)準(zhǔn)值”作為應(yīng)用值。 此題可取d =12mm.圖3-16 例3-5圖 例3-5一鋼木結(jié)構(gòu)支架如圖3-16a所示。AB為木桿,橫截面面積AAB=10103mm2,許用應(yīng)力 AB=7MPa;BC為鋼桿,橫截面積ABC=600mm2,許用應(yīng)力BC=160MPa。試求端點(diǎn)B可吊起的最大許可載荷

26、Q。解 求兩個(gè)許可載荷QAB和QBC，取小者。計(jì)算AB、BC兩桿的軸力NAB、NBC AB、BC都是二力桿，受的外力等于兩桿的軸力NAB和NBC 根據(jù)式（3-9），計(jì)算兩桿的許可載荷因 QABQBC，取其中較小者，結(jié)構(gòu)的許可載荷為40.5kN。第五節(jié) 剪切和擠壓強(qiáng)度一、抗剪強(qiáng)度與切應(yīng)變 1.剪切的實(shí)例與概念 圖3-17 受剪切的鉚釘 剪切變形的受力特點(diǎn)是：作用在構(gòu)件兩側(cè)面上外力的合力大小相等、方向相反、作用線平行且相距很近。 一個(gè)鉚釘聯(lián)接兩塊鋼板。在左右兩側(cè)作用有外力F，通過(guò)鋼板孔的半側(cè)作用在鉚釘兩邊半側(cè)面上，使鉚釘mn截面的上、下兩部分有分別向左、向右移動(dòng)而互相錯(cuò)動(dòng)的趨勢(shì)。外力足夠大時(shí)，將使

27、鉚釘沿mn截面被剪斷。這就是剪切。圖3-18 其他的剪切實(shí)例 a）輪與軸間的鍵 b）沖剪鋼板 剪切變形是常見(jiàn)變形形式之一。2. 抗剪強(qiáng)度的計(jì)算 圖3-17c中剪切面m-n上的作用力Q即剪切變形的內(nèi)力，稱為剪切力或剪力。 由平衡條件知，剪力大小Q等于作用在鉚釘側(cè)面之力的合力F，方向則相反， 剪力對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為切應(yīng)力，以希臘字母“”表示。 切應(yīng)力的單位為帕（Pa）或兆帕（MPa）。 實(shí)用中通常假設(shè)切應(yīng)力在剪切面上是均勻分布的，于是有： （3-10） 式中 A為剪切面的面積?？辜魪?qiáng)度條件為 （3-11） 式中 為許用切應(yīng)力 一般有 塑性材料 （0.60.8）， 脆性材料 （0.81.0）。 圖3-1

28、7 受剪切的鉚釘 3. 切應(yīng)變和剪切虎克定律 圖3-19 切應(yīng)變的概念 剪切變形時(shí)，剪切面附近截面間發(fā)生錯(cuò)動(dòng)。歪斜角度用“”表示，稱為切應(yīng)變或角應(yīng)變，用弧度（rad）來(lái)度量。 剪切虎克定律 切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限p時(shí)，切應(yīng)變與切應(yīng)力成正比。G （3-12） 式中 G稱為材料的切變模量，是表證材料抵抗剪切變形能力的指標(biāo)。線應(yīng)變和切應(yīng)變是度量材料變形的兩個(gè)基本參量。 各種材料的剪切彈性模量G值能在手冊(cè)中查得，鋼材的 G80GPa。 二、擠壓強(qiáng)度的計(jì)算 1. 擠壓的概念與實(shí)例圖3-20 擠壓的例子 擠壓與桿件軸向壓縮在力學(xué)概念上是不同的。壓縮是桿件整體受力形式，擠壓應(yīng)力只存在于擠壓表面及其鄰

29、近區(qū)域的材料內(nèi)。 當(dāng)兩物體接觸而傳遞壓力時(shí),接觸面間形成互相擠壓。如果在不大的接觸面間存在著較大的壓力,因局部區(qū)域產(chǎn)生顯著的塑性變形,使局部接觸面被壓陷、壓塌,直至壓碎,這種現(xiàn)象稱為擠壓破壞,與之相應(yīng)的受力形式則稱為擠壓。2. 擠壓強(qiáng)度的計(jì)算 單位面積上的擠壓力稱為擠壓應(yīng)力，以jy表示。 通常以擠壓面上的平均擠壓應(yīng)力jy為計(jì)算依據(jù)，即（3-13） 式中 Pjy為擠壓面上的擠壓力，由外載荷求得。Ajy稱為擠壓計(jì)算面積，分兩種情況作不同處理： 1）擠壓接觸面為平面時(shí)，按實(shí)際接觸面積計(jì)算。 2）擠壓接觸面為半圓柱面時(shí)，以半圓柱面的投影面積計(jì)算。例如圓柱面的高度為t，直徑為d，則取 Ajydt， 圖3

30、-21 擠壓面面積的計(jì)算 擠壓強(qiáng)度條件為 （3-14） 式中 jy為材料的許用擠壓應(yīng)力。jy與壓縮許用應(yīng)力的關(guān)系是：塑性材料 jy（1.52.5）， 脆性材料 jy（0.91.5）。 圖3-22 例3-6圖 例3-6 厚度t=4mm的鋼板,抗剪強(qiáng)度 b=300MPa,現(xiàn)欲用沖床將鋼板沖出直徑d=25mm的孔 。求所需的沖剪力F。解 剪切面面積 需要的沖剪力 圖3-23 例3-7圖 例3-7懸掛式公共垃圾箱由兩側(cè)的金屬銷軸支承,如圖3-23a所示。垃圾箱滿載時(shí)因動(dòng)蕩而達(dá)到的重力常達(dá)G=400N。箱體材料為某種塑料板殼,厚度t=3mm,jy=8MPa。原設(shè)計(jì)的銷軸直徑d=5mm,使用后塑料箱體上的

31、銷軸孔逐漸擴(kuò)展變形成橢圓形,如圖3-23b所示。試解釋此現(xiàn)象,并重新設(shè)計(jì)銷軸直徑d1。解 判斷銷孔的擠壓強(qiáng)度夠否，驗(yàn)算如下。 每銷孔的擠壓力 PjyG/2400/2200N 擠壓面積 Ajydt510-3310-31510-6m2擠壓應(yīng)力 jy13.3MPa jy 8MPa，箱孔處材料的擠壓強(qiáng)度確實(shí)不夠。 將箱孔直徑加大到d1，令該處受擠壓面積Ajy1滿足條件： 即 實(shí)際可取圓整值 d110mm。 圖3-24 例3-8圖 例3-8 木榫頭t8mm，h18mm，b14mm，預(yù)設(shè)受力F450N， 3MPa， jy6MPa。校核剪切與擠壓強(qiáng)度，如需調(diào)整尺寸，提出簡(jiǎn)單方案。 解 1) 校核剪切強(qiáng)度與擠

32、壓強(qiáng)度剪切強(qiáng)度 剪切力Q等于預(yù)設(shè)載荷F ： QF， 剪切面面積A： Ath， 切應(yīng)力 對(duì)比： 3.13MPa3MPa，可見(jiàn)榫頭剪切強(qiáng)度不夠。 擠壓強(qiáng)度 擠壓力Fjy等于預(yù)設(shè)載荷F ： FjyF，擠壓面面積Ajy： Ajytb， 擠壓應(yīng)力 對(duì)比：jy4.02MPajy6MPa，可見(jiàn)榫頭的擠壓強(qiáng)度夠。 圖3-24 例3-8圖 例3-8 木榫頭t8mm，h18mm，b14mm，預(yù)設(shè)受力F450N， 3MPa， jy6MPa。校核剪切與擠壓強(qiáng)度，如需調(diào)整尺寸，提出簡(jiǎn)單方案。 解 2) 調(diào)整尺寸。 因擠壓強(qiáng)度不成問(wèn)題,只加大榫頭的高度增加剪切面面積即可。現(xiàn)將榫頭由原高度h=18mm調(diào)整為h1=22mm,

33、驗(yàn)算其切應(yīng)力 1. 對(duì)比：12.56MPa3MPa，可見(jiàn)榫頭增高后可滿足剪切強(qiáng)度要求。 第六節(jié) 圓軸抗扭強(qiáng)度 一.扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例圖3-25 扭轉(zhuǎn)的概念 扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)是：在與桿件軸線垂直的平面內(nèi)，受到一對(duì)大小相等、方向相反的力偶作用。 扭轉(zhuǎn)變形的特點(diǎn)是：各橫截面繞桿件軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。 桿件兩橫截面相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的角度稱為扭轉(zhuǎn)角，用“”表示。 圖3-26 扭轉(zhuǎn)的實(shí)例 二、圓軸扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力扭矩圖3-27 用截面法求扭轉(zhuǎn)內(nèi)力扭矩 設(shè)輪B上作用著主動(dòng)力偶MB6kNm，三從動(dòng)輪上的阻力偶矩為MA3kNm，MC2kNm，MD1kNm，用截面法求-截面的內(nèi)力。 假想將軸沿-截開，棄右段，留左段研究。 該段受

34、外力偶MA、MB的作用，能與它們平衡的只能是力偶，即-截面上的內(nèi)力必為力偶。 可見(jiàn)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力是（作用面與軸線垂直的）力偶，稱為扭矩，用T表示。 求扭矩T2： 得到 T2MAMB（63）kNm3 kNm （1） 如取右段研究： 得到 T2MCMD（2+1）kNm 3 kNm （2） 可見(jiàn)：對(duì)同一截面的內(nèi)力，無(wú)論取哪一段來(lái)研究，算得的結(jié)果相同。 結(jié)論：任一截面上的扭矩，在數(shù)值上等于該截面任意一側(cè)軸上所有外力偶矩的代數(shù)和。圖3-28 例3-9圖 例3-9 主動(dòng)輪A輸入功率PA40kW，三輪輸出功率為PB18kW，PCPD11kW，軸轉(zhuǎn)速n200rpm。有a、b兩種主、從動(dòng)輪布置形式，

35、求傳動(dòng)軸各段的扭矩；對(duì)比傳動(dòng)軸扭矩大小，指出合理的布置形式。解 求作用于傳動(dòng)軸上的外力偶矩 由式（2-37） 傳動(dòng)軸各段中的扭矩值 對(duì)布置形式a ，由圖c得 TABMA1910 Nm， 圖d TBCMAMB（1910860）1050 Nm， 由圖e TCDMD525Nm。 對(duì)布置形式b，同樣可直接寫出各段的扭矩： TAB860 Nm， TBC1050 Nm， TCD525 Nm。 對(duì)比兩種布置形式 圖a布置最大扭矩TAB1910 Nm，圖b布置最大扭矩TBC1050 Nm。說(shuō)明圖b的布置形式更合理。 可見(jiàn) ，主動(dòng)輪置于幾個(gè)從動(dòng)輪的中間位置，是合理的布置形式。 【討論 注意表示內(nèi)力的專用符號(hào)】

36、有的力偶用M表示，如MA、MB、MD等；而有的卻用T表示，如TAB、TBC、TCD等。若問(wèn)：“都是力偶，省點(diǎn)事，統(tǒng)一用一種符號(hào)行嗎？”或：“都是力偶，用M的改用T，或用T的改用M，行嗎？” 回答是：不行! 為什么？因?yàn)椤癕”和“T”表示了概念上有根本區(qū)別的兩種力偶：“M”表示作用于構(gòu)件的外力偶，常稱為旋轉(zhuǎn)力矩或轉(zhuǎn)矩；而“T”表示構(gòu)件截面上的“內(nèi)力”，扭轉(zhuǎn)變形下的內(nèi)力特稱為“扭矩”。材料力學(xué)中對(duì)于幾種不同變形形式的內(nèi)力都規(guī)定了專用名稱和專用符號(hào)，避免與外力混淆，以利于概念的廓清。 此問(wèn)題在軸向拉壓變形和剪切變形中早已存在。例如都是沿桿件軸線方向的力，凡外力就用符號(hào)“F”表示，而內(nèi)力（軸力）必用符

37、號(hào)“N”表示等。 到本節(jié)為止，已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)力種類及其專用符號(hào)如下： 變形形式 軸向拉壓 剪切 扭轉(zhuǎn)內(nèi)力名稱及符號(hào) 軸力 N 剪切力 Q 扭矩 T應(yīng)力種類及符號(hào) 正應(yīng)力 切應(yīng)力 切應(yīng)力 三、圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力1.橫截面上的應(yīng)力及其分布 圖3-29 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變和應(yīng)力 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上應(yīng)力及其分布，應(yīng)據(jù)變形情況推斷：軸向正應(yīng)變0，可知不存在正應(yīng)力。因橫截面以繞軸旋轉(zhuǎn)形式互相錯(cuò)動(dòng)，發(fā)生了切應(yīng)變，所以圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力是切應(yīng)力。 變形中橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)到軸心的距離成正比：。根據(jù)剪切虎克定律G可得結(jié)論：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離成正比：即。 切應(yīng)力的方向與半

38、徑垂直，這是該點(diǎn)材料發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的方向。 2.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力（3-15） 式中 為橫截面上離圓心距離為的點(diǎn)的切應(yīng)力值， 極慣性矩I是一個(gè)與截面的尺寸和形狀有關(guān)的幾何量，表證截面的抗扭能力。 I的單位是m4、cm4或mm4。3. 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大切應(yīng)力max 圓軸半徑為R，在圓軸表面即R 處，切應(yīng)力最大,以max表示，則 式中的I和R都取決于截面幾何尺寸，把兩者合成為一個(gè)量，令（3-16） Wn稱為抗扭截面模量(又稱抗扭截面系數(shù))，直接表證截面的抗扭強(qiáng)度。 Wn的單位是m3、cm3或mm3。 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的最大切應(yīng)力：（3-17） 2.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力（3

39、-15） 式中 為橫截面上離圓心距離為的點(diǎn)的切應(yīng)力值，T為該橫截面上的扭矩值， I稱為橫截面對(duì)圓心的極慣性矩。 式（3-15）和式（3-17）只適用于實(shí)心圓軸和圓管彈性變形范圍內(nèi)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力計(jì)算。不適用于非圓截面桿件的扭轉(zhuǎn)。 4. 實(shí)心、空心圓截面的極慣性矩I和抗扭截面模量Wn直徑為D的圓截面 極慣性矩 （3-18）抗扭截面模量 （3-19） 外徑為D、內(nèi)徑為d的圓環(huán)形截面 極慣性矩 （3-20） 抗扭截面模量 （3-21） 式中 為圓環(huán)截面內(nèi)徑與外徑的比值 ： d/D。四、圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件 （3-22） 式中 T為危險(xiǎn)截面上的扭矩， Wn為危險(xiǎn)截面的抗扭截面模量 為許用切應(yīng)力

40、 。 已知外載荷和許用切應(yīng)力，設(shè)計(jì)圓軸直徑D或圓管外徑D和內(nèi)徑d的公式： 實(shí)心圓軸直徑D （3-23） 空心圓軸外徑D （3-24） 許用切應(yīng)力 由材料試驗(yàn)數(shù)據(jù)并考慮安全系數(shù)后加以確定。有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)中載有的參考數(shù)據(jù)。 在靜載作用下,與材料的拉伸許用應(yīng)力有如下關(guān)系可供參考: 塑性材料=(0.50.6) 脆性材料=(0.81.0)圖3-31 例3-10圖 例3-10 某載貨汽車轉(zhuǎn)向盤的直徑D=520mm,預(yù)設(shè)駕駛員每只手加在轉(zhuǎn)向盤上的最大切向力F=40N,如圖3-31所示。轉(zhuǎn)向盤下的轉(zhuǎn)向軸為空心圓管,外徑32mm,內(nèi)徑24mm,試求轉(zhuǎn)向軸內(nèi)的最大切應(yīng)力max。解 本題轉(zhuǎn)向軸橫截面上的扭矩T就等于外

41、力偶矩M： TMFD40N0.52m20.8Nm空心圓管的抗扭截面模量 最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力 圖3-32 例3-11圖 例3-11 傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)速n=500r/min，主動(dòng)輪的輸入功率P=3kW,從動(dòng)輪、 的輸出功率分別為P=2kW，P=1kW,如圖3-32所示。已知軸的材料=30MPa,此軸為等截面圓軸,試確定軸的直徑D。解 求危險(xiǎn)截面上的扭矩T判斷-段軸的橫截面是危險(xiǎn)截面，其扭矩值T根據(jù)強(qiáng)度條件確定受扭圓軸的直徑D由式（3-23） 圖3-33 例3-12圖 例3-12汽車的傳動(dòng)軸AB由45鋼無(wú)縫鋼管制成,外徑D=90mm,壁厚t=2.5mm,如圖3-33a、b所示。該軸傳遞的最大轉(zhuǎn)矩M=1.5kNm

42、,材料的許用切應(yīng)力=60MPa。解 校核傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度 橫截面上最大扭矩T等于它傳遞的最大轉(zhuǎn)矩M，即 TM1.5kNm， 該軸內(nèi)、外徑之比 可得 對(duì)比：max，可見(jiàn)傳動(dòng)軸AB滿足扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度要求。1)校核該傳動(dòng)軸的抗扭強(qiáng)度。2)若改用相同材料的實(shí)心圓軸,要求和原鋼管傳動(dòng)軸有同等的抗扭強(qiáng)度,計(jì)算其直徑DS。3)比較空心軸和實(shí)心軸的重量。圖3-33 例3-12圖 例3-12汽車的傳動(dòng)軸AB由45鋼無(wú)縫鋼管制成,外徑D=90mm,壁厚t=2.5mm,如圖3-33a、b所示。該軸傳遞的最大轉(zhuǎn)矩M=1.5kNm,材料的許用切應(yīng)力=60MPa。解1)校核該傳動(dòng)軸的抗扭強(qiáng)度。2)若改用相同材料的實(shí)心圓軸,要求

43、和原鋼管傳動(dòng)軸有同等的抗扭強(qiáng)度,計(jì)算其直徑DS。3)比較空心軸和實(shí)心軸的重量。計(jì)算同等抗扭強(qiáng)度的實(shí)心圓軸直徑DS 要求實(shí)心圓軸橫截面的抗扭截面模量WnS和原圓管截面的Mn相等，即 得到 空心軸重量G和實(shí)心軸重量GS的對(duì)比 兩軸的材料和長(zhǎng)度相同，兩者重量之比等于它們的橫截面面積之比：五、空心傳動(dòng)軸的合理性 圖3-34 空心圓軸受扭的合理性 在例3-12中，采用同等抗扭強(qiáng)度的空心管，重量降到實(shí)心軸的31%，可有效節(jié)省材料，減輕自重，因此汽車、鉆機(jī)等產(chǎn)品中一般都采用空心傳動(dòng)軸。 空心軸受扭在力學(xué)上的合理性：扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力沿截面半徑呈“線性分布”，軸心附近的切應(yīng)力非常小，材料遠(yuǎn)不能發(fā)揮其應(yīng)有效能；而空心圓

44、管，材料處在離軸心較遠(yuǎn)的部位，材料得以充分發(fā)揮其效能。 但圓管壁厚不能過(guò)薄，那樣受扭時(shí)會(huì)產(chǎn)生皺折（“失穩(wěn)” ）而失效。 另外，開口圓管的抗扭能力比閉口圓管低很多。 第七節(jié) 梁的彎曲強(qiáng)度（一） 一、彎曲的概念與梁的基本形式 1. 彎曲的實(shí)例和概念 圖3-35 彎曲的實(shí)例 彎曲變形的受力特點(diǎn)：在通過(guò)桿軸線的平面內(nèi)，受到垂直于軸線的外力（橫向力）、或力偶的作用；使桿件的軸線發(fā)生變化。 梁： 只發(fā)生彎曲變形或以彎曲變形為主的構(gòu)件稱為梁 圖3-36 平面彎曲的概念 平面彎曲 作用在梁上的外力和力偶都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，變形后梁的軸線將是該平面內(nèi)的一條曲線，這種彎曲變形形式稱為平面彎曲。 梁的橫截面往往具有對(duì)

45、稱軸，對(duì)稱軸y與梁的軸線x構(gòu)成縱向?qū)ΨQ平面2. 梁的基本形式 根據(jù)約束的主要力學(xué)特性，將梁歸納為三種基本類型。 圖3-37 梁的基本形式及其實(shí)例 簡(jiǎn)支梁 一端可簡(jiǎn)化為固定鉸支座，另一端可簡(jiǎn)化為活動(dòng)鉸支座的梁 外伸梁 簡(jiǎn)支梁有一端或兩端伸出支座之外者 懸臂梁 一端為固定端、另一端自由的梁 為了分析研究的簡(jiǎn)便,常以梁的一條軸線來(lái)代表梁,以簡(jiǎn)化了的支座圖標(biāo)代表實(shí)際支承結(jié)構(gòu),再畫上載荷,所得的示意圖形稱為梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖。梁的支座之間的距離稱為跨度。 計(jì)算簡(jiǎn)圖結(jié)構(gòu)圖二、梁的彎曲內(nèi)力分析強(qiáng)度問(wèn)題的3步驟：求內(nèi)力，求構(gòu)件內(nèi)最大應(yīng)力，強(qiáng)度計(jì)算。 1.彎曲內(nèi)力剪力Q和彎矩M圖3-38 梁的彎曲內(nèi)力剪力和彎矩 用截

46、面法分析簡(jiǎn)支梁的彎曲內(nèi)力。設(shè)截面1-1將梁截開，取左段研究。 A處力RA將驅(qū)使該段梁向上移動(dòng)。 因該段梁處于平衡狀態(tài)，可知1-1截面上必產(chǎn)生一與RA等值反向的力Q。 又RA和Q組成的力偶將驅(qū)使該段梁順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),可知1-1截面上必產(chǎn)生一等值反向力偶M維持該段梁的平衡。力Q與截面相切，稱為剪力。 力偶M使梁的軸線曲率發(fā)生變化，稱為彎矩。 結(jié)論：梁的彎曲內(nèi)力有與橫截面相切的剪力Q 和使梁的軸線曲率發(fā)生改變的彎矩M。若取梁的右段研究，得到剪力Q和彎矩M，它們是截開的左段對(duì)右段的作用。 2. 剪力Q和彎矩M的計(jì)算前面3種強(qiáng)度計(jì)算都以計(jì)算內(nèi)力為基礎(chǔ)，分析彎曲強(qiáng)度也要先計(jì)算其內(nèi)力。仍以圖3-38中的簡(jiǎn)支梁為

47、引例。先用求出支座反力RA和RB RAbF/L， RBaF/L。 再取圖3-38c中左段梁研究，計(jì)算彎曲內(nèi)力剪力Q和彎矩M由 得到 由 （1）得到 （2） 若取右段梁研究，同樣可得 （3） （4） 本引例說(shuō)明，計(jì)算彎曲內(nèi)力的步驟是： 由外載荷求支座反力； 用截面法，由載荷和支座反力，列平衡方程求剪力和彎矩。圖3-38 梁的彎曲內(nèi)力剪力和彎矩 從（1）（4）式可知：橫截面上剪力，等于其左段或右段梁上所有外力的代數(shù)和；橫截面上彎矩，等于其左段或右段梁上所有外力對(duì)該截面形心力矩的代數(shù)和。 3. 剪力與彎矩的正負(fù)規(guī)定圖3-39 剪力與彎矩的正負(fù)規(guī)定 剪力使分離體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。 彎矩使分離體

48、發(fā)生向下凸的變形為正；反之為負(fù)。關(guān)于彎曲內(nèi)力正負(fù)號(hào)的兩點(diǎn)說(shuō)明 對(duì)鋼材、塑料等塑性材料的梁，彎矩正負(fù)在物理上并無(wú)區(qū)別。這類梁的強(qiáng)度僅取決于彎矩的絕對(duì)值。因此，強(qiáng)度計(jì)算中所說(shuō)的“梁內(nèi)最大彎矩”，對(duì)塑性材料梁，俗成約定地指絕對(duì)值最大的彎矩，即但脆性材料的抗拉、壓強(qiáng)度不同，彎矩正負(fù)對(duì)梁強(qiáng)度的影響可能不同。 梁受有幾種外載荷時(shí)，用“疊加法”計(jì)算梁內(nèi)彎矩是較為簡(jiǎn)便的。即先分別計(jì)算出各單一載荷所產(chǎn)生的彎矩，然后求其代數(shù)和。由于是求代數(shù)和，同號(hào)彎矩累加，異號(hào)的彎矩互相消減。制定彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則，從實(shí)用說(shuō)主要為了要求代數(shù)和。 4. 彎矩圖 剪力值和彎矩值通常隨橫截面位置而變化，即Q和M是橫截面位置的函數(shù)。 以距

49、梁一端的距離x表示截面的位置，則剪力值Q是x的函數(shù)：QQ（x），這個(gè)關(guān)系式稱為剪力方程。相應(yīng)地，MM（x）則稱為彎矩方程。剪力圖 沿梁的軸線（橫坐標(biāo)）表示QQ（x）的圖像。彎矩圖 沿梁的軸線（橫坐標(biāo)）表示MM（x）的圖像 。 除跨度很小的情況以外，絕大多數(shù)的梁，彎矩是其強(qiáng)度、剛度的決定因素。 圖3-40 例3-13圖 例3-13 懸臂梁AB長(zhǎng)L，在自由端A受集中力F作用。求梁上任意截面的剪力和彎矩，畫彎矩圖。求梁內(nèi)的最大彎矩。解 求任意截面上的剪力、彎矩、畫彎矩圖建立坐標(biāo)系yAx，畫出懸臂梁AB的計(jì)算簡(jiǎn)圖。 假想離A端x的-截面處將梁截開，留左段研究。 列平衡方程（以截面形心C為矩心） ，求Q

50、和M： 得到任意截面上的剪力 QF。 得到任意截面上的彎矩 （1） 根據(jù)彎矩方程式（1）畫出彎矩圖。 彎矩M與x成正比，因此彎矩圖沿x軸是一條斜直線；整段梁為“向上凸”的變形，故彎矩為負(fù)值。 求梁內(nèi)的最大彎矩彎矩絕對(duì)值與x成正比，可見(jiàn)在xL、即梁的固定端B，有最大彎矩值： 關(guān)于繪制彎矩圖的兩點(diǎn)說(shuō)明按通行習(xí)慣，彎矩圖與梁的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖對(duì)齊，置于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖的下方。 應(yīng)在彎矩圖上標(biāo)出：最大彎矩值，彎矩圖轉(zhuǎn)折處的彎矩值，最大彎矩值及彎矩圖轉(zhuǎn)折處所在截面的位置。圖3-40 例3-13圖 圖3-41 例3-14圖 例3-14 鼓輪吊物的重力F作用于鼓輪軸AB。鼓輪軸可簡(jiǎn)化為圖3-41b所示的簡(jiǎn)支梁AB。試畫梁A

51、B的彎矩圖。解 計(jì)算梁的支座反力列彎矩方程 有集中力F作用，AC和 CB兩段梁的彎矩方程不同，需分列。 AC段 （1） CB段 （2） 畫彎矩圖 彎矩M1和M2分別是x1和x2的一次方程，圖形都是一條斜直線，只要確定兩個(gè)點(diǎn)就可畫出。兩條斜直線，即可分別畫出。 畫出全梁的彎矩圖，并在圖上C截面處標(biāo)明最大的彎矩值 MmaxabFl。 從例3-13和例3-14的彎矩圖可以看出：某一段梁上沒(méi)有載荷作用，則該段梁的彎矩圖是一條直線。集中力作用之處(如例3-14中的C點(diǎn)),彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折,且最大彎矩常發(fā)生在有集中力作用的某一截面上。圖3-42 例3-15圖 例3-15 火車輪軸可簡(jiǎn)化為兩端作用著等值力F的

52、外伸梁。試畫出火車輪軸的彎矩圖。解 畫計(jì)算簡(jiǎn)圖 （圖3-42b） 求出支座反力 RARBF 畫彎矩圖 沒(méi)有載荷作用的三段梁，彎矩圖是三條直線。A、B處有集中力，彎矩圖直線轉(zhuǎn)折?？芍灰愠鰩讉€(gè)特征截面的彎矩值，就能畫出梁的彎矩圖，可免除分段列彎矩方程。C 截面： x0， MC0A 截面： xa， MAFa B 截面： xal， MCF（a l ）RA l Fa D 截面： x2a l ， MD0 按比例作出這四個(gè)截面的彎矩值點(diǎn)，連成折線，即此外伸梁的彎矩圖。 圖3-43 例3-16圖 例3-16 簡(jiǎn)支梁上離A端距離為a的C點(diǎn)作用著集中力偶M,如圖3-43a所示。1)畫彎矩圖;2)分析梁上載荷與

53、彎矩圖之間的關(guān)系。下面兩個(gè)例題,作彎矩圖的方法和前面三個(gè)例題是相同的,留給讀者自行練習(xí)。僅就梁上載荷與彎矩圖之間的關(guān)系,加以介紹說(shuō)明。說(shuō)明1)彎矩圖如圖3-43b所示。梁內(nèi)最大彎矩出現(xiàn)在集中力偶M作用處的C截面。最大彎矩為:Mmax=Ma/ l 。2)梁上載荷與彎矩圖的關(guān)系 AC段和CB段上沒(méi)有載荷,因此這兩段梁的彎矩圖是直線。 集中力偶M作用處彎矩值有突變,變化量就等于此處作用的集中力偶值M。注意:集中力偶的作用點(diǎn)彎矩值有突變。圖3-44 例3-17圖 例3-17簡(jiǎn)支梁上作用著集度為q的均布載荷,梁的跨度為l,如圖3-44a所示。1)畫彎矩圖；2)分析梁上載荷與彎矩圖之間的關(guān)系。分析 最大彎

54、矩在梁的正中截面，其值為Mmaxq l 2/8。 梁上載荷與彎矩圖的關(guān)系 梁上某段有均布載荷,該段梁的彎矩圖為二次拋物線,有了特征截面的彎矩值,即可把此拋物線的形狀大致畫出。 此梁的結(jié)構(gòu)和載荷情況對(duì)于正中截面對(duì)稱,因此彎矩圖也對(duì)于正中截面對(duì)稱。5. 用疊加法畫復(fù)雜載荷下梁的彎矩圖 若載荷比較復(fù)雜,畫彎矩圖及計(jì)算梁內(nèi)的最大彎矩可能比較麻煩。 所謂復(fù)雜載荷,往往是幾種常見(jiàn)載荷的同時(shí)作用。只要梁內(nèi)的最大應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限,就可以用疊加法畫出復(fù)雜載荷下的彎矩圖。圖3-45 例3-18圖 所謂“疊加法”,是把各個(gè)簡(jiǎn)單載荷的彎矩圖分別畫出,然后疊加,得到復(fù)雜載荷的彎矩圖。而各種典型單一載荷的彎矩圖,

55、可在設(shè)計(jì)手冊(cè)中直接查到。這樣,用“查表然后疊加”即可解決問(wèn)題,在實(shí)用中是很方便的。圖3-45 例3-18圖 例3-18 畫簡(jiǎn)支梁AB的彎矩圖。 解 梁受兩種簡(jiǎn)單載荷作用，用疊加法解很方便。 簡(jiǎn)支梁受一集中力作用，彎矩圖見(jiàn)圖3-41e； 簡(jiǎn)支梁受均布載荷作用，彎矩圖見(jiàn)圖3-44b。因此，若梁內(nèi)最大應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限，兩種載荷作用的彎矩圖可直接疊加而成，如圖。 疊加所得彎矩圖中，最大彎矩出現(xiàn)的截面，必是各單一載荷彎矩圖上最大彎矩所在截面之一?；ハ嘀g，需要計(jì)算對(duì)比確定最大者。 第八節(jié) 梁的彎曲強(qiáng)度（二） 一、梁的彎曲應(yīng)力 知道了梁的彎曲內(nèi)力以后,還需研究橫截面上的應(yīng)力及其分布規(guī)律,進(jìn)而由內(nèi)力

56、確定橫截面上的最大應(yīng)力,才能建立梁的強(qiáng)度條件,進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。 梁橫截面上的內(nèi)力通常既有彎矩又有剪力,但是,除了梁的跨度很小外,一般地,梁的強(qiáng)度主要取決于橫截面上的彎矩。 如果某段梁的橫截面上只有彎矩沒(méi)有剪力,則這段梁的受力狀態(tài)稱為純彎曲。純彎曲梁的所有截面上彎矩為常量。例如例3-15中的火車輪軸,從圖3-42c所示的彎矩圖可知,其中AB這段梁所有橫截面上的彎矩為常量,因此其受力狀態(tài)就是純彎曲。下面討論純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律,所得到的彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式,對(duì)于橫截面上有剪力存在的一般情況,也能夠適用。圖3-46 梁的純彎曲變形 1、純彎曲橫截面上的應(yīng)力及其分布研究方法 觀察研究變形應(yīng)變的

57、分布規(guī)律胡克定律應(yīng)力分布規(guī)律 觀察圖3-46所示變形情況，看出： 橫向線變形后仍為直線且仍與縱向線垂直，但發(fā)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。即原來(lái)nnqq,變形后nn與qq形成一定角度。 縱向線變成弧線,凹邊的線段aa比原先的aa縮短,凸邊的線段bb比原先的bb伸長(zhǎng)。 還可知：梁變形后橫截面仍為平面，仍垂直梁軸線。 凹邊縮短、凸邊伸長(zhǎng)，中部有一層既沒(méi)縮短也沒(méi)伸長(zhǎng)，長(zhǎng)度保持不變，稱為中性層；中性層與橫截面的交線稱為中性軸 ,中性軸通過(guò)橫截面的形心。 中性層以上，離中性層越遠(yuǎn)，縮短得越多；中性層以下，離中性層越遠(yuǎn)，伸長(zhǎng)得越多。即材料的縱向應(yīng)變與到中性層的距離成正比，中性層以上線應(yīng)變?yōu)樨?fù)，中性層以下線應(yīng)變?yōu)檎?中性層

58、處線應(yīng)變?yōu)榱恪D3-47 彎曲變形的中性層 圖3-48 橫截面上彎曲正應(yīng)力的分布 根據(jù)胡克定律得出結(jié)論： 梁彎曲時(shí)橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)力值，與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比：y。中性軸處的應(yīng)力為零，梁的凹邊頂層壓應(yīng)力最大，凸邊底層拉應(yīng)力最大。2.橫截面上應(yīng)力與彎矩的關(guān)系 彎矩M是截面上正應(yīng)力的合力，兩者互為因果，即： 每一點(diǎn)的正應(yīng)力值都與彎矩M成正比：M ； 以中性軸為分界，一側(cè)為壓應(yīng)力，另一側(cè)為拉應(yīng)力，是拉是壓由彎矩的轉(zhuǎn)向決定。 3. 梁彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力（3-25） 式中 為橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力， y為所論點(diǎn)到中性軸的距離， M為橫截面上的彎矩， I z為橫截面對(duì)中性軸（z軸）的慣性矩

59、，與截面尺寸和形狀有關(guān)，表征截面的抗彎能力。I z的單位是m4、cm4或mm4。 4. 梁彎曲時(shí)的最大正應(yīng)力max 離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)與中性軸距離為ymax，此處正應(yīng)力為最大： （3-26） 把Iz和ymax合成為一個(gè)量 （3-27） Wz稱為抗彎截面模量（抗彎截面系數(shù)），Wz的單位是m3、cm3或mm3。 得到max的計(jì)算公式 （3-28） 對(duì)于跨度l與截面高度h之比（l/h）5的梁，即使橫截面上存在剪力，上兩個(gè)公式仍可適用 。 圖3-49 對(duì)中性軸不對(duì)稱的截面 若截面上、下最遠(yuǎn)點(diǎn)離中性軸的距離y1和y2不等，則對(duì)應(yīng)的Wz1和Wz2不相等，相應(yīng)的最大拉應(yīng)力拉max和最大壓應(yīng)力壓max 的絕對(duì)值

60、也不相等。5. 截面慣性矩和抗彎截面模量各種型材如角鋼、槽鋼、工字鋼等，它們的Iz和Wz能從手冊(cè)中查出。常見(jiàn)梁截面的慣性矩Iz和抗彎截面模量Wz的計(jì)算式列于表3-3中。 二、梁的彎曲強(qiáng)度計(jì)算 梁的內(nèi)力彎矩通常隨位置而變化。 對(duì)于等截面梁，彎矩最大的截面就是危險(xiǎn)截面。 若不是等截面、而是變截面梁，就需要綜合彎矩和抗彎截面模量?jī)蓚€(gè)因素，才能找到危險(xiǎn)點(diǎn)，算出危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力，再進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。 梁彎曲的強(qiáng)度條件 （3-29） 它就是全梁中的最大應(yīng)力max,稱為危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力,這個(gè)點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。運(yùn)用梁的抗彎強(qiáng)度條件式，同樣可以解決強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面尺寸、確定最大載荷三類強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題。 圖3-50 例3-19圖 例