蘇教版高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷(含答案解析)

1、啟東市高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷一、填空題（每題 5 分，共 70 分）若直線l 的斜率為1，則直線l 的傾斜角為一元二次不等式2x2x+60 的解集為一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為 30和 45，如果 45角所對(duì)的邊長為 8，那么 30角所對(duì)的邊長是給出下列條件：l；l 與 至少有一個(gè)公共點(diǎn)；l 與 至多有一個(gè)公共點(diǎn) 能確定直線l 在平面 外的條件的序號(hào)為已知直線l 過點(diǎn) P（2，3），且與兩條坐標(biāo)軸在第一象限所圍成的三角形的面積為12，則直線 l 的方程為在等比數(shù)列a 中，已知公比q= ，S =，則 a =n51在ABC 中，已知a=6，b=5，c=4，則ABC 的面積為已知正四棱錐的底面邊長是

2、2，側(cè)面積為 12，則該正四棱錐的體積為已知點(diǎn) P（x，y）在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則 的取值范圍為在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，直線l：（2k1）x+ky+1=0，則當(dāng)實(shí)數(shù) k 變化時(shí)，原點(diǎn)O 到直線 l 的距離的最大值為已知正三角形ABC 的邊長為 2，AM 是邊 BC 上的高，沿AM 將ABM 折起，使得二面角BAMC 的大小為 90，此時(shí)點(diǎn)M 到平面ABC 的距離為 12已知正實(shí)數(shù)m，n 滿足+=1，則 3m+2n 的最小值為已知直線l：2xy2=0 和直線l：x+2y1=0 關(guān)于直線l 對(duì)稱，則直線l 的斜率為正項(xiàng)數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 S ，滿足 a =21若對(duì)任意的正整

3、數(shù) p、q（pq），nnn不等式S +S kS 恒成立，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍為Pqp+q二、解答題設(shè)ABC 的內(nèi)角A，B，C 的對(duì)邊分別為a，b，c，且 bcosA=求角A 的大??；若a=1，求ABC 面積的最大值asinB如圖所示，在正三棱柱ABCA B C 中，點(diǎn)D 在邊BC 上，ADC D1 1 11求證：平面ADC 平面BCC B ；11 1如果點(diǎn)E 是 B C 的中點(diǎn)，求證：AE平面ADC 1 11三、解答題已知數(shù)列a 滿足a =a +2n（nN*，R），且 a =2nn+1n1若=1，求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式；n若=2，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列a 的前n 項(xiàng)和S nn18已知三條直

4、線l ：axy+a=0，l ：x+aya（a+1）=0，l ：（a+1）xy+a+1=0，a0123證明：這三條直線共有三個(gè)不同的交點(diǎn)；求這三條直線圍成的三角形的面積的最大值 19如圖是市兒童樂里一塊平行四邊形草地ABCD，樂管理處準(zhǔn)備過線段AB 上一點(diǎn)E 設(shè)計(jì)一條直線 EF（點(diǎn) F 在邊 BC 或 CD 上，不計(jì)路的寬度），將該草地分為面積之比為 2：1 的左、右兩部分，分別種植不同的花卉經(jīng)測量得AB=18m，BC=10m，ABC=120設(shè)EB=x， EF=y（單位：m）當(dāng)點(diǎn)F 與C 重合時(shí)，試確定點(diǎn)E 的位置；求y 關(guān)于x 的函數(shù)關(guān)系式；請(qǐng)確定點(diǎn)E、F 的位置，使直路EF 長度最短20已知

5、數(shù)列a 滿足對(duì)任意的nN*，都有a 3+a 3+a 3=（a +a +a ）2 且 a 0求a ，an的值；12n12nn12求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式；n若b =，記S =，如果S 對(duì)任意的nN*恒成立，求正整數(shù)m 的nnn最小值參考答案一、填空題（每題 5 分，共 70 分）1若直線l 的斜率為1，則直線l 的傾斜角為【考點(diǎn)】I2：直線的傾斜角【分析】設(shè)直線l 的傾斜角為，）可得 tan=1，解得【解答】解：設(shè)直線l 的傾斜角為，）tan=1，解得=故答案為：2一元二次不等式2x2x+60 的解集為 2， 【考點(diǎn)】74：一元二次不等式的解法【分析】把不等式化為（2x3）（x+2）0，求出解集即可

6、【解答】解：不等式2x2x+60 化為 2x2+x60， 即（2x3）（x+2）0，解得2x ，所以不等式的解集為2， 故答案為：2， 一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為 30和 45，如果 45角所對(duì)的邊長為 8，那么 30角所對(duì)的邊長是 4【考點(diǎn)】HP：正弦定理【分析】設(shè) 30角所對(duì)的邊長是x，由正弦定理可得，解方程求得x 的值【解答】解：設(shè) 30角所對(duì)的邊長是x，由正弦定理可得，解得 x=，故答案為給出下列條件：l；l 與 至少有一個(gè)公共點(diǎn)；l 與 至多有一個(gè)公共點(diǎn) 能確定直線l 在平面 外的條件的序號(hào)為 【考點(diǎn)】LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系的定義判定即可

7、【解答】解：直線l 在平面 外包含兩種情況：平行，相交 對(duì)于，l，能確定直線l 在平面 外，對(duì)于，l 與 至少有一個(gè)公共點(diǎn)，直線可能與平面相交，故不能確定直線 l 在平面 外， 對(duì)于，l 與 至多有一個(gè)公共點(diǎn)，直線可能與平面相交或平行，故能確定直線l 在平面 外，故答案為：已知直線l 過點(diǎn) P（2，3），且與兩條坐標(biāo)軸在第一象限所圍成的三角形的面積為12，則直線 l 的方程為 3x+2y12=0 【考點(diǎn)】IB：直線的點(diǎn)斜式方程【分析】寫出直線的截距式方程，根據(jù)要求條件參數(shù)的值，得到本題結(jié)論【解答】解：設(shè)l 在 x 軸、y 軸上的截距分別為a，b（a0，b0），則直線l 的方程為 + =1P（2

8、，3）在直線l 上， + =1又由 l 與兩條坐標(biāo)軸在第一象限所圍成的三角形面積為12， 可得 ab=24，a=4，b=6，直線l 的方程為 + =1，即 3x+2y12=0， 故答案為：3x+2y12=0在等比數(shù)列a 中，已知公比q= ，S =，則 a = 4 n51【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和【分析】利用等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式直接求解【解答】解：在等比數(shù)列a 中，公比q= ，S =，n5=，a =41故答案為：4在ABC 中，已知a=6，b=5，c=4，則ABC 的面積為【考點(diǎn)】HR：余弦定理；%H：三角形的面積公式【分析】由余弦定理算出cosA，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得sin

9、A，最后由正弦定理的面積公式，可得ABC 的面積【解答】解：ABC 中，a=6，b=5，c=4，由余弦定理，得cosA= ，A（0，），sinA=，由正弦定理的面積公式，得：ABC 的面積為S= bcsinA= 54=，故答案為：已知正四棱錐的底面邊長是 2，側(cè)面積為 12，則該正四棱錐的體積為【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【分析】由題意畫出圖形，求出正四棱錐的斜高，進(jìn)一步求出高，代入棱錐體積公式得答案【解答】解：如圖，PABCD 為正四棱錐，且底面邊長為 2， 過 P 作 PGBC 于 G，作 PO底面ABCD，垂足為O，連接OG由側(cè)面積為 12，即 4，即 PG=3 在 RtPOG

10、中，PO=正四棱錐的體積為V= 故答案為：已知點(diǎn) P（x，y）在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則 的取值范 圍 為 （1， ） 【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的陰影部分則 z= ，表示直線的斜率，再將點(diǎn) P 移動(dòng)，觀察傾斜角的變化即可得到 k 的最大、最小值，從而得到 的取值范圍【解答】解：設(shè)直線 3x2y+4=0 與直線 2xy2=0 交于點(diǎn)A，可得 A（8，14），不等式組表示的平面區(qū)域如圖：則 的幾何意義是可行域內(nèi)的P（x，y） 與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，由可行域可得k 的最大值為：k= ，k 的最小值k=1OA因此， 的取值范圍為（1， ） 故答

11、案為：（1， ）在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，直線l：（2k1）x+ky+1=0，則當(dāng)實(shí)數(shù) k 變化時(shí)，原點(diǎn)O 到直線 l 的距離的最大值為【考點(diǎn)】IT：點(diǎn)到直線的距離公式【分析】由于直線 l：（2k1）x+ky+1=0 經(jīng)過定點(diǎn) P（1，2），即可求出原點(diǎn) O 到直線 l的距離的最大值【解答】解：直線l：（2k1）x+ky+1=0 化為（1x）+k（2x+y）=0，聯(lián)立，解得，經(jīng)過定點(diǎn)P（1，2），由于直線l：（2k1）x+ky+1=0 經(jīng)過定點(diǎn)P（1，2），原點(diǎn)O 到直線l 的距離的最大值為故答案為：已知正三角形ABC 的邊長為 2，AM 是邊 BC 上的高，沿AM 將ABM 折起，使得二面

12、角BAMC 的大小為 90，此時(shí)點(diǎn)M 到平面ABC 的距離為【考點(diǎn)】MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【分析】以 M 為原點(diǎn)，MB，MC，MA 為 x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)M 到平面ABC 的距離【解答】解：正三角形ABC 的邊長為 2，AM 是邊BC 上的高， 沿 AM 將ABM 折起，使得二面角BAMC 的大小為 90，MA、MB、MC 三條直線兩兩垂直，AM=，BM=CM=1，以 M 為原點(diǎn)，MB，MC，MA 為 x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，），=（1，0，0），=（1

13、，0，），=（1，1，0），設(shè)平面ABC 的法向量 =（x，y，z），則，取x=，得 =（，1），點(diǎn) M 到平面ABC 的距離為：d=故答案為：已知正實(shí)數(shù)m，n 滿足+=1，則 3m+2n 的最小值為 3+【考點(diǎn)】7F：基本不等式【分析】根據(jù)題意，分析可得 3m+2n= （m+n）+ （mn），又由+=1，則有 3m+2n=（m+n）+ （mn）+=3+，利用基本不等式分析可得答案【解答】解：根據(jù)題意，3m+2n= （m+n）+ （mn），又由 m，n 滿足+=1，則有 3m+2n= （m+n）+ （mn）+=3+3+2=3+，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，等號(hào)成立，即 3m+2n 的最小值為 3+， 故答案

14、為：3+已知直線 l：2xy2=0 和直線l：x+2y1=0 關(guān)于直線l 對(duì)稱，則直線 l 的斜率為或 3 【考點(diǎn)】IQ：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程【分析】設(shè) P（a，b）是直線l 上任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P 到直線l：2xy2=0 和直線l：x+2y1=0 的距離相等，整理得a3b1=0 或 3a+b3=0，即可求解【解答】解：設(shè)P（a，b）是直線l 上任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P 到直線l：2xy2=0 和直線l：x+2y1=0 的距離相等整理得a3b1=0 或 3a+b3=0，直線l 的斜率為 或3 故答案為： 或3正項(xiàng)數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 S ，滿足 a =21若對(duì)任意的正整數(shù) p、q（pq

15、），nnn不等式S +S kS 恒成立，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍為Pqp+q【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式【分析】a =21，可得S =，n2 時(shí)，a =S S ，利用已知可得：a annnnn1nn=2利用等差數(shù)列的求和公式可得S ，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出1n【解答】解：a =2n1，S =，nn2 時(shí)，a =S S =，nnn1化為：（a +a ）（a a 2）=0，nn1nn1 nN*，a 0，na a =2nn1n=1 時(shí)，a =S =，解得a =1111數(shù)列a 是等差數(shù)列，首項(xiàng)為 1，公差為 2nS =n+=n2n不等式S +S kS 化為：k，Pqp+q ，對(duì)任意的正整數(shù)p、q（pq

16、），不等式 S +S kS 恒成立，Pqp+q則實(shí)數(shù)k 的取值范圍為 故答案為：二、解答題設(shè)ABC 的內(nèi)角A，B，C 的對(duì)邊分別為a，b，c，且 bcosA=求角A 的大小；asinB若a=1，求ABC 面積的最大值【考點(diǎn)】HP：正弦定理【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡可得范圍 0A，可求A 的值sinAsinB=sinBcosA，結(jié)合sinB0，可求tanA，由（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求 bc2 算得解，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)【解答】解：（1）在ABC 中，asinB=bcosA由正弦定理，得：sinAsinB=sinBcosA，0B，sinB0sinA=cosA，即tan

17、A=0A，A=（2）由a=1，A=，由余弦定理，1=b2+c2bc2bcbc，得：bc2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c 等號(hào)成立，ABC 的面積S= bcsinA（2+） =，即ABC 面積的最大值為如圖所示，在正三棱柱ABCA B C 中，點(diǎn)D 在邊BC 上，ADC D1 1 11求證：平面ADC 平面BCC B ；11 1如果點(diǎn)E 是 B C 的中點(diǎn)，求證：AE平面ADC 1 11【考點(diǎn)】LY：平面與平面垂直的判定；LS：直線與平面平行的判定【分析】（1）推導(dǎo)出 ADC D，從而 CC 平面 ABC，進(jìn)而 ADCC ，由此能證明 AD平面111BCC B 即平面ADC 平面BCC B1 111 1（2）

18、由ADBC，得D 是 BC 中點(diǎn)，連結(jié)ED，得四邊形AA DE 是平行四邊形，由此能證明A E平面ADC 1【解答】證明：（1）在正三棱柱 ABCA B C11中，點(diǎn)D 在邊BC 上，ADC D，1 1 11CC 平面ABC，又AD平面 ABC，ADCC ，11又 C DCC =C ，AD平面BCC B 1111 1AD面 ADC ，平面ADC 平面BCC B111 1（2）AD平面BCC B ，ADBC，1 1在正三棱柱ABCA B C 中，AB=BC=AC，D 是 BC 中點(diǎn)，1 1 1連結(jié) ED，點(diǎn)E 是 C B1 1的中點(diǎn)，AA DE 且 AA =DE，四邊形AA DE 是平行四邊形，

19、111A EAD，1又 A E 面 ADC ，AD平面ADC 111A E平面ADC 11三、解答題已知數(shù)列a 滿足a =a +2n（nN*，R），且 a =2nn+1n1若=1，求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式；n若=2，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列a 的前n 項(xiàng)和S nn【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式；8E：數(shù)列的求和【分析】（1）當(dāng) =1 時(shí)，由此利用累加法能求出數(shù)列a 的通項(xiàng)公式n（2）當(dāng)=2 時(shí)，= ， 再由，能證明數(shù)列是首項(xiàng)為 1，公差為 的等差數(shù)列，從而a =（n）2n=（n+1）2n1，由此利用錯(cuò)位相減法能出數(shù)列a 的前n 項(xiàng)n和【解答】解：（1）當(dāng) =1 時(shí)，a =a +2n（nN*），且 a

20、 =2n+1n1，a =a +a a +a a +a an12132nn1=2+2+22+2n1=2+=2n證明：（2）當(dāng) =2 時(shí)，a =2a +2n（nN*），且 a =2n+1n1，即= ，數(shù)列是首項(xiàng)為 1，公差為 的等差數(shù)列，=，a =（n）2n=（n+1）2n1，數(shù)列a 的前n 項(xiàng)和：nS =220+32+422+（n+1）2n1，n2S =22+322+423+（n+1）2n，n，得：S =（n+1）2n2（2+22+23+2n1）n=（n+1）2n2=（n+1）2n22n+2=n2n18已知三條直線l ：axy+a=0，l ：x+aya（a+1）=0，l ：（a+1）xy+a+1

21、=0，a0123證明：這三條直線共有三個(gè)不同的交點(diǎn)；求這三條直線圍成的三角形的面積的最大值【考點(diǎn)】IM：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)【分析】（1）分別求出直線 l 與 l13的交點(diǎn) A、l 與 l12的交點(diǎn) B 和 l 與 l23的交點(diǎn) C，且判斷三點(diǎn)的坐標(biāo)各不相同即可；（2）根據(jù)題意畫出圖形，由ABBC 知點(diǎn)B 在以AC 為直徑的半圓上，除A、C 點(diǎn)外；由此求出ABC 的面積最大值【解答】解：（1）證明：直線 l ：axy+a=0 恒過定點(diǎn)A（1，0），1直線 l ：（a+1）xy+a+1=0 恒過定點(diǎn)A（1，0），3直線l1與 l 交于點(diǎn)A；3又直線l ：x+aya（a+1）=0 不過定點(diǎn)A，2且

22、l 與 l12垂直，必相交，設(shè)交點(diǎn)為B，則B（，）；l 與 l23相交，交點(diǎn)為C（0，a+1）；a0，三點(diǎn)A、B、C 的坐標(biāo)不相同， 即這三條直線共有三個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）根據(jù)題意，畫出圖形如圖所示；ABBC，點(diǎn) B 在以AC 為直徑的半圓上，除A、C 點(diǎn)外； 則ABC 的面積最大值為S= |AC|AC|= （1+（a+1）2）= a2+ a+ 如圖是市兒童樂里一塊平行四邊形草地ABCD，樂管理處準(zhǔn)備過線段AB 上一點(diǎn)E 設(shè)計(jì)一條直線 EF（點(diǎn) F 在邊 BC 或 CD 上，不計(jì)路的寬度），將該草地分為面積之比為 2：1 的左、右兩部分，分別種植不同的花卉經(jīng)測量得AB=18m，BC=10m，A

23、BC=120設(shè)EB=x， EF=y（單位：m）當(dāng)點(diǎn)F 與C 重合時(shí)，試確定點(diǎn)E 的位置；求y 關(guān)于x 的函數(shù)關(guān)系式；請(qǐng)確定點(diǎn)E、F 的位置，使直路EF 長度最短【考點(diǎn)】5C：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【分析】（1）根據(jù)面積公式列方程求出 BE；對(duì)F 的位置進(jìn)行討論，利用余弦定理求出y 關(guān)于x 的解析式；分兩種情況求出y 的最小值，從而得出y 的最小值，得出E，F(xiàn) 的位置【解答】解：（1）S=，S=2，BCEABCD= ，BE= AB=12即E 為 AB 靠近A 的三點(diǎn)分點(diǎn)（2）S =1810sin120=90，ABCD當(dāng) 0 x12 時(shí)，F(xiàn) 在 CD 上，S = （x+CF）BCsin60=90，解得CF=12x，EBCFy=2，當(dāng) 12x18 時(shí)，F(xiàn) 在 BC 上，S=，解得 BF=，BEFy=，綜上，y=（3）當(dāng) 0 x12 時(shí)，y=2=25， 當(dāng) 12x18 時(shí)，y=5，當(dāng) x= ，CF=時(shí)，直線EF 最短，最短距離為 5已知數(shù)列a 滿足對(duì)任意的nN*，都有a 3+a 3+a 3=（a +a +a ）2 且 a 0求a ，an的值；12n12nn12求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式；n若b =，記S =，如果S 對(duì)任意的nN*恒成立，求正整數(shù)m 的nnn最小