數(shù)學(xué)建模隨機微分方程法-PPT課件

1、13. 常見的數(shù)學(xué)建模方法(8) - 隨機微分方程法 實例: 股票價格模型1. 股票價格的隨機變化過程 股票價格的馬爾科夫性質(zhì) 在實際經(jīng)濟生活中, 投資者都非常密切地注視著股票市場的變化, 總想試圖通過各種各樣的分析, 從股票市場的變化中尋找有用的信息而從中獲利. 但事實上, 這是不可能的 ! 因為 假定 根據(jù)過去一段時間內(nèi)某種股票價格變化的情況, 可以判斷出 在未來的一段時間內(nèi), 例如在一個月后，這種股票將從現(xiàn)在價格每股10元上漲到每股15元左右. 由于一個成熟的市場上, 所有的信息在市場上都能有效地 ( 均勻、同時地 ) 傳播, 這種股票價格變動的特征立即會被眾多的投資者發(fā)現(xiàn), 投資者第二

2、天開市就會馬上買入這種股票, 對這種股票的需求也會立即增加, 從而導(dǎo)致這種股票的價格當即上揚, 變成了每股20元， 結(jié)果這種所謂已被 “察覺” 的一個月后必然獲利機會瞬間就會消失 . 這說明上面的 “根據(jù)股票價格的歷史發(fā)展情況可以推斷出股票價格的今后發(fā)展情況” 的 假定 是不成立的. 股票價格變化的這個性質(zhì)被稱為 “股價具有弱市場有效性 ” (the weak form of market efficiency). 弱市場有效性 主要是有兩點內(nèi)涵: 其一, 現(xiàn)在的價格是過去所有信息的完全反映, 沒有任何信息的作用會持續(xù)到以后 ; 其二, 對于某種資產(chǎn)的任何新信息,市場會立即作出反映. 從數(shù)學(xué)上

3、來說, 這是一種稱之為馬爾科夫隨機過程 所具有的性質(zhì).馬爾科夫過程 (Markov process) 是一種特殊類型的隨機過程. 這個過程表明只有變量的當前值與未來的預(yù)測有關(guān), 而變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測不相關(guān). 或者說, 隨機變量過去的取值與今后的取值是相互獨立的.因此 ,在建立股票價格的數(shù)學(xué)模型時,通常的假設(shè)是: 股票價格遵循馬爾科夫過程 . 在以下提及的一個的實例中，我們可以看到，這樣的假設(shè)能經(jīng)受實踐的檢驗。(2) 維納 ( Wiener) 過程 i) 基本維納過程 在馬爾科夫隨機過程的數(shù)學(xué)研究中,有一種特殊的馬爾科夫過程,它被稱為 基本維納過程 (wien

4、er processes) .物理學(xué)中最早用它來描 繪某個粒子受到大量小分子碰撞的運動,有時它也被稱為 布朗運動 (Brownian motion) . 如果變量 z 遵循 基本維納過程 , 則 z 必須滿足兩個基本性質(zhì): 其中是服從標準正態(tài)分布的一個隨機變量 . 當 t 0 時, 方程 (*) 可以寫為 : . (b) 對于任何兩個不同時間間隔 t , z 的值是相互獨立的.從性質(zhì) (a) , 我們推得 z 本身具有正態(tài)分布, 其中 : z的均值 = z的方差 = , z的標準差 = . 性質(zhì) (b) 則隱含 z 遵循 馬爾科夫過程 . 下面我們考慮在一段相當長的時間 T 中 z 值的變化量

5、, 我們將它表示為: z ( T ) z ( 0 ) . 這可以被看作是在 N 個長度為 t 的小時間間隔中 z 的變化總量. 這里 N = T /t . 因此 , z ( T ) z ( 0 ) = 其中 i 服從標準正態(tài)分布, 且是相互獨立的. 由此可得 z ( T ) z ( 0 ) 是正態(tài)分布的, 且 : z(T) z(0) 的均值 = z(T) z(0) 的方差 = = N t = T , 因此, , 遵循維納過程的隨機變量 , 在任意長度為 T 的時間間隔內(nèi)的變化量服從于均值為 0、標準差為 的正態(tài)分布 . 當 t 0時, 體現(xiàn)維納過程性質(zhì) (a) 的方程 (*) 可以寫為 : .

6、對于維納過程而言, 我們常稱其隨機變量在某個時刻的平均值為該變量在該時刻的 “平均漂移”, 而稱在單位時間處的平均漂移為該維納過程的漂移率 ; 同時還稱此隨機變量在單位時間處的方差值為該維納過程的方差率. 上面討論到的維納過程, 其漂移率應(yīng)是 0 , 方差率應(yīng)是 1 . 這里 , 漂移率為 0 , 意味著在未來任何時刻 , z 的期望值等于它的當前值 ; 方差率為 1 , 意味著在長度為 T 的一段時間段后, z 的變化的方差為 1T = T . 漂移率為 0、方差率為 1 的維納過程,我們常稱之為 基本維納過 程 .生成 基本維納過程 的 Mathematica 軟件程序可以寫為：ii) 一

7、般化維納過程 ( generalized wiener process )在基本維納過程的基礎(chǔ)上, 還可以定義一個廣義類型的維納過程. dx = a dt + b dz ( # )設(shè)隨機變量 x 滿足以下等式 :其中 a 和 b 為常數(shù) , 變量 z 遵循基本維納過程 , 則稱變量 x 遵循一般化維納過程. 從一般化維納過程的定義式 ( # ) 可以看出, adt 項表明 x 是時間 t的線性函數(shù), 而 bdz 項可被看作是添加到 x 的變動軌跡上的噪聲或波動. 換言之 , 一個線性變化過程與一個基本維納 ( 隨機 ) 過程的疊加結(jié)果便是一個一般化維納 ( 隨機 ) 過程. 生成 一般化維納過

8、程 的 Mathematica 軟件程序可以寫為 ： 隨機微分方程 ( # ) 也可改寫為: 容易看出, x 的均值 = at , x 的方差 = b2t , x 的標準差 =類似 i) 中的討論可得 : x (T) x (0) 的均值 = aT , x (T) x (0) 的方差 = b2 T , x (T) x (0) 的標準差 = 由此可以說 , 遵循一般化維納過程的隨機變量 x , 在任意長度為 T 的時間間隔內(nèi)的變化量 x (T) x (0) 服從于均值為 aT , 方差為 b2 T 的正態(tài)分布 . ( 當a = 0 、b = 1時, 這個一般化維納過程 即成為 基本維納過程 )ii

9、i) ITO 過程 還可以考慮另一種類型更為復(fù)雜的馬爾科夫隨機過程 , 即著名的 ITO過程 ( ITO process ). 如果變量 x = x(t) 服從 ITO過程 , 則它的數(shù)學(xué)定義式為如下的隨機微分方程: dx = a (x , t) dt + b (x , t) dz , 其中參數(shù) a 和 b 均是標的變量 x 和時間 t 的函數(shù) .(3) 股票價格的隨機模型在對任何資產(chǎn)（例如股票）進行投資時，投資者所關(guān)心的是對資產(chǎn)投資的回報率多大，而不是該資產(chǎn)的絕對增加量多大。例如，有兩種股票 A 與 B , 假定它們每年每股都平均增加10元，股票 A 的市價為 100元/ 股，股票 B 的市

10、價為 1000元/ 股。 顯然，股票 A 是投資者的最佳選擇，因為它的回報率為 10 % ， 而股票B的回報率只有 1 % 。這個日投資回報率將遵循什么樣的隨機變化過程？我們來看一個實例。在圖 1 中顯示了阿根廷聯(lián)合大企業(yè)股票 Perez Companc 從2019 年 2 月到 2019 年 11月 的價格走向趨勢。圖 2 顯示了該股票在這一段時間中的日回報率隨時間變化情況。圖 3 顯示了該股票日回報率具體計算過程。圖 4 顯示了日回報率經(jīng)過標準化處理后的量的頻率分布圖，其中的函數(shù)曲線是標準正態(tài)分布密度函數(shù)。 標準化處理后的量是指： ）在進行股票投資時，如果記 Si 是第 i 天的股票價格，

11、則投資的日回報率為：根據(jù)與標準正態(tài)分布密度函數(shù)圖像的對照，可以說統(tǒng)計數(shù)字反映出日回報率近似于正態(tài)分布，故我們可以假定：回報率是一個服從于正態(tài)分布的隨機變量。也就是說：Ri = 均值 + 標準差 , 其中 是一個標準正態(tài)分布變量 .如果時間步長不是以天計算，而是為 t ，則回報率的均值應(yīng)該與時間步長的大小相關(guān)，時間間隔越大，資產(chǎn)偏移平均而言也會越大，我們可以假定： 均值 = t , 其中是一個常數(shù)。 在一個較長的時間段 T 上，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)理論，回報率的樣本 標準差為：這里 M = T /t , 為各時間點上的樣本值， 為樣本的算術(shù)平均值. 為了當 t 趨于零時，這個標準差成為有限值，上面表示

12、式中和 式的每一項從無窮小量綱級別上講，必須是 O (t) , 而由于每一 項是回報率的平方，所以在小時段 t上，資產(chǎn)回報率的標準差應(yīng) 該是 O ( ) 即可以表示為： 標準差 = ， 其中 是一個常數(shù)。 這樣就有： ，也就是： 或者說，在連續(xù)意義下有：這表明股票價格 S = S( t ) 遵循 ITO過程 : dS =S dt +S dz , 其中和均為常數(shù), dz 遵循 ( 基本 ) 維納過程 . 這是一個特殊的 ITO 過程，隨機變量服從這樣的 ITO 過程 ，也被稱為該隨機變量服從 “幾何布朗運動 ” .2. 隨機微積分中的 ITO 引理 (1) ITO 引理的內(nèi)容及其推導(dǎo)任何一種衍生

13、證券的價格都是這些衍生證券標的資產(chǎn)這個隨機變量和時間的函數(shù). 如果標的資產(chǎn)隨機變量服從 Ito 過程, 則它的函數(shù)應(yīng)服從什么樣的隨機過程? 這方面的重要理論結(jié)果是一個日本數(shù)學(xué)家Ito 在 1952 年所發(fā)現(xiàn) , 稱為 Ito 引理 .ITO引理 假設(shè)變量 x = x ( t ) 遵循 ITO 過程 : dx = a (x , t) dt + b (x , t) dz , 則函數(shù)G (x , t) 遵循如下的 ITO 過程 : 說明: （1）在普通微積分中, 對于二元函數(shù) G (x , t) 的微分 dG 應(yīng)有 將 dx = a dt + bdz 代入應(yīng)得 但 Ito 引理指出, 在隨機微積分中

14、 ,不是這個結(jié)論 , 右端應(yīng)多一項: .（2）Ito 引理還指出，以變量的隨機過程作為基礎(chǔ)的 維納過程 恰好與以變量的函數(shù)的隨機過程作為基礎(chǔ)的維納過程完全相同，兩者都受同樣的不確定性因素的影響。這在金融衍生產(chǎn)品的定價過程中具有非常重要的意義。證明: 根據(jù)二元函數(shù)的泰勒展開式 , 有: 因為 故 所以 這里 , 有性質(zhì): 它的方差 因此, 具有非隨機特征性質(zhì), 并且當 t 趨向于零時, 可以用它的期望值 替代 . 它的期望 于是當 t 趨向于零時, 就有: (2) 股票價格的對數(shù)正態(tài)分布特性 利用 ITO 引理 立即可推導(dǎo)出股票價格的對數(shù)值所應(yīng)遵循的隨機過程為:從而這是因為如考慮 S 的函數(shù) G

15、 ( S, t ) = lnS , 這里，股票價格 S 遵循幾何布朗運動 ( ITO過程 ): dS =S dt +S dz , 其中和均為常數(shù) , dz 遵循(基本)維納過程. 根據(jù) ITO 引理 , 由于 所以 這個方程表明 , G ( S, t ) = lnS 遵循一個一般化維納過程 , 它的漂移率為 方差率為 根據(jù)上面對于一般化維納過程的探討可知 , 在當前時刻 t 和將來某一時刻 T 之間 G ( S, t ) = lnS 的變化量 lnST - lnS 是正態(tài)分布的 , 它 的均值為:方差為: 因此, 也就是: .換言之, 股票價格服從于對數(shù)正態(tài)分布 . 例. 某一種股票, 初始價格為 40 元, 預(yù)期收益率為每年 16 %, 波動率 為每年 20 % .問: （1） 六個月后, 股票價格在什么范圍內(nèi)變動 (95 %的可能性 ) ? （2） 投資股票效益高于現(xiàn)金存入銀行效益的可能性有多大？ （假定銀行半年期的儲蓄利率為0.02）解. (1) 由股票價格服從于對數(shù)正態(tài)分布規(guī)律知 , 六個月后股票價格 ST 的概率分布為 :正態(tài)分布變量取值位于均值左右兩個標準差范圍內(nèi)的概率為 95 % , 因此 , 置信度為 95 % 時, 3.759 - 20.1413.477 ln ST