自動控制理論第2章課件

1、2.2 控制系統(tǒng)的微分方程一、建立系統(tǒng)或元件的微分方程的步驟 1、確定系統(tǒng)或元件的輸入量和輸出量 2、依據(jù)各個變量之間遵循的物理或化學(xué)定律，列出一組微分方程 4、對微分方程進行整理，寫成標準形式，即輸出量放左邊，輸入 量放右邊，按降冪排列。 3、消去中間變量，寫出系統(tǒng)輸入和輸出變量的微分方程例2-1 圖示電路,列寫微分方程例2-2整理后圖示是彈簧-質(zhì)量-阻尼器機械位移系統(tǒng)。試列寫質(zhì)量m在外力F（t）作用下，位移x(t)的運動方程。解：f-阻尼系數(shù) k-彈性系數(shù) 根據(jù)牛頓第二定律式中例2-3列寫兩級RC電路的微分方程 解：根據(jù)克?；舴蚨?，可寫出下列方程組 消去中間變量 該電路是由兩個一級RC電

2、路串聯(lián)而成，后一級RC電路中的電流影響著前一級RC電路的輸出電壓 ，這就是負載效應(yīng)。 若要消除負載效應(yīng)，可在兩個RC電路之間設(shè)置隔離放大器 這時所列寫的微分方程為 例2-4有源網(wǎng)絡(luò)如圖所示。列寫輸出與輸入之間的微分方程 解：由運算放大器的基本特性和克?；舴蚨?，列寫出下列方程消去中間變量 例2-5列寫電樞控制的它勵直流電動機的微分方程。ua取為輸入量，m為輸出量。解： 消去中間變量 這是三階線性常系數(shù)微分方程，描述了電機轉(zhuǎn)角與電樞電壓和負載力矩之間的關(guān)系 忽略電樞電感 得 其中若以為輸出量例2-6 直流調(diào)速控制系統(tǒng)如圖所示。以給定電壓為系統(tǒng)的參考輸入，電動機轉(zhuǎn)速為系統(tǒng)的輸出，列寫微分方程。 解

3、： 消去中間變量 例2-7位置隨動系統(tǒng)如圖 所示，以手柄給定轉(zhuǎn)角系統(tǒng)的輸入，工作機械的轉(zhuǎn)角為系統(tǒng)的輸出，列寫系統(tǒng)的微分方程。 橋式電位計 放大器 電動機 電機輸入輸出方程為 減速器 工作機械 消去中間變量 若忽略的數(shù)值，考慮，并令 可簡化為 位置隨動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是一個二階線性常系數(shù)微分方程 二、非線性微分方程的線性化 能夠用線性微分方程描述的系統(tǒng)，稱為線性系統(tǒng)。 線性系統(tǒng)的重要性質(zhì)是滿足疊加原理，即具有可加性和齊次性。 對線性系統(tǒng)進行分析和設(shè)計時，如果有幾個外部輸入同時加在系統(tǒng)上，則可以對各個輸入分別處理?？杉有院妄R次性使線性系統(tǒng)的分析大為簡化。 嚴格地說，構(gòu)成控制系統(tǒng)的各類元件的輸入變量和

4、輸出變量之間都存在不同程度的非線性特性， 將非線性微分方程在一定條件下轉(zhuǎn)化為線性微分方程的方法，稱為非線性微分方程的線性化 “小偏差法”是常用的一種線性化方法 考慮到實際控制系統(tǒng)都有一個設(shè)定工作狀態(tài)，即系統(tǒng)中各個變量都在各自的設(shè)定值（工作點、平衡點）附近作小范圍變化，“小偏差法”的基本思想是，對于描述非線性元件輸入與輸出之間特性的非線性函數(shù)，在元件工作點鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)，在能夠忽略二次以上各項的條件下，用泰勒展開式的一次項近似表示元件輸入輸出特性函數(shù)，使得系統(tǒng)中非線性元件線性化，從而使描述系統(tǒng)的非線性微分方程線性化。 使用小偏差法的步驟包括：1將非線性元件線性化2將非線性微分方程增量化3將

5、非線性微分方程線性化 例2-8 單容水箱液位系統(tǒng)如圖所示。 為水箱的流入量， 為流出量，水箱液面高度為 ，水箱的截面積為 列寫 與 之間的線性化微分方程。 解： 設(shè)流體是不可壓縮的，根據(jù)物質(zhì)守恒定律，有 通過負載閥（節(jié)流閥）的液體是紊流，根據(jù)流體力學(xué) 是與負載閥的特性有關(guān)的系數(shù)，閥的開度一定時為常數(shù)。 這是一個一階非線性微分方程。 液位系統(tǒng)在平衡點附近小范圍內(nèi)工作時，各變量可以表示為 稱為水阻 考慮平衡點處 是系統(tǒng)的非線性微分方程的線性化結(jié)果，是平衡點附近的線性增量方程。 簡記為 例2-9鐵芯線圈及其非線性特性如圖 為輸入， 為輸出 列寫微分方程并進行線性化。解： 是一個非線性微分方程。 忽略

6、二次方以上的各項，得到 使用小偏差法進行線性化時，須注意滿足它的應(yīng)用條件：（1）要求輸入輸出變量在平衡點附近作小范圍變化，否則忽略泰勒展開式的二次方以上各項，會產(chǎn)生大的誤差。（2）要求非線性特性曲線在平衡點處連續(xù)可導(dǎo)，對某些非線性特性，平衡點處的導(dǎo)數(shù)不存在，不能使用小偏差法。 三、 用拉氏變換求解線性常系數(shù)微分方程 線性常系數(shù)微分方程的求解可以采用拉氏變換法。求解過程如下： 1對微分方程進行拉氏變換，得到以s為變量的代數(shù)方程，又稱變換方程。2將輸入量和初始條件代入變換方程進行求解，得到輸出量的拉氏變換函數(shù)表達式。3將輸出量的拉氏變換函數(shù)表達式化為部分分式。4對部分分式進行拉氏反變換，得到輸出量

7、的時域表達式，即為微分方程的全解。例210 求得RLC無源網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出微分方程 已知求輸出電壓對微分方程兩邊進行拉氏變換 解： 2.3 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比二、傳遞函數(shù)的一般形式 根據(jù)傳遞函數(shù)的定義 1、傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)；2、傳遞函數(shù)是復(fù)變量S的有理真分式，即 且所有的系數(shù)均為實數(shù)。3、傳遞函數(shù)中各項系數(shù)完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，并且與微分方程的各項系數(shù)相等。4、傳遞函數(shù)是零初始條件下定義的，它與輸入信號的拉氏變換的乘積僅反映零狀態(tài)響應(yīng)的規(guī)律。5、傳遞函數(shù)只表示單輸入單輸出身體的

8、輸入輸出關(guān)系，不能反映中間變量的情況。多輸入多輸出系統(tǒng)要用傳遞函數(shù)矩陣表示。三、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明 四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)任何一個復(fù)雜的系統(tǒng)，從結(jié)構(gòu)上看都可以由不同的元部件組成。從數(shù)學(xué)模型來看，一個復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可以分解成一些具有典型特性的環(huán)節(jié)。比例環(huán)節(jié) K1-由例2-5，微分方程為3、微分環(huán)節(jié)測速發(fā)電機由例2-5，電樞控制的它勵直流電動機 無源網(wǎng)絡(luò)（微分校正電路） 由例2-2 彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng) 為了便于對控制系統(tǒng)進行模擬仿真實驗，通常采用無源或有源電路實現(xiàn)各種典型環(huán)節(jié) 五、控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求一個較為復(fù)雜的控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，同樣需要首先列寫控制系統(tǒng)中各個變量之間的微分方程，得到

9、微分方程組。根據(jù)列寫的微分方程組，可以通過兩種途徑求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 一是首先在微分方程組中消去中間變量，然后在零初始條件下進行拉氏變換，求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； 二是先對微分方程組在零初始條件下進行拉氏變換，然后在獲得的代數(shù)方程組中消去中間變量，求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 例211 位置隨動系統(tǒng)如圖 所示，以手柄給定轉(zhuǎn)角系統(tǒng)的輸入，工作機械的轉(zhuǎn)角為系統(tǒng)的輸出，列寫系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 。 解： 微分方程 在零初始條件下，對上面各方程進行拉氏變換，得到一組代數(shù)方程 消去中間變量 其中 令 忽略的情況下， 2.4 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一、結(jié)構(gòu)圖的組成結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)中各元部件的功能和信號之間傳遞關(guān)系的圖解表示。 （

10、1）信號線：帶有箭頭的直線。箭頭表示信號的傳遞方向，線上標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)；（2）引出點（測量點）：信號引出或測量的位置。從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同；（3）比較點（綜合點）：對兩個以上的信號進行加減運算。用“+”、“-”表示，“+”有時可省略；（4）方框（環(huán)節(jié)）：表示方框的輸出信號與輸入信號之間的傳遞關(guān)系。方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。二、結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟：（1）列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程； （2）在零初始條件下，對各微分方程進行拉式變換，并將每一個變換方程用方框表示； （3）按系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次將方框連接起來。將系統(tǒng)的輸入變量置于左端，輸出變量置于右端

11、，得到系統(tǒng)完整的結(jié)構(gòu)圖。例212 繪制圖示RC無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。 例213 位置隨動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 繪制 設(shè)外加阻力矩 關(guān)于結(jié)構(gòu)圖的幾點說明：1在結(jié)構(gòu)圖中，每一方框中的傳遞函數(shù)都應(yīng)該是考慮了負載效應(yīng)后的傳遞函數(shù)。因此在結(jié)構(gòu)圖中，后一方框?qū)η耙环娇驘o影響，信號僅按箭頭的方向傳遞。2描述一個系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖不是唯一的。選擇不同的中間變量可得到不同的結(jié)構(gòu)圖，但系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)唯一，也就是說系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系是不會改變的。3結(jié)構(gòu)圖中的方框與實際系統(tǒng)的元部件并非一定是一一對應(yīng)的。一個元件可能用多個方框表示，一個方框也可能表示多個元件。4結(jié)構(gòu)圖包含了系統(tǒng)的全部內(nèi)容，和微分方程、傳遞函數(shù)一樣，也是系統(tǒng)的一種動態(tài)模

12、型，是一種圖形化的數(shù)學(xué)模型。一個復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖經(jīng)過等效變換為一個方框可得身體的傳遞函數(shù)。等效變換：變換前后，系統(tǒng)輸入輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變。等效變換原則：（1）變換前后前向通路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變； （2）變換前后回路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變。三、結(jié)構(gòu)圖的等效變換串聯(lián)方框的等效變換 2并聯(lián)方框的等效變換 3反饋方框的等效變換證明：4綜合點（比較點）和引出點的移動1）綜合點前移（逆著信號線的指向移動）證明：2）綜合點后移3）相鄰綜合點之間的移動4）引出點前移5）引出點后移 6）相鄰引出點之間的移動7）綜合點和引出點交換位置5負號在支路上的移動 例214 化簡下面的結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù) 解

13、： 例215 一個兩輸入兩輸出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。求傳遞函數(shù) 解： 對于多輸入系統(tǒng)，化簡時應(yīng)對每個輸入逐個化簡，分別求傳遞函數(shù)。 令 令 例216 對圖所示結(jié)構(gòu)圖進行化簡求傳遞函數(shù) 解： 從上面的幾個例題可以總結(jié)出結(jié)構(gòu)圖化簡求傳遞函數(shù)的步驟如下：1 確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。如果系統(tǒng)有多個輸入量或輸出量，要分別進行結(jié)構(gòu)圖化簡，求各自的傳遞函數(shù)。2 應(yīng)用移動規(guī)則，消除回路之間的交叉聯(lián)系，使系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖變換為無交叉的多回路結(jié)構(gòu)。注意在消除交叉聯(lián)系時，應(yīng)力求避免相鄰的綜合點與引出點之間交換位置。3 對多回路系統(tǒng)，由里向外進行變換，直至變?yōu)橐粋€方框，即可得到輸入輸出總的傳遞函數(shù)。2.5 控制系統(tǒng)的信

14、號流圖1、信號流圖的概念信號流圖：由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò)，是一種表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的圖。例如：幾個術(shù)語節(jié)點：用來表示變量或信號的點，用“?！北硎?。支路增益：兩個節(jié)點之間的增益。支路：連接兩個節(jié)點的定向線段，具有一定的增益。（乘法器）輸入節(jié)點（源節(jié)點）：只有輸出支路的節(jié)點，對應(yīng)于自變量。輸出節(jié)點（阱節(jié)點）：只有輸入支路的節(jié)點，對應(yīng)于因變量?；旌瞎?jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。通路：沿支路箭頭方向而穿過各相連支路的途徑。前向通路：信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳遞時，每個節(jié)點只通過一次的通路。前向通路增益：前向通路中各支路增益的乘積?；芈罚浩瘘c和終點在同一節(jié)點，而且信號通過每一節(jié)點不

15、多于一次的閉合通路。回路增益：回路中各支路增益的乘積。不接觸回路：如果回路之間沒有公共節(jié)點，稱它們?yōu)椴唤佑|回路。在使用信號流圖時應(yīng)注意以下幾點：（1）節(jié)點變量是所有流向該節(jié)點的信號之和，而從同一節(jié)點流向各支路的信號均用該節(jié)點變量表示。（2）支路表示了一個節(jié)點信號到另一個節(jié)點信號的傳輸關(guān)系，信號只能沿著支路上的箭頭方向傳遞。（3）在混合節(jié)點上，增加一條具有單位增益的支路，可把混合節(jié)點變?yōu)檩敵龉?jié)點，即可以分離出系統(tǒng)的輸出變量。需要注意的是，用這種方法不能將混合節(jié)點變?yōu)檩斎牍?jié)點。S域的代數(shù)方程組拉氏變換系統(tǒng)的微分方程組信號流圖無源網(wǎng)絡(luò)如圖所示，已知電容初始電壓為解：列寫微分方程1 由系統(tǒng)微分方程繪制

16、信號流圖2、信號流圖的繪制例217 對以上各式在考慮初始條件的情況下進行拉式變換，得 2 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖 考慮信號流圖與結(jié)構(gòu)圖的對應(yīng)關(guān)系：信號流圖的節(jié)點對應(yīng)結(jié)構(gòu)圖的信號線，信號流圖的支路和支路增益對應(yīng)結(jié)構(gòu)圖的方框。因此由結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖可按以下步驟進行：（1）用“o”在結(jié)構(gòu)圖的信號線上標出信號流圖的節(jié)點。具體說，在結(jié)構(gòu)圖的輸入量和輸出量信號線上、綜合點之后的信號線上、方框之后的信號線上分別標出節(jié)點。信號線上有引出點時，節(jié)點標在引出點之前。（2）將節(jié)點按順序自左向右排列，用與結(jié)構(gòu)圖相應(yīng)的支路連接節(jié)點，方框中的傳遞函數(shù)為信號流圖中的支路增益，綜合點處的“”號用負增益表示。（3）略去只有

17、一個輸入支路和一個輸出支路的節(jié)點（因為流入流出這些節(jié)點的信號相同），注意新的支路增益是與所略去節(jié)點有關(guān)的支路增益的乘積。例218 繪制圖示結(jié)構(gòu)圖的信號流圖。 解 3 信號流圖的等效變換 與結(jié)構(gòu)圖的等效變換類似，由信號流圖求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，也可以通過信號流圖的等效變換進行化簡。化簡的幾個基本規(guī)則簡要介紹如下：規(guī)則1：串聯(lián)支路的簡化規(guī)則2：并聯(lián)支路的簡化規(guī)則3：混合節(jié)點的消除規(guī)則4 ：回路的消除例219 化簡圖示信號流圖，并求增益 解： 4 梅遜增益公式 輸入輸出節(jié)點間總增益（或傳遞函數(shù)）為 說明：（1）梅遜公式也適用于結(jié)構(gòu)圖； （2）只適用于輸出節(jié)點對輸入節(jié)點的總增益，對混合節(jié)點不能直接用。例220 試用梅遜公式求圖示信號流圖的增益 解： 該信號流圖有3個回路 例221 試用梅遜公式求圖示信號流圖的傳遞函數(shù) 解 圖中有4個回路 有4組兩個互不接觸回路 有1組三個互不接觸回路 前向通路有4條 例222 試用梅遜公式由求傳遞函數(shù) 結(jié)構(gòu)圖中有5個回路,沒有不接觸回路 有2條前向