收集反比例函數(shù)與三角形四邊形的面積等

1、反比例函數(shù)比例系數(shù)k與圖形面積經(jīng)典專題知識點(diǎn)回顧由于反比例函數(shù)解析式及圖象的特殊性，很多中考試題都將反比例函數(shù)與面積結(jié)合起來進(jìn)行考察。這種考察方式既能考查函數(shù)、反比例函數(shù)本身的基礎(chǔ)知識 內(nèi)容，又能充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查的題型廣泛，考查方法靈活，可 以較好地將知識與能力融合在一起。下面就反比例函數(shù)中與面積有關(guān)的問題的四 種類型歸納如下：利用反比例函數(shù)中|k|的幾何意義求解與面積有關(guān)的問題k/二一設(shè)P為雙曲線 工上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN , 垂足分別為M、N ,則兩垂線段與坐標(biāo)軸所圍成的的矩形PMON的面積為S=|PM| x|PN|=|y| X|x|=|xy|七克

2、xy=k 故S=|k| 從而得結(jié)論1 :過雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積S為定值|k| 對于下列三個圖形中的情形，利用三角形面積的計算方法和圖形的對稱性以及上述結(jié)論，可得出對應(yīng)的網(wǎng) 面積的結(jié)論為：2結(jié)論2:在直角三角形ABO中，面積S=結(jié)論3:在直角三角形 ACB中，面積為S=2|k|結(jié)論4:在三角形AMB中，面積為S二|k|類型之一 k與三角形的面積1、如圖，已知雙曲線y= k- (k0)經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D, x與直角邊AB相交于點(diǎn)C.若OBC的面積為6,則k=最佳答案過D點(diǎn)作DE，x軸，垂足為E,由雙曲線上點(diǎn)的性質(zhì)，得 S AAOC =S 竺OE =

3、-k,2.DE，x 軸,AB，x 軸,. DE / AB,.zOAB sgED,又. OB=2OD ,. S SAB =4S zDOE =2k ,由 S SAB -S SAC =S Z2OBC ,得 2k- 1k=6 ,2解得：k=4 .故答案為：4.U L2、如圖1-ZT-1 ,分別過反比例函數(shù)y=空18僅0）的圖象上任意兩點(diǎn)A、B作 xx軸的垂線，垂足分別為 C、D,連接OA、OB,設(shè)用OC和9OD的面積分別是Si、S2,比較它們的大小，可得A.SiS2B.Si=S2C.SiS2D.Si、S2 大小不確定。3、在下列圖形中，陰影部分面積最大的是（C）4、如圖i-ZT-3 ,在平面直角坐標(biāo)系

4、中，點(diǎn) A是函數(shù)y= k （x0）圖象上的 x點(diǎn)，過點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C在x軸上，若AABC的面積為i ,則k的值為5、冰 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在函數(shù)一工（k0,x0）的圖象上， 過點(diǎn)A作AB /y軸交x軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C在y軸上，連結(jié)AC、BC.若*BC的面積是3,則k=.試題分析！謾點(diǎn)用1坐標(biāo)為（叫生）J由點(diǎn)a的坐標(biāo)結(jié)合AEC的面積即可得 m8VAst =義（一孤）=31解得仁-6.2閉6、如圖 1-ZT-4,4AC和9AD都是等腰直角三角形，/ ACO= DB=90反比例函數(shù)y= k在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B,若OA2-AB2=8 ,則k的值為 x0試題解析：說B點(diǎn)坐標(biāo)

5、為(3,七)，7。配和ABAD都是等腰直角三角形，.QA=& & 皿=皿 OC=AC AD=BD .,/QAa-AB*=8j/.2ACDJ=8,即AC二此=4,/. CAC+AB) (AC-AB) -4,/. COU+BD) CD=4,J,a-ti=4/.k=4.類型之二 k與平行四邊形的面積7、冰 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A是函數(shù)y= - (k0 , x0)圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn) xA與y軸垂直的直線交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C、D在x軸上，且BC /AD .若四邊形ABCD的面積為3,則k值為. AB /CDvABXy 軸,.BC /AD一四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形AEOB的面積=AB ?O

6、E,.S平行四邊形 ABCD=AB ?CD=3 ,四邊形AEOB的面積=3 ,. |k|=3 ,0)的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)B,則k的值為 x答案:.C的坐標(biāo)為（3, 4）,. CD=4 , OD=3 ,.CB /AO ,.B的縱坐標(biāo)是4 ,. OC= VCD2 OD2 =5 ,. AO=OC=5 ,四邊形COAB是菱形，.B的橫坐標(biāo)是8 ,.*=8 X4=32 ,故選D.9、如圖1-ZT-6 ,函數(shù)y=-x與y=- 4的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、 x兩點(diǎn)作y軸的垂線，垂足分別為C、D,則四邊形ACBD的面積為（）。A. 2 B. 4 C. 6 D. 8分析：首先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連

7、的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S= 1 |k| ,得出S/AO 2C=S zodb =2 ,再根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可知：OC=OD , AC=BD ,即可求出四邊形ACBD的面積.解答：解：過函數(shù)y=- 4的圖象上A, B兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別x為點(diǎn)C, D,1.SZAOC =S ZODB = -|k|=2 ,又. OC=OD , AC=BD ,SZAOC =S ZODA =S ZODB =S ZOBC =2 ,二四邊形 ABCD 的面 積為：Szaoc +S AODA +S ZODB +S zobc =4 X2=8 .故選D.點(diǎn)評：本題主要考查了反比

8、例函數(shù)y二8中k的幾何 意義，即過雙曲線 x上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k| ;圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S= 1|k| ,是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點(diǎn)；同時考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性.210、如圖1-ZT-7 ，點(diǎn)A是反 比例函數(shù)y= (x0)的圖象上 任意一點(diǎn)，xAB /x軸交反 比例函數(shù)y=-旦的圖象 于點(diǎn)B,以AB為邊作DABCD ,其 x中點(diǎn)C、D在x軸上，則DABCD的面積未()。A. 2B. 3C. 4D. 5C O D X TOC o 1-5 h z 一，. _，j, k11、如圖、1-ZT-8 ,在邛BOC中

9、，兩條對角線父于點(diǎn) E,雙曲線y=7(k0）的圖象經(jīng)過矩形 OABC對角線 的交點(diǎn)M ,分別與AB、BC相交于點(diǎn)D、E,若四邊形ODBE的面積為9,則k的值為（）。A. 1 B. 2 C. 3 D. 4考反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.點(diǎn) 八、專數(shù)形結(jié)合.題： 分 本題可從反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn) E、M、D入手，分別找出AOCE、SAD、析：矩形OABC的面積與的的關(guān)系，列出等式求出k值.解：由題意得：E、M、D位于反比例函數(shù)圖象上，則 S8CE= 2OAD=過點(diǎn)M作MG y軸于點(diǎn)G,作MN x軸于點(diǎn)N ,則SBNMG=|k| ,又.M為矩形ABCO對角線的交點(diǎn),. S 矩形 ABCO=4S OON

10、MG=4|k| ,由于函數(shù)圖象在第一象限，k 0 ,則2+ 2+9=4k解得：k=3 .故選C.點(diǎn) 本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩評：條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于 |k|,本知識點(diǎn)是中考的重要考點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注.14、如圖1-ZT-11 ,反比例函數(shù)y=0)的圖象與矩形ABCO的兩邊相交于E、F兩點(diǎn)，若E是AB的中點(diǎn)，Szbef=2 ,則k的值為分析：設(shè)E ( a, k),則B縱坐標(biāo)也為k ,代入反比例函數(shù)的y=上， aax即可求得F的橫坐標(biāo)，則根據(jù)三角形的面積公式即可求得k的值.解：設(shè)E (a, k),則B縱坐標(biāo)也為 aaE是AB中點(diǎn)，所

11、以F點(diǎn)橫坐標(biāo)為2a ,代入解析式得到縱坐標(biāo)：, 2aBF= k-=,所以F也為中點(diǎn)， a 2a 2aSzbef =2= 一 , k=8 . 4故答案是：8.點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確表示出BF的長度是關(guān)鍵.15、如圖1-ZT-12，點(diǎn)P、Q是反比例函數(shù)y= x圖象上的兩點(diǎn)，PA，y軸于 點(diǎn)A, QN，x軸于點(diǎn)N, PM x軸于點(diǎn)M,QBy軸于點(diǎn)B,連接PB、QM , ABP的面積記為Si, 0MN的面積記為S2,則Si S2(填“”或“二”)。_,_JO Ivl N /16、如圖1-ZT-13 ,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上，其

12、中OA=6 , OC=3 ,已知反比例函數(shù)y=(,k0)的圖象經(jīng)過BC邊的中點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E。(1) k的值為(2)猜想的面積與的面積之間的關(guān)系，并說明理由y答案：(1)9; (2) S8CD=S SBE,理由見解析.【解析】 試題分析：(1) 根據(jù)題意得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可得出k的值：- OA=6 , OC=3，點(diǎn)D為BC 的中點(diǎn)，D (3,3).二反比例函數(shù)(x0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D, .*=3 X3=9 . (2) 根據(jù)三角形的面積公式和點(diǎn) D, E在函數(shù)的圖象上，可得出S8CD=S8AE, 再由點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，可得出S8CD=S 8B類型之四k與多邊形的面積 17、如圖1-ZT-14所

13、示，過點(diǎn)A (2,-1 )分別作y軸、x軸的平行線交雙曲線 y= k于點(diǎn)B、C,過點(diǎn)C作CE，x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BD，y軸于點(diǎn)D,連接ED,若五邊形ABDEC的面積為34,則k的值為18、如圖1-ZT-14，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=，(ki0, x0)圖象上的一動點(diǎn)， 過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，交反比例函數(shù)y= 2x(k20,且|k2|0, x0)圖象上一動點(diǎn)，.二S=ki.E、F分別是反比例函數(shù)y= * (k20且|k2|ki)的圖象上兩點(diǎn)，. S8BF=S MOE= 11k2|,一四邊形 PEOF 的面積 Si=S 矩形 pboa+Szobf+S ZAOE=k

14、i+|k 2|,.k20,一四邊形 PEOF 的面積 Si =S 矩形 pboa+S zobf+S zAOE=k i+|k 2|= ki-k 2.(2) VPE x軸,PF，y軸可知,P、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,P、F兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，. E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為E (2, 2 ) , F (32 , 3);:P (2, 3)在函數(shù)y=%的圖象上， x. ki=6 ,.E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為E (2, 2)，F(xiàn)(2，3)；PE=3- k2 , PF=2- k2 ,2, SzPEF=l (3-2) (2-&) =-(62) ,223 i2. Sz2OEF= (ki-k2)(6 k2)2i2=(6-k2

15、)(6 k2)2_ 36 k2 _ 8i2 一 i2 - 3*2=2 .k20)圖像上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于 A、Bo(1)求證：線段AB為。P的直徑；(2)求9OB的面積。(3)如圖2, Q是反比例函數(shù)y= 12 (x0)圖像上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，以Q為圓心，QO為半徑畫圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn) C、D。求證：DO OC=BO OA（I）誣月：/ZAOB=90且/AOB是。P中弦AB前對的圓周角, ，AB是OP的直徑.（2）解；設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（m, n） m0, 口以二點(diǎn)P是反比例拯I數(shù)工行U）圖象上一點(diǎn),，mn=12.1如答圖，過點(diǎn)P作PM1K軸于點(diǎn)M, PN，y軸于

16、晨冷 則CY=tb,。平口. 由垂徑定理可知，點(diǎn)豈為0A中點(diǎn)，點(diǎn)可為OH中點(diǎn),.OA=2OM=2niJ 0B=2ON=2n,； 5二八obJbOQaJx 2n*2m=2mn.- 2 x 12=24. 22（3）證明：若點(diǎn)Q為反比例醐1廣二仃0圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)?參照門3同理可得:s_COD=-Bo*CO24J2貝崎：COD-S a AOB_34 f 即工BO*QADO8j22，DOOC=BOQA.解答昏反比例函數(shù)相關(guān)練習(xí)題.如圖，直線y=-x上有一長為72動線段MN ,作MH、NP都平行y軸交在條件（2）下，第一象限內(nèi)的雙曲線點(diǎn)H、P,問四邊形MHPN能否為平行四邊形（如圖3） ?若能，請

17、求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.v=-x.如圖，已知Pi0Ai, ZP2A1A2都是等腰直角三角形，點(diǎn)Pi、P2都在函數(shù)y=-x(x0)的圖象上，斜邊OAi、A1A2都在x軸上.則點(diǎn)A2的坐標(biāo)為 k.如圖，A是反比例函數(shù)y (k 0)圖象上一點(diǎn)，過A作ABLX軸于B, P在Y x軸上，AABP面積為3,則k=.如圖，在x軸的正半軸上依次截取OAi A1A2 A2A A3A4 A4A5 ,過點(diǎn)2A、A2 A A4、A5分別作x軸的垂線與反比例函數(shù)y - x 0的圖象相父于點(diǎn) xP、P2、E、P4、P5,得直角三角形 ORAp A1BA2、A2BA3、A3P4A4、A4P5A5,并設(shè)其面積分別為6、