高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)選填題專項(xiàng)練習(xí)16---球(解析版)

1、高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)選填題專項(xiàng)練習(xí)16球第i卷（選擇題）一、單選題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題 目要求的。1. （2019湖南長沙一中高三月考（文）某球中內(nèi)接一個(gè)圓柱，其俯視圖如圖所示，為兩個(gè)同心圓，半徑之比為1 : 2,則該圓柱與球的體積的比值為（）C百16A.C,也D.0 3 .3B.一16【分析】根據(jù)球和圓柱的半徑求出球心到圓柱底面的距離，從而得出圓柱的高，再由圓柱的體積公式以及 球的體積公式求解即可.【詳解】設(shè)該圓柱和球的半徑分別為r,R ,則R 2r ,球心到圓柱底面的距離為 JR （2020寧夏銀川一中高三月考（理）已知正四面體 A

2、BCD的棱長為J3,則其外接球的體積為（ r2 J3r ,即該圓柱的高為2屏,則該圓柱與球的體積的比值為r2 2j3r:4 2r 3 3/3:16,故選：B3【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的體積公式以及球的體積公式，屬于基礎(chǔ)題【分析】將正四面體補(bǔ)形為正方體，利用正方體的外接球，計(jì)算出正四面體外接球的體積【詳解】將正四面體 B1 ACD1放在正方體 ABCD A1B1C1D1中如圖所示，正四面體的外接球即正方體的外接球，設(shè)正方體的邊長為X ,由于AB73 ,即 &x所以正方體的外接球半徑為1倔，3更工,所以外接球的體積為 4222 2,23392工.故選：B2,28【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球

3、體積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.(2020山西高三月考(文)在三棱錐P ABC中，PA 平面ABC, PA AB 2, ACB 30 ,則三棱錐P ABC外接球的表面積為.A. 10B. 20C. 15D. 40【答案】B【解析】PA o【分析】先用正弦定理求出ABC外接圓的半徑r ,然后利用R2 r2 ()2求出三棱錐P ABC外接2球的半徑R,即可算出表面積.AB【詳解】設(shè) ABC外接圓的半徑為r ,則2r 4, /. r = 2 ,設(shè)三棱錐P ABC外接球的半sin ACB1,22 PA 2徑為R,則R2 r2 ()2 5,2故外接球的表

4、面積S 4 R2 20 .故答案為：20【點(diǎn)睛】本題主要考查了三棱錐外接球的表面積，其中根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和球的性質(zhì)，求得三棱錐的外接球的半徑是解題的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力（2019廣東高三月考（文）如圖，已知球。是棱長為1的正方體ABCD ABCDi的內(nèi)切球，則平面ACDi截千O的截面面積為（）AR【答案】C【解析】由題意可知：截面是MNP的外接圓，而 MNP是邊長為 Y2的等邊三角形,2所以外接圓sin 600也，則r盤，所以S r2365. （2019湖南長沙一中高三月考（文）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球表面積為41A. -B,-【答案】D

5、【解析】【分析】首先根據(jù)三視圖還原其直觀圖,再根據(jù)直觀圖找到四棱錐外接球的球心，計(jì)算球體的半徑和表面積即可.【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐，其底面是邊長為2的正方形，右側(cè)面是腰長為 J5的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱錐的高為2.fi設(shè)。為球心，。1為VABC的外心，M底面的中心，D為BC的中點(diǎn)，因?yàn)?AB B BD 1,所以AD 5 12 54 , sin ABC 田，設(shè)VABC外接圓的半徑為 52,5AO14又因?yàn)镸DOOi 1 ,所以 R 12 (5)241.S 4 R2 受416441.故答案為：一 4【點(diǎn)睛】本題主要考查四棱錐的外接球，同時(shí)考查了三視圖，將三視圖還原其直觀圖為解

6、題的關(guān)鍵，屬于中檔題.6. （2020江西高三（理）已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面積為12,當(dāng)其外接球的表面積取最小值時(shí),異面直線AG與BC所成角的余弦值等于（）51413C.一D.314【分析】設(shè)正三棱柱的底面邊長為a ,高為h ,球的半徑為 R,先得出ah 4 ,然后R22 h2ah44. 3. 3 3.3即a 33h時(shí)其外接球的表面積取最小值。然后由余弦定理即可求出2cos DB1C【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長為a ,高為h ,球的半徑為 R,由題意知3ah 12 ,即ah 4 ,底面外接圓半徑r2sin 3a,3 ,由球的截面圓性質(zhì)知 R22 h2 ahr 7 73h時(shí)取等號(hào),

7、2將三棱柱補(bǔ)成一四棱柱，如圖，知ACiDBi ,即 DBiC為異面直線AC1與BiC所成角或補(bǔ)角,B1C DB1、ah2，DC邪a,所以cos DB 1c2 a2 h23a252 a2 h214【點(diǎn)睛】異面直線所成的角一般是通過平移轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角7. （2020廣東高三期末（理）已知三棱錐 P ABC的底面是正三角形,PAJ3，點(diǎn)A在側(cè)面PBC內(nèi)的射影H是PBC的垂心，當(dāng)三棱錐P ABC體積最大值時(shí)，三棱錐P ABC的外接球的體積為A.9.32C. 6D.【解析】【分析】設(shè)點(diǎn) O是點(diǎn)P在底面ABC的射影，先分析可得O是底面ABC的垂心，也是外心，則PA PB PC J3,則當(dāng)PA,PB

8、, PC互相垂直時(shí)體積最大，再求得外接球的體積即可【詳解】設(shè)點(diǎn) D為BC的中點(diǎn)，則AD BC ,因?yàn)辄c(diǎn)A在側(cè)面PBC內(nèi)的射影H是 PBC的垂心，所以PA BC, PC AB,設(shè)點(diǎn)O是點(diǎn)P在底面ABC的射影 則BC 1平面PAD,所以O(shè) 一定在AD上， 因?yàn)锳B PC, AB PO ,所以CO AB，所以O(shè)是底面ABC的垂心，也是外心，所以PA PB PC J3,則當(dāng)PA,PB,PC互相垂直時(shí)體積最大，設(shè)球的半徑為R,則 TOC o 1-5 h z 3443392RJpa2PB2PC23,所以R一，所以球的體積為VR3-一一，故選：D HYPERLINK l bookmark50 o Curre

9、nt Document 23322【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的外接球體積 ，考查空間想象能力（2020 安徽六安一中高三月考 （理）在四B A BCDE中，VABC是邊長為6的正三角形，BCDE 是正方形，平面 ABC 平面BCDE ,則該四棱錐的外接球的體積為（）A. 216彳兀B. 84冗C. 7后彳兀D. 28721 Tt【解析】 【分析】取BC的中點(diǎn)為M , N,F分別是正三角形 ABC的中心和正方形 BCDE的中心，根據(jù)已知條件可得MF，平面ABC, AM，平面BCDE ,過N, F分別做MF , AM的平行線交于 O ,則O為球心，求出ON , 即可求出外接球的半徑，即可求解 .【詳解】

10、取BC的中點(diǎn)為 M , N是正三角形 ABC的中心，F(xiàn)為正方形BCDE的中心，連接 AM , FM 則有 MF BC , AM BC ,平面 ABC 平面 BCDE ,平面 ABC I 平面 BCDE = BC , MF，平面 ABC,AM，平面 BCDE ,過 N, F 分別做 li/ MF , I2 / /AM ,則 li，平面 ABC, I2，平面 BCDE, li, I2交于 O ,則O為球心，OF /MN ,ON /MF , MN MF所以四邊形OFMN為矩形，ON MF 3,AN 2 AM 2x/3, OA Jon 2 AN2 J32 （2拘2 J2?所以外接球的體積為4 （ 21

11、）28.21 .故選:D.3【點(diǎn)睛】本題考查多面體與球的接“切”問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)球的性質(zhì)確定球心，考查空間想象能力,屬于中檔題.（2020 山東高三期末）用一個(gè)體積為 36的球形鐵質(zhì)原材料切割成為正三棱柱的工業(yè)用零配件，則該零配件體積的最大值為（）八9.3A.2【答案】D【解析】6731827【分析】畫出正三棱柱 ABC A1BC1內(nèi)接于球O的直觀圖，設(shè)底面邊長 A1B1 x,由球的體積公式得 R 3,再由勾股定理得正三棱柱的 h 20a 219 12，代入體積公式 V S h ,利用基本不等式可求得max27?！驹斀狻咳鐖D所示，正三棱柱 ABC ABiCi內(nèi)接于球。的直觀圖,Oi為底面

12、ABiCi的中心，因?yàn)? R336R 3。設(shè)底面邊長AiBi x，則 h 2OO12 9卷，VE三棱柱2x、(9 3)27,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)3 . 2 ,故選 D.【點(diǎn)睛】本題以實(shí)際問題為背景，本質(zhì)考查正三棱柱內(nèi)接于球，考查正三棱柱體積的最值，考查空間想象 能力和運(yùn)算求解能力，注意利用三元基本不等式求最值，使問題求解計(jì)算變得更簡潔。（20i9廣東深圳中學(xué)高三月考（文）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為i,圖中粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的體積為（iiA.12c ii不B.6C. iiD. i2Q,的外由三視圖畫出三棱錐的空間立體圖形，利用球的性質(zhì)找出球心的位置，再計(jì)算體積即可

13、 由三視圖畫出三棱錐 P ABC如圖所示，過點(diǎn) P做平面ABC的垂線，交BA的延長線于點(diǎn)由三視圖知，PQ QA AB BC i, AB BC ,因?yàn)閂ABC是等腰直角三角形，所以 VABC接圓圓心為 AC的中點(diǎn)M ,所以MA MB MC ,設(shè)三棱錐P ABC外接球球心為 O ,則OM 平面PQ且交PQ于點(diǎn)N ,ABC,所以O(shè)M AC,所以O(shè)A OB OC R,只需讓OP OC即可，作QN由圖 OF2 NF2 NC2 OM2 MC2OC2,設(shè) OM221NQ x ,即 1 x 23 22.2- X 223解得，X ,所以外接球半徑 R2姮,所以外接球體積V2【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體

14、和求棱錐的外接球體積，考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力和空間想象 能力，屬于中檔題（2019安徽淮北一中高三月考（理）在三棱錐 A-BCD中，平面 ABC，平面 ADC, AD AC,AD=AC,ABC 一,若此三棱錐的外接球表面積為3A. 7B. 1228 ,則三棱錐A-BCD體積的最大值為（C. 6D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)三棱錐 A-BCD外接球的半徑為 R,三棱錐的外接球球心為 O, AABC的外心為。1,9BC的 外接圓半徑為 r,取DC的中點(diǎn)為。2,過O2作O2E AC,則OO平面ABC, OO2,平面ADC ,連結(jié)OA, O1A,則O1A=r,設(shè) AD = AC=b,則OO1 = O

15、2E- b,由S= 4 7tB2=28兀，解得RJ7 ,由正弦正理求出2b J3r ,若三棱錐A - BCD的體積最大，則只需 AABC的面積最大，由此能求出三棱錐A- BCD的體積的最大值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)三棱錐A-BCD外接球的半徑為 R,三棱錐的外接球球心為 O,那BC的外心為。1,ABC的外接圓半徑為r,取DC的中點(diǎn)為。2,過O2作O2ELAC,則OO1，平面ABC , OO2,平面ADC , 如圖，連結(jié) OA, O1A,則 O1A=r,設(shè) AD = AC=b,則 OO1=O2E 1b,由 S= 4兀12=28 0 解得 R J72在BBC中，由正弦正理得2r ,，2r,解得b J

16、3r ,在RtOAOi中，7= rACCiA的外接圓圓心分別為。1,。2，若ACA。!B, 3+ ( b) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark110 o Current Document sin ABCsin232,解得r=2, b=2j3, .AC = 2j3,若三棱錐 A-BCD的體積最大，則只需 那BC的面積最大,在 AABC 中，AC2= AB2+BC2 2?AB右C無os/ABC,12= AB2+BC2 - AB?BOAB?3C - AB?BC,解得 AB?BC12 , . Svabc HYPERLINK l bookmark114 o Curren

17、t Document -AB BC sin ABC 1 12 【答案】D J3 ,，三棱錐 A-BCD 的體積的最 22211大值:Vd ABCSvabc AD 3J3 2J3 6.故選：C. HYPERLINK l bookmark112 o Current Document 33【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的體積的最大值的求法,考查空間中線線、 線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.12.（2020四川高三月考（理）)在三棱柱 ABC ABC aa上平面ABC,記VABC和四邊形202A的值為（D. 53222，且三棱柱外接球體積為 ，則O1A311C.一3【分析】如圖，

18、設(shè)三棱柱的外接球的球心為0,連接001,0A.設(shè)三棱柱的高為h,外接球的半徑為R,2_ 2先求出R,再求QA02 A的值.【詳解】如圖，設(shè)三棱柱的外接球的球心為。，連接 OO1,0A.設(shè)三棱柱的高為h,外接球的半徑為 R,由題得 TOC o 1-5 h z 4 3324 R3 , R 2在直角三角形OAO1中， HYPERLINK l bookmark129 o Current Document 33一 22八2_2_2 hOA2 R2 4 ( )2 01A2, 01A2=4 一 HYPERLINK l bookmark106 o Current Document 24在直角三角形CAAi中，

19、J2h2 2OA2, OA22 上上4所以 OiA2 O2A2=5 .故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的外接球問題的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平第II卷（非選擇題）二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。13. （2020 四川省瀘縣第一中學(xué)高三月考（文）三棱錐S ABC中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形,SA面ABC, SA 2,則三棱錐SABC外接球的表面積是28【答案】3【解析】由題意可知三棱錐外接球， 即為以 ABC為底面以SA為高的正三棱柱白外接球:ABC是邊長為2的正三角形， ABC的外接圓半徑r 2至，球心到3ABC的外接圓圓

20、心的距離為 1,.球的半徑為 烏32828外接球的表面積為,故答案為 點(diǎn)睛:本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出求的半徑,求外接球半徑的常見方法有：若三條棱兩垂直則用4R2 a2 b2 c2 （ a,b,c為三棱的長）；若SA2面 ABC (SA a),則 4R4r2 a2 ( r 為ABC外接圓半徑）；可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球;特殊幾何體可以直接找出球心和半徑14. （2020山東高三期末）在直三棱柱ABC AB。中，BAC 90 且 AB V3,BBi 4 ,設(shè)其外接球的球心為O,且球。的表面積為28,則 ABC的面積為332【分析】先計(jì)算球

21、的半徑為 J7,確定球心為HG的中點(diǎn)，根據(jù)邊角關(guān)系得到 AC 3,計(jì)算面積得到答案.【詳解】球。的表面積為4 R2 28 R J7 ,如圖所示：H , G為BC, B1cl中點(diǎn)，連接HGBAC 90 ,故三角形的外心在 BC中點(diǎn)上，故外接球的球心為HG的中點(diǎn).，在Rt OGC中: TOC o 1-5 h z 1_OG -BBi 2,OC R ，故 CG 點(diǎn)；在 RtABC 中：BC 2CG 273 , AB 6，故 AC 3,故SABC 逑，故答案為：巫 HYPERLINK l bookmark108 o Current Document 22【點(diǎn)睛】本題考查了三棱柱的外接球問題，確定球心的位置是解題的關(guān)鍵（2020河南高三期末（理）在矩形ABCD中，BC=4, M為BC的中點(diǎn)，將UBM和4CM分別沿AM,DM翻折，使點(diǎn)B與C重合于點(diǎn)P.若/APD=150。，則三棱錐M - PAD的外接球的表面積為 .【答案】68【解析】【分析】計(jì)算 3DP外接圓的半徑r并假設(shè)外接球的半徑為