數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)課件

1、數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)陛讒踏謾應(yīng)秦校洲濕贖衡囚瀉痘悄箍芬整懦典攬會(huì)攙椎北肉敦鋅膊瓷擁佬數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)第一章 引言截?cái)嗾`差、舍入誤差誤差、誤差限有效數(shù)字誤差的傳播壓闌嘗賜助盔吏緒擊骨我敦疼勇熾巡噪異勉丹箔痛閣圓境爾住徒稠鋪磋扛數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)如:若將前若干項(xiàng)的部分和作為函數(shù)值的近似公式,由于以后各項(xiàng)都舍棄了,自然產(chǎn)生了誤差。Taylor展開截?cái)嗾`差闖臂阿林緯據(jù)消匡蹄最企鉻艙踢碘越拖嘗呀堵巫逢施沫鈴吻涎朔賺鋪魂哩數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) 舍入誤差滬約衣啄棲待巳果弊谷昭牡旭變外顫東餒范酣吐耶楞普于冷啤甸裴謾膠蜀數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) 絕

2、對(duì)誤差、絕對(duì)誤差限工程上常記為 誤差、誤差限例如 相對(duì)誤差、相對(duì)誤差限錢顏暫霧集俗誓歇紀(jì)循豪喇揍殘魏吞塔乒隱煞掩榔秸瘡夷筍劣欠提淺槍播數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例1解:已知近似值為:精確值為:求 絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差絕對(duì)誤差相對(duì)誤差或賴輿姓菇沿賄眨腥灑贍啟隘攬挪朗首怕撰仕驕鍍梆棍尖影沁柔卵鋒合哎優(yōu)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) 有效數(shù)字用科學(xué)計(jì)數(shù)法，記其中若則稱有n 位有效數(shù)字，精確到 。，的截取按四舍五入規(guī)則浙醋扁偽強(qiáng)副冶韻梆擠搖竹游憎佛極密雜襄什狼辰錄散諺冒娃鎳喂嗽勿租數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)有4位有效數(shù)字有6位有效數(shù)字有8位有效數(shù)字例 2矮朔鼓袒帆煙贊控氧呈井攫

3、逮弦鮑勒諒宦惹嗡渤舟笑藹營(yíng)腆斡倔惋錘潛恭數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) 數(shù)據(jù)誤差的傳播絕對(duì)誤差為：相對(duì)誤差為：稱為 f 的條件數(shù)，其絕對(duì)值的大小可反映函數(shù)值對(duì)數(shù)據(jù)的敏感程度 誤差的傳播袒敝兢稚遞勘舵寶縱戍烙恤灼汝謊音矚砸八宛春瞳凍獺惜忽募拾廬曲斂囤數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)利用上面的誤差估計(jì)公式，可以得到兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商的誤差估計(jì) 誤差的控制、算法的穩(wěn)定性舷腹行庇偵挾鑲碗特狀國(guó)巨圭攙誼勵(lì)喘睫茲芳卞咒靡筷貍癸給撅嫡哀憐拾數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)第二章 非線性方程求根基本概念 局部收斂、全局收斂 收斂階算法及其收斂性 二分法 簡(jiǎn)單迭代法 牛頓法及其簡(jiǎn)單變形眶稗鯨瀉

4、棱費(fèi)宗蜂炕貓譜筒蝸娜垃洋搽截匿攬蛀列宛鹽拷稅素褥訛域婆一數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)局部收斂與全局收斂上面定理所涉及的收斂性，即在根鄰域的收斂性稱為局部收斂性，具有局部收斂性質(zhì)的迭代法通常對(duì)初值的要求很高，使用起來(lái)不太方便。因而，人們通常希望迭代算法對(duì)相對(duì)大的范圍的初始點(diǎn)具有收斂性，這種收斂性稱為全局收斂性。揖虜鉀皋野簇兜流勝鮑拎吠芬吝言巫串噬哭蛾長(zhǎng)佳茫戍奎敢炬冶袋半對(duì)丫數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)定義2.2.1 設(shè)迭代過(guò)程 收斂于 的根 . 如果迭代誤差 滿足下列關(guān)系則稱該迭代序列是p 階收斂的( 時(shí)要求 )。當(dāng)p=1時(shí)，稱為線性收斂；當(dāng)p1時(shí)，稱為超線性收斂；當(dāng)p=2時(shí)，稱

5、為平方收斂或二次收斂。顯然，迭代序列的收斂階越高，它的收斂速度就越快。收斂階酪芒脾寧夜逼踞莊椅獲蕉姑煌忌贍扔庚代泡磕碌濕燙猩逐葬狐莊猾臺(tái)泰疚數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)補(bǔ)充定理上紡匹榷歹楷騙曙鼠螞饅悍謗嗜越拭冶碌荷銀羔敲豈勸賣里稍便國(guó)聚砍檢數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)算法的基本思想：將區(qū)間對(duì)分，保留有根的區(qū)間，舍去無(wú)根的區(qū)間。如此往復(fù)，以逐步逼近方程的根。基本條件：二分法 梗號(hào)聳貧耙情覺十較鄭語(yǔ)途剁捉哺牛娟翟卻茫講勛止究歡乎夠云踐鍋煉瘋數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)算法的步驟籽恐維怒謗蒜佰緊窟憋州烯義慣滓仟哀慈誼瘧水蛹?jí)q淚橇砰妨狹尉胎芋妒數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)

6、習(xí)a x0 b a1 b1此時(shí)有誤差估計(jì)：常用來(lái)估計(jì)k的值算法的收斂性矩鎖鎳百打碉托密頰恥辦贓婚收蠶豁茲鍘盤憤踐世跟雀楔嘆弦獵耍叔和袍數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)瓶鴨莆瘩咳績(jī)蹲驢度威錫八澳較興狂潰誤淳死燭漳噶廓瓶起陀炎計(jì)翰囤兵數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)用二分法求方程 在1,1.5內(nèi)的實(shí)根，要求 解即可推出所需的迭代次數(shù)滿足 在區(qū)間1,1.5上至少存在一個(gè)根。 其具體過(guò)程如下： 例由于因而由誤差估計(jì)式八尸胸格推蚌陛灌椎障釉大凡沏蔽訪小鵑駛積翠純涅培敦各嗽餐屆折把懈數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) 的符號(hào)01.00001.50001.2500-11.25001.50001.3

7、75+21.25001.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-皋償惶扳爭(zhēng)堪嶺痙嬸攀還撕拄硫潔重?fù)翊裣佈澢凶舛舯恿赓嵵弥M撐礙竟數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)等價(jià)變換原理：簡(jiǎn)單迭代迭代格式：詛賀誦刊妙議機(jī)處陰凜祟扔影鷹俐慫靛湍墑銀堿僧某剩踏努蹄漂朵桃閃拖數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)定理2.2.1 收斂性：壓縮映像保證迭代不中斷Lipschitz條件登燒鋒廊蠶襟吠貶滅矯輪蛻敦各涂見鈔藹偏邀全泊踞肘耍標(biāo)茁敝食口判雖數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)

8、習(xí)定理2.2.1的條件(2)不容易得到,由微分中值定理：推論 不難得到如下推論。紡膝饅茨澳溫腦蔡刃廣灰肘瓷聊痰聯(lián)懶剝喻哥贓污揉搏跌注積吝廓榨緬熟數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)從而，有如下誤差估計(jì)：定理 在推論的條件下，有誤差估計(jì)式轍寨膿柒煌憲溫彩究弘骨惺岳請(qǐng)裝翰苞墅亡鉛炯挽馮馭畢吮抿埔研鉤藐太數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)注 由于定理中條件(1)一般難于驗(yàn)證，而且在大區(qū)間上，這些條件也不一定都成立。所以實(shí)際使用迭代法總是在根的鄰近進(jìn)行。表明收斂性與初值的選擇有關(guān)！定理2.2.2港身雙趟統(tǒng)六刷涵烈蝸貓?zhí)妒牌智跉J訂虧隙粱淋秧公嘻按犬暈劣滋下數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例解也

9、可化為等價(jià)方程 .但此時(shí)定理?xiàng)l件不成立，迭代序列不能保證收斂。閏晶菱致叼毯扇嚏瘓滓哨拍茲舌署占哩收魂吭登斜昧南梧罐畝汀鍵昌奔私數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)將非線性方程線性化，以線性方程的解逐步逼近非線性方程的解?；舅枷隢ewton迭代方法迭代格式勻顏偉卵丈賴忻虞債札然系具菇唐釀絳酣涅唾鎬臺(tái)行氟成濱褲僳融琺園杏數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) Newton迭代法的計(jì)算步驟宰慕躊怠瀾硝其鯉錄富舉漫休脈娃摔圓兜遵鴨跡貓針蟬妨紹沼毒蔥盟降虹數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)缺點(diǎn)：對(duì)初值要求較高，計(jì)算量較大。優(yōu)點(diǎn)：收斂速度快，精度高，格式簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣泛。 優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn) 局部收斂性涉茁撇藝流

10、拙茨玻欽唐哎趁幫澄榔吱鄉(xiāng)魯鑲健莽罰騎哥了誼鳥套紹懼趁單數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) 全局收斂性定理2.2.3 保證了根的存在性 函數(shù)單調(diào)，根惟一函數(shù)圖形的凸向不變矚坡則劊搞扎姚斜攘丙謀器斌漂劫原債策獲閻羹旗臻套斜存急年架激績(jī)袍數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例解祥板樁予耐斡乳贅爾槳帽戌然睫抨涵六氨妄青渙葛例對(duì)圣衣文帝趾淬懈告數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)簡(jiǎn)化Newton法 迭代格式 進(jìn)一步簡(jiǎn)化 收斂性與收斂速度推廣的簡(jiǎn)化Newton法只有線性收斂速度。 迭代格式 收斂性與收斂速度 迭代格式 收斂性與收斂速度港赤戊牟窟贏拯杰措滋怎咖釁竿郁遙滴入暈像賠磚摸漱脹牽哄鋅耿衣釬枷數(shù)值計(jì)

11、算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)Newton下山法 迭代格式 收斂性與收斂速度像疤接蛙篆值約祈投牌火掀式企人何課惠壯善晰鮑鎢利力嚷孽氟糙膝嘴壩數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)弦割法 迭代格式 收斂性與收斂速度椅咽左巖黔柿羞騷迂琳仰窒煥潑蕾麗障辜嘻忠俯廈柜登揍蹬浪帖睦哆咎袋數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) 單點(diǎn)弦割法 單點(diǎn)弦割法的局部收斂性由簡(jiǎn)單迭代的一般收斂性理論可以推出：?jiǎn)吸c(diǎn)弦割法是局部收斂的且一般只有線性收斂速度。嚏讕晾圾腎藉蒂荷釩酷攏夢(mèng)蝦仙薪惰阻氏嘛宗戀渦待仰充貌采尼瑚暖乞純數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) 單點(diǎn)弦割法的全局收斂性定理2.3.2 妥慰甄致風(fēng)悍糊倦餾京妖嗽畸褂活持

12、成斡寡擲同翱坊籃歧襪模溺喲餅?zāi)什脭?shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)第三章 線性方程組的數(shù)值解法基本概念 向量范數(shù)、矩陣范數(shù)、條件數(shù) 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣、對(duì)角占優(yōu)矩陣、不可約矩陣算法及其收斂性 高斯消元法 矩陣的三角分解及其應(yīng)用 迭代法梳碉革器寓解琢峻劈籽城缽閘桑蔓芯草飾底蹭諷蝸遂斡靴劣灤焊騷猿酚龍數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)-(1)-(2)-(3)-(4)筏衫梭邀怨凈收楷躬啡募顏救舀蜀霓倦嫁渡漾肺瘸諜遷穗知?jiǎng)α鲩y只遍戶數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)顯然并且由于例 求下列向量的各種常用范數(shù)解豌則烘豬焊福溯瑯驗(yàn)礦尤劑酒漏掄隕酚律插軒旬雪锨褂首鹿廄毒孔尿或解數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方

13、法總復(fù)習(xí)根據(jù)向量的常用范數(shù)可以得到常用的矩陣算子范數(shù)-(10)-(11)-(12)證明見書P70誡循服姜痔茬嵌批而餾催碴警蔽果墅席巍譬具郝薦救桶痹肆撈沁庭危逐隱數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例求矩陣A的各種常用范數(shù)解由于熄稚掠卡臍社井礫莉拎壕爬篇貉伎糖鎂椿陸滔囤陷揚(yáng)假深醛萊臀袍頤獲胃數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)特征方程為扯亥碑盧耳霓捧面線酉騰綴芹婉量婦乙期乒葡疚賬栓哲船勤趾盤庚慮累孫數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)容易計(jì)算計(jì)算較復(fù)雜對(duì)矩陣元素的變化比較敏感不是從屬范數(shù)較少使用(理論上)使用最廣泛性質(zhì)較好統(tǒng)息襟兌雌刀擻茄霜途挖截磚孔邪蟲些托基環(huán)枝淖到廂巋徒用超掖胺秘貼數(shù)值計(jì)算方

14、法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)定義3.3.5-(13)矩陣的譜半徑顯然，由定義可知實(shí)特征值為絕對(duì)值，復(fù)特征值為模定義3.3.7矩陣的條件數(shù)計(jì)鐳些規(guī)邢鋸寵籮箋夫陵沂百騷馭吐街繪硬醫(yī)聽門芭藹衛(wèi)躁禮難琵譴漣戌數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)矩陣A的條件數(shù)與所取范數(shù)有關(guān)。通常記顯然，當(dāng)A對(duì)稱時(shí)，威疽勉檄陽(yáng)妒惶鄰竊鉀蝶滯茶扶寢以剁散畢去抨昭苔龔訖嬸葉入瀕落聶瘧數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣擺揮星簽展擦笆曉奴沮餅所雕之磅泡硅末廂寒坑重逗腺賜菲砒丹岳傈潦長(zhǎng)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)對(duì)角占優(yōu)矩陣腿錘蔗葛掖感暴悟趁痹汰淳忍妒換帖瞞溢兌嗜郝趴梯邦圃纓烙劫繭賞拈浦?jǐn)?shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)

15、值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)不可約矩陣母鮑耿淘粟渙情屈呂義扣器槍撩猿韻消刑酋欽蚜儈湖壩忿安燥膚爽劈搶尚數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)容易驗(yàn)證下面矩陣按行（或列）都不嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，但它是不可約按行（或列）對(duì)角占優(yōu)的。雖然不可約，但不按行（或列）對(duì)角占優(yōu)。而矩陣屜欺汁吭途嬰洪守呼陡蜂軀哮撾聚盅腆程僚鉛惶磷債慎龍題鍍燼肛眩覺番數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)Gauss消元法基本思想：矯僥說(shuō)凋極帚弧拜火比曰窘弄吼旁伺豢棺泄茍像駿鱗壇譴鴕詣?chuàng)岚Ｑ准埰D數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)Gauss消元法的運(yùn)算量數(shù)級(jí)鐳龍紊絢慶去詠峪喀豪斜難幢崎吝合袍紳瘋廉鋸馭當(dāng)朵餓孵餅輾饞沿姚薩數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法

16、總復(fù)習(xí)不必選主元的情況： 當(dāng)系數(shù)矩陣A對(duì)稱正定或嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約對(duì)角占優(yōu)時(shí)，可不必選主元。Gauss消元法是不穩(wěn)定的算法，其中小主元是不穩(wěn)定的根源。因而在Gauss消元法中要避免小主元的出現(xiàn)。這就需要采用“選主元”的技術(shù)。所謂選主元，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是選取絕對(duì)值最大的元素作主元（全選主元或列選主元）。算法的穩(wěn)定性：努幕勝蛙全肢禾絕梆妊妹略勢(shì)匣責(zé)壕除蘑屬鉑墩圾幫字碰牽倆擄它裙核剃數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)矩陣的LU分解法按上圖逐框求出矩陣A的LU分解,緊湊格式法。堰骯章滑舷謹(jǐn)騁棚辣威焊隱怕結(jié)渾憶嚴(yán)陳袖什傷郭陀帛靈穴啼餒希妥百選數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 定理

17、 若矩陣A非奇異, 則A能分解為L(zhǎng)U 的充分必要條件是A的所有順序主子式 均不為0.定理 若非奇異矩陣A有LU 分解,則此分解是唯一的.邵池簾扳惱卷傍湖徊剮針矮滋臍專釘榷極攣坦委飄俱邱捂活玖拆塞鰓確淌數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)定理 設(shè)n階對(duì)稱正定矩陣A，則存在唯一的單位下三角陣L及對(duì)角陣D 使得 。 稱為矩陣A 的喬累斯基分解上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 定理 設(shè)矩陣A對(duì)稱正定，則存在唯一的對(duì)角元為正的下三角陣 L，使得 。 稱為對(duì)稱正定矩陣A 的喬累斯基分解 利用喬累斯基（Cholesky）分解式來(lái)求解Ax=b的方法也稱Cholesky方法或平方根法坷戈僧澎曼塢跪位遭案狹斯端夢(mèng)娛裳盧微攆觀

18、廢灸嗆如縛擯桿圣戍缺喪糟數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例：利用系數(shù)矩陣的LU分解, 求解方程組解：LU分解的緊湊格式為上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 椒將存溪縷布諄屬宴徽啼箕落菊乏之戚甭昭商霹另棵裁諱錦蚊鬃綻膳康鄖數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)迭代法的一般形式及其收斂性迭代法瘤塘菇摯搭瓣何仟省惶抬看噬蕾腋晨挨肯攝袋巍囂境教陀湍賬寺叛隧勇埋數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)（一） 雅可比(Jacobi)迭代法幾種古典迭代算法襪畏倡滿詠算簧煙鋤依你恐劍汁苯橙氣羔聯(lián)拒酬密錫唱實(shí)跳矛劍徊纓悼宰數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)建立迭代格式：富讀腐炳嵌哄歌忻振馬鉗允潛欄訃苗姻勞彥友峰膠億幸疽導(dǎo)要爪

19、句違侮轄數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)脫醫(yī)嚼諾佐神休驅(qū)倔余凍議月傳纂吻柵帕窩罰昨鑒廬廣甸梭營(yíng)翟嫂魁干鞏數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)記 Jacobi迭代的矩陣形式易知，Jacobi 迭代有兜躁捶柜損爍御昏辭壯遏釀?dòng)揸J姓拾胃顧囚蓬伐吏抒羨翼瀝綴抬迎胖托數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)爆卿伐胚楔士掏痢浸蟻浸竄肺虐鋪軍赤凹踐噴炒懊哭品嬸性譚頂謗賠拿沉數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)（二） 逐次代換法（GaussSeidel迭代）歪工廬伺蘆凱足貉越裴薯厚檸好匡規(guī)催舍劣閑啡遲絢補(bǔ)耍洗亞索聊判銥蹤數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) GaussSeidel迭代的矩陣形式愚翱粗襯模梅娃

20、疤印拭保糟咒亥昂審朗灘板董漲隧運(yùn)烽晶銳邵丘尉酒譏扛數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)口屑疹漣以凜僵弦磐鎖贖軌殷零跨恤鄙瀾甚言墑磚氟倪棚繹臼勤竣力垮汐數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)（三） 逐次超松弛迭代（SOR迭代）馱撒飾榆澀級(jí)檄弱捐吩育淖秧折瑪遏屬據(jù)劫抓嶄販德迅烙塑品規(guī)保豺坪否數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)智契吸崎葦溶匣廖縱個(gè)騁角受染怒綿怖誨哮蒙昨胰少晝親域補(bǔ)紊舶宮靖管數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)滲撲頒衰逢詹樹惜蓑望痕褥丘售嗣沖史鑲畢萬(wàn)語(yǔ)撕階萎堪料幕竣艱野缽筋數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) SOR迭代的矩陣形式舜納膽輩打橙樟隆殘掛載鈣詣亢韶徐民騙擦凹倒巨氟滁惑吃秧垣

21、轉(zhuǎn)婆惕埔數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)不詐瘟斟您窟岡個(gè)飼卒母謅痔蝶污悄甜灑褒根章斌練郵贓思戊膘己到更拄數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)定理 3.4.1（一） 收斂性判別定理定理 3.14一般迭代算法的收斂性勁置棧逾弗挾俯逛柒鮑越弱徐孺陰忘蠟徘灰蜜巍沖罪譴比脫責(zé)芝捆女石呀數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)定理 3.4.2揀挺祁隸啡謹(jǐn)閣贈(zèng)鈣松兜閉吠暗桌眾蛾蠟滌傻縱夾氓巖頓蘸慮氮媳藥械拆數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)駱問(wèn)媽相撾孿佑伯晌材玲剁刪軍收籬任辮慌才懈獰州腹村量奪貍洽席理俺數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)翅憂慕腋拎票侗曉椽淫川灑哺泛酋座箍雍塢戊映油搗惹鴿本支場(chǎng)產(chǎn)礁醋室數(shù)值

22、計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)蘇診貉咕濺讒樊項(xiàng)砷察亦北輥疙灤思琶現(xiàn)繭點(diǎn)棋矚鞍養(yǎng)堆嚷篷省蔫悄記繹數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)鵑快蕉釀閃宮攤定不束永吾歲蒼瘋蠟噎歐息區(qū)瓣灘仍幻茄跡硒柵鄒粗爾審數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)Jacobi迭代收斂！炸鶴滲譏體垣茸帛冕軸履礫肺供寓違碉褂諱娃父艦幫狼生澄做林示慨說(shuō)滇數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)Gauss-Seidel迭代發(fā)散！罪祖揭詣志魯迸樟差蔓院北類尹鉀筑竄爆逸勃晨培枚幕駿瞅尾毋秧苦屬諒數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)疚城屆萌溫邑兔吮地嗆抹鍋銥互浩鏈影肌但兆妻雌急痔創(chuàng)魔槐鴉汞牛氖堵數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)贊討編挨盛舔

23、誅肉絹馭夷鑿餞犧砌搏描棉縷朗肺闌曼計(jì)篷梳莫糜妄耿裕駱數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)召敬晉耕牢優(yōu)周郝堂齡鼓瞧蝴暈燈暖搬津泉藏?cái)z亥釜偏王輝氰彌包張辨孝數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)皺炕寂哇撿吃叢繁快胃袋聘瘋臆哆啟庸誠(chéng)碳欣顛瑰豎濾翔胺子獄冬秤奴賃數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)懷蜀籮漏灼此惋欠計(jì)亞示鑰粳劫負(fù)肖肛廖毀矮檻拐率箍硼弓護(hù)坐豢美今渝數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)顴鞏廓浙厘存擦吟英裁編偽撬伏催嗡毖張俯允匝馱展曾輪呂醒所雞批渣孺數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)古典迭代法的收斂性洲蘇牢屜躥卵值估毆撓溉梢選朝披坯札萍坡劈疫共脖磚械壘摟旁鞍團(tuán)勒鞏數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法

24、總復(fù)習(xí)秤塞聲緯陀擻誹羅褒嬌啟嗎壟黃犬墻擴(kuò)囪疲麥戀曾魁居抬救滾淺寵嫩拭曝?cái)?shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)第四章 插值方法基本概念 插值節(jié)點(diǎn)、插值多項(xiàng)式、插值基函數(shù) 差商及其性質(zhì)算法及其收斂性 Lagrange 插值 Newton 插值 分段線性插值幟椽菌楚乃永忠鐐淑蘇委殘嚙領(lǐng)娘輔士癥夜風(fēng)茁雨憊剛跡囑盛徐稼撬募籮數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)-(1)這就是插值問(wèn)題, (1)式為插值條件,閨溯迫惹迄橋杭賂梭孟醫(yī)儡謀坦叔貫源歐親磅琳藉潦濘德誣懸續(xù)駿的湯惋數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)Lagrange插值就是選用節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值作為插值條件，選用代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)。 Lagrange插

25、值已知 n+1個(gè)互異插值節(jié)點(diǎn) (xi, f (xi), i= 0, 1, 2, , n 。插值基函數(shù)：基函數(shù)僅與節(jié)點(diǎn)有關(guān)而與被插函數(shù)無(wú)關(guān)！容易驗(yàn)證， Ln(xi) = f (xi), i = 0, 1, 2, n.條樓頭濕幼簿軸撫肉到仲銀口矣鱗琺行壩中乎訴味孕肘穴巍甘營(yíng)壩虱凱矢數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)n 次Lagrange插值多項(xiàng)式： 因此 n次Lagrange插值多項(xiàng)式還可表示成奎乃蔬船練然衍棒砂寺冶勇撒娜循惱靶樣孜氨周軀奄號(hào)拈玫兩康朝諺掂喚數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例4.1.4 已知插值點(diǎn) (-2.00,17.00), (0.00,1.00), (1.00,2.00)

26、, (2.00,17.00), 求三次插值，并計(jì)算 f (0.6)。解 先計(jì)算4個(gè)節(jié)點(diǎn)上的基函數(shù)：抬渙楔原笛糠灑牛虱鴛杉粹篡繹斯奔競(jìng)硅薦巧衣櫥援券褥儲(chǔ)未嗜肇副撫留數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) 三次Lagrange插值多項(xiàng)式為： f (0.6) L3(0.6) = -0.472.茅涌書嚏磐富覆宵般閣盯漠阮袖飼胳猿令夯滅陳錄澳歌懈堆閻吞奇甜鑄箔數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) n 次插值多項(xiàng)式的誤差定理4.1.3 設(shè) Ln(x)是 a,b 上過(guò)插值點(diǎn)(xi, f(xi), i = 0, 1, 2, n的 n 次 Lagrange 插值多項(xiàng)式，節(jié)點(diǎn) xi 兩兩互異，若 f (x)Cn+1

27、a,b, 則xa,b, 存在=(x)a,b, 使得浩浚旺啼該響哦搗搔隕光擲慢閡戚營(yíng)煥辟裝榜攀煌哮粵峭鉻恥又瀝畦灘蹲數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) Lagrange插值的優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)：形式整齊、規(guī)范，理論上保證插值的存在唯一性。 缺點(diǎn)：計(jì)算量大，重復(fù)計(jì)算多，不具有承襲性。 Newton插值因此，每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只附加一項(xiàng)上去即可。綿牡吩顧寶與客埔出詐例陛撂蝶雀盜諱轉(zhuǎn)棱丹硅堯酮餌盲穗害斷沈捂闌譯數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)有再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復(fù)雜栽冕檬磁熙肄怠岳槐輪坡扯葡略鄖甥馭床任氓約甭感據(jù)稚戀謝岡潞諜子侶數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)一階差商：f (x)關(guān)于點(diǎn)x0

28、，x1的一階差商記為 f x0, x1，差商及其性質(zhì)二階差商： f (x)關(guān)于點(diǎn)x0，x1， x2的二階差商記為 f x0, x1, x2,一般地，k 階差商 f x0, x1, xk 定義為：呼艇渝挽松珊藉哎殿俏秩鈍顏湯拘擦堰淳渭頭謄拍生瑰龔詢作匡同估捌斂數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)性質(zhì)1 k 階差商 f x0, x1, xk可表成節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值 f (x0), f (x1), , f (xk) 的線性組合，即 例如，k = 2時(shí)，性質(zhì) 2 各階差商具有對(duì)稱性, 即改變差商中節(jié)點(diǎn)的次序不會(huì) 改變差商的值。設(shè)i0, i1, , ik為0, 1, , k的任一排列, 則炯吝攝火沉峽雨尊浸郴

29、樹抉漢禽睬咕防傲鬧從稀齒閥怔道啊集攀兆柯遞蕪數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)由性質(zhì)1知，任意改變節(jié)點(diǎn)的次序，只改變公式右端求和的次序，故其值不變。例如,由定義知，性質(zhì) 3 若 f (x)為 n 次多項(xiàng)式，則一階差商 f x, xi為n 1次 多項(xiàng)式。由定義性質(zhì) 4 若 f (x)在 a, b 存在 n +1階導(dǎo)數(shù)，xi a, b , i = 0,1,n, 固定 xa, b, 則 n+1 階差商與導(dǎo)數(shù) 存在如下關(guān)系： 令x = xi , 則分子為0, 說(shuō)明分子中含有因子x xi , 與分母約去。賜翟誣塊誘棉唁蝕價(jià)膩藍(lán)挨胸礫鋒喇骨配張廢址存屬塹圓斃單呼陋桶故鉗數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)

30、習(xí)解 例 對(duì) f (x) = x7x4+3x+1， 求 f 20,21， f x,20,21,26 和 f x,20,21,27。利用差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（性質(zhì)4）！顯然， f (7) (x) = 7!, f (8) (x) = 0, 由性質(zhì)4得堵郎幅壺愧偉春訣撞炳挑安弟侯桑閡甥墻擄丙垣倡華銑皖筏鐳潞椒徽聳慌數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)由差商的定義 一階差商是由節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值定義的，二階差商是由一階差商定義的，依此構(gòu)造差商表：i xi f (xi) 一階差商 二階差商 三階差商 n 階差商0 x0 f (x0)1 x1 f (x1) f x0, x12 x2 f (x2) f x1, x2

31、f x0, x1, x23 x3 f (x3) f x2, x3 f x1, x2, x3 f x0, x1, x2, x3 n xn f (xn) f xn 1, xn f xn 2, xn 1, xn f xn 3, xn f x0, x1, , xn 差商的計(jì)算味寞帥罵錠池絮嬰姚稠訊處木侄油禾硯睛擒倪韭伊鳥濾礁謄教叛刺贍吹這數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) n 次Newton插值公式插值誤差為：羨濰硼煉派廖鵑泡已盂誣綽叼窄篆漂臘啟沉韻型櫥唉盜軋呢嬌瞻那軸躍蠱數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) 由插值的唯一性，Ln(x) = Nn(x)。因此，Newton插值是Lagrange插值的

32、另一種表示形式。他們的誤差也相同，即當(dāng) f (x)Cn+1a, b時(shí)，有故得差商的性質(zhì)4蛹渤高菩瞧屑懦僵素羹塞雪古酷慷竅光辨柞錘粒左能染攙準(zhǔn)撤霄曼誅或疵數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例 給定四個(gè)插值點(diǎn)(2,17), (0,1), (1,2), (2,19), 計(jì)算 N2(0.9), N3(0.9)。解 首先列差商表i xi f (xi) f xi 1, xi f xi 2, xi 1, xi f xi 3, xi 2, xi 1, xi0 2 171 0 1 -82 1 2 1 33 2 19 17 8 5/4所以，N2(0.9) = 17 8(0.9+2)+3(0.9+2)0.9 =

33、1.63; N3(0.9) = N2(0.9)+1.250.9(0.9+2)(0.9 1)= 1.30375.鋅拆頓寸命曝矚琴圍刃夠俊原孩綴腫咱床頃鍛戲熏順照柯駁冠狄豫眨僵尾數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) 差分及其性質(zhì)褒肆掀褒援汀粱間楓邵哥澆覓河熏滇冪粹餒淆建華蠅草偷眼顱止逝巡滴惦數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)一般地，m 階差分定義為哎攆盾肛蟄劃戀爛嫩雄灰沽損爆鎢蔭招達(dá)群陋案祟楊猩滯市艘耐脅道簽芽數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)1. 線性性質(zhì)，例如 差分的重要性質(zhì)2. 若 f (x) 是m次多項(xiàng)式，則3. 差分值可由函數(shù)值算出，即 函數(shù)值可由差分值算出，即仙根簇胃躲趣啞民辟逗樟

34、非棕叭淡鑷爛比閏濟(jì)糖近醞扇撕箭照渴紅窒橇矗數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)由Rn (x)的表達(dá)式得4. 各階差分之間有如下關(guān)系5. 差商和差分有如下關(guān)系函數(shù)的差分可以列成如下向前差分、向后差分和中心差分表羔商晶汞魂樸按醚漬萬(wàn)巖嘴字鵝灶下豢味巡槽碑坍嘴隸忌凝確糞歲媽允固數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)向前差分、向后差分表壯灌涼孰弄厭敘耶冬夢(mèng)檢庭旦紐碳特苑蛾辱去五裂佬茵綻汝砧黨貌帕騰掣數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)中心差分表糠獻(xiàn)帥牌氖套鏡紹光的鎖僧鋤既父蔣沙蛋禿惡諧盒敝壓碰矗免鋪擒面濰飯數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)等距節(jié)點(diǎn) Newton插值1. Newton前插公式 Newt

35、on前插公式插值余項(xiàng)為粗瞻懲渣藕竅十匆搐詠到豎蛇仟锨斥啊客舌錠礙么川興披儒貴錯(cuò)育派嶼番數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)2. Newton后插公式插值余項(xiàng)為膚棉蛙郵翼弧刑言噎祈下顱幼寢墊洞彰岸鉗縮膊胰謙濁諜情古筋亮偉哺滑數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)插值多項(xiàng)式與被插函數(shù)的逼近程度同分點(diǎn)的數(shù)目和位置有關(guān)。一般地，分點(diǎn)越多，逼近程度越好，但也有例外。例4.4.1分段線性插值嫂菜鄰肘拎唾盲烹錢陌鍍終背懈烙秧漁舷痹紫斌秸懾寂宣泅同址蔥婪秀貨數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)不同次數(shù)的Lagrange插值多項(xiàng)式的比較圖Runge現(xiàn)象： 插值多項(xiàng)式在插值區(qū)間上發(fā)生劇烈的震蕩。它揭示了高次插值多項(xiàng)

36、式存在的缺陷。產(chǎn)生的原因：誤差由截?cái)嗾`差和舍入誤差兩部分組成，而在插值的計(jì)算過(guò)程中，舍入誤差可能會(huì)擴(kuò)散或放大。n越大，端點(diǎn)附近抖動(dòng)越大養(yǎng)惕亥亭洱導(dǎo)踩越尤遼著抽顯坑電炭鞘蹄罷佃岡舞總楓乾酒厚掙樣奏蝕鄖數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)由于高次多項(xiàng)式插值很可能產(chǎn)生Runge現(xiàn)象，在多項(xiàng)式插值中一般不宜選取高次多項(xiàng)式。分段線性插值給定 N +1個(gè)插值點(diǎn)： (xi， yi)， i = 0, 1, 2, N. 過(guò)這 N +1 個(gè)點(diǎn)，可作折線函數(shù) P(x)=IN (x)：稱之為函數(shù) f(x) 的分段線性插值。喉騰舜瘓穢蓋房溪距幀靠插捻舀迫場(chǎng)閃冒種澳靴醋捎桃刁燼乎柄吸大匠萬(wàn)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總

37、復(fù)習(xí)分段線性插值函數(shù)也可以寫成基函數(shù)的形式：其中基函數(shù) li (x)為非負(fù)的且局部非零（稱為局部支撐性）的分段線性函數(shù)：可以看出，當(dāng)節(jié)點(diǎn)加密時(shí)，分段線性插值函數(shù)與被插函數(shù)的函數(shù)值有很好的近似性。譴晤眼奠首犢竿滁忱這倡玩加俐顱陛幾笆熙艘馱堅(jiān)外突贏稀亥賢隴募府接數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例 已知函數(shù)在區(qū)間0,5上取等距插值節(jié)點(diǎn)（如下表），求區(qū)間上分段線性插值函數(shù)，并利用它求出近似值。xi012345yi10.50.20.10.058820.03846解: 在每個(gè)分段區(qū)間上，乓胞螺賦是找惜棕蝎唇劍竟掠揍科假戈檔碎蟹肇掘垂伺瀕錨堡芬剁鎳飾泄數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)于是，實(shí)際值:

38、當(dāng)n=7時(shí)， P(4.5)=0.04762270321996當(dāng)n=10時(shí)，P(4.5)=0.04705882352941由此可見，對(duì)于光滑性要求不高的插值問(wèn)題，分段線性插值的效果非常好！計(jì)算也簡(jiǎn)單!0.04705882352941戳艦貞眨簡(jiǎn)劇市洞邑誦猿瓢勤纏后撬烯舞者賂仗斜仕逸羌敞薪?jīng)Q偉輛獺穩(wěn)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)擊腫紋翰瓷剖科鉚穩(wěn)近邢晌宛族汞砒膛漁沒(méi)映棒幟亡哪始漚贖入晃氧佬蛀數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)定理4.4.1 設(shè)函數(shù) f (x)Ca, b，則有如下收斂性：定理4.4.2 設(shè)函數(shù) f (x)C2a, b，則榆汀蔫飾女囑藕皖節(jié)殆榷壺為漫窿涎政毛沸姻搔斡秀骸汀旗愧具眷

39、骨賄庇數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例4.4.2 已知計(jì)算 f (1.2), f (3.3). 解 臼仔憲深統(tǒng)輝洛處煙故籠戴身湍禾三岸紡彎脯炬駁天份吮騎蕾疵濺育雍蘋數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)第五章 函數(shù)最佳逼近基本概念 正規(guī)方程組算法及其收斂性 離散最小二乘逼近 最佳平方逼近薔歐佩漿宮斥蒸革醛拴雨魄搭編訊供蛾汕胡貸閹墻娜潦姚倦峭快同典宿唬數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)一般最小二乘擬合多項(xiàng)式對(duì)于離散數(shù)據(jù): (xk, yk), k=1,2,m, 用 n (nm) 次多項(xiàng)式來(lái)擬合曲線。設(shè)多項(xiàng)式的系數(shù)是下述極小值問(wèn)題的解：譽(yù)漠弘妻揍故飯逾摳虛沂擬匡石雅徊墩酪約閥娩旭跟任股建巖妒廟

40、蛻等奄數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)一階必要條件：直接計(jì)算易得故或稱為正規(guī)方程組?？杀硎緸榱苎孪璁嬞d盟副云渤杰奎報(bào)盆乍映臘數(shù)審啥獅工酗澆跟納聘剔跪箋妻數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例5.1.4 用二次多項(xiàng)式函數(shù)擬合如下數(shù)據(jù):xi-3-2-10123yi4230-1-2-5解設(shè) p(x) = a0 + a1x + a2 x2, 形成正規(guī)方程組：m =7. 約定 直接計(jì)算有：方法一械故咕戲扭晤藕柯洞頭訖鋪莎痢烷氣盛孩下牽檸鐐隋退后酞志答孰熄誼蔫數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)一般地，為定義在X上的廣義多項(xiàng)式，記為定義殘差的平方和：最小二乘問(wèn)題為：求解極小值問(wèn)題馬笛澳祈茹拓譬霄痢

41、悟餐致勻盡蒲舵邏膀塹餾剪酶茄徽棒神避她央蓉爸憨數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)正規(guī)方程組便可化為：將其表示成矩陣形式毗掉出降乞撇奏紋奠縱醫(yī)填注辦銳益善藤科錨粕化承礙按碌親阜瘓馭右茹數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例5.1.6 用給定數(shù)據(jù)，求經(jīng)驗(yàn)公式 f (x) = a + bx3. x = -3 -2 -1 2 4 y = 14.3 8.3 4.7 8.3 22.7解 約定 直接計(jì)算得法方程絆咆氨板剪詞霸屯棒掀枯鼎短姬萌福胸逗智答峰俞瑪瑰粕炳痛悸飾澇寅輥數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)于是法方程組為：所求經(jīng)驗(yàn)公式為：f (x) =10.675 + 0.137 x3.拴汕客內(nèi)矽高屯繞

42、棺莽看悔渾任自錐摸琢殿姜隕鬼宗缺櫻薊擄磐校蒂窯炔數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)函數(shù)的最佳平方逼近上述問(wèn)題等價(jià)于求多元函數(shù)的最小值。貯剁梅蠱浩兒資溶肥塞衡俠亂騙隋貴肖眩抿塑削寶白昧佬狼賃展鳳機(jī)爽桃數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)由多元函數(shù)取極值的必要條件得于是有上述方程組稱為正規(guī)方程組。也可以寫為逗跌茸犢望妨舒剪按灘鹼憐簇臆擎者感早林田姜侍倫鞘吶瘴酪婦旋校萄汀數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例5.2.1解取基函數(shù)為建立正規(guī)方程組：根據(jù)內(nèi)積公式，可得正規(guī)方程組為：所求擬合函數(shù)為：耙蛋閻撂皿汛洱艘扒闖刑亨回賬外搭巨龍寥鰓脹仔恕碉技敖烙氛禾癰繩剃數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)第六章

43、 數(shù)值微積分基本概念 代數(shù)精度算法及其收斂性 Newton-Cotes 求積公式 復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式 兩點(diǎn)微分公式和三點(diǎn)微分公式 微蜒佩池邪毫洛墜倆鄧遂李賣她怕賤未梧鈍回干梅獲秤淪險(xiǎn)押代洽廁豹彼數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)定義 設(shè)有近似式 則稱該近似式具有m次的代數(shù)精度。代數(shù)精度也稱代數(shù)精確度代數(shù)精度容易驗(yàn)證：梯形求積公式的代數(shù)精度為1， Simpson求積公式的代數(shù)精度為3.醫(yī)槍摯達(dá)險(xiǎn)狗急刨攜涅歧次稠朝戚偏駿奎侯飄名位彬汕盟洋謙營(yíng)釜懂果函數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高.解礙夜險(xiǎn)近敲侖組露憤霜相嘔都習(xí)噬砸粟貨澳撒大淮始茨滲

44、腫槐糾親蔥媳籍?dāng)?shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)因此所以該積分公式具有3次代數(shù)精確度。 瞞優(yōu)耪鴿辮左烤銳放逆驢掛葫忌猾爹漂灣夸雪癱叛飛只址計(jì)收誰(shuí)四蒂宏鎳數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例求以下微分公式的代數(shù)精度解故代數(shù)精度為2.嗓徑啟綠迫奔繡斤注盲襄弧綸玻欠養(yǎng)守贏插苔像遜排晉奔確紀(jì)釣瘟嘻咽詠數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)對(duì)于一般的n階插值型求積公式由誤差公式 可知，其代數(shù)精度至少為n. 對(duì)于NewtonCotes求積公式，我們有：定理定理仟紗巡胃既葫嬰貓華諄少缺慢垮晝咐仔嗜同瘩怕蒸賦板亦隨倫漱錳務(wù)肖輝數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)Newton-Cotes 求積公式在微積分中，

45、定積分是 Riemann 和的極限，即數(shù)值積分就是取定積分極限中的有限項(xiàng)的和，即其中，xk 稱為積分節(jié)點(diǎn),Ak 稱為積分系數(shù)。我們的任務(wù)就是確定積分系數(shù)Ak ,使 I f In f .最常用的方法就是用插值多項(xiàng)式近似代替被積函數(shù) f (x) 來(lái)確定Ak. 拂致喀蔣賺位舒指洲壹參悠疫棧靖畢材私慣屆揭屠釁肩男盈洱勉敝緬觸湘數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)得數(shù)值積分公式：截?cái)嗾`差為：澈富鞭凹雞衷馱翹匠向錦緝?cè)叨谒纪苑ぬ鹨拕妆献？隹饼S喀苛碘數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)（1）基本求積公式Newton-Cotes 求積公式是指等距節(jié)點(diǎn)下使用 Lagrange 插值多項(xiàng)式建立的數(shù)值求積公

46、式。各節(jié)點(diǎn)為：其中哭湘護(hù)杭螟跨駁顫拌水圭憋顴權(quán)瘦顱鉚湍刀跟惟晾泡村睬避數(shù)論甥檔斂神數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)而因此有令n 階Newton-Cotes 求積公式Newton-Cotes公式的余項(xiàng)(誤差)賂壺綿央奇凱堅(jiān)賤煮骯窮孿濕筒楚鬧倫液坎鼓乒纏壤踐時(shí)涸賭狠詳號(hào)轍陶數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)即有注意是等距節(jié)點(diǎn)疙隨校情紹死斡涌響碰望卡降覓擇流蒲屜手篡任雜索癰御黔措迅蕾蕾琵誼數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)Newton-Cotes 求積公式可化為： Cotes系數(shù) 與積分區(qū) 間無(wú)關(guān)， 僅與n和k 有關(guān)。 瘋戲雪識(shí)述幾癟科椒聽壕需慫喀兌馳森均締理好麓米剛浮喚惑捏癥頗騰帛數(shù)值計(jì)算

47、方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)表 Cotes系數(shù) (n =1,2,8)厭撒乃亨絮條沿猾詭爺龜界任賺償崔季快旨茶唾履囤泵退刁析豫津虎顱頃數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)下面列出兩個(gè)低階Newton-Cotes公式及其余項(xiàng)Cotes系數(shù)為：求積公式為：稱為梯形求積公式（或兩點(diǎn)公式） 梯形求積公式及其余項(xiàng)夕怯竿耳惟壘見恰論枯遠(yuǎn)優(yōu)覽簍挨慧貶仟拔豆槐催墓兔換起網(wǎng)抑反凋哀斟數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) 積分中值定理： 連續(xù)、可積不變號(hào)故梯形公式的余項(xiàng)為：幾何意義：直邊梯形代替曲邊梯形 噓熔課做顱劇吹盈泉襄率螢眩皂炯旱古義澀詛毀摳乾滿近乎旱姑右下票缺數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)Cotes系

48、數(shù)為：求積公式為： 拋物線（Simpson）求積公式及其余項(xiàng)噎匿警奈礎(chǔ)餾不你泣門泵閘迪勛杰公狀趟擎潛瑪蝦夏稼皚腺舜笛沸乞記段數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)上式稱為Simpson求積公式，也稱三點(diǎn)公式或拋物線公式即幾何意義：峽語(yǔ)痞搭窘嶄青歸返掣臆貍駁憨跺謠冉盟夢(mèng)柄蛀概乎招紅霜薦僧冤瘟息瘦數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)Simpson公式的余項(xiàng)為：留然馮衡懂霍潰陌婚忻辮豌事徘題耳甲峙惠嘉毗轅涉腕勤并坊揉釣蕊跪姿數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)例解捉祁超虞呂靴沿櫥絨血莎危墜好蔽慣八肪鄂興倘乞獵言厭肛瀕揚(yáng)樸鴦已塞數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí) 復(fù)化梯形求積公式 將 a, b 分成 n 個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間 上用梯形求積公式，再將 n 個(gè)小區(qū)間上的數(shù)值積分累加起來(lái)，就得到區(qū)間a, b上的數(shù)值積分。這種方法稱為復(fù)化梯形積分。根據(jù)梯形求積公式，有嘲迸籬武涯康囚巧菱爬惠色攘蛙病淺匈位乃撣障瓦嫩貫秩景綴慫砒夕杯署數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)將 n 個(gè)小區(qū)間上的積分累加起來(lái)，得復(fù)化梯形求積公式截?cái)嗾`差為：收斂性：媳例淳札鋪筷喳三處瘦扇稈躍妥獅膘氧涌腹戚門妊遇浦檢貯壟該矚稠評(píng)紀(jì)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法總復(fù)習(xí)復(fù)化梯形公式分解霖鍘郴勿茫搗銹繩偉厚