概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試題與答案

1、題本大題分5小題，每小題3分，共15分)(1)設(shè)A、B互不相容，且P(A)0,P(B)0,則必有P(AB)=0P(AB)-P(A)P(B)(2)某人花錢買了.已知各種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的只要有一種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)此人就一定賺錢，則此人賺錢的概率約為P(BA)0(B)P(AB)二P(A)(A)0.05(B)0.06(C)0.07(D)0.08X?N(,42),Y?N(,52),piPXJ-4,P2P丫沁常5,則(A)對任意實(shí)數(shù)；pi=p2(B)對任意實(shí)數(shù)*1,piP2(C)只對型的個(gè)別值，才有pi-P2(D)對任意實(shí)數(shù)辿，都有pip2(A)F (a)- -if (x) dx 一則對任意實(shí)數(shù)a成立的是o(

2、C)F(a)F(a)f(x),且f(X)二f(x),F(x)是X的分布函數(shù),1aF(-a)f(x)dx2(D)F(a)2F(a)i用獎(jiǎng)的概率分別為P(A)二0.03,P(B)0.01,p(C)0.02,如果變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X+Y與X-Y不相關(guān)的充要條件為(A)EX-EY(B)EX2-EX2-EY2-EY2EX彳二EY2(D)EX2EX2丁EY2EY2、填空麻大題5小題,每小題4分，共20分)p(A)=0.4,P(B3,P(AB)二0.4貝SP(AB)0.14x30 x1設(shè)隨機(jī)變量X有密度f(x)-，則使P(Xa)P(Xa)推的常數(shù)a=0其它設(shè)隨機(jī)變量X?N(2,2_),若P0

3、XN0.3，則PX00.35(4)設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和丫均服從N(1,1)，如果隨機(jī)變量X-aY+2滿足條件D(XaY2)-E(XaY2)2,則a=20.已知X?B(n,p),且E(X)二8,D(X)二4.8，則n=3三、解答題(共65分)(10分)某工廠由甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占全廠的各車間產(chǎn)品的次品率分別為5%,4%,2%,25%,35%,40%,求：(1)全廠產(chǎn)品的次品率(2)若任取一件產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)是次品，此次品是甲車間生產(chǎn)的概率是多少？解：A為事件“生產(chǎn)的產(chǎn)品是次品”，B1為事件“產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”，B2為事件“產(chǎn)品是乙廠生，B3為事件“產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)

4、的”產(chǎn)的”P，A)32BiW35%4%40%2%0.0345.二1易見B1,B2,B3是的一個(gè)劃分P(AB2)p(B2)35%4%8P(B2A)3i0.034523P(ABi)P(Bi)由Bayes公式有：（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量求：（1）常數(shù)k(x,Y)的聯(lián)合概率密度為(6-x-y),0 x2,0:y4f(x,y)-(2)P(XY_4)解：(1)由于2422f(x,y)dxdy1,所以dxk(6xy)dy1,可得_10k24dx一1-001_(6xy)dy_241r24o1(x?6x16)dx83、(10分)設(shè)*與丫兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為1,0蘭x蘭1;e今，y0;fX(x

5、)-f丫(y)-S,其它？Oy邑0.求：隨機(jī)變量Z-XY的概率密度函數(shù).x解：F(x)三(t)dtF (x)當(dāng) x -0,dt4、X具有概率密度函數(shù)/jIx18,(Yy)P(ey)P(Xln(y1)fx(x)dx0,y00;Mln2(y41),0勾宅e-1；16L1,e4_1八y.于是Y的概率密度函數(shù)fln(y+1)fY(y)4FY(y8(y+1)dyL0,4,0ye其他5、(8分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：xf(X)*T1e-X說副2求:X的分布函數(shù).A30解：由卷積公式得fz(z)-f(x,zx)dx又因?yàn)閄與丫相互獨(dú)立，所以fz一_fX(x)f(Zx)dx-z當(dāng)0wz呼時(shí)，fz(z)二匚

6、fx(x)fY(z-x)dx二Je;x)dx1eA2；當(dāng)z - 0時(shí)，當(dāng)z -1時(shí)，所以 z ( z)f X ( x) f一0fz(z)_fX(x)fY(zx)dx0;室1fz(z)二.fX(x)fY(zx)dx二e(zx)dx二ez(e1);0/70Y(zx)dx1ez(z)fX(X)fY(zx)dxez(e1)10萬6、(9分)假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作，若一周5個(gè)工作日里無故障，可獲利潤元；發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元；發(fā)生二次故障所獲利潤0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元，求一周內(nèi)期望利潤是多少？解：(1)因?yàn)閄?N(0,1),Y?N(

7、0,1),且相互獨(dú)立，所以U-X-Y1,V-XY1都服從正態(tài)分布，EU=E(X-Y1)二EX-EYE1=1DU-D(XY1)-DXDY-2所以U?N(1,2)，所以fu(u)1e4kJ世,f同理EV-E(XY1)-EXEYE1-1DU-D(XY1)-DXDY2所以V?N(1,2)，所以fv(u)=，l=e4(2)EUV旦XY1)(XY1)-E(X2Y2(DY(EY)2)2EX1A2X1)-EX2EY22EX1-DX(EX)-1所以pEUV-EUEVUVDUDV-17、(10分)設(shè)X?N(0,1),Y?N(0,1),且相互獨(dú)立U=XY1,V二XY1求：(1)分別求U,V的概率密度函數(shù)；(2)U,V的相關(guān)系數(shù)UV、riJF11(3)解X三0;10,丫=g(X)茸X-1;0,X-2;2,X3LkJ