簡(jiǎn)單的內(nèi)容不簡(jiǎn)單

1、PAGE PAGE 9 “簡(jiǎn)單”的內(nèi)容不簡(jiǎn)單對(duì)“統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)認(rèn)識(shí)阜陽三中 董海濤作者簡(jiǎn)介：董海濤 中學(xué)正高級(jí)教師，安徽省特級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué).曾榮獲“阜陽市專業(yè)技術(shù)拔尖人才，阜陽市首屆“百名名師”，阜陽市“首屆高中數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人”等稱號(hào).曾在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬）、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)通報(bào)、數(shù)學(xué)通訊（教師刊）、中國數(shù)學(xué)教育、中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中）、中學(xué)數(shù)學(xué)、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、中學(xué)數(shù)學(xué)雜志、數(shù)學(xué)教學(xué)通訊、中學(xué)數(shù)學(xué)研究等刊物發(fā)表論文50多篇.高中數(shù)學(xué)課程中的“統(tǒng)計(jì)”部分，歷來被認(rèn)為易教易學(xué)，一線教師大多走馬觀花一帶而過，以便騰出時(shí)間深挖其他章節(jié)內(nèi)容，將內(nèi)涵豐富的“統(tǒng)計(jì)”做成了一鍋夾生飯.這種功利性

2、教學(xué)行為造成了“好路也翻車”的不正常現(xiàn)象，高三復(fù)習(xí)的幾次?？荚嚲碇械摹八头诸}”分?jǐn)?shù)送不出去的尷尬，引發(fā)筆者的深思，促使筆者重新審視“統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容，深感“簡(jiǎn)單”的內(nèi)容不簡(jiǎn)單！一、教材編寫邏輯主線清晰，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律北師大版教材（以下簡(jiǎn)稱教材）中，文理科“統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容和編寫順序是一致的，知識(shí)發(fā)生的邏輯鏈條清晰，符合研究問題的一般規(guī)律.由于普查的條件限制和不必要性，要求“1從普查到抽樣”；為了保證抽取的樣本能夠忠實(shí)于總體的狀況，需要科學(xué)的“2抽樣方法”；一旦數(shù)據(jù)被收集后，我們就要從中找出所需要的信息，為此，就要進(jìn)行數(shù)據(jù)整理和分析，整理和表達(dá)數(shù)據(jù)信息的手段無外乎數(shù)形結(jié)合，教材首先介紹以“3統(tǒng)計(jì)圖表”為代

3、表的“形”的方法，接著從“數(shù)”的角度介紹了能夠反映數(shù)據(jù)整體特征的“4數(shù)據(jù)的數(shù)字特征”，這些工作最終都是為了“5用樣本估計(jì)總體”（ 這是“統(tǒng)計(jì)”的精髓）；學(xué)以致用，開展一次實(shí)踐活動(dòng)“6結(jié)婚年齡的變化”；在現(xiàn)實(shí)生活中，有些量與量之間有明確的函數(shù)關(guān)系，但更多的是客觀上存在關(guān)系但又不能用確定的函數(shù)關(guān)系來表示，那么我們可以借助某個(gè)函數(shù)關(guān)系來擬合、來近似，為此，教材接著介紹了“7相關(guān)性”，當(dāng)然首先介紹最簡(jiǎn)單的直線擬合“線性相關(guān)”，如何保證擬合的效果最好呢？通過 “8最小二乘估計(jì)”可以實(shí)現(xiàn)這個(gè)想法，“統(tǒng)計(jì)”必修內(nèi)容到此為止.在選修模塊繼續(xù)深化：為了使得求出的線性回歸方程有實(shí)際意義，有必要首先進(jìn)行線性相關(guān)性檢

4、驗(yàn)“1回歸分析”，以判斷他們之間線性相關(guān)程度的大小.現(xiàn)實(shí)生活中，兩個(gè)變量之間存在關(guān)系但不是線性關(guān)系怎么辦？我們可以進(jìn)行劃歸與轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為 “可線性化的回歸分析”，如果兩個(gè)變量之間的關(guān)系根本不可能用函數(shù)關(guān)系來擬合，但需要我們判斷二者之間是否有關(guān)系怎么辦？教材借助列聯(lián)表介紹了一種基本的統(tǒng)計(jì)推斷形式“2獨(dú)立性檢驗(yàn)”.教材從必修到選修，無非就是：“數(shù)據(jù)收集數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)分析線性相關(guān)獨(dú)立性檢驗(yàn)”.線條清晰，邏輯縝密，符合認(rèn)知規(guī)律.二、“統(tǒng)計(jì)”教學(xué)蘊(yùn)含著巨大的教育價(jià)值，滲透著大量的數(shù)學(xué)思想1.“統(tǒng)計(jì)”教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生歸納思維能力“統(tǒng)計(jì)”是一門關(guān)于用科學(xué)方法收集、整理、匯總、描述和分析數(shù)據(jù)資料，并在此基礎(chǔ)進(jìn)

5、行推斷和決策的學(xué)科.因此，統(tǒng)計(jì)的基本思維模式是歸納思維，如果說經(jīng)典數(shù)學(xué)思維強(qiáng)調(diào)的是邏輯推理，“統(tǒng)計(jì)”教學(xué)中則是通過對(duì)數(shù)據(jù)的處理，歸納出數(shù)據(jù)特征，培養(yǎng)的是學(xué)生歸納思維的能力.2.“統(tǒng)計(jì)”是培養(yǎng)學(xué)生批判性思維能力的重要載體數(shù)理統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異在于統(tǒng)計(jì)結(jié)果的隨機(jī)特征，統(tǒng)計(jì)推斷可能正確，也可能出錯(cuò)，這是由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)本身的隨機(jī)性質(zhì)決定的.也就是說，當(dāng)我們對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果給出自己的觀點(diǎn)時(shí)，也要承擔(dān)錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn).例如，在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，當(dāng)時(shí)，我們有90%的把握判斷變量有關(guān)聯(lián)，但同時(shí)，我們也要承擔(dān)10%的論斷出錯(cuò)的風(fēng)險(xiǎn).在 “統(tǒng)計(jì)”教學(xué)中，對(duì)相關(guān)的探究論斷進(jìn)行批判性思維是統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的一個(gè)重要組成部分.3.“統(tǒng)計(jì)

6、”中滲透著大量的數(shù)學(xué)思想隨機(jī)思想是概率的重要概念，是認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象和統(tǒng)計(jì)規(guī)律的重要思想，“統(tǒng)計(jì)”問題的第一個(gè)步驟是采集數(shù)據(jù)，無論是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，還是分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，都滲透著隨機(jī)思想；對(duì)數(shù)據(jù)的整理和分析體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；非線性回歸問題通過對(duì)所選擇的函數(shù)做適當(dāng)?shù)淖儞Q，可化為線性模型來解決，體現(xiàn)了劃歸與轉(zhuǎn)化的思想；“獨(dú)立性檢驗(yàn)”體現(xiàn)了補(bǔ)集思想；“最小二乘法”體現(xiàn)了主元思想以及多元函數(shù)求最值的方法.三、細(xì)小處隱藏著大學(xué)問 “統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容簡(jiǎn)單，許多老師執(zhí)教該內(nèi)容時(shí)，都是“一晃而過”，留下了太多的“知識(shí)死角”，致使學(xué)生對(duì)許多內(nèi)容一知半解，模糊不清.1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的隨機(jī)數(shù)表法，到底是“一豎一列”還是

7、“兩豎一列”由于教材在給“隨機(jī)數(shù)表”時(shí)，是兩個(gè)數(shù)據(jù)挨在一起劃分的，結(jié)果很多學(xué)生誤以為是“挨在一起的兩個(gè)數(shù)字一豎下來算一列”，其實(shí)教材第10頁例題的具體做法中已露出端倪“每個(gè)數(shù)字一豎下來算一列”.2.系統(tǒng)抽樣中剔除一部分個(gè)體后每個(gè)個(gè)體被抽到的概率改變了嗎系統(tǒng)抽樣的“間隔”是指，但商不是整數(shù)時(shí)，需要從整體中先剔除一部分個(gè)體，這樣每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是否會(huì)發(fā)生改變？例如在362冊(cè)圖書中，采取系統(tǒng)抽樣隨機(jī)抽取40冊(cè)檢查裝訂質(zhì)量，首先要剔除2冊(cè)，圖書甲被抽到的概率是還是？其實(shí)，這是一個(gè)條件概率問題，圖書甲被抽到是因?yàn)閳D書甲沒有被剔除，并且在此條件下，所在組內(nèi)圖書甲又被抽到，其概率當(dāng)然是.3.頻率分布直方

8、圖的縱坐標(biāo)是頻率還是頻率/組距對(duì)于這個(gè)問題，很多同學(xué)誤以為是頻率.事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)據(jù)落入各個(gè)小組內(nèi)的頻率之和為1，要保證各個(gè)小矩形的面積之和為1，要求各個(gè)矩形的面積等于數(shù)據(jù)落入相應(yīng)小組內(nèi)的頻率，而矩形面積等于長(zhǎng)乘以寬，因此頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率/組距.4. 頻率分布直方圖背景下的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的估計(jì)值如何求解為了從整體上把握總體的規(guī)律，我們需要通過樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究，頻率分布直方圖背景下的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的估計(jì)，教材對(duì)此語焉不詳，此處不應(yīng)成為盲點(diǎn).事實(shí)上，我們?nèi)∽罡呔匦蔚走呏悬c(diǎn)數(shù)值為樣本眾數(shù)的估計(jì)值；每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)數(shù)值之和為平均數(shù)的估計(jì)值；中位數(shù)

9、左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，據(jù)此可以估計(jì)中位數(shù)的值.四、回歸直線方程應(yīng)回歸“火熱的思考”受“主觀感受代替課標(biāo)要求”、“親教輔疏教材”的教學(xué)功利化影響，“統(tǒng)計(jì)”教學(xué)很容易上成計(jì)算數(shù)學(xué)，在教輔資料中找一些“補(bǔ)全頻率分布表、補(bǔ)全頻率分布直方圖、根據(jù)圖形計(jì)算頻數(shù)頻率、套用公式計(jì)算回歸直線方程、計(jì)算”的習(xí)題，而不是以“統(tǒng)計(jì)觀念”作為教學(xué)的核心目標(biāo).以“線性回歸方程”的教學(xué)為例，參考文1，簡(jiǎn)述筆者的做法，以期做到“數(shù)學(xué)教學(xué)只有恢復(fù)火熱的思考才能真正領(lǐng)悟真諦”.1.收集數(shù)據(jù)，讓問題引出課題課前布置每個(gè)學(xué)生測(cè)量自己的身高和右手一拃長(zhǎng)，并將數(shù)據(jù)集中于課代表處，課堂給出思考問題：（1）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)“身高、右

10、手一拃長(zhǎng)”的直角坐標(biāo)系.（2）課代表將數(shù)據(jù)投影到教室屏幕，將在坐標(biāo)系中繪出身高和右手一拃長(zhǎng)構(gòu)成的有序?qū)崝?shù)對(duì)（穿插介紹“散點(diǎn)圖”的概念）（3）這些點(diǎn)從左向右是上升還是下降的還是均勻分布的？（穿插介紹“正相關(guān)”、“負(fù)相關(guān)”、“不相關(guān)”概念）（4）老師身高175厘米，你能預(yù)報(bào)老師的右手一拃長(zhǎng)是多少嗎？（凸顯回歸分析的核心是預(yù)報(bào)）2.返璞歸真，讓過程經(jīng)歷火熱思考（5）要預(yù)測(cè)老師的右手一拃長(zhǎng)，從數(shù)學(xué)的角度看就是根據(jù)上述數(shù)據(jù)之間的局部對(duì)應(yīng)關(guān)系作為整體關(guān)系的估計(jì)，然后代入身高數(shù)據(jù)即可.（6）回顧我們以前學(xué)過的函數(shù)模型，從“圖”看有沒有與之完全吻合的？（沒有，因?yàn)檫@些點(diǎn)不是整齊地分布在一條直線上，而是呈“帶狀

11、”分布，隱約在某條直線的附近上下浮動(dòng)）.（7）如何確定這條直線？請(qǐng)各抒己見！直觀樸素的想法是什么？（許多學(xué)生給出了類似教材中甲、乙、丙、丁同學(xué)的做法）.根據(jù)大家的建模，能求出老師的右手一拃長(zhǎng)嗎？（事實(shí)上，人類的身高與右手一拃長(zhǎng)之間不存在確定的函數(shù)關(guān)系，這里的數(shù)據(jù)雖然是一種近似描述，但在生活中卻是十分有意義的）.（8）有沒有更好的關(guān)系來刻畫身高與右手一拃長(zhǎng)之間的近似呢？我們回到原點(diǎn)思考：我們希望這條直線與所有點(diǎn)的“距離”都足夠的小，你有哪些想法？（用“點(diǎn)到直線的距離”計(jì)算上幾乎無法實(shí)現(xiàn)，舍棄；“豎直距離的絕對(duì)值”涉及絕對(duì)值計(jì)算，舍棄）.（9）取以上兩種方法的精華，我們計(jì)算樣本點(diǎn)與這條直線之間的“

12、豎直距離”，研究整體距離和最小.3.水到渠成，讓思路自然流暢（10）如何求“平方和”的最小值？退回到最原始的地方思考：設(shè)，求的最小值（直接配方）；設(shè)，且滿足，求的最小值（隱含距離意義的配方）；設(shè)，求的最小值（體現(xiàn)主元思想的配方）.（11）設(shè)所求方程為，如何求，使這個(gè)點(diǎn)與直線的“豎直距離”平方和最小，即保證最?。浚?2）受問題（10）“先行組織者”啟發(fā)，先選擇為主元，完成配方，再對(duì)剩下的元配方（具體過程略），可得所以上式取最小值當(dāng)且僅當(dāng)，這就是要得到的公式（穿插介紹“線性回歸方程”的有關(guān)概念）這種由過去預(yù)測(cè)未來、由已知預(yù)測(cè)未知，研究?jī)蓚€(gè)數(shù)值變量關(guān)系的方法，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上叫回歸分析，“回歸”的內(nèi)涵就是

13、“近似”，其要義是“對(duì)于整體來說，偏差的平方和最小”，回歸方程中的叫做預(yù)報(bào)變量，叫預(yù)報(bào)值.4.學(xué)以致用，讓案例體現(xiàn)思想學(xué)習(xí)了“線性回歸方程”要學(xué)以致用，通過教材“動(dòng)手實(shí)踐”和例2，體會(huì)“數(shù)據(jù)越多，擬合的效果越好，線性相關(guān)程度越高，估計(jì)的結(jié)果越好”.（“統(tǒng)計(jì)”的核心不是數(shù)值計(jì)算，要通過案例，特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)過程的參與性，在過程中體會(huì)統(tǒng)計(jì)的作用和基本思想，發(fā)展統(tǒng)計(jì)思維能力，提高統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)）.五、通過典型案例的探究，提高統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)1.鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程統(tǒng)計(jì)案例的教學(xué)中，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)據(jù)的直觀感覺，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)（如統(tǒng)計(jì)推斷可能犯錯(cuò)誤，估計(jì)結(jié)果的隨機(jī)性），體會(huì)統(tǒng)計(jì)

14、方法應(yīng)用的廣泛性.應(yīng)盡量給學(xué)生提供一定的實(shí)踐活動(dòng)機(jī)會(huì)，可結(jié)合數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)，選擇一個(gè)案例，要求學(xué)生親自實(shí)踐.2.避免單純記憶和機(jī)械套用公式進(jìn)行計(jì)算 “統(tǒng)計(jì)”教學(xué)只要求學(xué)生了解常見統(tǒng)計(jì)方法的基本思想和初步應(yīng)用，對(duì)其理論基礎(chǔ)不做要求，教學(xué)中主要讓學(xué)生了解統(tǒng)計(jì)推理方法的基本思想，并能分析和解決實(shí)際問題，不能讓學(xué)生單純記憶公式，并機(jī)械套用公式進(jìn)行計(jì)算，關(guān)鍵要知道為什么這樣算.3.通過對(duì)典型案例的學(xué)習(xí)，了解統(tǒng)計(jì)中的基本思想“統(tǒng)計(jì)”教學(xué)要加強(qiáng)對(duì)典型案例的分析和探究，結(jié)合案例介紹概念和體會(huì)統(tǒng)計(jì)中的基本思想.例如通過對(duì)典型案例“人的身高與右手一拃長(zhǎng)的關(guān)系”的學(xué)習(xí)，了解回歸的基本思想；通過對(duì)典型案例“吸煙與患肺癌有關(guān)嗎”的學(xué)習(xí)，了解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想，“統(tǒng)計(jì)”教學(xué)過程比結(jié)果重要！章建躍博士多次強(qiáng)調(diào)：“三個(gè)理解”是教師專業(yè)發(fā)展的三大基石，教師對(duì)教授內(nèi)容所反映的思想方法的理解水平?jīng)Q定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果.“統(tǒng)計(jì)”教學(xué)不能因?yàn)閮?nèi)容簡(jiǎn)單而忽視教育價(jià)值，不能因?yàn)橹苯犹子霉蕉鲆曔^程，在案例中體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想，在過程中提高統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)！參考文獻(xiàn)：嚴(yán)士健，王尚志.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)