排列與組合經(jīng)典專題(附詳解)

1、排列與組合經(jīng)典專題(附詳解)45 排列與組合經(jīng)典專題一、知識點歸納二、基本題型講解三、排列組合解題備忘錄分類討論的思想等價轉(zhuǎn)化的思想容斥原理與計數(shù)模型構(gòu)造思想四、排列組合中的8大典型錯誤1沒有理解兩個基本原理出錯判斷不出是排列還是組合出錯重復(fù)計算出錯遺漏計算出錯忽視題設(shè)條件出錯未考慮特殊情況出錯7題意的理解偏差出錯8.解題策略的選擇不當(dāng)出錯五、排列組合24種解題技巧1排序問題相鄰問題捆綁法相離問題插空排定序問題縮倍法（插空法）定位問題優(yōu)先法多排問題單排法圓排問題單排法可重復(fù)的排列求冪法全錯位排列問題公式法2分組分配問題平均分堆問題去除重復(fù)法（平均分配問題）相同物品分配的隔板法全員分配問題分組法

2、有序分配問題逐分法3排列組合中的解題技巧至多至少間接法染色問題合并單元格法交叉問題容斥原理法構(gòu)造遞推數(shù)列法六排列組合中的基本模型分組模型（分堆模型）錯排模型染色問題一知識點歸納1排列的概念：從n個不同元素中，任取m(mn)個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2排列數(shù)的定義：從n個不同元素中，任取m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從n個元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號Am表示.n3排列數(shù)公式：Am=n(n-l)(n-2)(n-m+1)(m,neN*,mn)n4介乘：n!表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘+規(guī)定0!=15排列數(shù)的

3、另一個計算公式：Am=.n(n-m)!6組合的概念：一般地，從n個不同元素中取出m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合+7組合數(shù)的概念：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號Cm表示n8組合數(shù)公式：Cm=A=n(n-1)(n2)(n-m+DnAmm!m或Cm=(n,meN*,且mn)“nm!(n-m)!9組合數(shù)的性質(zhì)1：Cm=Cnm規(guī)定：C0=1;TOC o 1-5 h znnn10組合數(shù)的性質(zhì)2：Cm=Cm+Cm-1.n+1nnC0+C2+C4+=C1+C3+C5+=2n-1;C0+C1+Cn=2n

4、nnnnnnnnn11.“16字方針”是解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘；有序排列，無序組合7。12.“24個技巧”是迅速解決排列組合的捷徑二基本題型講解例1分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù),6名學(xué)生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名學(xué)生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；(3)從6名運動員中選出4人參加4X100米接力賽，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；(4)6人排成一排，甲、乙必須相鄰；6人排成一排，甲、乙不相鄰；6人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊(甲、乙、丙可以不相鄰)解：(1)分排坐法與直排坐法一一對應(yīng)，故排法種數(shù)為A6=7206甲不能排頭

5、尾，讓受特殊限制的甲先選位置，有A1種選法，然后其他5人選，有A5種選法,故排法種數(shù)為AiA5二48045（3）有兩棒受限制，以第一棒的人選來分類：乙跑第一棒，其余棒次則不受限制，排法數(shù)為A3；5乙不跑第一棒，則跑第一棒的人有Ai種選法，第四棒除了乙和第一棒選定的人外，也有Ai種選44法，其余兩棒次不受限制，故有AiAiA2種排法，442由分類計數(shù)原理，共有A3+AiAiA2二252種排法5444（4）將甲乙“捆綁”成“一個元”與其他4人一起作全排列共有A2A5二240種排法25（5）甲乙不相鄰，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙選擇已排好的4人的左、右及之間的空擋插位，共有A4A

6、2（或用6人的排列數(shù)減去問題（2）后排列數(shù)為A6-240二480）456（6）三人的順序定，實質(zhì)是從6個位置中選出三個位置，然后排按規(guī)定的順序放置這三人，其余3人在3個位置上全排列，故有排法C3A3二120種63點評：排隊問題是一類典型的排列問題，常見的附加條件是定位與限位、相鄰與不相鄰例2假設(shè)在100件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少種？（1）沒有次品；（2）恰有兩件是次品；（3）至少有兩件是次品解：（I）沒有次品的抽法就是從97件正品中抽取5件的抽法，共有C5二64446024種97（2）恰有2件是次品的抽法就是從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽2件的抽法，

7、共有C3C2二442320種973（3）至少有2件次品的抽法，按次品件數(shù)來分有二類：第一類，從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽取2件，有C3C2種973第二類從97件正品中抽取2件，并將3件次品全部抽取，有C2C3種973按分類計數(shù)原理有C3C2+C2C3二446976種TOC o 1-5 h z973973點評：此題是只選“元”而不排“序”的典型的組合問題，附加的條件是從不同種類的元素中抽取應(yīng)當(dāng)注意：如果第（3）題采用先從3件次品抽取2件（以保證至少有2件是次品），再從余下的98件產(chǎn)品中任意抽取3件的抽法，那么所得結(jié)果是C2C3二466288種，其結(jié)論是錯誤的，錯在“重復(fù)”：假398設(shè)

8、3件次品是A、B、C，第一步先抽A、B第二步再抽C和其余2件正品，與第一步先抽A、C（或B、C）,第二步再抽B（或A）和其余2件正品是同一種抽法，但在算式C2C3中算作3種不同抽法398例3求證：Am+mAm-I=Am:Cm+I+Cm-i+2Cm=Cm+in-in-innnnn+2證明：利用排列數(shù)公式排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題(附詳解) 左_(n1)(nm1)!(nm)!(nm)(n1)!+m(n1)!n!.=()=Am=右(nm)!(nm)!n另一種證法：(利用排列的定義理解)從n個元素中取m個元素排列可以分成兩類：第一類不含某特殊元素a的排列

9、有Amn1第二類含元素a的排列則先從(n1)個元素中取出(m1)個元素排列有Am1種，然后將a插入，共n1有m個空檔，故有mAm1種，n1TOC o 1-5 h z因此Am+Amn1n1n利用組合數(shù)公式左n!+n!+2n!(m+1)!(nm1)(m1)(nm+1)!m(n-m)!=nKn-m)C-m+1)+m(m+1)+2(m+1)C-m+1)(m+1)!(nm+1)!十昇y(n+2)C+1)十十Cm+1(m+1)!(nm+1)!(m+1)!(nm+1)!n+2m+Cm1)=Cm+1+Cn=Cm+1另法：利用公式Cm=Cm+Cm-1推得nn1n1m+1+Cm)+nnnnn+1n+1n+2點評：

10、證明排列、組合恒等式通常利用排列數(shù)、組合數(shù)公式及組合數(shù)基本性質(zhì)例4已知f是集合A=L,b,c,d到集合B=),1,2的映射不同的映射f有多少個？若要求f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4則不同的映射f有多少個?分析：(1)確定一個映射f，需要確定a,b,c,d的像(2)a,b,c,d的象元之和為4，則加數(shù)可能出現(xiàn)多種情況，即4有多種分析方案，各方案獨立且并列需要分類計算解：(1)A中每個元都可選0,1,2三者之一為像，由分步計數(shù)原理，共有3333=34個不同映射(2)根據(jù)a,b,c,d對應(yīng)的像為2的個數(shù)來分類，可分為三類：第一類：沒有元素的像為2,其和又為4,必然其像均為1,這樣的映射只

11、有一個；第二類：一個元素的像是2,其余三個元素的像必為0,1,1，這樣的映射有CiP1二12個;43第三類：二個元素的像是2,另兩個元素的像必為0,這樣的映射有C2二6個4由分類計數(shù)原理共有1+12+6=19（個）點評：問題（1）可套用投信模型：n封不同的信投入m個不同的信箱，有mn種方法；問題（2）的關(guān)鍵結(jié)合映射概念恰當(dāng)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重、不漏例5四面體的頂點和各棱的中點共10個點（1）設(shè)一個頂點為A,從其他9點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有多少種？（2）在這10點中取4個不共面的點,不同的取法有多少種？解：（1）如圖，含頂點A的四面體的三個面上，除點A外都有5個點，

12、從中取出3點必與點A共BMC面，共有3C3種取法5含頂點A的棱有三條，每條棱上有3個點,它們與所對棱的中點共面,共有3種取法根據(jù)分類計數(shù)原理和點A共面三點取法共有3C3+3二33種5（2）取出的4點不共面比取出的4點共面的情形要復(fù)雜，故采用間接法：先不加限制任取4點（C4種取法）減去4點共面的取法10取出的4點共面有三類：第一類：從四面體的同一個面上的6點取出4點共面，有4C4種取法6第二類：每條棱上的3個點與所對棱的中點共面，有6種取法第三類：從6條棱的中點取4個點共面，有3種取法根據(jù)分類計數(shù)原理4點共面取法共有4C4+6+3二696故取4個點不共面的不同取法有C4-（4C4+6+3）=14

13、1（種）106點評：由點構(gòu)成直線、平面、幾何體等圖形是一類典型的組合問題，附加的條件是點共線與不共線點共面與不共面，線共面與不共面等三、排列組合解題備忘錄：（l）m個不同的元素必須相鄰，有Pm種“捆綁”方法.mm個不同元素互不相鄰，分別“插入”到n個“間隙”中的m個位置有Pm種不同的“插入”n方法*m個相同的元素互不相鄰，分別“插入”到n個“間隙”中的m個位置，有Cm種不同的“插n入”方法+若干個不同的元素“等分”為m個組，要將選取出每一個組的組合數(shù)的乘積除以Pm（去除重m復(fù)數(shù)）四排列組合問題中的數(shù)學(xué)思想方法（一）分類討論的思想：許多“數(shù)數(shù)”問題往往情境復(fù)雜，層次多，視角廣，這就需要我們在分析

14、問題時，選擇恰當(dāng)?shù)那腥朦c，從不同的側(cè)面，把原問題變成幾個小問題，分而治之，各種擊破。例.已知集合A和集合B各含有12個元素，AB含有4個元素，求同時滿足下列條件的集合C的個數(shù)：A1）CuAB且C中含有3個元素，2）CA豐解：如圖,U因為A,B各含有12個元素，AB含有4個元素，所以AB中的元素有12+12-4=20個，其中屬于A的有12個，屬于A而不屬于B的有8個，要使CAHQ，則C中的元素至少含在A中，集合C的個數(shù)是：1）只含A中1個元素的有C1C2；2）含A中2個元素的有C2C1；3）含A中3個元素的有C3C0，故所求的128128128集合C的個數(shù)共有CiC2+C2Ci+C3C0=108

15、4個128128128（二）等價轉(zhuǎn)化的思想：很多“數(shù)數(shù)”問題的解決,如果能跳出題沒有限定的“圈子”,根據(jù)題目的特征構(gòu)思設(shè)計出一個等價轉(zhuǎn)化的途徑,可使問題的解決呈現(xiàn)出“要柳暗花明”的格局。1.具體與抽象的轉(zhuǎn)化例.某人射擊7槍,擊中5槍,問擊中和末擊中的不同順序情況有多少種？分析：沒擊中用“1”表示，擊中的用“0”表示，可將問題轉(zhuǎn)化不下列問題：數(shù)列a,a,a,a,a,a,a1234567有兩項為0,5項是1,不同的數(shù)列個數(shù)有多少個？解：1）兩個0不相鄰的情況有C2種，2）兩個0相鄰的情況有Ci種，所以擊中和末擊中的不同順66序情況有C2+Ci=21種。662）不同的數(shù)學(xué)概念之間的轉(zhuǎn)化例.連結(jié)正方體

16、8個頂點的直線中,為異面直線有多少對？分析：正面求解或反面求解（利用補集,雖可行,但容易遺漏或重復(fù),注意這樣一個事實,每一個三棱錐對應(yīng)著三對異面直線,因而轉(zhuǎn)化為計算以正方體頂點,可以構(gòu)成多少個三棱錐）解：從正文體珠8個頂點中任取4個，有C4種，其中4點共面的有12種，（6個表面和6個對角面）8將不共面的4點可構(gòu)一個三棱錐，共有C4-12個三棱錐，因而共有3（C4-12）=174對異面直線。88綜上所述,有以上幾種解排列組合的方法,此外,當(dāng)然也還有其他的方法要靠我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和積累,我們要掌握好這些方法,并且能夠靈活運用,這樣,在日常生活中,我們們能輕易解決很多問題。教師點評：對排列組合問題的處理方

17、法總結(jié)得很細、很全面,而且挖掘出其中所蘊藏的數(shù)學(xué)思想方法,對學(xué)習(xí)排列組合有一定的指導(dǎo)性。（三）容斥原理與計數(shù)1、文氏圖：在文氏圖中，以下圖形的含義如下：矩形：其內(nèi)部的點表示全集的所有元素；排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解） 2 11 矩形內(nèi)的圓（或其它閉曲線）：表示不同的集合；圓（或閉曲線）內(nèi)部的點：表示相應(yīng)集合的元素。2、三交集公式：a+b+c=aubuc+anB+Bnc+Anc-AnBnc（AUBUC指的是e,AnBnc指的是D）（四）模型構(gòu)造例1.4名同學(xué)各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿出一張別人寫的賀卡，則四張賀卡的不同分配方式

18、共有種.例2.將編號為1,2,3,4的四個小球分別放入編號為1,2,3,4的四個盒子中，要求每個盒子放一個小球，且小球的編號與盒子的編號不能相同，則共有種不同的放法.這兩個問題的本質(zhì)都是每個元素都不在自己編號的位置上的排列問題，我們把這種限制條件的排列問題叫做全錯位排列問題.例3.五位同學(xué)坐在一排，現(xiàn)讓五位同學(xué)重新坐，至多有兩位同學(xué)坐自己原來的位置，則不同的坐法有種.解析：可以分類解決：第一類，所有同學(xué)都不坐自己原來的位置；第二類，恰有一位同學(xué)坐自己原來的位置；第三類，恰有兩位同學(xué)坐自己原來的位置.對于第一類，就是上面講的全錯位排列問題；對于第二、第三類有部分元素還占有原來的位置，其余元素可以

19、歸結(jié)為全錯位排列問題，我們稱這種排列問題為部分錯位排列問題.設(shè)n個元素全錯位排列的排列數(shù)為Tn，則對于例3,第一類排列數(shù)為T5，第二類先確定一個排原來位置的同學(xué)有5種可能，其余四個同學(xué)全錯位排列，所以第二類的排列數(shù)為5T4,第三類先確定兩個排原位的同學(xué)，有C2=10種，所以第三類的排列數(shù)為10T3，因此例3的答案為：T5+5T4+10T3.例4、把8個相同的球放入4個不同的盒子，有多少種不同方法？解：取3塊相同隔板，連同8個相同的小球排成一排，共11個位置。由隔板法知，在11個位置中任取3個位置排上隔板，共有C3種排法。=165（種）11X10X9C3=113X2X1所以，把8個相同的球放入4

20、個不同的盒子，有165種不同方法。點評：相同的球放入不同的盒子，每個盒子放球數(shù)不限，適合隔板法。隔板的塊數(shù)要比盒子數(shù)少1。五排列組合中的易錯題1沒有理解兩個基本原理出錯排列組合問題基于兩個基本計數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.例1（1995年上海高考題）從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺，則不同的取法有_種.誤解：因為可以取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機，所以只有2種取法.錯因分析：誤解的原因在于沒有意識到“選取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機”是完成任務(wù)

21、的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.正解：由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計算機中任意選取2臺，有C2種方6法；第二步是在組裝計算機任意選取3臺，有C3種方法，據(jù)乘法原理共有C2C3種方法同理，完成第565二類辦法中有C3C2種方法據(jù)加法原理完成全部的選取過程共有種方法.656565例2在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（）種.（A）A3（B）43（C）34（D）C344誤解：把四個冠軍，排在甲、乙、丙三個位置上，選A.錯因分析：誤解是沒有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四項比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項

22、冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有3x3x3x3=34種.說明：本題還有同學(xué)這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種情況，由乘法原理得43.這是由于沒有考慮到某項冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.在判斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合.例3有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？誤解：因為是8個小球的全排列，所以共有A8種方法.8錯因分析：誤解中沒有考慮3個紅色小球是完全相同的，5個白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.正解：8個小球排好后對應(yīng)著8個位置，題中的排法相當(dāng)于在

23、8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題這樣共有：C3=56排法.83重復(fù)計算出錯在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復(fù)計數(shù)，產(chǎn)生錯誤。例4（2002年北京文科高考題）5本不同的書全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）（A）480種（B）240種（C）120種（D）96種誤解：先從5本書中取4本分給4個人，有a4種方法，剩下的1本書可以給任意一個人有4種分法,5共有4xA4=480種不同的分法，選A.5錯因分析：設(shè)5本書為a、b、c、d、e，四個人為甲、乙、丙、丁按照上述分法可能如下的表

24、1和表2：甲乙丙丁abcde甲乙丙丁ebcda表1表2表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書e給甲的情況；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書a給甲的情況這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計算成了不同的情況。正好重復(fù)了一次.正解：首先把5本書轉(zhuǎn)化成4本書，然后分給4個人.第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書，有C2種方法；第二步：再把4本書分給4個學(xué)生，有a4種方法由乘法原理，共有c2.a4=240種方5454法，故選B.例5某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）種（A）5040（B）1

25、260（C）210（D）630誤解：第一個人先挑選2天，第二個人再挑選2天，剩下的3天給第三個人，這三個人再進行全排列共有：C2墾A3=1260，選B.錯因分析：這里是均勻分組問題.比如：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復(fù)計算了.正解：5碼=630種.4遺漏計算出錯在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因為遺漏某些情況，而出錯。例6用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（）（A）36個（B）48個（C）66個（D）72個71，3誤解：如右圖，最后一位只能是1

26、或3有兩種取法又因為第1位不能是0在最后一位取定后只有3種取法，剩下3個數(shù)排中間兩個位置有a2種排法，共有33錯因分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù).正解：任一個五位的奇數(shù)都符合要求，共有2X3XA3=36個，再由前面分析四位數(shù)個數(shù)和五位數(shù)個數(shù)3之和共有72個，選D.5忽視題設(shè)條件出錯在解決排列組合問題時一定要注意題目中的每一句話甚至每一個字和符號，不然就可能多解或者漏解.例7（2003全國高考題）如圖，一地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）誤解：先著色第一區(qū)域，有4種方法，

27、剩下3種顏色涂四個區(qū)域，即有一種顏色涂相對的兩塊區(qū)域,有C3-2-役=12種，由乘法原理共有：4X12=48種.錯因分析：據(jù)報導(dǎo)，在高考中有很多考生填了48種.這主要是沒有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務(wù).正解：當(dāng)使用四種顏色時，由前面的誤解知有48種著色方法；當(dāng)僅使用三種顏色時：從4種顏色中選取3種有c3種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個區(qū)域，只能是一種顏色涂4第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有C3X3X2=24種綜上共有：448+24=72種.例8已知ax2-b=0是關(guān)于x的一元二次方程，

28、其中a、be1,2,3,4，求解集不同的一元二次方程的排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解） 個數(shù).誤解：從集合123,4中任意取兩個元素作為a、b，方程有A2個，當(dāng)a、b取同一個數(shù)時方程有1個，共有A2+1=13個.錯因分析：誤解中沒有注意到題設(shè)中“求解集不同的”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于a=1和s=2同解、Ja=2和S=4同解，故要減去2個。b=2b=4b=1b=2正解：由分析，共有13-2=11個解集不同的一元二次方程.6未考慮特殊情況出錯在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯.例9現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人

29、民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（）（A）1024種（B）1023種（C）1536種（D）1535種誤解：因為共有人民幣11張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有2101=1023種.錯因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計算成4種情況，實際上只有不取、取一張和取二張3種情況.正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有29x3-1=1535種.7題意的理解偏差出錯例10現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種.（A）A

30、3.A5（B）A8A6.A3（C）A3.A36586353（D）A8A486誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有AS種排法，5人非好后產(chǎn)生6個空檔，插入甲、乙、丙三人有A3種方法，這樣共有A3A5種排法，選A.665錯因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時相鄰，但允許其中有兩人相鄰.正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即A8A6.A3，故選B.8638解題策略的選擇不當(dāng)出錯有些排列組合問題用直接法或分類討論比較困難

31、，要采取適當(dāng)?shù)慕鉀Q策略，如間接法、插入法、捆綁法、概率法等，有助于問題的解決.例10高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）.（A）16種（B）18種（C）37種（D）48種誤解：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有3X4X4=48種錯因分析：顯然這里有重復(fù)計算如：a班先派去了甲工廠，b班選擇時也去了甲工廠，這與b班先派去了甲工廠，a班選擇時也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當(dāng)作了不一樣的情況，并且這種重復(fù)很難排除.正解：用間接法.先計算3個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣

32、除甲工廠無人去的情況，即：4x4x4-3x3x3=37種方案.排列組合問題雖然種類繁多，但只要能把握住最常見的原理和方法，即：“分步用乘、分類用加、有序排列、無序組合”，留心容易出錯的地方就能夠以不變應(yīng)萬變，把排列組合學(xué)好.六學(xué)生練習(xí)1五個工程隊承建某項工程的五個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案共有（B）AC1C4種BCiA4種CC4種DA4種TOC o 1-5 h z444442在由數(shù)字0，1，2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有192有12個座位，現(xiàn)安排2人就座并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是_110

33、_4某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位,若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號相連，不管人的順序），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為：（B）A.-10B.丄20C.丄40D.11205用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有576個6把一同排6張座位編號為1,2,3,4,5,6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)（D）A.168B.96C.72D.1

34、447將標(biāo)號為1,2,，10的10個球放入標(biāo)號為1,2,，10的10個盒子里，每個盒內(nèi)放一個球,恰好3個球的標(biāo)號與其在盒子的標(biāo)號不一致的放入方法種數(shù)為（B）A.120B.240C.360D.7208從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔(dān)任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共（B）種A.210種B.420種C.630種D.840從集合P,Q,R,S與0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各任選2個元素排成一排（字母和數(shù)字均不能重復(fù)）每排中字母Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個的不同排法種數(shù)是_5832（用數(shù)字作答）.10從6人中選出4人分別到巴

35、黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市,且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽,則不同的選擇方案共有（B）A.300種B.240種C.144種D.96種題示：C4A4+2C3-3-A3+C2-2-A3TOC o 1-5 h z44434311四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險的，沒有公共頂點的兩條棱多代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的，現(xiàn)打算用編號為、的4個倉庫存放這8種化工產(chǎn)品,那么安全存放的不同方法種數(shù)為（B）A96B48C24D0124棵柳樹和4棵楊樹栽成一行，柳樹、楊樹逐一相間的栽法有種.解析：2A4

36、A4=1152種44答案：115213某餐廳供應(yīng)客飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2菜2素共4種不同的品種現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了5種不同的葷菜,若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇,則餐廳至少還需要不同的素菜品種種，（結(jié)果用數(shù)值表示）解析：設(shè)素菜n種，則C2C2200=n（n1）240，所以n的最小值為75n答案：714設(shè)有編號為1,2,3,4,5的五個球和編號為1,2,3,4,5的五個盒子現(xiàn)將這五個球投放入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子內(nèi)投放一球,并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,則這樣的投放方法有多少種?分析：五個球分別投放到五個盒子內(nèi),恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,則其他三個球

37、必不能投放到與球的編號相同的盒子內(nèi),此時,這三個球與對應(yīng)的三個盒子,就成了受限的特殊元素與特殊位置解：先在五個球中任選兩個球投放到與球編號相同的盒子內(nèi)，有C2種；剩下的三個球，不失一般5性，不妨設(shè)編號為3,4,5,投放3號球的方法數(shù)為C1，則投放4,5號球的方法只有一種，根據(jù)分步2計數(shù)原理共有C2C1=20種2點評：本題投放球有兩種方法,一種是投入到與編號相同的盒子內(nèi),另一種是投入到與編號不同的盒子內(nèi)，故應(yīng)分步完成15球臺上有4個黃球，6個紅球，擊黃球入袋記2分，擊紅球入袋記1分，如果4個黃球之間沒有差別，6個黃球之間也沒有差別。那么欲將此十球中的4球擊入袋中，且總分不低于5分，擊球方法有幾種

38、？解：設(shè)擊入黃球x個，紅球y個符合要求，則有x+y=4,2x+y5（x、yN）,得1WxW4x=1,x=2,x=3,2)個扇形，同色，有多少種染色方法？解：設(shè)分成n個扇形時染色方法為a種n當(dāng)n=2時A、A有A2=12種，即a=121242當(dāng)分成n個扇形，如圖，A與A不同色，A與A1223色，An1與A不同色，共有4x3n-1種染色方法，但由于A與Ann鄰，所以應(yīng)排除A與A同色的情形；A與A同色時，可把A、n1n1n個扇形，此時有a種染色法，故有如下遞推關(guān)系：n1a=4x3n1ann1AAAA=a+4x3n1=(an1n2=a4x3n2+4x3n1=an21A看成一個扇形，與前n-2個扇形加在一

39、起為n-11+4x3n3一4x3n2+4x3“1n一3=(1)nx3+3n+4x3n-2)+4x3n-1=4x3n-13n-2+(1)nx3排列與組合經(jīng)典專題(附詳解)排列與組合經(jīng)典專題(附詳解)排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）2 2 二.點的涂色問題方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論，（2）根據(jù)相對頂點是否同色分類討論，（3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問題。例6、將一個四棱錐S-ABCD的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解法一：滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。（1）若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一

40、種染頂點S,再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點，此時只能A與C、B與D分別同色，故有C1A2二60種方法。54（2）若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點S,再從余下的四種顏色中任選兩種染A與B,由于A、B顏色可以交換，故有A2種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C,而D與C,而D與C4中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有CiA2C1C1二240種方法。422（3）若恰用五種顏色染色，有A5=120種染色法5綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種。解法二：設(shè)想染色按SABCD的順序進行，對S、A、B染色，有5x4x3二60種染色

41、方法。由于C點的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：C與A同色時（此時C對顏色的選取方法唯一），D應(yīng)與A（C）、S不同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對C、D染色有l(wèi)x3+2x2二7種染色方法。由乘法原理，總的染色方法是60 x7=420解法三：可把這個問題轉(zhuǎn)化成相鄰區(qū)域不同色問題：如圖，對這五個區(qū)域用5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？二.線段涂色問題對線段涂色問題，要注意對各條線段依次涂色，主要方法有：a）根據(jù)共用了多少顏色分類討論b）根據(jù)相對線段是否同色分類討論。例7、用紅、黃、藍、白四種顏色涂矩形ABCD

42、的四條邊，每條邊只涂一種顏色，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解法一：（1）使用四顏色共有A4種；4（2）使用三種顏色涂色，則必須將一組對邊染成同色，故有C1C1A2種，423（3）使用二種顏色時，則兩組對邊必須分別同色，有A2種4因此，所求的染色方法數(shù)為A4+C1C1A2+A2二84種44234解法二：涂色按AB-BC-CD-DA的順序進行，對AB、BC涂色有4x3二12種涂色方法。由于CD的顏色可能與AB同色或不同色，這影響到DA顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：當(dāng)CD與AB同色時，這時CD對顏色的選取方法唯一，則DA有3種顏色可供選擇CD與AB不同色

43、時，CD有兩種可供選擇的顏色，DA也有兩種可供選擇的顏色，從而對CD、DA涂色有1x3+2x2=7種涂色方法。由乘法原理，總的涂色方法數(shù)為12x7=84種例8、用六種顏色給正四面體A-BCD的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色且共頂點的棱涂不同的顏色,問有多少種不同的涂色方法？解：（1）若恰用三種顏色涂色，則每組對棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同，故有A3種方法。6（2）若恰用四種顏色涂色，則三組對棱中有二組對棱的組內(nèi)對棱涂同色，但組與組之間不同色，故有C3A4種方法。66（3）若恰用五種顏色涂色，則三組對棱中有一組對棱涂同一種顏色，故有C1A5種方法。36（4）若恰用六種顏色涂色，則有

44、A6種不同的方法。6綜上，滿足題意的總的染色方法數(shù)為A3+C2A4+C1A5+A6二4080種。36366三.面涂色問題例9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的6個面涂色，每兩個具有公共棱的面涂成不同的顏色則不同的涂色方案共有多少種？分析：顯然，至少需要3三種顏色，由于有多種不同情況，仍應(yīng)考慮利用加法原理分類、乘法原理分步進行討論解：根據(jù)共用多少種不同的顏色分類討論(1)用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5種選擇，在上、下底已涂好后，再確定其余4種顏色中的某一種所涂面為左側(cè)面，則其余3個面有3!種涂色方案，根據(jù)乘法原理ni=5x3!=30(2)共用五種顏

45、色，選定五種顏色有C5=6種方法，必有兩面同色(必為相對面)，確定為上、下底面，其顏色可有5種選擇，再確定一種顏色為左側(cè)面，此時的方法數(shù)取決于右側(cè)面的顏色，有3種選擇(前后面可通過翻轉(zhuǎn)交換)n=C5x5x過點P的每一條棱上的3點和與這條棱異面的棱的中點也共面，共有4C1二8種不同取法,故共有40+8+8=56=90；(3)共用四種顏色，仿上分析可得26n=C4C2=90；(4)共用三種顏色,n=C3=2036446例10、四棱錐P-ABCD，用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個面上，要求相鄰不同色，有多少種涂法？解：這種面的涂色問題可轉(zhuǎn)化為區(qū)域涂色問題，如右圖，區(qū)域1、2、3、4相當(dāng)于四個側(cè)面，區(qū)

46、域5相當(dāng)于底面；根據(jù)共用顏色多少分類：最少要用3種顏色，即1與3同色、2與4同色，此時有A:種;此時有C1A4；故滿足題意總的涂色方242)當(dāng)用4種顏色時，1與3同色、2與4兩組中只能有一組同色，法總方法交總數(shù)為A3+CiA4二72求(D)424例11.用三種不同的顏色填涂如右圖3x3方格中的9個區(qū)域，要每行、每列的三個區(qū)域都不同色，則不同的填涂方法種數(shù)共有A、48、B、24C、12D、6四、染色模型在“立幾”中的計數(shù)問題應(yīng)用在近幾年的高考試題和各地模擬試題中頻繁出現(xiàn)以“立幾”中的點、線、面的位置關(guān)系為背景的計數(shù)問題，這類問題題型新穎、解法靈活、多個知識點交織在一起，綜合性強，能力要求高，有一

47、定的難度，它不僅考查相關(guān)的基礎(chǔ)知識，而且注重對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的考查?，F(xiàn)結(jié)合具體例子談?wù)勥@種問題的求解策略。直接求解w.w.w.k.s.5.u.c.o.m例1：從平面a上取6個點，從平面卩上取4個點，這10個點最多可以確定多少個三棱錐？解析：利用三棱錐的形成將問題分成平面上有1個點、2個點、3個點三類直接求解共有C1C3+Cc2+C3C1二194646464個三棱錐例2:在四棱錐P-ABCD中，頂點為P,從其它的頂點和各棱的中點中取3個，使它們和點P在同一平面上，不同的取法有()A.40B.48C.56D.62種解析:滿足題設(shè)的取法可以分成三類在四棱錐的每一個側(cè)面上除P點外取三點有4C3

48、二40種不同取法；5在兩個對角面上除點P外任取3點，共有2C3二8種不同取法；4排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解） 種評注：這類問題應(yīng)根據(jù)立體圖形的幾何特點，選取恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，做到分類不重復(fù)、不遺漏。結(jié)合“立幾”概念求解例3:空間10個點無三點共線，其中有6個點共面，此外沒有任何四個點共面，則這些點可以組成多少個四棱錐？解析：C4C1=6064）：結(jié)合“立幾”圖形求解例4如果把兩條異面直線看作“一對”，那么六棱錐的棱和底面所有的12條直線中，異面直線有（A.12B.24C.36D.48解析：B例5用正五棱柱的10個頂點中的5個頂點作四棱錐的5個頂點，共可得多少個四棱錐？

49、解析：分類：以棱柱的底面為棱錐的底面2C4C1;55以棱柱的側(cè)面為棱錐的底面C1C156以棱柱的對角面為棱錐的底面CC156以圖中ACB（梯形）為棱錐的底面2C1C156構(gòu)造幾何模型求解例6在正方體的8個頂點的所有連線中，有多少對異面直線？與空間不共面的四點距離相等的平面有多少個？（05年湖北）以平面六面體ABCD-ABCD的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率為111136737619218A.B.C.D.A385385385385在知識的網(wǎng)絡(luò)交匯點初設(shè)計命題是近幾年高考命題改革強調(diào)的重要觀念之一，在復(fù)習(xí)備考中，要把握好知識間的縱橫聯(lián)系和綜合，使所學(xué)

50、知識真正融會貫通，運用自如，形成有序的網(wǎng)絡(luò)化知識體系。對于已知直線a,如果直線b同時滿足下列三個條件：與直線a異面;與直線a所成的角為定值:與直線a的距離為定值d.那么這樣的直線b有A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)條如果一條直線與一個平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是A.48B.36C.24D.18設(shè)四棱錐P-ABCD的底面不是平行四邊形,用平面去截這個四棱錐，使得截面四邊形是平行四邊形,則這樣的平面aTOC o 1-5 h zA.不存在B.只有1個C.恰有4個D.有無窮多個（、如圖，點P,P

51、,P分別是四面體的頂點或棱的中點,那么在同一平面上的四點組（P,P,P,P）共有個12101ijk在正方體的一個面所在的平面內(nèi)，任意畫一條直線,則與它異面的正方體的棱的條數(shù)是正方體的8個頂點中任取4個不在同一平面上的頂點P,Q,M,N組成的二面角為P-MN-Q的大小可能值有個.答案D2.B3.D4.335.4或6或7或86.8個附錄排列組合題型總結(jié)排列組合問題千變?nèi)f化，解法靈活，條件隱晦，思維抽象，難以找到解題的突破口。因而在求解排列組合應(yīng)用題時，除做到：排列組合分清，加乘原理辯明，避免重復(fù)遺漏外，還應(yīng)注意積累排列組合問題得以快速準(zhǔn)確求解。一直接法1特殊元素優(yōu)先法例1用1，2，3，4，5，6這

52、6個數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個（1）數(shù)字1不排在個位和千位（2）數(shù)字1不在個位，數(shù)字6不在千位。分析：（1）個位和千位有5個數(shù)字可供選擇盤，其余2位有四個可供選擇翅，由乘法原理：盤翅=2402特殊位置法（2）當(dāng)1在千位時余下三位有話=60,1不在千位時，千位有屈種選法，個位有站種，余下的有jiji金，共有耳金金=192所以總共有192+60=252二.間接法當(dāng)直接法求解類別比較大時，應(yīng)采用間接法。如上例中（2）可用間接法兔斗凡=252例2有五張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個不同的

53、三位數(shù)？分析：此例正面求解需考慮0與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用1,類別較復(fù)雜，因而可使用間接計算：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)點汪*漢屈個，其中0在百位的有個，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)空乂23漢起-鳶顯翅=432（個）三插空法當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。例3在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？分析：原有的8個節(jié)目中含有9個空檔，插入一個節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個，故有PiXPi=90中910插入方法。四捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。例4有4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在

54、一起的坐法有多少種？排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解） 1818 分析：先將男生捆綁在一起看成一個大元素與女生全排列有P4種排法，而男生之間又有P4種排法，44又乘法原理滿足條件的排法有：P4XP4=57644練習(xí)1.四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有種（C2P3=36）43練習(xí)2某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有（C1X29P19）.28（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天中的連續(xù)

55、兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有Ci其余的就是1929所學(xué)校選28天進行排列）五隔板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采隔板用法例5某校準(zhǔn)備組建一個由12人組成籃球隊，這12個人由8個班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共種。分析：此例的實質(zhì)是12個名額分配給8個班，每班至少一個名額，可在12個名額種的11個空當(dāng)中插入7塊閘板，一種插法對應(yīng)一種名額的分配方式，故有C7=330種11練習(xí)1.（a+b+c+d）15有多少項？解析1：當(dāng)項中只有一個字母時，有Ci種（即a.b.c.d而指數(shù)只有15故Ci-Co。TOC o 1-5 h z4414當(dāng)項中有2個字母時，有C2,而指數(shù)和為15,即將1

56、5分配給2個字母時，由隔板法一分為2,得Ci即414C2C1414當(dāng)項中有3個字母時，字母組合數(shù)為C3，指數(shù)15分三組給字母即可，從而得不同組合數(shù)為：妃4當(dāng)項中4個字母都在時V常四者都相加即可.C1C0+C2C1+C3C2+C4C3=816。TOC o 1-5 h z414414414414解析2：用15個相同的小球代表冪指數(shù)15,用4個標(biāo)有x、x、x的4個不同的盒子表示數(shù)x、x、12412x，將15個相同的小球放入4個不同的盒子中，把標(biāo)有x（i=l,2,：4）每個盒子得到的小球數(shù)k（i=1，4ii2，-，4;keN），記作x的k次方。這樣，將15個相同的小球放入4個不同的盒子中的每一種放法,

57、iii就對應(yīng)著展開式中的每一項。由隔板法知，這樣的放法共有C3種，故（x+x+x）15的展開式中共18124有C3項。C3=18x17x163x2x1=816（種）。所以，（x+x+x）15展開式中共有816項。124練習(xí)2有20個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子里，要求每個盒子內(nèi)的球數(shù)不少于編號數(shù)，問有多少種不同的方法？（C2=120）16練習(xí)3.不定方程X+X+X+-+X=100中不同的正整數(shù)解有（C49）；不定方程X+X+X+-+X=100中123509912350不同的非負整數(shù)解有（C49）；149六.平均分堆問題例6.（2020年）把6本不同的書平均分成三堆，有多少種不同

58、的方法？分析：分出三堆書（a,a）,（a,a）,（a,a）由于順序不同可以有P3=6種，而這6種分法只算一1234563種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有C2C2C264匸=15種P33練習(xí)：1.6本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？（15種）某年級6個班的數(shù)學(xué)課，分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教，每人教兩個班，則不同的分派方法的種數(shù)有（90）。七.合并單元格解決染色問題例7（全國卷（文、理）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得14使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種（以數(shù)字作答）。分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、4、5.2下面

59、分情況討論:（i）當(dāng)2、4顏色相同且3、5顏色不同時，將2、4合并成一個單元格，此時不同的著色方法相當(dāng)于4個元素的全排列數(shù)P；4（ii）當(dāng)2、4顏色不同且3、5顏色相同時，與情形（i）類似同理可得P4種著色法.4（iii）當(dāng)2、4與3、5分別同色時，將2、4；3、5分別合并，這樣僅有三個單元格2435，從4種顏色中選3種來著色這三個單元格，計有P3種方法.4由加法原理知：不同著色方法共有2P4+P3=48+24=72（種）44練習(xí)1（天津卷（文）將3種作物種植在如圖的5塊試驗田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共種（以數(shù)字作答）（72）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解

60、）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）991 991 7 2.（江蘇、遼寧、天津卷（理）某城市中心廣場建造一個花圃，花圃6分為個部分（如圖3），現(xiàn)要栽種4種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有種（以數(shù)字作答）.（120）面分情況討論:（i）當(dāng)6、4顏色相同,5有2種顏色可以選擇，將2、3顏色一定相異，此時不同的著色方法為000P2；4322（ii）當(dāng)6、4顏色不同，此時5只有一種顏色可選，此時考慮2、3著色。2著的顏色與4同色，則3有二種顏色可以選擇；2著的顏色與4不同色，則3只有一種顏色可以選擇。故此時不同的著色方法為CiCiCi（2+