《現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算》課件2.4牛頓插值

1、基本思想：在n次多項(xiàng)式空間Pn中找一組合適的基函數(shù)0(x), 1(x), n (x),使Pn(x)=a0 0(x) +a1 1(x) +an n(x) (ai 為常數(shù)或待定常數(shù))不同的基函數(shù)的選取導(dǎo)致不同的插值方法Lagrange插值回到問題2-如何構(gòu)造P ( x)？考慮pn(x)=a0 0(x) +a1 1(x) +an n(x) (ai 為常數(shù)或待定常數(shù))問題：能否在上述插值多項(xiàng)式中ak (k=0,1,2,n)為待定系數(shù). 令差分的性質(zhì)差分表2.4.2 牛頓插值公式2.4.1 均差及其性質(zhì)Newton 插值多項(xiàng)式均差（差商）的定義、均差表、例2.6 表達(dá)式推導(dǎo)余項(xiàng)2.4.3 差分和等距節(jié)點(diǎn)

2、牛頓插值公式差分的定義均差（差商）的性質(zhì)例2.7小結(jié)：拉格朗日型插值與牛頓型插值的比較例2.8 例2.9 Newton向前差分插值公式Newton向后插值公式2.4 Newton 插值多項(xiàng)式例2.10-11 當(dāng)n=1時(shí)，由點(diǎn)斜式直線方程知，過兩點(diǎn)將L1(x)改寫成2.4.1 均差及其性質(zhì)的直線方程為若記顯然，N1(x)就是1次Lagrange插值多項(xiàng)式L1(x). 當(dāng)n=2時(shí)，進(jìn)而記類似地，構(gòu)造次數(shù)不超過2次的多項(xiàng)式N2(x)容易檢驗(yàn)，這樣的N2(x)滿足插值條件已知y=函數(shù)表則在定義為f(x)的一階均差上平均變化率分別為：即有以下一階均差(差商)的定義：1.均差（差商的定義）/ divide

3、d difference /定義2.4.1(1) 函數(shù) y= f (x) 在區(qū)間xi , xj上的平均變化率 稱為f (x)關(guān)于xi , xj 的一階均差(一階差商), 并記為 f xi ,xj.函數(shù)y=f(x)的一階均差表（2）由函數(shù)y=f(x)的一階均差，再作一次均差，即（3）由函數(shù)y=f(x)的k 階均差表可定義函數(shù)的n階均差稱為函數(shù)y=在點(diǎn)的k階均差（k階差商）。稱為y =在點(diǎn) 的二階均差（二階差商）； (0 階均差)一階均差二階均差三階均差k 階均差 均差表均差f xi , xj , xk是指fxi , xj , xk=fxj , xk- fxi , xj xk- xi區(qū)間xi, x

4、i+1 , xi+n上的n階均差為xif xif xi,xi+1f xi,xi+1, xi+2 f xi,xi+1,xi+2 ,xi+f xi,xi+1,xi+2 ,xi+, xi+4002832751256216例2.6 求 f(xi)= x3在節(jié)點(diǎn) x=0, 2, 3, 5, 6上的各階均差值解: 計(jì)算得如下表2. 均差的性質(zhì)fx0 , x1=fx1 , x0f(x1)- f(x0)x1 x0f(x0)- f(x1)x0 x1= 由此知，均差具有對(duì)稱性,即在k階均差中 任意交換兩個(gè)節(jié)點(diǎn) 和 的次序,其值不變。 例如性質(zhì)1性質(zhì)2 n階差商 和n階導(dǎo)數(shù)之間有下 列關(guān)系這個(gè)性質(zhì)可直接用羅爾（Ro

5、lle）定理證明。2.4.2 牛頓插值公式已知函數(shù)表, 由差商定義及對(duì)稱性，得 將(b)式兩邊同乘以,抵消抵消抵消(d)式兩邊同乘以,把所有式子相加,得,(c)式兩邊同乘以記 - 牛頓插值多項(xiàng)式(2.19)- 牛頓插值余項(xiàng)(2.20)可以驗(yàn)證 ，即 滿足插值條件.xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2x0f(x0)x1f(x1)fx0,x1x2f(x2)fx1,x2fx0,x1,x2x3f(x3)fx2,x3fx1,x2,x3f x0,x1,x2 ,x3kxkf(xk)一階差商 二階差商 三階差商 四階差商012341234514786 3 3 0 1

6、-1 -1/3 -2 -3/2 -1/6 1/24例2.7小結(jié)：拉格朗日型插值與牛頓型插值的比較例2.8 已知函數(shù)f(x)的如下值:求不超過3次的多項(xiàng)式P3(x)，使得滿足插值條件： 解 記構(gòu)造不超過3次的多項(xiàng)式易知，其中的均差從而由得所以問題的解是練習(xí) 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f 20, 21, , 27 及 f 20, 21, ,27, 28 分析：本題 f(x)是一個(gè)多項(xiàng)式, 故應(yīng)利用差商的性質(zhì)解: 由差商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 給定的函數(shù)表并記且即1、差分的定義稱 h為步長(zhǎng)常數(shù).稱x0 , x1 , , xn-1 , xn 為等距節(jié)點(diǎn), 2.4.3 差分和等距節(jié)點(diǎn)

7、牛頓插值公式 引入記號(hào) 向前差分算子； 中心差分算子. 向后差分算子；分別稱為 在 點(diǎn)的步長(zhǎng)為h的一階向前差分、向后、中心差分.一階差分 二階向前差分； 二階向后差分；利用一階差分，可定義二階差分為一般地，可定義m 階差分為 m 階向前差分； m階向后差分；二階差分m階差分計(jì)算各階差分可按如下差分表進(jìn)行.例2.9 計(jì)算 f (x) = x3在等距節(jié)點(diǎn)0，1，2，3, 4上的各階差分值2、差分的性質(zhì)性質(zhì)1 函數(shù)值與差分可以相互表示y0= y1 y0y1= y2 y1y2= y3 y2= y2 2y1 +y02y0= y1 - y03y0= 2y1 - 2y0= y3 2y2 +y1 (y2 2y

8、1 +y0)= y3 3y2 +3y1 y0 2y1= y2 - y1= y3 2y2 +y1(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3(a-b)2=a2-2ab+b24y0= 3y1 - 3y0= y4 3y3 +3y2 y1 -(y3 3y2 +3y1 y0 )= y4 4y2 +6y2 4 y1 +y0 (a-b)4=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b3結(jié)論：各階差分中函數(shù)值的系數(shù)正好等于(a-b)r 展開式中的系數(shù)驗(yàn)證：對(duì)于后差也有類似的公式，例如性質(zhì)2 在等距插值的情況下，差分與均差有以下的關(guān)系等距節(jié)點(diǎn)情況下xi= x0+ih ，用差分表示差商：=y1 y0=y0fx1 ,

9、x2=y2 y1h=y11!hfx0,x1,x2=fx1,x2- fx0,x1x2 x0=y11!hy01!h2h=y1-y02h2=2y02!h2fx1,x2,x3=fx3,x2- fx2,x1x3 x1=y21!hy11!h2h=y2-y12!h2=2y12!h2fx0,x1,x2 ,x3=2y12!h22y02!h23h=2y1 - 2y02*3h3=3y03!h3驗(yàn)證：x1 x0 x0 x x1 x2 x3 xn將牛頓插值公式中的均差用差分代替，fx0 , x1=y01!hfx0,x1,x2=2y02!h2fx0,x1,x2 ,x3=3y03!h3而從而牛頓插值公式在等距節(jié)點(diǎn)的情形下為

10、Nn(x)=y0+(x-x0)y01!h+(x-x0)(x-x1)2y02!h2+(x-x0)(x-x1) (x-xn-1)ny0n!hnNewton向前差分插值公式的余項(xiàng)為牛頓向前插值公式適合于計(jì)算函數(shù)表表頭處附近的函數(shù)值。（2）考慮向后情形 設(shè) ，在Newton插值公式中用xN代替x0，用xN-1代替x1，用xN-k代替xk，這樣可以得到(2.25)x0 x1 x2 x3 x xn如果x在xN附近，可將Newton插值公式改為按節(jié)點(diǎn)xN,xN-1,x0的次序排列的Newton插值公式,即稱為Newton向后插值公式。把二項(xiàng)式系數(shù)擴(kuò)大到包含負(fù)數(shù)的情形，記則有(2.25)式可表示為(2.26)

11、其 余項(xiàng)為例2.10 給定f(x)= 在等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表如下: xi fi 1.00 1.00000 1.05 1.02470 1.10 1.04881 1.15 1.07238 1.20 1.09544 1.25 1.11803 1.30 1.14017分別用三次Newton向前/向后差分插值公式求f(1.01)及f(1.28)的近似值.0.024700.024110.02357-0.00059-0.00005-0.00054解 取x0=1.0, h=0.05, x3=1.15. 先構(gòu)造三次向前差分表如下:fi 2fi 3fi 0.024700.024110.02357-0.00059-

12、0.00005-0.00054fi 2fi 3fi xi fi 1.00 1.00000 1.05 1.02470 1.10 1.04881 1.15 1.07238用Newton向前差分表中對(duì)角線上的值, 得Newton向前差分插值公式如下:當(dāng) x=1.01時(shí),用公式(1),這時(shí)t=(x-x0)/h=0.2. 將t=0.2代入(1),得 f (1.01)N3(1.01)=1.00499再 取x3=1.30 , x0=1.15, h=0.05, 構(gòu)造三次向后差分表如下:xi fi 1.00 1.00000 1.05 1.02470 1.10 1.04881 1.15 1.07238 1.20

13、1.09544 1.25 1.11803 1.30 1.14017 fi 2fi 3fi 0.023070.022590.02214-0.00048-0.00003-0.00045用Newton向后差分表中副對(duì)角線上的值, 得Newton向后差分插值公式如下:當(dāng) x=1.28時(shí),用公式(2),這時(shí)t=(x-xN)/h=-0.4. 將t=-0.4代入(2),得 f (1.28)N3(1.28)=1.13137注：一般當(dāng) x 靠近 x0 時(shí)用前插，靠近 xn 時(shí)用后插，故兩種公式亦稱為表初公式和表末公式。練習(xí)1 給定f(x)在等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表如下: xi 0.4 0.6 0.8 1.0 f(x

14、i) 1.5 1.8 2.2 2.8分別用Newton向前/向后差分插值公式求f(0.5)及f(0.9)的近似值. 解 先構(gòu)造向前差分表如下: xi fi fi 2fi 3fi 0.4 1.5 0.6 1.8 0.3 0.8 2.2 0.4 0.1 1.0 2.8 0.6 0.2 0.1 x0=0.4, h=0.2, x3=1.0. 用Newton向前差分表中對(duì)角線上的值, 得Newton向前如下:0.5(1)當(dāng) x=0.5時(shí),用公式(1),這時(shí)t=(x-x0)/h=0.5. 將t=0.5代入(1),得 f (0.5)N3(0.5)=1.64375.用Newton向前差分表中對(duì)角線上的值, 得

15、Newton向前插值如下:再構(gòu)造向后差分表如下: xi fi fi 2fi 3fi 0.4 1.5 0.3 0.1 0.1 0.6 1.8 0.4 0.2 0.8 2.2 0.6 1.0 2.8用Newton向后差分表中副對(duì)角線上的值, 得Newton向后插值如下: (2)0.9當(dāng)x=0.9時(shí), 用向后插值公式(2), 這時(shí)t=(x-x3)/h=0.5. 將t=0.5代入(2), 得 f (0.9)N3(0.9)=2.46875.說明：當(dāng)構(gòu)造向后牛頓差分的表達(dá)式時(shí)，如果采用的節(jié)點(diǎn)與向前差分的相同或是其中的一部分，則可以利用向前差分表求向后牛頓差分的表達(dá)式，例如xyy2y3y4yx0y0 x1y

16、1y0 x2y2y12y0 x3y3y22y13y0 x4y4y32y23y14y0Newton向后插值公式所以可以用向前差分表中最后一行的數(shù)據(jù)計(jì)算Newton向后插值。 例 2.11 已知f(x)=sinx的數(shù)值如表2-10的第2列，分別用二次Newton向前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。0.4 0.38942 0.5 0.47943 0.09001 0.6 0.56464 0.08521 0.00480 0.7 0.64422 0.07958 -0.00563 -0.00083 x sinx 2 3表2-110.57891向前向后（只需構(gòu)造向前差分表）0.4 0.38942 0.5 0.47943 0.09001 0.6 0.56464 0.08521 0.00480 0.7 0.64422 0.07958 -0.00563 -0.00083 x sinx 2 3表2-6 解 作向前差分表如表2-6，使用Newton向前差分公式x0=0.5, x1=0.6 , x2=0.7 , x=0.57891, h=0.1,則 t =(x