江蘇省南京市、鹽城市高三第三次調(diào)研考試(5月)數(shù)學(xué)理

1、江蘇省南京市、鹽城市高三第三次調(diào)研考試(5數(shù)學(xué)理科(滿分160分，考試時間120分鐘)一、 填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共70分.已知集合 U = x|1x0,.若實數(shù)x, y滿足$2x+y0,則x+3y的最小值為 .1,.從1, 2, 3, 4, 5這5個數(shù)字中隨機抽取 3個不同的數(shù)字，則這 3個數(shù)字經(jīng)適當(dāng)排序 后能組成等差數(shù)列的概率為 .2x, x0,.已知數(shù)列an的前 n 項和為 Sn,且 2Sn=3n 1, nCN*.若 bn= log3an,則 +b2+b3 + b4的值為.已知函數(shù)f(x)=2sin( co -6),其中3貼xi, X2是萬程f(x) = 2的兩個不同的

2、實數(shù)I兀根，且|X1 X2|的最小值為兀，則當(dāng)xC0,3時，f(x)的最小值為 . 22.一一 .，.一 xy .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，過雙曲線二一0=1(a0, b0)的右焦點F作一條漸近線 a b的平行線，交另一條漸近線于點P.若線段PF的中點恰好在此雙曲線上，則此雙曲線的離心率為.有一個體積為 2的長方體，它的長、寬、高依次為a, b, 1.現(xiàn)將它的長增加 1,寬增加2,且體積不變，則所得新長方體高的最大值為 .已知向量a, b, c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中 a, b是夾角為60的兩個單位 向量.若向量c滿足c(a+ 2b)=5,則|c|的最小值為 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中

3、，已知 MN是圓C: (x1)2+(y2)2=2的一條弦，且CM CN , P是MN的中點.當(dāng)弦 MN在圓C上運動時，直線 l: x-3y- 5= 0上存在兩點A, B,使得/ APB2f旦成立，則線段 AB長度的取小值是 1 o114.已知函數(shù)f(x)=2x2aln x+x 萬，對任息xC1, +0),當(dāng)f(x) mx恒成立時頭數(shù) m的最大值為1,則實數(shù)a的取值范圍是 .二、 解答題：本大題共 6小題，共90分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或 演算步驟.(本小題滿分14分)已知a, b, c分別是 ABC三個角A, B, C所對的邊，且滿足acos B+ bcos A= 鼠法(1)求

4、證：A = C;(2)若 b= 2,且 bA BC = 1,求 sin B 的值.（本小題滿分14分）在四棱錐 PABCD 中，PAL平面 ABCD, AD / BC , AB=1, BC = 2, Z ABC = 60(1)求證：平面 PAC，平面 PAB;(2)設(shè)平面PBCA平面PAD=l,求證:BC / l.（本小題滿分14分）如圖，某摩天輪底座中心 A與附近的景觀內(nèi)某點 B之間的距離 AB為160 m.摩天輪與 景觀之間有一建筑物， 此建筑物由一個底面半徑為 15 m的圓柱體與一個半徑為 15 m的半球 體組成.圓柱白底面中心 P在線段AB上，且PB為45 m.半球體球心 Q到地面的距

5、離 PQ 為15 m.把摩天輪看作一個半徑為72 m的圓C,且圓C在平面BPQ內(nèi)，點C到地面的距離CA為75 m .該摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一周需要30 min ,若某游客乘坐該摩天輪 （把游客看作圓C上一點）旋轉(zhuǎn)一周，求該游客能看到點B的時長.（只考慮此建筑物對游客視線的遮擋）.(本小題滿分16分)2 2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓c A+ b2=1(ab0)過點(1,咨，離心率為 挈A, B分別是橢圓C的上、下頂點，M是橢圓C上異于A, B的一點.(1)求橢圓C的方程；(2)若點P在直線x y+2=0上，且bP = 3bM,求 PMA的面積；(3)過點M作斜率為1的直線分別交橢圓 C于另一點

6、N,交y軸于點D,且點D在線 段OA上(不包括端點 O, A),直線NA與直線BM交于點P,求OD OP的值.(本小題滿分16分)已知函數(shù) f(x)=ln x+a+1, aC R. x(1)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線為y= 2x+b,求a, b的值；1 , 記g(x)= f(x)+ax,右函數(shù)g(x)在區(qū)間(0, q)上有取小值，求頭數(shù) a的取值氾圍；(3)當(dāng)a=0時，關(guān)于x的方程f(x) = bx2有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍.(本小題滿分16分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn.若存在正整數(shù)r, t,且rt,使得Sr=t, St= r同時成立, 則稱數(shù)列an為“ M(r , t

7、)數(shù)列”.(1)若首項為3,公差為d的等差數(shù)列an是“ M(r , 2r)數(shù)列”，求d的值；(2)已知數(shù)列an為等比數(shù)列，公比為 q.若數(shù)列an為“M(r , 2r)數(shù)列，r0）.若直線l與曲線C相交于A, B兩點，且AB =3,隸r的值.C.（選彳45:不等式選講）若x, y, z為實數(shù)，且 x2+4y2+9z2= 6,求x+2y+6z的最大值.【必做題】 第22, 23題，每小題10分，共20分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.22.在平面直線坐標(biāo)系 xOy中，已知拋物線y2=2px(p0)及點M(2, 0),動直線l過點M交拋物線于 A, B兩點，當(dāng)1垂直于x軸時，(1)

8、求p的值；(2)若1與x軸不垂直，設(shè)線段 AB中點為P在定直線上.AB = 4.C,直線li經(jīng)過點C且垂直于y軸，直線1223.對由0和1這兩個數(shù)字組成的字符串，作如下規(guī)定：按從左向右的順序，當(dāng)?shù)谝粋€ 子串“010的最后一個0所在數(shù)位是第k(kCN*,且k3)位，則稱子串“010在第k位出現(xiàn)； 再繼續(xù)從第k+1位按從左往右的順序找子串“010；若第二個子串 “010的最后一個0所在數(shù)位是第k+m位(其中m3,且mC N*),則稱子串“010在第k+m位出現(xiàn)； ；如此 不斷地重復(fù)下去.如：在字符串1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0中，子串“010在第5位和第9位出現(xiàn)，而不是在第7位和第1

9、1位出現(xiàn).記在 n位由0, 1組成的所有字符串中，子串“010在第n位出現(xiàn)的字符串的個數(shù)為f(n).(1)求 f(3), f(4)的值；(2)求證：對任意的正整數(shù)n, f(4n+1)是3的倍數(shù).則點Q到1的距離為145k1552+ 115,2019屆高三模擬考試試卷(南京)數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)3231_1. 4, 5 2.四 3. 30 4. 45.-5 6. g7. 48. 6 9. -1 10.避 11. 412.5 772v10+214.（-00, 1.（1）證明：由正弦定理 SiA= SibB=SiCc= 2R,得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2RsinC代入 aco

10、s B+ bcos A= ccosA，得（sin Acos B+ sin Bcos A）cos C= sin Ccos A, （2 分）即 sin（A+ B）cos C= sin Ccos A.因為 A + B=兀C ,所以 sin （A+B）=sin C,所以 sin Ccos C= sin Ccos A. （4 分）因為C是4ABC的內(nèi)角，所以 sin Cw0,所以cos C= cos A.因為A , C是ABC的內(nèi)角，所以 A=C.（6分）a2+c2b2 a22（2）解：由（1）知 A=C,所以 a=c,所以 cos B= = 丁.（8 分） 2ac a因為 BA - BC = 1,所以

11、 a2cos B= a22= 1,所以 a2= 3.（10 分）所以 cos B= 1.（12 分）3因為 BC（0, % ）,所以 sin B=11 一 cos2B= p.（14 分）3.證明：（1）因為 PAL平面 ABCD , AC-平面 ABCD ,所以 PAAC.（2 分）因為AB = 1, BC = 2, Z ABC = 60 ,由余弦定理，得 AC =，AB2+ BC2 2AB BCcos/ ABC = 12+222 X 1 X 2cos 60 = 3.（4 分）因為 12+h/3）2=22,即 AB2+AC2=BC2,所以 AC，AB.（6 分）因為 AC PA,且 PAAAB

12、 = A, PaU 平面 pab , AB=平面 PAB, 所以AC，平面PAB.又AC - 平面PAC ,所以平面 PAC，平面 PAB.（8分）（2）因為 BC / AD , AD fi則 B(0, 0), Q(45 , 15), C(160 , 75).過點B作直線1與圓Q相切，與圓C交于點M, N ,設(shè)直線1的方程為y= kx ,即kx-y= 0,- 平面 PAD, BC 平面 PAD,所以 BC/平面 PAD.（10 分） （因為BC;平面PBC ,且平面 PBCn平面 PAD=l,所以 BC/ 1.（14分）.解：以點B為坐標(biāo)原點，BP所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,一

13、 3.解得k = 3或k= 0(舍去).43所以直線l的方程為y= x,即3x4y=0.(4分)點C(160, 75)到直線l的距離CH = I3F0=4衛(wèi)5|= 36.(6分)32+ (- 4) 236 1在 RtACHM 中，因為 CH =36, CM =72,所以 cos/ MCH =36 = 1.(8 分)一，兀兀 一一.因為/ MCH C（0, y）,所以/ MCH =,所以/ MCN = 2/MCH = 2兀所以所用時長為 30X 3-= 10 min.（13分） 2兀答：該游客能看到點B的時長為10 min.（14分）18.解：（1）因為橢圓過點（1,當(dāng)）,離心率為 冬所以* 5

14、17= 1, b7=1-e2=；，解得 a2=2, b2=1, a 2b a22所以橢圓C的方程為+y2=1.（2分）（2）由（1）知 B（0, 1）,設(shè) M（xc y。）, p（x, y）.由Bp = 3BM,得（x, y+1）=3（xc, yc+1）,則 x= 3沏，y=3y（）+2.因為p在直線x-y+ 2 = 0 ,所以y0= x0 .（4分）因為M在橢圓C上，所以x0+y0=1,將代入上式，得 x0=：.（6分） 23所以風(fēng)|=亭,從而|xp|=/6, 3(12 分)所以Sapma = Sapab 一S4MAB=1X2X m 1X2X *=乎.(8 分) 2233(3)(解法 1)由

15、(1)知,A(0, 1), B(0, 1).設(shè) D(0, m), 0vmv1, M(x1, y”，N(x2, y2).因為MN的斜率為1,所以直線 MN的方程為y=x+m.y= x+ m,聯(lián)立方程組x22l!+y=1消去 y,得 3x2+4mx+2m22=0,所以 x1+ x2= 4m, x0,則g(x)在區(qū)間(0, 2)上為增函數(shù)，則g(x)在區(qū)間(0,力上無 x.AA最小值.(4分)當(dāng)aw0時，方程ax2+x-a= 0的判別式 A= 1 + 4a20,則方程有兩個不相等的實數(shù)根，設(shè)為 x1, x2,由韋達定理得 %x2=1,則兩根一正一負(fù)，不妨設(shè)x100),(i)若 a0,當(dāng) x2C(0,

16、 1)時，m(0)= a0,解得 0a0,則 g(x)遞增, 當(dāng)x= x2時，g(x)取極小值，即為最小值.當(dāng)x22時，xC (0, 2), m(x)0,則g(x)在(0,；)上單調(diào)遞減，無最小值.(6分)(ii)若 av 0,當(dāng) xC (0, x2)時,m(x) 0,則 g(x)遞增;當(dāng) xC 的，+ )時,m(x)0,則 g(x)遞減,1在區(qū)間(0, 2)上，g(x)不會有最小值.所以a0不滿足條件.綜上，當(dāng)0va0,貝U h (x)=12bx=-2bx + 1 xx當(dāng)bw0時，h (x0恒成立，即h(x)在(0, +8)上為增函數(shù)， 則函數(shù)h(x)至多只有一個零點，即方程f(x) = b

17、x2至多只有一個實數(shù)根,所以bw0不符合題意.(10分)當(dāng)b0時，xC (0 xC (尸2孕2.h(x)max= h(,h (x)0,所以函數(shù)h(x)遞增;)時,h (x)0，解得 0be.(i2) (i)當(dāng) 0vbe時又十(忐)2=喧0，則e所以存在唯一的xiC(1,、/2b),使得h(xi)=0.(14分) e ,2b(ii) h(1)= In 1+ 1 1= ln b+11,記 k(b) = In b+1 1, 0 be f0Dn2因為k (b)=1+b2=1b23 則k(b)在(。，1)上為增函數(shù)，在(1, 2)上為減函數(shù),則 k(b)max=k(1) = 0,則 h(b)0,即 1

18、2bb所以存在唯一的x2 1b，使得 h(x2)=0.綜上，當(dāng)0vbe時，方程f(x) = bx2有兩個不相等白實數(shù)根.(16分)20. (1)解：因為an是 M(r , 2r)數(shù)列，所以 Sr=2r,且 S2r=r.r ( r 1由 Sr = 2r,得 3r +人d=2r.因為 r0,所以(r-1)d = - 2 (*).2r (2r 1由 S2r=r,得 6r+2d= r.因為 r0,所以(2r1)d = 5 (*).由(*)和(*),解得 r=3, d = 1.(2 分)(2)解：(i)若 q=1,則 Sr=ra1, St=ta1.因為an是 M(r , 2r)數(shù)列，所以 ra1=2r

19、(*),2raI=r (*).由(*)和(*),得備=2且即=2,矛盾，所以qw 1.(3分)(ii)當(dāng) qw1,因為an是 M(r , 2r)數(shù)列，所以 Sr = 2r，且 S2r=r，即弋a(chǎn)1 (1 - q2r)2r(*),1 一q =r ()由(*)和(*),得1 八2.(5 分)當(dāng)r= 1時，q=綜上，q=；或 q=L.(6 分)32證明：因為an是M(r , t)數(shù)列，qC(1, 0),所以Sr= t,且St=r, ai (1 qr)ai (1 qt)即aL2一= t,且 a12匚=，1 q1 q兩式作商，得 Fqi = t,即 r(1 qr) = t(1 qt). (8 分)1-q r(i)若r為偶數(shù)，t為奇數(shù)，則r(1 |q|r)=t(1+同).因為 rvt, 0v1|q|r1,所以 r(1 -|q|r)t(1+ |q|t),這與r(1 Tq|r)= t(1 + |q)矛盾，所以假設(shè)不成立.(10分)(ii)若r為偶數(shù)，t為偶數(shù)，則r(1 |q|r)=t(1 |q).設(shè)函數(shù) y = x(1 ax), 0a 0 時，1ax0, - xaxln a0,所以 y=x(1 ax)在(0 ,十)上遞增