數(shù)字信號(hào)處理習(xí)題答案：第四章 Z變換

1、PAGE 第四章 變換4.1 求下列序列的z變換，包括收斂域： （a） （b） （c） (d) （e） （f） （g） 解： (a) 收斂域?yàn)?； （b） 收斂域?yàn)?； （c） 收斂域?yàn)?（d） 收斂域?yàn)檎麄€(gè)平面； （e） 收斂域?yàn)?； （f） 收斂域?yàn)椋?（g） 收斂域?yàn)椋?.2 求序列z變換解：令 而4.3求下列每個(gè)序列的變換，包括收斂域，并畫(huà)出零極點(diǎn)圖。全部以閉式表示，可以為復(fù)數(shù)。（a），（b） （c） 解:（a） ()零極點(diǎn)圖如下：(b) ，零極點(diǎn)圖如下： (c)。由Z變換性質(zhì)：，零極點(diǎn)圖如下：4.4 （a）勿需顯式解出，求下列每個(gè)變換的收斂域。（ = 1 * roman i）（ =

2、2 * roman ii）（ = 3 * roman iii）（b）上述序列中哪些傅里葉變換收斂？解：（a）（ = 1 * roman i）：。（ = 2 * roman ii）：且。（ = 3 * roman iii）即：設(shè)，兩者類比，可得：。4.5 令是一個(gè)因果序列，即，。另假定 (a) 證明沒(méi)有極點(diǎn)或零點(diǎn)在處，即非零且有限。證明在有限z平面極點(diǎn)數(shù)等于零點(diǎn)數(shù)。（有限z平面不包括。） 解：（a） 非零且有限。假設(shè) ，其中為零點(diǎn)數(shù)，為極點(diǎn)數(shù)，由（a）知，不趨于，所以又，所以 即零點(diǎn)數(shù)等于極點(diǎn)數(shù)。4.6考慮z變換,其零極點(diǎn)圖如圖4.6所示. 若已知傅立葉變換存在,確定的收斂域,并確定這時(shí)的序列是

3、右邊,左邊或雙邊序列. 有多少可能的雙邊序列都有如圖P4.2所示的零極點(diǎn)圖? 對(duì)于圖P4.6所示的零極點(diǎn)圖有無(wú)可能有一個(gè)既穩(wěn)定又因果的序列與其對(duì)應(yīng)?若有,請(qǐng)給出相應(yīng)的收斂域.解：（a）若包含單位圓，則的收斂域只能為，由于收斂域是一個(gè)圓盤(pán)，所以序列為雙邊序列。 （b）由極零圖可知 根據(jù)收斂域不同可能有4種序列： 1) , 此時(shí)為左邊序列 2) 3) 4) 為右邊序列. 綜上可知只有2),3)兩種可能的雙邊序列. (c) 若為因果序列,則為右邊序列. 此時(shí)只可能取這個(gè)收斂域, 因此不穩(wěn)定,所以不可能有一個(gè)既因果又穩(wěn)定的序列與其對(duì)應(yīng).4.7求具有如下變換的序列：解: 4.8 分別用部分分式展開(kāi)法和冪

4、級(jí)數(shù)展開(kāi)法，求下列各式的反變換。（a），（b）（c）（d）（e）解：（a），部分式展開(kāi)：在時(shí)，。冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：在時(shí)， 即：（b）部分式展開(kāi)：在時(shí)，。冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：在時(shí)， 即：（c）部分式展開(kāi)：時(shí)，即：冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：時(shí)，即：（d）同（a）。（e）原式可化為：。部分式展開(kāi)：時(shí)，冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：時(shí)，其中：；。即：。4.9 以下給出的是四個(gè)z變換，確定哪一些可能是一個(gè)因果序列的z變換。不用求出z變換，憑觀察就應(yīng)該能夠給出答案，對(duì)每種情況清楚陳述你的道理。 （a） （b） （c） （d） 解: 由題意，時(shí)， 處不能有極點(diǎn)。 （a） 系統(tǒng)是因果的。( b) 系統(tǒng)是非因果的。（c） 系統(tǒng)是因果的。 （d） 系統(tǒng)是非因

5、果的。4.10 考慮具有z變換為的序列;其中和都是z的多項(xiàng)式.如果該序列是絕對(duì)可加的，且的全部根都在單位圓內(nèi)，該序列一定是因果的嗎？若回答：是，請(qǐng)明確給予解釋。如果回答：否，請(qǐng)給出一個(gè)相反的例子。 解: 不是. 令 其根為,在單位圓內(nèi),但不是因果的.4.11考慮一個(gè)右邊序列有如下的變換：在4.3節(jié)曾考慮過(guò)將作為得多項(xiàng)式之比，然后用部分分式展開(kāi)來(lái)求，現(xiàn)在請(qǐng)把作為得多項(xiàng)式之比，再作部分分式展開(kāi)，從該展開(kāi)式中求解:一個(gè)右邊序列的變換如下： 令，則有以下的方程組：時(shí)又已知，那么時(shí)時(shí)， （） （） 4.12 求下列各式的反變換，（a）（c）按要求方法做，（d）隨意。（a）長(zhǎng)除法：為右邊序列；（b）部分分

6、式展開(kāi)法：為穩(wěn)定序列；（c）冪級(jí)數(shù)法：（d）解：（a）由為右邊序列，可得應(yīng)有。其中的處理用長(zhǎng)除法，即：即：。（b）其中各分式分別有如下的反變換：為穩(wěn)定序列；應(yīng)有：，（c）冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：。（d）設(shè)，；即。又，。即：，其中。4.13用任何方法求下列每個(gè)z變換：（a）， 穩(wěn)定序列（b）（c）, 左邊序列 解：（a） 由圍線積分定理 在圍線內(nèi)極點(diǎn)處的留數(shù) 的極點(diǎn)為 ， ， (b) （c） 左邊序列 4.14求下列各z反變換。你應(yīng)該發(fā)現(xiàn)4.4節(jié)z變換的諸性質(zhì)是有助于解題的。 解: (a)為左邊序列 而 （b） (c) = 4.15變換，求該序列。（用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法）解: 由級(jí)數(shù)展開(kāi)的知識(shí)可知：,n為整數(shù)。4

7、.16 求的反變換，用（a）冪級(jí)數(shù)（b）首先將微分，然后用微分后的結(jié)果來(lái)回復(fù)。解：（a）利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，則有：。（b）又 ，。4.17 令是一個(gè)因果穩(wěn)定序列，其z變換為，在第十二章將定義復(fù)倒譜作為對(duì)數(shù)的反變換，即， ， 其中的ROC包括單位圓。（嚴(yán)格講，取某個(gè)復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)要仔細(xì)考慮。再者，一個(gè)有效z變換的對(duì)數(shù)可能不是一個(gè)有效的z變換，這些證明都延至第十二章去討論，目前暫假定都成立。） 求下列序列的復(fù)倒譜： ， 。 解 ， ，4.18對(duì)下列序列求z變換和收斂域，并畫(huà)出零極點(diǎn)圖。 解: (a) 極點(diǎn)：z=a,b,c 零點(diǎn)：z=0 (b) 極點(diǎn)z=a 零點(diǎn)z=0,-a （c） 任意z 無(wú)零極點(diǎn)4.19

8、 圖P4.19相應(yīng)于一個(gè)因果序列的變換的零極點(diǎn)圖。畫(huà)出的零極點(diǎn)圖。這里，同時(shí)標(biāo)出的收斂域。極點(diǎn)：，零點(diǎn)：圖P4.19解: 而可以寫(xiě)成如下的形式：（K為常數(shù)）那么的極點(diǎn)就是：;。沒(méi)有零點(diǎn)。的零極點(diǎn)以及收斂域如下圖：4.20 設(shè)是具有如圖P4.20所示零極點(diǎn)分布的序列，對(duì)下面序列畫(huà)出對(duì)應(yīng)的零極點(diǎn)分布圖。（a）（b）圖P4.20解：（a）。所以可得的零極點(diǎn)分布如圖解4.20-1。圖解4.20-1（b）。所以可得的零極點(diǎn)分布如圖解4.20-2。圖解4.20-24.21 考慮一個(gè)穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)，輸入如下：用和的離散卷積求輸出用輸入和沖激響應(yīng)z變換乘積的z變換求輸出。解： (a) 和的離

9、散卷積為 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， （b） 收斂域?yàn)?。時(shí)， ；時(shí) 在處有高階極點(diǎn)又在處的留數(shù)為 ， 當(dāng)時(shí)，僅在處有單極點(diǎn) 4.22 考慮一個(gè)穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，其沖擊響應(yīng)的z變換為假設(shè)輸入是單位階躍序列。用計(jì)算與的離散卷積求輸出。用計(jì)算的z反變換求輸出。 解:（a） = （b） 4.23求因果系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，其沖激響應(yīng)的變換為：解: 4.24 對(duì)于一個(gè)LTI系統(tǒng)，若其輸入，則有：。（a）求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。（b）求對(duì)應(yīng)的變換，并畫(huà)出它的零極點(diǎn)分布圖。（c）該系統(tǒng)是穩(wěn)定的嗎？（d）該系統(tǒng)是因果的嗎？解：由題意可得：當(dāng)時(shí)，。（a）。零極點(diǎn)分布如圖解4.24。圖解4.24（b）。（c）由零極點(diǎn)分布圖

10、可知極點(diǎn)為，單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。（d）由，可得系統(tǒng)非因果。4. 25 一個(gè)因果的LTI系統(tǒng)的輸入是 這個(gè)系統(tǒng)輸出的變換是 求該系統(tǒng)沖激響應(yīng)的變換，表明收斂域。的收斂域是什么？求解（a） 收斂域?yàn)?又 的為整個(gè)平面 （b） 的收斂域?yàn)?（c） 的收斂域?yàn)?4.26一個(gè)因果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)的輸入是 求對(duì)全部n的系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)。 求對(duì)全部n的輸出。 該系統(tǒng)是穩(wěn)定的嗎？即是絕對(duì)可加的嗎？ 解:（a） （b） （c）因此系統(tǒng)穩(wěn)定。4.27一個(gè)因果的LTI系統(tǒng)有沖激響應(yīng)，它的變換是（a）的收斂域是什么？（b）系統(tǒng)是穩(wěn)定的么？請(qǐng)解釋。某一輸入，產(chǎn)生的輸出為：求的變換。（d）求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。

11、解: （ROC）收斂域包括單位圓，那么序列絕對(duì)可和，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 解出待定系數(shù)為:4.28 設(shè)是實(shí)偶序列，即；且是的一個(gè)零點(diǎn)，即。（a）證明也是的一個(gè)零點(diǎn)。（b）還有其他關(guān)于零點(diǎn)的信息隱含在所給信息中嗎？（a）證明：因?yàn)槭菍?shí)偶序列，所以：。即當(dāng)時(shí)，必有。結(jié)論得證。（b）單位圓內(nèi)和單位院外得零極點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，且均為相對(duì)單位圓對(duì)稱分布，即零極點(diǎn)總是 和對(duì)應(yīng)出項(xiàng)。4.29 利用z變換定義式（4.2）證明：如果是的z變換，那么 （a） （b）（c）（d） 解：（a） (b) (c) (d) 4.30考慮一個(gè)實(shí)序列，其z變換的全部零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)。利用求另一個(gè)實(shí)序列，不等于，但是有并且的z變換其全

12、部零極點(diǎn)也在單位圓內(nèi)。 解：令 可知 且 因此的全部極點(diǎn)仍在單位圓內(nèi)。4.31一個(gè)實(shí)的有限長(zhǎng)序列，若它的變換沒(méi)有零點(diǎn)位于共軛倒數(shù)對(duì)的位置上，且也沒(méi)有零點(diǎn)在單位園上，則唯一地可以由其傅立葉變換的相位來(lái)確定，除去一個(gè)正的幅度加權(quán)系數(shù)外。在共軛倒數(shù)對(duì)的零點(diǎn)的一個(gè)例子。即使我們能夠產(chǎn)生某些序列，他們不滿足以上的條件，但是幾乎任何有意義的序列都滿足這些條件，因此這些序列是唯一地有它的傅立葉相位來(lái)確定的，除去一個(gè)正的幅度加權(quán)系數(shù)外。 考慮一個(gè)序列，它是實(shí)的，在以外為零。它的變換沒(méi)有零點(diǎn)位于共軛倒數(shù)對(duì)的位置上，也沒(méi)有零點(diǎn)在單位圓上。我們希望建立一個(gè)算法，要從來(lái)恢復(fù) ，是的傅立葉變換的相位，c是一個(gè)正的幅度加

13、權(quán)系數(shù)。(a)給出一組(N-1)個(gè)線性方程組，它的解將提供從恢復(fù)的，但是有一個(gè)正的或者負(fù)的幅度加權(quán)系數(shù)。你不必證明這(N-1)個(gè)線性方程組有唯一解。同時(shí)證明如果已知而不是剛才的，那么幅度加權(quán)系數(shù)的符號(hào)就能確定。假設(shè)為：利用（a）建立的方法，說(shuō)明可以由確定，這里c是一個(gè)正的幅度加權(quán)系數(shù)。4.32 證明：若在時(shí)為零，則有。若在時(shí)為零，情況又是如何？證明：（ = 1 * roman i）在時(shí)為零，。（ = 2 * roman ii）當(dāng)條件變?yōu)樵跁r(shí)為零，則。結(jié)論變?yōu)椋骸?4.33 考慮一個(gè)序列，其z變換是 收斂域包括單位圓。利用習(xí)題4.32導(dǎo)得的定理求。 解： 的第一項(xiàng)在處有極點(diǎn)，收斂區(qū)域包括單位圓在

14、極點(diǎn)的外部，所以它對(duì)應(yīng)于一個(gè)因果序列，故可用習(xí)題4.32的結(jié)果來(lái)求 第二項(xiàng)在處有極點(diǎn)，收斂域包括單位圓，在極點(diǎn)的內(nèi)部 時(shí)，為，也可用4.32的結(jié)果來(lái)求 4.34一個(gè)實(shí)值穩(wěn)定序列的非周期自相關(guān)函數(shù)定義為證明的z變換是確定的收斂域。假設(shè)。圖示出的零極點(diǎn)及其收斂域。同時(shí)用求的z反變換求。給出另一個(gè)序列，它不等于中的，但有與相同的自相關(guān)函數(shù)。給出第三個(gè)序列，它不等于相同的自相關(guān)函數(shù)。 解:（a）證明： 若收斂域?yàn)?，則收斂域?yàn)?（b） 因此只有時(shí)才存在，其收斂域?yàn)?，且?極點(diǎn) 零點(diǎn)z=0 (c) (d) 4.35能否對(duì)應(yīng)某個(gè)序列的變換，說(shuō)明你的理由。4.36 對(duì)下列各式用圍線法求反變換。（a），（b）（

15、c）（d）（e）解：（a）。其中圍線可取半徑大于，圓心在原點(diǎn)，且逆時(shí)針?lè)较虻膱A。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，變量替換，則積分式變?yōu)椋渲袊€可取半徑小于4，圓心在原點(diǎn)，且逆時(shí)針?lè)较虻膱A。當(dāng)時(shí)，。綜合，可得：。（b）其中圍線可取半徑小于，圓心在原點(diǎn)，且逆時(shí)針?lè)较虻膱A。當(dāng)時(shí)，圍線內(nèi)無(wú)奇異點(diǎn)，即；當(dāng)時(shí)，變量替換，則積分式變?yōu)?，其中圍線可取半徑大于4，圓心在原點(diǎn)，且逆時(shí)針?lè)较虻膱A。即：有奇異點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，。綜合，可得：。（c）其中圍線可取半徑大于，圓心在原點(diǎn)，且逆時(shí)針?lè)较虻膱A。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，變量替換，則積分式變?yōu)椋渲袊€可取半徑小于2，圓心在原點(diǎn)，且逆時(shí)針?lè)较虻膱A。當(dāng)時(shí)，。綜合，可得：。（d）其中圍線可取半徑大于，圓

16、心在原點(diǎn)，且逆時(shí)針?lè)较虻膱A。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，變量替換，則積分式變?yōu)?，其中圍線可取半徑小于3，圓心在原點(diǎn)，且逆時(shí)針?lè)较虻膱A。當(dāng)時(shí)，。綜合，可得：。（e）其中圍線可取半徑大于，圓心在原點(diǎn)，且逆時(shí)針?lè)较虻膱A。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，變量替換，則積分式變?yōu)?，其中圍線可取半徑小于，圓心在原點(diǎn)，且逆時(shí)針?lè)较虻膱A。當(dāng)時(shí)，。綜合，可得：4.37 考慮一個(gè)穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)的z變換是 假設(shè)系統(tǒng)輸入，求時(shí)的。 解： 當(dāng)時(shí)， 4.38假設(shè)變換為同時(shí)已知是一個(gè)穩(wěn)定序列。 求的收斂域。 解:（a）我們已知全部穩(wěn)定序列都有傅立葉變換，因此若穩(wěn)定，則ROC必包含單位圓。 （b） C取單位圓逆時(shí)針?lè)较?單位圓內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn) 4

17、.39假設(shè)的變換為：設(shè)是一個(gè)穩(wěn)定序列，求的。設(shè)是一個(gè)左邊序列，求的。（考慮用4.5節(jié)討論的圍線積分）解:（a）若是一個(gè)穩(wěn)定序列，則收斂域（ROC）包含單位圓，由收斂域的性質(zhì)，那么收斂域（ROC）如下形式出現(xiàn)：則： （b）當(dāng)是一個(gè)左邊序列時(shí)，收斂域（ROC）以的形式出現(xiàn)，是模值最小的極點(diǎn)。即，這是4.40 在用圍線法求反變換時(shí)，對(duì)于的情況往往用變量置換可得到比較簡(jiǎn)單地得到結(jié)果。例如，當(dāng)積分線取單位圓時(shí)，就有將單位圓外映射到單位圓內(nèi)地簡(jiǎn)化效果；反之亦然。然而不用這種置換也可以得到相同的結(jié)果。值得使自己確信的是，這兩種方法得到的結(jié)果是相同的?，F(xiàn)令收斂域包括單位圓。（a）不用置換計(jì)算點(diǎn)的級(jí)數(shù)，以求得、

18、和。（b）不用置換求時(shí)的；用置換法求時(shí)的。解：（a）依題意，可得：，其中圍線可取逆時(shí)針?lè)较虻膯挝粓A。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。（b）時(shí)， 其中圍線取逆時(shí)針?lè)较虻膯挝粓A，無(wú)奇異點(diǎn)。時(shí)，變量替換，則積分式變?yōu)椋渲袊€取逆時(shí)針?lè)较虻膯挝粓A，奇異點(diǎn)為，即：綜合，可得：。4.41 令是z 的多項(xiàng)式之比，即 。 證明，如果在有一個(gè)單階極點(diǎn)，那么在的留數(shù)就等于 ， 式中為的導(dǎo)數(shù)在的值。解： 在處有一個(gè)單階極點(diǎn) 4.42假設(shè)是一個(gè)有理函數(shù)，即這里都是多項(xiàng)式。再假設(shè) 沒(méi)有階數(shù)大于1的多重零點(diǎn)和極點(diǎn)。令C是一個(gè)簡(jiǎn)單的逆時(shí)針?lè)较虻拈]合圍線，Z和P分別是包圍在圍線內(nèi)的零點(diǎn)和極點(diǎn)數(shù)。（假設(shè)在C上沒(méi)有零點(diǎn)和極點(diǎn)。） 的導(dǎo)數(shù)。 用極坐標(biāo)來(lái)表示，證明沿著圍線C繞過(guò)一周，的改變是。（這個(gè)結(jié)果也能推廣到多重極點(diǎn)和零點(diǎn)的情況，只要根據(jù)它們的重階數(shù)來(lái)計(jì)算極點(diǎn)和零點(diǎn)即一個(gè)二階極點(diǎn)就按二倍計(jì)算。）解：（a）證明：令它共有Z+P個(gè)極點(diǎn)。令代表使的點(diǎn)，且在C內(nèi)的點(diǎn)I=1，2，P 代表使的點(diǎn),且在C內(nèi)的點(diǎn)j=1,2,Z考慮Res,由于各極零點(diǎn)均為一階,同理(b)證明: 4.43 是一個(gè)因果穩(wěn)定序列的變換，求下列表示式的數(shù)值解。（該表示式可以認(rèn)為是幅度平方對(duì)數(shù)的均值）（提示：把這個(gè)表示式作為在一條特殊圍線上的積分并用柯西積分定理來(lái)求。）解: 是一個(gè)因果穩(wěn)定序列的變換（收斂域包括單位圓，所有的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)），（c為逆時(shí)針?lè)较?/p>