數(shù)字信號處理習題答案：第三章 連續(xù)時間信號的采樣

1、連續(xù)時間信號的采樣 3.1 序列 ， ，用采樣模擬信號 ， 。而得到，采樣率為1000樣本/每秒，問有哪兩種可能的值以同樣的采樣率能得到該序列？解：對模擬信號 以采樣率進行采樣產生離散時間序列，又對任意整數(shù)， 當以采樣頻率為的正弦波都會產生相同的序列，對于 （樣本/秒），或rad/s均可。所以取或都能以同樣的采樣率得到該序列。3.2 令記作某一線性時不變連續(xù)時間濾波器的沖擊響應，為某一線性時不變離散時間濾波器的沖擊響應。 若求該連續(xù)時間濾波器的頻率響應，并畫出它的幅度特性。 若，如所給，求該離散時間濾波器的頻率響應，并畫出它的幅度特性。 若給定a的值，作為T的函數(shù)，求離散時間濾波器頻率響應的最

2、小幅度值。解：（a）由連續(xù)時間信號的傅氏變換得： (b) = = = （c）若a為定值，當時，幅度最小為： （它是的函數(shù)）3.3 圖P3.3-1表示一種多徑信道的簡單模型。假設是帶限的，對用采樣周期T采樣得到的序列： 延遲 圖P3.3-1求的傅里葉變換和的傅里葉變換（用表示）。現(xiàn)在要用一個離散時間系統(tǒng)來仿真該多徑系統(tǒng)，選擇該離散時間系統(tǒng)的，使得當輸入為時，輸出為。如圖P3.3-2所示。求利用T和表示的。 圖P3.3-2當（i）=T和（ii）=T/2時，求上圖的沖激響應。解：（a） （F為傅氏變換符號，以下皆同）（b）要用離散時間系統(tǒng)來模擬多徑系統(tǒng) （） （c）3.4圖P3.4所示的系統(tǒng)有下列關

3、系：，；。圖P3.4（a）如果要避免混疊，即能從中恢復，求系統(tǒng)最大允許的值。（b）求。（c）利用，求時的值。（d）是否存在任何值，對該值有。如果有這樣的值，求其最大值。若不存在，試說明并給出值應該怎么選，才能使上式有最好的近似。解：（a）由采樣定理可得：。帶入數(shù)據(jù)，即有，得：，即：s。（b）。（c）（d）由（c）可得：；同樣有：。又由采樣定理可得：綜合以上條件可得到如圖解3.4：圖解3.4只要保證采樣后的即可，如上圖所示的極限情況。如圖所示，符合條件的值：s 3.5 一個復雜的帶通模擬信號有如圖P3.5所示的傅立葉變換，這里。對該信號進行采樣，得到序列。 圖P3.5當，畫出序列的傅立葉變換。不

4、會引起混疊失真的能用的最低采樣頻率是什么（也即是可以由恢復）？如果采樣率大于或等于由（b）確定的采樣率，試畫出由恢復的系統(tǒng)方框圖，假設有（復數(shù)的）理想低通濾波器可資利用。 解：(a) ，如圖所示 ( b) 由（a）中圖可以看出，要不引起混疊失真需滿足 ，即所以最低采樣頻率要不低于。（c）由恢復的系統(tǒng)方框圖如下所示： 3.6 一個具有如圖P3.6所示的傅立葉變換的模擬信號用采樣周期采樣形成序列. 對,畫出傅立葉變換. 信號經(jīng)過一個數(shù)字信道傳輸,在接收端原信號必須恢復出來,試畫出該恢復系統(tǒng)的方框圖,并給出它的特性,假設可以采用理想濾波器. 問T在什么范圍內(用表示),可從恢復? 解: (a)采樣頻

5、率 (b) 若使,則應使理想帶通濾波器具有如下特性: （c）若可以由恢復，則采樣后信號頻譜不混疊。由于本題的特殊性，可知有兩種情況： 3.7在許多的應用中，離散時間隨機信號是經(jīng)過對連續(xù)時間隨機信號周期采樣得到的。本題關注的是隨機信號采樣定理的推導。今考慮一個隨機變量所定義的連續(xù)時間平穩(wěn)隨機過程，這里t是一個連續(xù)變量。自相關函數(shù)定義為：功率譜密度是：用周期采樣所得到的離散時間隨機過程由隨機變量的集合所定義，這里,T為采樣周期。（a） 和是什么關系？利用連續(xù)時間過程的功率譜密度表示離散時間信號的功率譜密度。在什么條件下，離散時間功率譜密度才是連續(xù)時間功率譜密度的一個正確表示？解：(a)由(b)離散

6、系統(tǒng)的功率譜為：(c)只有當離散時間系統(tǒng)的功率譜是帶限時，才能正確表示連續(xù)時間系統(tǒng)的功率譜，即。3.8考慮一個具有如圖P3.8-1所示的帶限功率密度譜的連續(xù)時間隨機過程。假設對采樣后得到離散隨機過程。圖P3.8-1（a）該離散隨機過程的自相關序列是什么？（b）對于如圖P3.8-1所示的連續(xù)時間功率譜密度，應該怎么選，才能保證離散隨機過程是白的，即功率密度譜對所有的都是常數(shù)？（c）若功率密度譜如圖P3.8-2所示，又應該怎么選，才能保證離散隨機過程是白的？圖P3.8-2解：（a）由維納-辛欽定理可知:自相關函數(shù)和功率譜密度為傅立葉變換對。自相關序列（b）由，及采樣定理可得：若，則有。故應有：，即

7、：時，這時才能保證離散隨機過程是白的。（c），當時，離散隨機過程是白的。3.9 在圖P3.9中，設，。對于一般情況，試用來表示，對于和，基本關系式是不同的嗎？ 圖P3.9解： ，該序列的傅立葉變換如下： 而理想重構濾波器的增益為，截至頻率為，由書中3.27式可得： 由頻域和時域的變換關系可得：當和時，基本關系式是相同的（）。3.10在圖P3.10的系統(tǒng)中，和如圖所示，對下列各種情況畫出并標注的傅立葉變換： 解:如下圖 3.11 圖P3.11-1表示出利用離散時間濾波器過濾連續(xù)時間信號的整個系統(tǒng)。重構濾波器和離散時間濾波器的頻率響應如圖P3.11-2所示。 沖激串到 轉換到 序列的轉換 沖激串

8、理想重構濾波器圖P3.11-1對如圖P3.11-3所示的和，畫出和。對于某個T的范圍，具有輸入為，輸出為的整個系統(tǒng)被等效于一個如圖P3.11-4所示的頻率響應為的連續(xù)時間低通濾波器。求T的取值范圍。對于（b）所確定的范圍，畫出作為的函數(shù)。（注意：這是利用固定的連續(xù)時間和離散時間濾波器和可變采樣頻率來實現(xiàn)可變截止頻率連續(xù)濾波器的一種方法。） 圖P3.11-2圖P3.11-3圖P3.11-4解：系統(tǒng)如圖示，。（a）（b）考慮極限情形，由模擬角頻率和數(shù)字角頻率之間的關系，整個系統(tǒng)等效為，只要信號的頻譜在采樣后不發(fā)生混疊即可，這時T的范圍是：（c），和有線性的關系，圖像是一條反向延長線過原點的射線。如

9、下圖:3.12 設圖3.12所示離散時間系統(tǒng)，是線性時不變的。且，。求滿足的最大可能的值及相應的離散時間系統(tǒng)頻率響應。圖3.12解：由頻譜圖可知，只要保證題目要求頻帶沒有混疊即可:(s)又由已知可得：即得：3.13 在圖3.9的系統(tǒng)中，設， 。求出離散時間LTI系統(tǒng)的幅度和相位特性，使得輸出試輸入的連續(xù)積分，即 圖3.9 解： ， 其幅度和相位特性如下： 3.14考慮圖3.9的系統(tǒng)，其中離散時間系統(tǒng)是一個理想低通濾波器， 截止頻率為 。 若帶限到，為了避免在轉換器中發(fā)生混疊，最大的T值是多少？ 若，有效連續(xù)時間濾波器的截止頻率是多少？ 若，重復。解: (a)由題可知 若在轉換中不發(fā)生混疊,則

10、(b)若,的截止頻率為。對應的模擬信號的截止頻率為： （c）若,的截止頻率為。對應的模擬信號的截止頻率為：3.15已知一個帶限的連續(xù)時間信號有60Hz的分量，這個分量想用圖3.9系統(tǒng)把它處理掉，這里。 圖3.9如果要避免混疊，那么模擬信號中能包括的最高頻率分量是多少？利用具有如下頻率響應的離散時間系統(tǒng)：畫出的幅度和相位。（c）為了消除60Hz的分量，應該選什么值？解:帶限時間信號含有60Hz的分量，由Nyquist采樣定理，模擬信號中能包含的最高的頻率分量是5KHz。的幅度如下圖：（c）為了消除60Hz的頻率分量，當對應的數(shù)字角頻率：3.16 考慮圖P3.16所示的系統(tǒng)，其中，。而離散時間系統(tǒng)

11、是一個平方器，即，使得的最大時多少？圖P3.16解：處理框圖如下。各信號頻域關系如下：其中須注意得地方是。結合在連續(xù)信號處理過程中即：可得須滿足條件：。 3.17 本題研究交換兩種運算的次序在信號上所產生的影響，這兩種運算是采樣和執(zhí)行一個無記憶（Zero-Memory）的非線性運算?？紤]圖P3.17-1中兩個信號處理系統(tǒng)，這里C/D和D/C轉換器都是理想的。映射代表一個無記憶非線性器件。當采樣率選為樣本/秒和的頻譜特性（帶限到HZ）如圖P3.17-2所示時，畫出在點1，2和3處的信號頻譜。嗎？若不等，為什么？嗎？請解釋你的答案。 圖P3.17-1 圖P3.17-2(b) 考慮系統(tǒng)1，令和采樣率

12、樣本/秒，嗎？請說明為什么是或不是。(c) 考慮圖P3.17-3的信號處理系統(tǒng)，這里，而是它的（唯一的）逆，即。令和采樣率樣本/秒，用來表示。存在有頻譜混疊嗎？用來表示。從這個例子你能得到什么結論呢？（你可能要用到恒等式） 圖P3.17-3(d) 一個實際問題是數(shù)字化一個大動態(tài)范圍信號所引起的問題，假設我們用下面方法來壓縮這個動態(tài)范圍：在A/D轉換之后再將信號擴展回來，那么位于A/D轉換之前的這個非線性運算在選擇采樣率上有什么影響？3.18圖P3.18-1的LTI系統(tǒng),其是 求圖3.14系統(tǒng)中的T和，使得該系統(tǒng)等效為圖P3.18-1的系統(tǒng),后者的如上所給。圖3.14 當輸入序列為并如圖P3.1

13、8-2所示時,求出并畫出。 解: (a) ( ) (b) 當輸入序列為,相當于延時后產生的序列 3.19考慮圖3.14系統(tǒng)，其中連續(xù)時間LTI系統(tǒng)是因果的，且有下列線性常系數(shù)微分方程所表征：整個系統(tǒng)等小為一個因果的離散時間線性時不變系統(tǒng)。求該等效離散時間系統(tǒng)的沖激響應。圖3.14解:如上圖所示的系統(tǒng)，其中連續(xù)LTI因果系統(tǒng)滿足如下的微分方程：若系統(tǒng)松弛，在方程兩邊取拉氏變換得3.20 考慮序列，它的傅里葉變換如圖P3.20所示。試分別畫出，和的和，這里和。當時，不存在混疊的最大值是多少？圖P3.20解：由題意可得：。對于的情況，即有如下圖所示的序列關系：其中為的減采樣；為的增采樣，但沒有濾波環(huán)

14、節(jié)。減采樣時，若要求減采樣不失真，應有，即。對于，則應有。但是不論是多少，對于的情況，恒有：所以可得如下的頻域圖。（ = 1 * roman i），時，不失真。（ = 2 * roman ii），時，失真。 3.21 圖P3.21中，和。（a） 在如圖P3.21所示系統(tǒng)中，若的傅立葉變換是，為了使 ，要求的T值是什么？（b）如何選擇，可使？ 圖P3.21 解：(a) 當時，有 而題目要求， （b） ，即的周期為 要使，必須使D/C的為的一半 即 3.22圖3.21畫出一個用因子L內插信號的系統(tǒng)，其中低通濾波器在的非零值間內插產生一個未經(jīng)采樣或內插的信號。當該低通濾波器是理想時，就稱為帶限內插。

15、如同在3.6.2節(jié)所指出的，簡單的內插過程往往就夠了。零階保持和線性內插就是常用的兩種簡單的內插過程。對于零階保持內插，的每一個值只是重復L次，即線性內插已在3.6.2節(jié)中討論過。為實現(xiàn)零階保持內插，求圖3.21中低通濾波器的沖激響應，同時求出相應的頻率響應。式給出了線性內插的沖激響應，求相應的頻率響應。（是一個三角波，它就相應于兩個矩形序列的卷積，這一點對求解是有幫助的）。對零階保持和線性內插畫出該濾波器頻率響應的幅度特性。相對于理想帶限內插來說哪一個是更好一些的近似？ 解：（a）為實現(xiàn)零階保持內插，低通濾波器的沖激響應為：（b） 令 = （c）零階保持 線性內插 由于線性內插濾波器在截止頻

16、率以外衰減的要快，所以線性內插是理想帶限的更好近似。3.23假設一個序列使用截止頻率為5KHz的連續(xù)時間低通濾波器過濾的一個語音信號,然后用10KHz的采樣頻率得到，如圖P3.23-1所示。不幸的是，一旦序列被存儲在磁帶上以后，該語音遭到破壞。稍后發(fā)現(xiàn)本應該按照如圖P3.23-2所示的系統(tǒng)來處理。利用離散時間處理，建立一種從得到的方法。方法可以要求有大量的計算量，但不應要求有C/D或者D/C轉換器。如果方法用了一個離散時間濾波器，請給出濾波器的頻率響應。 圖P3.23-1圖P3.23-2解:該題目需要建立一種從得到的方法而且不能包含C/D或者D/C轉換器。我們從頻域來分析兩者的關系。為了不失一

17、般性，我們假設有如下的頻率特性：那么有如下的頻率特性：由兩者之間的關系可以得出如下的系統(tǒng)實現(xiàn)：如圖中所示，用到的數(shù)字低通濾波器頻率響應為：3.24 考慮如圖P3.24-1所示的系統(tǒng)，這里圖P3.24-1若如圖P3.24-2所示，畫出。圖P3.24-2解：由題意可得，處理流程如下：所以，可得頻域分析如下：3.25 希望要計算某個未被采樣序列的自相關函數(shù)，如圖P3.25-1所示，有人提議，這可以等效地用圖P3.25-2的系統(tǒng)來完成?？梢赃x取以使得嗎？如果不能，為什么不能？如果可以，請給出。 圖P3.25-1 圖P3.25-2解：由圖可知： 而 要使，則有3.26圖P3.26的系統(tǒng)近似為將序列以因子

18、L內插.假設該線性濾波器的沖擊響應為和，這里L和R都是整數(shù)，即該沖激響應是對稱的，且長度為個樣本。 在回答下面問題中，不要關心有關該系統(tǒng)的因果性，因為可以用包括某些延遲來達到因果。明確點說，必須插入多少延遲該系統(tǒng)才能成為因果的？ 為了有必須滿足什末條件？ 利用沖擊響應的對稱性，證明的每一個樣本用不多于RL次乘法都能計算出來。 利用不需要做被零乘的相乘這一事實，證明每個輸出樣本只要2R次乘法。解：（a）若系統(tǒng)為因果的，則有當n0；是1，若x0。證明下面的算法足以從它的幅度求得一個負數(shù)x的反碼表示：將中每個1變成0，每個0變成1，包括符號位在內，就得到的負數(shù)。證明下面算法可以用來對一個負數(shù)x從它的

19、幅度求得一個補碼表示：求該數(shù)的反碼表示，并加。從右邊開始，依次檢查的各位，對于在中的每一個0在x中放一個0，當在中遇到第一個1時，在x中放一個1，以后就對所有的位，包括符號在內每逢0變成1 ，每逢1變成0。 解： (a) 當時， 三種表示法中都有符號位為 當時對原碼， 符號位為1；對反碼，（b）設 則將中0變1，1變0，相當于將變?yōu)?，同時符號位變?yōu)? 得到的新數(shù)為 恰好為的負數(shù)的反碼表示。i) 當時，其反碼表示為 加上得到 即為它的補碼表示 ii) 設小數(shù)點右邊第位為第1個1，則依據(jù)該算法所得新數(shù)為即為的補碼表示3.34二進制數(shù)的補碼表示會得出很具吸引力的算術運算的簡化。為了說明這一點，詳細考

20、慮一下補碼相加。用符號意指“被表示為”。一個數(shù)x其補碼表示為： ，這里，且在x表示中用了（B+1）位二進制數(shù)。補碼相加按如下步驟執(zhí)行：全部數(shù)按(B+1)位無符號的二進制數(shù)對待.相加是簡單的二進制相加.經(jīng)由符號位的進位不予理睬,即若和大于2,則不管進位.這樣相加就是按模2完成. 利用以上符號和定義,寫出兩個數(shù)和補碼相加的完整表示式,這里和1.要考慮所有的可能性，即都可能是正或負；既可大于，也可小于。 注意：當兩個相同符號數(shù)相加時，結果幅度可能大于1，這種情況稱為溢出。證明只要相加兩個同號數(shù)的結果具有相反的符號，就表示溢出。 證明和的補碼相加等效于，這里如圖P3.34所示。 假設求每個數(shù)的補碼表示

21、，并以順序將這些補碼表示加在一起。在相加時會注意到發(fā)生了溢出，但是最后結果是正確的。證明一般在三個或更多的補碼數(shù)累加過程中都可能發(fā)生溢出，但是如果其和在幅度上是小于1的話，結果一定是正確的。3.35在數(shù)的浮點表示中，數(shù)被表示成： ， 式中c一般稱為階，M稱為尾數(shù)。因為，M就是一個定點的小數(shù)，負的浮點數(shù)可以將作為浮點小數(shù)的尾數(shù)用原碼、反碼或者補碼來表示?？紤]一個浮點數(shù)F，該數(shù)是要把尾數(shù)量化的到B位，不包括符號位，這樣在尾數(shù)中最低有效位的值就是。令QF代表量化值，把QF表示成,誤差就是假定F是一個正數(shù)，證明對尾數(shù)的舍入誤差為，對尾數(shù)的截尾誤差為。假定F是一個負數(shù)，分別對（I）舍入，(II)原碼截尾，（III）補碼截尾，求的上下界。證：在浮點表示法中，c是階碼，M是尾數(shù)。 假設F是個正數(shù)，由于尾數(shù)量化到B位顯然量化間隔為： 由截尾誤差的定義，顯然，而且有極限情況 暫略3.36 為了能在計算機上處理序列，必須將該序列的幅度量化到一組離散的電平上。這