《線性代數(shù)》課程要求課件

1、線性代數(shù)課程要求二、本課程成績：期末考試成績占70%，平時成績占30%（其中包括出勤情況和作業(yè)完成情況）一、本課程所使用教材為：工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)（第五版），同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編。本學(xué)期教學(xué)內(nèi)容包括：第一至第五章。任課教師：潘小東E-mail：第一章 行 列 式第一節(jié) 二階與三階行列式二階行列式主要內(nèi)容三階行列式舉例 在討論 n 階行列式之前，先引入二階和三一、二階行列式引例1 用消元法解二元線性方程組（）階行列式的概念解用加減消元法，可得當(dāng) a11a22-a12a210 時，求得方程組（）的解為（）為了記憶該公式，引入記號并稱之為二階行列式稱 aij 行列式的 (i , j) 元素第二個下標(biāo)稱

2、為列標(biāo)，表示該元素所在的列，常置，第一個下標(biāo)稱為行標(biāo)，表示該元素所在的行，素，aij 的兩個下標(biāo)表示該元素在行列式中的位其中 aij 稱為行列式的元 由二階行列式的定義，若記則當(dāng) 時，方程組注意：稱為系數(shù)行列式，j是用常數(shù)項b1、b2替換中的第 j 列 (j=1,2)例 求解線性方程組也可寫成二階行列式，即有唯一解式中x1、x2 分子二、三階行列式引例 2 用消元法解三元線性方程組解為了記憶三元線性方程組的求解公式,可引入三階行列式.三階行列式的定義如下:定義設(shè)有 9 個數(shù)排成 3 行 3 列的數(shù)表記（4）式稱為數(shù)表（3）所確定的三階行列式.其中每一條實線上的三個元素的乘積帶正號,每一條虛線上

3、的三個元素的乘積帶負(fù)號,所得六項的代數(shù)和就是三階行列式的展開式. 三階行列式的展開式也可用對角線法得到,三階行列式的對角線法則如下圖所示: 例 2 計算三階行列式 三、舉例 例 3 求解方程 行列式的概念.可以證明,當(dāng)三元線性方程組的系數(shù)行列式不等于零時方程組有唯一解,且有類似于二元線性方程組的求解公式,即 xj = Dj /D , ( j = 1, 2, 3 ).現(xiàn)在的問題是,對于 n 元線性方程組,是否也有類似的求解公式.但要討論 n 元線性方程組,首先就要把二階和三階行列式加以推廣,引入 n 階第二節(jié) 全排列及其逆序數(shù)全排列逆序數(shù)引例主要內(nèi)容一、引例引例用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少

4、個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？在數(shù)學(xué)中，把考察的對象，例如引例中的數(shù)字1、2、3叫做元素.上述問題就是：把3個不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？二、全排列對于 n 個不同的元素，也可以提出類似的問題：把 n 個不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？為此先給出全排列的定義.定義把 n 個不同的元素排成一列，叫做這n 個元素的全排列（也簡稱排列）.n 個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示.由的結(jié)果可知 P3 = 3 2 1 = 6.為了得出計算 Pn 的公式，可以仿照進(jìn)行討論：從 n 個元素中任取一個放在第一個位置上，有 n 種取法；又從剩下的 n 1 個元素中任取一個放在第二個位置上，有

5、 n 1 種取法；這樣繼續(xù)下去，直到最后只剩下一個元素放在第 n 個位置上，只有 1 種取法.于是Pn = n (n - 1) 3 2 1 = n! .三、排列的逆序數(shù)定義對于 n 個不同的元素，先規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序（例如 n 個不同的自然數(shù)，可規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序），于是在這 n 個元素的任一排列中，當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，就說有 1 個逆序.一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù).1. 定義逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列,逆序數(shù)為偶在一個 n 階排列中,任何一個數(shù)對不是構(gòu)成逆序就是構(gòu)成順序.如果我們把順序的個數(shù)稱為順序數(shù),則一個 n 階排列的順序數(shù)與逆序數(shù)的

6、和為n(n-1)/2.數(shù)的排列叫做偶排列.下面來討論計算排列的逆序數(shù)的方法.2. 計算方法不失一般性，不妨設(shè) n 個元素為 1 至 n 這 n 個自然數(shù)，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.設(shè)為這 n 個自然數(shù)的一個排列，考慮元素 pi （i = 1,2, , n），如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有 ti 個，就說 pi 這個元素的逆序數(shù)是 ti .全體元素的逆序數(shù)之總和即是這個排列的逆序數(shù).例 4 求排列的逆序數(shù). 第三節(jié) n 階行列式的定義三階行列式的定義主要內(nèi)容n 階行列式的定義舉例 一、 三階行列式的定義 為了作出 n 階行列式的定義,先來研究三階行列式的結(jié)構(gòu).三階行列式的定義為:任

7、一項除正負(fù)號外可寫成 個下標(biāo)(行標(biāo))排成標(biāo)準(zhǔn)排列 123 , 而第二個下標(biāo)容易看出:(1) 上式右邊的每一項都恰是三個元素的乘積,這三個元素位于不同的行、不同的列因此，這里第一(列標(biāo))排成 p1p2p3 ,它是1、2、3這三個數(shù)的某個有項(2) 各項的正負(fù)號與列標(biāo)的排列對照：帶正號的三項列標(biāo)排列是：123 , 231 , 312 ;(為偶排列)帶負(fù)號的三項列標(biāo)排列是：132 , 213 , 321. (為奇排列)故三階行列式可以寫成排列這樣的排列共有 3!=種，故上式右端共其中 t 為排列 p1p2p3 的逆序數(shù)， 表示對1、2、到一般的情形，得到 n 階行列式的定義 類似地，可以把三階行列式

8、的這一定義推廣3 三個數(shù)的所有排列 p1p2p3 求和 二、 n 階行列式的定義 定義 設(shè)有 n2 個數(shù)，排成 n 行 n 列的數(shù)表冠以符號(-1)t，得到形如作出表中位于不同行不同列的 n 個數(shù)的乘積，并 an1 an2 ann . a21 a22 a2n a11 a12 a1n的項，其中 p1p2pn 為自然數(shù)1,2, , n 的一稱為 n 階行列式，記作數(shù)和共有n!個，因而共有n!項所有這 n! 項的代個排列，t 為這個排列的逆序數(shù)由于這樣的排列簡記作 det(aij)，其中數(shù) aij 為行列式 D 的（i,j）元.按此定義的二階、三階行列式，與用對角線法則定義的二階、三階行列式，顯然是一致的. 三、 舉例 例 5 證明