高等動(dòng)力學(xué)課件：lecture9_enegy

1、 Lecture 9能量原理內(nèi)容回顧質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能為平動(dòng)剛體的動(dòng)能：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能為寇尼格定理受約束質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能。動(dòng)能定理?？紤]質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的動(dòng)能變化規(guī)律質(zhì)心平動(dòng)參考系中的動(dòng)能定理：平動(dòng)參考系下的動(dòng)能變化定理慣性系中動(dòng)能變化定理 冠尼格定理 則有在質(zhì)心平動(dòng)參考系中，動(dòng)能的微分（相對(duì)的動(dòng)能）等于外力和內(nèi)力元功之和。不同慣性系下的動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)在新老慣性系中的速度關(guān)系動(dòng)能的表達(dá)式 對(duì)上述動(dòng)能的微分在新老兩個(gè)參考系中功的關(guān)系 結(jié)論;在不同的慣性系中，動(dòng)能變化定理在形式上是完全相同的 機(jī)械能守恒：動(dòng)能變化定理 對(duì)力重新分類保守力所作的功 物體的機(jī)械能 物體系機(jī)械能的改變量等于所有非保守力作的功 機(jī)械能

2、守恒的條件如果除了保守力作用外，沒有其他力作用 在一個(gè)系統(tǒng)中，動(dòng)能和勢(shì)能之間可能轉(zhuǎn)換，系統(tǒng)外和系統(tǒng)內(nèi)的能量也可能進(jìn)行交換，轉(zhuǎn)換時(shí)都以功作為量度，或者說以作功的形式加以實(shí)現(xiàn)。 剛體動(dòng)力學(xué)回顧：動(dòng)力學(xué)中的基本量的定義與質(zhì)心相關(guān)的動(dòng)力學(xué)量動(dòng)力學(xué)中的定理守恒定律變結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題由于碰撞、接觸、摩擦問題的存在，動(dòng)力學(xué)分析過程中，描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型往往是不連續(xù)的。這時(shí)，需要根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)過程的特點(diǎn)分段進(jìn)行描述。導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)過程不連續(xù)的原因主要有:約束的單邊性質(zhì)；如支撐面約束，柔索約束等只能承受單向作用力。多尺度動(dòng)力學(xué)問題，如碰撞問題干摩擦問題，由于接觸點(diǎn)處速度的變化導(dǎo)致摩擦力性質(zhì)的變化處理變結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)

3、應(yīng)注意的問題：描述每一分段過程中的動(dòng)力學(xué)問題，并確定采用恰當(dāng)?shù)膭?dòng)力學(xué)原理。各分段動(dòng)力學(xué)過程中的銜接條件，位形條件，速度條件等?；谂ｎD力學(xué)的三個(gè)基本動(dòng)力學(xué)原理動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定理例子1臺(tái)秤由重為P的盤子和剛性系數(shù)為K的彈簧組成。現(xiàn)有一個(gè)面團(tuán)重為Q，無初速 地自高h(yuǎn)處落到臺(tái)秤盤上，問臺(tái)秤的讀數(shù)是多少？ 例子1面團(tuán)的下落；能量守恒， 面團(tuán)到達(dá)臺(tái)秤平面時(shí)的速度碰撞過程；動(dòng)量守恒（e=0），碰撞后臺(tái)秤和面團(tuán)具有的共同速度沖擊后的動(dòng)能將轉(zhuǎn)化為彈簧的壓縮勢(shì)能；沖擊結(jié)束時(shí)的動(dòng)能 當(dāng)彈簧壓縮量時(shí)，彈簧力為例子1彈簧的初始變形為0，彈簧最大壓縮量max，指針對(duì)應(yīng)度數(shù)的變形量為到達(dá)最大壓縮量max時(shí)的彈性勢(shì)

4、能根據(jù)機(jī)械能守恒，秤上最大讀數(shù) 例子2復(fù)擺支點(diǎn)為O，質(zhì)心，OC=l，總質(zhì)量為m，相對(duì)質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為k。求支點(diǎn)對(duì)復(fù)擺的約束力R。 例子2設(shè)在t時(shí)刻的擺角為，最大擺角為。 t時(shí)刻單擺的角速度為上式對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)機(jī)械能守恒：例子2質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)微分方程 結(jié)果討論擺是均質(zhì)桿：?jiǎn)螖[: k=0 例子3質(zhì)量為m的兩個(gè)相同的小珠，串在光滑圓環(huán)上，無初速地自最高處滑下，圓環(huán)豎直地立在在面上。問環(huán)的質(zhì)量M和小珠質(zhì)量m有什么關(guān)系時(shí)，圓環(huán)才可能從地面跳起。 y零勢(shì)面例子3y零勢(shì)面過程分析：圓環(huán)跳起的條件（與地面的接觸力為零；如何求出接觸力的表達(dá)式） 能量守恒條件：設(shè)在t時(shí)刻小珠偏離豎直線的夾角為。在圓環(huán)脫離地面之前

5、，圓環(huán)的速度為零。根據(jù)機(jī)械能守恒（一個(gè)小珠）對(duì)上式微分，可得到小珠的角加速度例子3y零勢(shì)面運(yùn)動(dòng)學(xué)分析：小珠豎直方向的加速度分量（相對(duì)慣性系的絕對(duì)加速度） 根據(jù)質(zhì)心定義：系統(tǒng)的質(zhì)心加速度應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理例子3y零勢(shì)面極值條件 圓環(huán)跳起的條件為：當(dāng)=arccos(1/3)時(shí)，If M/m 2/3, 圓環(huán)有可能跳起，跳起的條件為 N=0對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角為例子3y零勢(shì)面考慮余弦函數(shù)的特性，故只能取加號(hào)。也可以單獨(dú)分析小珠的動(dòng)力學(xué)方程小珠沿徑向的平衡方程為：對(duì)圓環(huán)進(jìn)行受力分析，豎直方向上的平衡方程為結(jié)果相同。例題4均質(zhì)桿直立在光滑水平面上，受到微小干擾后地豎直平面內(nèi)倒下。證明桿子在倒下的過程中，其下端受到的反

6、力的最小值是桿重的0.165倍。 例題4運(yùn)動(dòng)學(xué)分析：因?yàn)樗椒较騽?dòng)量守恒，機(jī)械能守恒 對(duì)上式微分例題4質(zhì)心動(dòng)量矩定理 令當(dāng)桿躺平之前的瞬間，反力是桿重的四分之一 ，地面對(duì)桿的支持力并不是mg。例子5均質(zhì)桿AB原為水平，其三分之一放在桌子上，懸空端B用手托著。突然將手放開，桿繞桌邊轉(zhuǎn)過個(gè)角度后開始有滑動(dòng)。證明：桌邊與桿之間的摩擦系數(shù)滿足關(guān)系 例子5過程分析：滑動(dòng)以前，桿可當(dāng)作復(fù)擺處理，桌子對(duì)桿的作用力就是支座反力。根據(jù)復(fù)擺的動(dòng)力學(xué)方程懸掛點(diǎn)到質(zhì)心之間的距離臨界條件為例子6圓環(huán)質(zhì)量為M，放在光滑水平面上。有一質(zhì)量為m的小蟲在圓環(huán)上爬行。求證，小蟲在圓環(huán)上相對(duì)地爬行一周時(shí)，圓環(huán)的自身轉(zhuǎn)角度不超過180。設(shè)初始時(shí)系統(tǒng)靜止 例子6定義如下的變量： 小蟲在環(huán)上的相對(duì)轉(zhuǎn)角 圓環(huán)的自轉(zhuǎn)角 O系統(tǒng)的質(zhì)心 P小蟲的位置動(dòng)量守恒：質(zhì)心不動(dòng)關(guān)于質(zhì)心的動(dòng)量矩小蟲相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩圓環(huán)相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩例子6動(dòng)量矩守恒初始條件積分以上方程有當(dāng)=2時(shí)極限情況討論例題7放在光滑水平面上的半徑為R的半個(gè)均質(zhì)球殼，原先靠在光滑墻面上，底平面豎直，（由于重力作用而無初速地滑下。求證在脫離墻以后的運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)心的水平速度 且底面與水平面的夾角不超過 例題7存在兩個(gè)約束的情況：球殼繞O做定軸轉(zhuǎn)動(dòng). 能量守恒（可根據(jù)初始條件列出方程）運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：質(zhì)心C的坐標(biāo)和速度 例題7根