全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1、河北省大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案、（本題滿分10分）求極限lim（jn1Jnn n2 21 2v,n2 (n 1)2)。1。c c【解】sn -2( n2 1 , n2 22 nn2 (n 1)2)因1 X2 在0,1上連續(xù)，故12- x dx存在，且019。1-x dx=nimi 2 11 (n)一一一1o所以，lim Sn1- x dxn n 011 42 ,lim 1 - x dx n n 0二、（本題滿分10分）請(qǐng)問(wèn)a, b,c為何值時(shí)下式成立limx 0sin x axx t2dt c.b 1 t2【解】注意到左邊得極限中，無(wú)論a為何值總有分母趨于零，因此要想極限存在，分子必須為無(wú)窮小

2、量，于是可知必有b。，當(dāng)b。時(shí)使用洛必達(dá)法則得到limx 02(cosx a) , 1 x由上式可知：當(dāng) x 。時(shí)，若a1 ,則此極限存在，且其值為 0；若a 1 ,則lim1x 0sinx ax bt2dt_ Ct2lim(cosx 1) . 1 x22,綜上所述，得到如下結(jié)論:1,b Qc 0;或 a 1,b 0, c 2。三、（本題滿分10分）計(jì)算定積分【解】作變換xt，則2I02出所以，I四、（本題滿分10分）求數(shù)列n1n中的最小項(xiàng)?！窘狻恳?yàn)樗o數(shù)列是函數(shù)1x當(dāng)x分別取1,2,3, , n,時(shí)的數(shù)列。(ln x1）且令y 0 x e,容易看出:e時(shí),y 0 ；當(dāng) x e時(shí)，y0。所以

3、，y有唯一極小值1y(e) e e。因此數(shù)列1n n的最小項(xiàng)五、（本題滿分10【解】考慮募級(jí)數(shù)其收斂半徑為當(dāng)x1時(shí),當(dāng)x 1時(shí),設(shè)其和函數(shù)為1,收斂區(qū)間為（1,1）,s（x），則xx ( 1,1), 0 s(t)dt1)nn收斂;發(fā)散，因此其收斂域?yàn)?,1)tn出0 n 1x_C0 n-dt 1丁 TH,xs(x)31(1 x)2故，nne / 1、；s(e )0 n 12e(e )六、(本題滿分10分)設(shè)f(x)sin xx0 (x t)f(t)dt,其中f為連續(xù)函數(shù)，求f(x)?！窘狻吭匠炭蓪憺閒(x)sin xxxx0 f(t)dt 0tf(t)dt,上式兩端對(duì)x求導(dǎo)得f (x) co

4、sxx0 f (t)dt xf(x) xf(x)cosxx0 f(t)dt(*)兩端再對(duì)x求導(dǎo)得即 f (x) f (x) sin x這是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次方程,由原方程知f(0) 0,由(*)式知f (0) 1特征方程為齊次通解為C1sin x C2 cosx設(shè)非齊次方程特解為y* x(a sin x bcosx),代入 f (x)f(x)sin x 得則非齊次方程通解為由初始條件y(0)0和y(0) 1可知,Ci 1,C220。七、(本題滿分10分)在過(guò)點(diǎn)0(0,0)和慶(,0)的曲線族y asin x (a 0)中，求一條曲線使沿該曲線從0到A的積分l (1 y3)dx (2x y

5、)dy的值最小。【解】I (a) J1 y3)dx (2x y)dy 1 a3sin3x (2x asin x)acosxdx4a -a3 3令 I (a)4 4a2 。，得 a 1 (a1 舍去)；又I (1) 8 0,則19)在 a 1處取極小值，且a =1是I (a)在(0,+8)內(nèi)的唯一極值點(diǎn),故a =1時(shí)I (a)取最小值，則所求曲線為y sin x (0 x )八、(本題滿分10分)設(shè)f(x)在?1,1上有二階導(dǎo)數(shù)，且 f(1)f(1) 1, f(x)證明： 1|f(x)2, xC ?1,1of (x) = *在?1,1上有且只有一個(gè)實(shí)根。【證明】f ( )2，,、1.由泰勒公式f

6、( 1) f (x) f (x)( 1 x) ( 1 x)2,( 1,x)兩式相減并整理得2、2、于是，f (x) yxif () yxif ()22(1 x ) (1 x )822山羊 (1 x ) (1 x )由于 max-x 18因此，| f (x) | 1,x 1,13_ .令 F(x) f(x)-x, x 1,1。則5( 1) f( 1) 1 - , F(1)f(1) 1彳1F(x)在?1,1上連續(xù)，由介值定理知,F(x)在?1,1上至少有一個(gè)零點(diǎn)o又由1可知F(x) f (x) -1 0,故F(x)在?1,1上嚴(yán)格單調(diào)，從而至多有一個(gè)零點(diǎn)這樣F( x)在?1,1上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

7、即九、(本題滿分10分)設(shè)f(x)在(-,x 32【解】令(x) ot f(t )dt,則(x)1 x2(x) 2tf(t)dt,則(x)所以 (x)(x)即 (x)(x) c c為常數(shù)。而(0)(0) 0,(x)f (x) = x在?1,1上有且只有一個(gè)實(shí)根。a o n1 a2)為連續(xù)函數(shù)，貝U 0 x f (x )dx - o xf (x)dx32x f (x ),；x2 f (x2) 2x x3 f (x2), TOC o 1-5 h z a 321 a2即 x f(x )dx - xf(x)dx。十、(本題滿分10分)設(shè)f(x)是0,1上的連續(xù)函數(shù)，證明11f(x) f(y),e dx e dy 1。00【證法一】設(shè) D (x, y) | 0 x 1,0 y 1。由于 ef (x) f (y)1 f (x) f(y),所以,，、1【證法二】ef(x)d