微積分第八章課件

1、微 積 分（下冊(cè)）第八章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)第一節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第二節(jié)全微分第三節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用第四節(jié)第八章 多元函數(shù)微分學(xué)在前面所學(xué)的內(nèi)容中我們所討論的函數(shù)只有一個(gè)自變量，稱為一元函數(shù)，但在許多實(shí)際問(wèn)題中，所遇到的函數(shù)的自變量往往是兩個(gè)或兩個(gè)以上，這一類函數(shù)稱為多元函數(shù).本章將在一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上討論多元函數(shù)的微分學(xué)，主要包括多元函數(shù)的概念及二元函數(shù)的極限和連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分及其應(yīng)用，重點(diǎn)講解求解二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分的方法及其在幾何上的應(yīng)用.多元函數(shù)第 一節(jié)一、多元函數(shù)的概念預(yù)備知識(shí)1.在上冊(cè)我們研究一元函數(shù)的微積分學(xué)時(shí)，其概念、理論和方法都是基于一維空間中(即數(shù)軸上)的

2、點(diǎn)集、兩點(diǎn)間距離、區(qū)間和鄰域等概念，為了將一元函數(shù)的微積分學(xué)推廣到多元函數(shù)的情形，必須將上述概念加以推廣，以供我們研究多元函數(shù)時(shí)使用.一、多元函數(shù)的概念1）平面點(diǎn)集和n維空間平面點(diǎn)集是指平面上滿足某個(gè)條件P的一切點(diǎn)構(gòu)成的集合.在平面解析幾何中，平面上的點(diǎn)與有序二元實(shí)數(shù)組之間建立了一一對(duì)應(yīng)，由此可借助于平面坐標(biāo)來(lái)描述平面點(diǎn)集.例如，平面上以原點(diǎn)為中心，以1為半徑的圓的內(nèi)部就是一個(gè)平面點(diǎn)集(見圖8-1)，它可表示成E=(x,y)|x2+y20，以P0為中心，為半徑的圓的內(nèi)部點(diǎn)P(x,y)的全體構(gòu)成的點(diǎn)集，稱為點(diǎn)P0的鄰域，記作U(P0,)，即U(P0,)=(x,y)|(xx0)2+(yy0)2.在

3、點(diǎn)P0的鄰域內(nèi)，如果去掉中心點(diǎn)P0，則稱為點(diǎn)P0的去心鄰域，記作U (P0,)，即 U (P0,)=(x,y)|0(xx0)2+(yy0)2.一、多元函數(shù)的概念3）內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)(1)內(nèi)點(diǎn)：設(shè)E是平面點(diǎn)集，P是平面上一點(diǎn)，如果存在P的某一鄰域，此鄰域內(nèi)的點(diǎn)都屬于E，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)(見圖8-2).圖 8-2一、多元函數(shù)的概念(2)外點(diǎn)：設(shè)E是平面點(diǎn)集，P是平面上一點(diǎn)，如果存在P的某一鄰域，此鄰域內(nèi)的點(diǎn)都不屬于E，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集E的外點(diǎn)(見圖8-3).圖 8-3一、多元函數(shù)的概念(3)邊界點(diǎn)：設(shè)E是平面點(diǎn)集，P是平面上一點(diǎn)，如果P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)，又有不屬于E的點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為

4、點(diǎn)集E的邊界點(diǎn)(見圖8-4).E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界.圖 8-4一、多元函數(shù)的概念例如，單位圓內(nèi)的點(diǎn)都是圓的內(nèi)點(diǎn)，單位圓上的點(diǎn)都是圓的邊界點(diǎn)，單位圓外的點(diǎn)都是圓的外點(diǎn)，單位圓周為圓的邊界.邊界點(diǎn)可能屬于點(diǎn)集E，也可能不屬于點(diǎn)集E.注一、多元函數(shù)的概念4）開集和連通集如果集合E中的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E是開集.對(duì)于開集E，如果E中的任何兩點(diǎn)都可以用E中的折線連接起來(lái)，則稱E是連通集.一、多元函數(shù)的概念5）區(qū)域和閉區(qū)域連通的開集E稱為區(qū)域或開區(qū)域.開區(qū)域E連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.在不混淆的情況下，開區(qū)域和閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域.一、多元函數(shù)的概念6）有界區(qū)域和無(wú)界區(qū)域?qū)τ谄矫鎱^(qū)域E，如果存在某

5、一正數(shù)r，使得EU(O,r)，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則稱區(qū)域E為有界區(qū)域.否則，稱區(qū)域E為無(wú)界區(qū)域.例如，區(qū)域E=(x,y)|x2+y21是有界區(qū)域；區(qū)域E=(x,y)|x2+y21是有界閉區(qū)域；區(qū)域E=(x,y)|x+y0,h0)內(nèi)取定一對(duì)數(shù)值(a0,h0)時(shí)，根據(jù)給定的關(guān)系S就有一個(gè)確定的值S0=12a0h0與之對(duì)應(yīng).二元函數(shù)的定義2.引列2設(shè)Z表示居民人均消費(fèi)水平，Y表示國(guó)民收入總額，P表示總?cè)丝跀?shù)，則有Z=S1S2YP，其中S1是消費(fèi)率(國(guó)民收入總額中用于消費(fèi)的部分所占的比例)，S2是居民消費(fèi)率(消費(fèi)總額中用于居民消費(fèi)的部分所占的比例).顯然，對(duì)于每一個(gè)有序數(shù)組(Y,P)(Y0,P0并取整

6、數(shù))，總有唯一確定的實(shí)數(shù)Z與之對(duì)應(yīng)，使得以上關(guān)系式成立.此關(guān)系式反映了一個(gè)國(guó)家中居民人均消費(fèi)水平依賴國(guó)民收入總額和總?cè)丝跀?shù).拋開上述兩個(gè)例題的具體含義，僅從數(shù)量關(guān)系來(lái)看，它們具有共同的屬性，抽出這些共性，概括出二元函數(shù)的定義.一、多元函數(shù)的概念定義1設(shè)有三個(gè)獨(dú)立的變量x，y，z和非空點(diǎn)集DR2，如果當(dāng)變量x,y在其給定的范圍D內(nèi)，任取一對(duì)數(shù)值(x,y)時(shí)，變量z就按某一確定的對(duì)應(yīng)法則f，總有確定的數(shù)值與它們對(duì)應(yīng)，那么，變量z就稱為變量x,y的二元函數(shù)，記為z=f(x,y).其中x,y稱為自變量，函數(shù)z也稱為因變量，自變量x,y的取值范圍D稱為函數(shù)的定義域.二元函數(shù)可記為z=z(x,y)或z=g

7、(x,y)等.類似地，可以給出三元函數(shù)的定義u=f(x,y,z)，(x,y,z)DR3，n元函數(shù)的定義u=f(x1,x2,xn)，(x1,x2,xn)DRn.一、多元函數(shù)的概念二元及其以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)M(x0,y0)所取的函數(shù)值記為 或f(x0,y0).同一元函數(shù)一樣，函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是二元函數(shù)的兩個(gè)要素.對(duì)于以解析式表示的二元函數(shù)，其定義域就是使該式子有意義的自變量的變化范圍.對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，在求定義域時(shí)，除使該式子有意義外，還要符合具體問(wèn)題的實(shí)際意義.二元函數(shù)的定義域比較復(fù)雜，可以是全平面，可以是一條曲線，也可以是由曲線圍成的部分平面等.二元函數(shù)的

8、定義域的求法同一元函數(shù)，可用不等式組或集合的形式表示.一、多元函數(shù)的概念【例1】一、多元函數(shù)的概念所以，函數(shù)的定義域D是以x=2,y=3為邊界的矩形閉區(qū)域(見圖8-5).圖 8-5一、多元函數(shù)的概念即10)的圖形是球心在原點(diǎn)、半徑為a的上半球面(見圖8-8).一、多元函數(shù)的概念圖 8-8二、 二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)情況類似，對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y)，我們需要考察當(dāng)自變量x,y無(wú)限趨近于常數(shù)x0,y0時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)P(x,y)無(wú)限逼近于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)，這就是二元函數(shù)的極限問(wèn)題.顯然，當(dāng)x,y趨向于x0,y0時(shí)，可以看成點(diǎn)P(x,y)趨向于點(diǎn)P0(x0,y0)，記

9、為PP0或(x,y)(x0,y0).若記=|PP0|，即=|PP0|=(xx0)2+(yy0)2，則可用0來(lái)表示PP0或(x,y)(x0,y0).下面給出當(dāng)0時(shí)，函數(shù)f(x,y)無(wú)限逼近于確定的常數(shù)A的極限定義.二、 二元函數(shù)的極限定義2設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義(點(diǎn)P0可以除外)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，都存在正數(shù)，當(dāng)0=|PP0|時(shí)，恒有|f(P)A|，則稱常數(shù)A為函數(shù)z=f(x,y)當(dāng)P(x,y)P0(x0,y0)時(shí)的極限，記為二元函數(shù)的極限運(yùn)算與一元函數(shù)類似，不再重述.下面舉例說(shuō)明.二、 二元函數(shù)的極限【例2】二、 二元函數(shù)的極限【例3】二、 二元函

10、數(shù)的極限【例4】二、 二元函數(shù)的極限【例5】考察函數(shù)三、 二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)的定義1.有了二元函數(shù)極限的定義，類似于一元函數(shù)的連續(xù)性定義，我們就可以很容易地給出二元函數(shù)連續(xù)的定義.三、 二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,y)趨近于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)z=f(x,y)的極限存在，且等于它在點(diǎn)P0(x0,y0)處的函數(shù)值，即則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處連續(xù)，否則，稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處間斷，點(diǎn)P0(x0,y0)稱為該函數(shù)的間斷點(diǎn).利用函數(shù)全增量的概念，連續(xù)定義可用另一種

11、形式表述.三、 二元函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x,y分別由x0變到x0+x，y0變到y(tǒng)0+y時(shí)，函數(shù)z=f(x,y)有增量f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)，稱其為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的全增量，記為z，即z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0).三、 二元函數(shù)的連續(xù)性三、 二元函數(shù)的連續(xù)性定義4設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x,y的增量x,y趨向于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)z=f(x,y)的全增量z也趨向于0，即則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處連續(xù).如果函數(shù)z=f(

12、x,y)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù).三、 二元函數(shù)的連續(xù)性對(duì)于閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)z=f(x,y)，則要求函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)和邊界上都連續(xù).當(dāng)點(diǎn)P0(x0,y0)是區(qū)域D的邊界點(diǎn)時(shí)，極限 中的PP0是指P在區(qū)域D內(nèi)所取的路線趨近于點(diǎn)P0(x0,y0)，極限中滿足0(xx0)2+(yy0)2的點(diǎn)P均指區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn).三、 二元函數(shù)的連續(xù)性關(guān)于二元函數(shù)z=f(x,y)的間斷點(diǎn)，同一元函數(shù)類似，由函數(shù)的連續(xù)性定義知,函數(shù)沒(méi)有定義的點(diǎn)、極限不存在的點(diǎn)和極限值不等于函數(shù)值的點(diǎn)均為函數(shù)的間斷點(diǎn).對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y)與一元函數(shù)不同的是：它不僅有間斷點(diǎn)，有時(shí)還

13、會(huì)有間斷線.例如，函數(shù)就有間斷線 C=(x,y)|x2+y22=0.一元函數(shù)連續(xù)性的運(yùn)算法則和結(jié)論都可以推廣到二元連續(xù)函數(shù)(證明從略).三、 二元函數(shù)的連續(xù)性【例6】三、 二元函數(shù)的連續(xù)性有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2.與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)類似，在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)z=f(x,y)也有如下性質(zhì)(證明從略).(1)最大值、最小值定理在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)z=f(x,y)在該區(qū)域上一定能取到最大值和最小值，即一定可以找到點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)D，使f(x1,y1)f(x,y)f(x2,y2)，其中f(x2,y2)和f(x1,y1)分別為函數(shù)z=f(x,y)

14、在D上的最大值和最小值.三、 二元函數(shù)的連續(xù)性(2)介值定理在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)z=f(x,y)必能取得介于最大值和最小值之間的任何值.以上關(guān)于二元函數(shù)f(x,y)的極限與連續(xù)的討論完全可以推廣到三元以及三元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)第 二 節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們已經(jīng)知道函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)y對(duì)自變量x的變化率.對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y)我們同樣要研究它的“變化率”，然而，由于自變量多了一個(gè)，情況就要復(fù)雜得多.在研究二元函數(shù)z=f(x,y)時(shí)，有時(shí)需要研究當(dāng)一個(gè)變量固定不變時(shí)，函數(shù)關(guān)于另一個(gè)變量的變化率，此時(shí)的二元函數(shù)實(shí)際上可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).因此，可利用一元函數(shù)

15、的導(dǎo)數(shù)概念，得到二元函數(shù)z=f(x,y)對(duì)某一個(gè)變量的變化率，即偏導(dǎo)數(shù).本節(jié)我們將重點(diǎn)討論二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念、求法及其在求極值方面的應(yīng)用.一、 偏導(dǎo)數(shù)的概念定義5設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量x時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)z=f(x,y)有增量(稱為對(duì)x的偏增量) xz=f(x0+x,y0)f(x0,y0)，如果極限 (8-2)存在，那么，此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),記作一、 偏導(dǎo)數(shù)的概念類似地，當(dāng)x固定在x0，而y在y0處有增量y時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)z=f(x,y)對(duì)y的偏增量yz=f(x0,y0+y)

16、f(x0,y0)，如果極限存在，那么，此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù),記作一、 偏導(dǎo)數(shù)的概念如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么，這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是x,y的函數(shù)，此函數(shù)稱為函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作類似地，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作以后在不至于混淆的情況下，偏導(dǎo)函數(shù)也稱為偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)，不再一一贅述.讀者可以類似地給出三元函數(shù)u=f(x,y,z)的偏導(dǎo)數(shù) 的定義.二、 偏導(dǎo)數(shù)的求法及其幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的求法1.由偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，多元函數(shù)對(duì)某一個(gè)

17、變量求偏導(dǎo)，實(shí)質(zhì)上就是將其余自變量看作常數(shù)，而對(duì)該變量求導(dǎo)數(shù).所以，求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)不需要建立新的運(yùn)算方法，只要把其余自變量看作常數(shù)，而對(duì)該變量按一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式去求導(dǎo)即可.二、 偏導(dǎo)數(shù)的求法及其幾何意義【例7】本例表明,在多元函數(shù)中，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)已不再是函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在的必要條件，這是多元函數(shù)與一元函數(shù)的不同點(diǎn)之一.注二、 偏導(dǎo)數(shù)的求法及其幾何意義【例9】二、 偏導(dǎo)數(shù)的求法及其幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.由一元函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f(x0)等于曲線y=f(x)在(x0,y0)處的切線斜率.而二元函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y

18、0)，實(shí)際上是二、 偏導(dǎo)數(shù)的求法及其幾何意義圖 8-9三、 高階偏導(dǎo)數(shù)定義6設(shè)函數(shù) 一般來(lái)說(shuō)它們?nèi)匀皇莤,y的函數(shù)，如果這兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們(一階偏導(dǎo)數(shù))的偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).根據(jù)對(duì)自變量x,y的不同求導(dǎo)次序，得到如下四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)： 三、 高階偏導(dǎo)數(shù)其中fxy(x,y)及fyx(x,y)稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù).類似地，可以定義多元函數(shù)更高階的偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).而fx(x,y),fy(x,y)稱為函數(shù)f(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù).由于高階偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程比較煩瑣，本書只介紹二階偏導(dǎo)數(shù).(8-4)三、 高階偏導(dǎo)數(shù)類似地，可以定

19、義多元函數(shù)更高階的偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).而fx(x,y),fy(x,y)稱為函數(shù)f(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù).由于高階偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程比較煩瑣，本書只介紹二階偏導(dǎo)數(shù).三、 高階偏導(dǎo)數(shù)【例10】三、 高階偏導(dǎo)數(shù)定理1 如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D上的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)fxy(x,y),fyx(x,y)連續(xù)，則在區(qū)域D上有 fxy(x,y)=fyx(x,y).三、 高階偏導(dǎo)數(shù)定理1說(shuō)明，當(dāng)二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D上連續(xù)時(shí)，求導(dǎo)結(jié)果與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān).注三、 高階偏導(dǎo)數(shù)【例11】三、 高階偏導(dǎo)數(shù)【例12】四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1. 在一元函數(shù)中，我

20、們介紹了一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，也存在著多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的問(wèn)題.下面我們從一種特殊情況開始討論.四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則1）多元復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)定理2四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例13】如果把u=sin 2x,v=x21代入z=uv中，再用一元函數(shù)的求導(dǎo)方法解題，將得到同樣答案.注四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則應(yīng)用上述公式時(shí)，可通過(guò)圖8-10所表示函數(shù)的復(fù)合關(guān)系和求導(dǎo)的運(yùn)算途徑來(lái)進(jìn)行.在圖8-10中，一方面，從z引出的兩個(gè)箭頭指向u,v，表示z是u,v的函數(shù)；同理，u,v又同是x的函數(shù).另一方面，從z到x的途徑有兩條，表示z對(duì)x的導(dǎo)數(shù)包括兩項(xiàng)；每條途徑有兩個(gè)

21、箭頭組成，表示每項(xiàng)由兩個(gè)導(dǎo)數(shù)相乘而得，其中每個(gè)箭頭表示一個(gè)變量對(duì)某變量的偏導(dǎo)數(shù)，如zu，ux分別表示 對(duì)一元函數(shù)取導(dǎo)數(shù)符號(hào)，對(duì)多元函數(shù)取偏導(dǎo)數(shù)符號(hào).圖 8-10四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則2）多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定理3設(shè)函數(shù)z=f(u,v)關(guān)于u,v具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，而u=(x,y)與v=(x,y)關(guān)于x，y的一階偏導(dǎo)數(shù)都存在，則復(fù)合函數(shù)z=f(x,y),(x,y)對(duì)于x，y的偏導(dǎo)數(shù)存在，且 (8-6)此公式可直接由定理2的結(jié)論推出.事實(shí)上，在求zx時(shí)，將y看作常量，因此中間變量u和v仍可看作一元函數(shù)而應(yīng)用定理2.但是，由于復(fù)合函數(shù)z和中間變量u，v都是x，y的函數(shù)，只是把y看作常數(shù)，

22、因此定理2中的導(dǎo)數(shù)符號(hào)應(yīng)改為偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)，這就得到定理3的結(jié)論.四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)如圖8-11所示，此圖表示z是關(guān)于u,v的二元函數(shù),而u,v又是分別關(guān)于x,y的二元函數(shù)，由z對(duì)x求偏導(dǎo)，必須分別經(jīng)由u和v兩條線路進(jìn)行.圖 8-11四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例14】四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例15】四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則這里fu和fv分別表示z=f(u,v)關(guān)于第一自變量u和第二自變量v的偏導(dǎo)數(shù).通常，可以用f1和f2表示，從而在介紹復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，有時(shí)中間變量u,v并不一定都是關(guān)于x,y的二元函數(shù)，此時(shí)，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)公式稍有變化.四、

23、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則下面我們介紹兩種特殊情況：(1)設(shè)z=f(u,v)，而u,v依賴于一個(gè)變量x，即u=u(x),v=v(x)(復(fù)合結(jié)構(gòu)圖如圖8-12所示)，有圖 8-12四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例16】四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則(2)設(shè)z=f(u,v)，其中u=u(x,y), v=v(x)，由復(fù)合結(jié)構(gòu)圖8-13，有圖 8-13四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則同理，若z=f(u,v), u=u(x,y), v=v(y)，由復(fù)合結(jié)構(gòu)圖8-14，有圖 8-14四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例17】四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則注四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合結(jié)構(gòu)

24、圖如圖8-15所示.圖 8-15四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例18】四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2.設(shè)三元方程F(x,y,z)=0確定了二元隱函數(shù)z=z(x,y)，若Fx,Fy,Fz連續(xù)，且Fz0，則可仿照一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程，得出z對(duì)x，y的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式.將z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式 Fx,y,z(x,y)0，兩端分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)，得因?yàn)镕z0，解方程得 (8-7)這就是二元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式.四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例19】四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例20】四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則在求二階偏導(dǎo)

25、數(shù)時(shí)，z仍然看作是x,y的函數(shù).注四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例22】四、 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求抽象復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，要特別注意關(guān)于中間變量的一階偏導(dǎo)數(shù)與原來(lái)的函數(shù)具有相同的復(fù)合結(jié)構(gòu)，即f1和f2仍為中間變量的函數(shù).因此，當(dāng)它們繼續(xù)對(duì)自變量x(或y)求偏導(dǎo)時(shí)，必須再次運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.注五、 二元函數(shù)的極值及其求法我們?cè)诘谌逻\(yùn)用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)討論了一元函數(shù)的極值求法，類似地，我們也可以用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)來(lái)研究多元函數(shù)的極值.下面我們主要研究二元函數(shù)的極值及其求法，對(duì)其他多元函數(shù)只討論其最大值和最小值及其應(yīng)用.五、 二元函數(shù)的極值及其求法二元函數(shù)的極值1.定義7設(shè)

26、二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于(x0,y0)的點(diǎn)(x,y)都有f(x,y)f(x0,y0)，則稱f(x0,y0)為二元函數(shù)z=f(x,y)的極大值(或極小值).極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.使二元函數(shù)z=f(x,y)取得極大值(或極小值)的點(diǎn)(x0,y0)稱為極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn))，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).五、 二元函數(shù)的極值及其求法【例23】五、 二元函數(shù)的極值及其求法定義8使fx(x,y)=0,fy(x,y)=0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0,y0)稱為函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn).五、 二元函數(shù)的極值及其求法定理4(極值存在的必要條件)設(shè)函數(shù)z=f

27、(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在，且在點(diǎn)P0處有極值，則在點(diǎn)P0處的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即 (8-8)證不妨設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處取得極大值.由極大值的概念，在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域內(nèi)不等于P0(x0,y0)的點(diǎn)P(x,y)都滿足不等式f(x,y)f(x0,y0),五、 二元函數(shù)的極值及其求法特別地，在該鄰域內(nèi)取y=y0，而xx0的點(diǎn)，也適合不等式 f(x,y0)f(x0,y0),這表明一元函數(shù)z=f(x,y0)在x=x0處取得極大值，因而必有 fx(x0,y0)=0.類似地，可證明fy(x0,y0)=0.同理，可以證明對(duì)二

28、元以上的多元函數(shù)此結(jié)論也成立.同時(shí)滿足式(8-8)的點(diǎn)(x0,y0)稱為二元函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn).與一元函數(shù)類似，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).那么，在什么條件下，駐點(diǎn)是極值點(diǎn)呢？五、 二元函數(shù)的極值及其求法定理5(極值存在的充分條件)設(shè)P0(x0,y0)是二元函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn)，且二元函數(shù)在點(diǎn)P0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，令A(yù)=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),=B2AC，則二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處是否取得極值的條件如下：(1)當(dāng)0且A0時(shí)，f(x0,y0)是極大值，當(dāng)0時(shí)，f(x0,y0)是極小值.(2)當(dāng)

29、0時(shí)，f(x0,y0)不是極值.(3)當(dāng)=0時(shí)，函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)可能有極值，也可能沒(méi)有極值. 證明過(guò)程用到二元函數(shù)的泰勒公式，本書從略.五、 二元函數(shù)的極值及其求法綜上所述，若函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，我們就可以按照下列步驟求該函數(shù)的極值：先求偏導(dǎo)數(shù)fx，fy，fxx，fxy，fyy；解方程組fx(x,y)=0fy(x,y)=0，求出駐點(diǎn)；求出駐點(diǎn)處A,B,C的值及=B2AC的符號(hào)，據(jù)此判定出極值點(diǎn)，并求出極值.五、 二元函數(shù)的極值及其求法【例24】在點(diǎn)(0,0)處，A=0，B=3，C=0，B2AC=90，點(diǎn)(0,0)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)(1,1)處，A=6，B=

30、3，C=6，B2AC=270，且A0,y0,z0時(shí)確有最大值，且可能的極值點(diǎn)只有一個(gè)，所以當(dāng)長(zhǎng)為2 m、寬為2 m、高為3 m時(shí)，水槽的容積最大.全微分第 三 節(jié)第三節(jié) 全微分 在第二章我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)y=f(x)微分的概念，現(xiàn)在用類似的思想和方法，通過(guò)多元函數(shù)的全增量，把一元函數(shù)微分的概念推廣到多元函數(shù).在研究多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只是某一個(gè)自變量變化，而其他的自變量視為常量，但在實(shí)際問(wèn)題中，往往是幾個(gè)自變量同時(shí)在變動(dòng)，下面我們就來(lái)研究多元函數(shù)各個(gè)自變量同時(shí)變化時(shí)函數(shù)的變化情形.以二元函數(shù)為例，為此，我們引入二元函數(shù)全微分的概念.一、 全微分的概念 一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算函數(shù)的全增量是比較麻煩和

31、復(fù)雜的，能否找到一個(gè)計(jì)算簡(jiǎn)單且準(zhǔn)確度較高的近似表達(dá)式呢？請(qǐng)看二元函數(shù)的全微分概念.一、 全微分的概念定義9設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域有定義，如果函數(shù)在(x0,y0)處的全增量z可以表示成 z=Ax+By+， (8-12)其中A,B與x,y無(wú)關(guān)僅與x0,y0有關(guān)，是=(x)2+(y)2的高階無(wú)窮小，即 則稱Ax+By為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的全微分，記為dz，即 dz=Ax+By， (8-13)這時(shí)也稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微.一、 全微分的概念如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)都可微，則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域

32、D內(nèi)是可微的.在第二章的學(xué)習(xí)中，我們知道了一元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微三者之間的關(guān)系，那么，對(duì)于二元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微三者之間的關(guān)系又如何呢？在第二節(jié)我們知道了函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，不能保證函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)，若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微能否保證函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在呢？一、 全微分的概念定理6如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù).證由函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，可得即函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)

33、.一、 全微分的概念定理6也告訴我們，如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處不連續(xù)，則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處一定不可微.連續(xù)是可微的必要條件.上面討論了可微與連續(xù)的關(guān)系，下面來(lái)分析二元函數(shù)可微與偏導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系.如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，如何求A，B呢？一、 全微分的概念定理7一、 全微分的概念上面兩式的右端我們分別稱其為二元函數(shù)z=f(x,y)對(duì)x和對(duì)y的偏微分.(8-15)(8-14)一、 全微分的概念定理8(可微的充分條件)如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù) 連續(xù)，則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微.證明略.常

34、見的二元函數(shù)一般都滿足定理3的條件，從而它們都是可微函數(shù).二元函數(shù)全微分的概念可以推廣到三元及其以上的函數(shù).例如，設(shè)三元函數(shù)u=f(x,y,z)，如果三個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 都連續(xù)，則它可微且其全微分為 (8-16)一、 全微分的概念【例31】二、 全微分形式的不變性設(shè)函數(shù)z=f(u,v)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分如果u,v又是x,y的函數(shù)u=(x,y)，v=(x,y)，且兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) z=f(x,y),(x,y)的全微分為二、 全微分形式的不變性又因?yàn)橛纱丝梢?，無(wú)論u,v是自變量還是中間變量，全微分形式都是一樣的.這個(gè)性質(zhì)就是全微分形式的不變性.利用全微分形式的不變性

35、可以降低復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的難度，在第十章學(xué)習(xí)微分方程知識(shí)時(shí)還要用到.二、 全微分形式的不變性【例32】三、 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用與一元函數(shù)類似，當(dāng)0時(shí)，二元函數(shù)z=f(x,y)的全增量與全微分之差是的高階無(wú)窮小.由二元函數(shù)z=f(x,y)的全微分定義和全微分存在的充分條件可知，當(dāng)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),fy(x,y)連續(xù)，并且|x|和|y|都較小時(shí)，就有如下的近似計(jì)算公式zdz=fx(x,y)x+fy(x,y)y. (8-17)如果所考慮的是點(diǎn)(x0,y0)，則有zfx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y， (8-18)這是求全增量的近似表達(dá)式.三

36、、 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用式(8-18)也可以寫成f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)+fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y.(8-19)令x=x0+x,y=y0+y，得函數(shù)值的近似公式f(x,y)f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0).(8-20)利用式(8-18)和式(8-20)可以對(duì)二元函數(shù)做近似計(jì)算和誤差估計(jì).三、 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用【例33】有一圓柱體鋼錠，受壓后發(fā)生變形，它的半徑由10 cm增加到10.02 cm，高度由80 cm減少到79 cm，求此圓柱體鋼錠體積變化的近似值.解設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r，h和V，則有

37、三、 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用【例34】多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用第 四 節(jié)一、 空間曲線的切線與法平面定義10設(shè)M0是空間曲線上的一點(diǎn)，M是上的另一點(diǎn)(見圖8-16).則當(dāng)點(diǎn)M沿曲線趨向于點(diǎn)M0時(shí)，割線M0M的極限位置M0T(如果存在)稱為曲線在點(diǎn)M0處的切線.過(guò)點(diǎn)M0且與切線垂直的平面，稱為曲線在點(diǎn)M0處的法平面.圖 8-16一、 空間曲線的切線與法平面下面根據(jù)曲線方程不同的形式，建立空間曲線的切線與法平面方程.(1)設(shè)曲線的參數(shù)方程為當(dāng)t=t0時(shí)，曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M0(x0,y0,z0).假定x(t)，y(t)，z(t)可導(dǎo)，且x(t0)，y(t0)，z(t0)不同時(shí)為零.給t0以增量t，對(duì)應(yīng)地在曲線上有一點(diǎn)M(x0+x,y0+y,z0+z)，則割線M0M的方程為一、 空間曲線的切線與法平面上式中各分母除以t，得當(dāng)點(diǎn)M沿曲線趨向于點(diǎn)M0時(shí)，有t0，對(duì)上式取極限，因?yàn)樯鲜椒帜父髭呄蛴趚(t0)，y(t0)，z(t0)，且不同時(shí)為零，所以割線的極限位