結構力學李廉錕版-漸近法

1、第九章 漸近法 9-1 引言9-2 力矩分配法的基本原理 9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架 9-4 力矩分配法與位移法聯(lián)合應用9-5* 無剪力分配法 力矩分配法可以避免解聯(lián)立方程組，其計算精度可按要求來控制。在工程中曾經廣泛應用。 力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精確解的近似方法。從數(shù)學上說，是一種異步迭代法。 單獨使用時只能用于無側移（線位移）的結構。9-1 引言 力矩分配法的理論基礎是位移法，力矩分配法中對桿端轉角、桿端彎矩、固端彎矩的正負號規(guī)定，與位移法相同（順時針旋轉為正號）。9-1 引言 轉動剛度表示桿端抵抗轉動的能力。它在數(shù)值上等于使桿端產生單位轉角時需要施加的力矩。其值

2、與桿件的線剛度i=EI/l及遠端的支承情況有關。 一、力矩分配法中幾個概念1. 轉動剛度（勁度系數(shù)）轉動剛度 A端一般稱為近端，B端一般稱為遠端。9-2 力矩分配法的基本原理 轉動剛度轉動剛度轉動剛度思考：9-2 力矩分配法的基本原理 利用結點B的力矩平衡條件MB=0，得圖示連續(xù)梁，力偶MB使結點B產生轉角 B 。(a)取結點B為隔離體2分配系數(shù)桿端彎矩為9-2 力矩分配法的基本原理 S(B) 為匯交于結點B的各桿件在B端的轉動剛度之和。 近端彎矩MBA、MBC為轉角為:可見：各桿B 端的彎矩與各桿B 端的轉動剛度成正比。9-2 力矩分配法的基本原理 BA、BC 分別稱為各桿近端彎矩的分配系數(shù)

3、。令 ,近端彎矩稱為分配 彎矩?？梢詫懗梢粋€結點上的各桿端分配系數(shù)總和恒等于1。9-2 力矩分配法的基本原理 思考：匯交于同一結點的各桿桿端的分配系數(shù)之和(B) 應等于多少？3傳遞系數(shù)遠端彎矩（傳遞彎矩） 稱為由A 端向B 端的傳遞系數(shù)。上述計算過程可歸納為： 結點B作用的力偶，按各桿的分配系數(shù)分配給各桿的近端；遠端彎矩等于近端彎矩乘以傳遞系數(shù)。9-2 力矩分配法的基本原理 遠端固定時:遠端鉸支時:遠端定向時:C=1/2C=0C=-1與遠端支承情況有關14i2i13i1i9-2 力矩分配法的基本原理 例9-1 結構的A端、B端，C端的支撐及各桿剛度如圖所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、C

4、BC、CBD。 解:當結點B轉動時，A支座只阻止A端發(fā)生線位移，相當于固定鉸，故 C支座既阻止C 端的線位移，也可以阻止C 端轉動，其作用與固定端一樣，因此D支座不能阻止D點垂直BD軸的轉動，所以 9-2 力矩分配法的基本原理 例9-2 圖示梁的AC為剛性桿段，CB桿段EI=常數(shù)，求SAB及CAB 解: 當A端轉角=1時，截面C 有豎向位移 =l=l及轉角=1 。CB段的桿端彎矩為 梁AB彎矩圖是直線變化的，按直線比例可得9-2 力矩分配法的基本原理 解: 當A 轉角=1時，因為AC 剛性轉動，C 點向下的位移=l=l ，所以 例9-3 圖示梁的AC 桿為剛性桿段，CB 桿段EI=常數(shù)。求SA

5、B ,CAB。9-2 力矩分配法的基本原理 解:當A 端轉動=1時，因AB桿是剛性轉動，所以B 產生向下的豎向位移=l=l ，彈簧反力FyB=k=EI/l2 。則 例9-4 圖示梁AB為剛性，B支座為彈性支承，其彈性剛度 k=EI/l3 ,求SAB ,CAB。9-2 力矩分配法的基本原理 4不平衡力矩固定狀態(tài):-不平衡力矩，順時針為正固端彎矩-荷載引起的單跨梁兩端的桿端彎矩，繞桿端順時針為正。9-2 力矩分配法的基本原理 放松狀態(tài): 需借助分配系數(shù), 傳遞系數(shù)等概念求解9-2 力矩分配法的基本原理 例.求不平衡力矩9-2 力矩分配法的基本原理 二、力矩分配法基本思想 以圖示具體例子加以說明按位

6、移法求解時9-2 力矩分配法的基本原理 由此可得到什么結論呢？ 如果外荷載不是結點力偶，情況又如何呢？9-2 力矩分配法的基本原理 疊加得最終桿端彎矩為近端遠端9-2 力矩分配法的基本原理 1、先固定結點，由固端彎矩獲得結點不平衡力矩；力矩分配法思路：3、接著用傳遞系數(shù)求傳遞彎矩；2、然后用分配系數(shù)求桿端分配彎矩；4、最后計算桿端最終桿端彎矩。 這種直接求桿端彎矩，區(qū)段疊加作M圖的方法即為力矩分配法。9-2 力矩分配法的基本原理 例. 計算圖示剛架, 作彎矩圖解:確定分配系數(shù)確定固端彎矩9-2 力矩分配法的基本原理 分配傳遞結點桿端BA1CB1A11A1B1CC11/23/81/8-1/41/

7、41/89-2 力矩分配法的基本原理 解 （1）計算結點B處各桿端的分配系數(shù)由SBA=4i ， SBC=3i 有分配系數(shù)為一、力矩分配法計算單剛結點的連續(xù)梁例：用力矩分配法計算圖示的連續(xù)梁的內力。9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架結點B的不平衡力矩為 （2）計算固端彎矩（查表8-1） （3）進行彎矩分配與傳遞 9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架分配系數(shù)47 37 固端彎矩27 -27-900分配與傳遞36 27 最后彎矩180注意：結點B應滿足平衡條件。將以上結果疊加，即得最后的桿端彎矩。-963-6309-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架 根據各桿桿端的最后彎矩即可利用

8、疊加法作出連續(xù)梁的彎矩圖。 思考：用力矩分配法計算的只有一個剛結點結構的結果是精確解嗎？9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架 二、具有多個結點轉角的多跨連續(xù)梁1.先將所有剛結點固定，計算各桿固端彎矩； 2.輪流放松各剛結點，每次只放松一個結點，其他結點仍暫時固定，這樣把各剛結點的不平衡力矩輪流進行分配與傳遞，直到傳遞彎矩小到可略去時為止。這種計算桿端彎矩的方法屬于漸近法。 只需依次對各結點使用上述方法便可求解。步驟:3. 最后累加固端、分配和傳遞得結果。9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架 例：用力矩分配法計算圖示的三跨連續(xù)梁的內力。EI=常數(shù) 解: (1) 首先引用剛臂將兩個剛結

9、點1、2固定。(2)計算結點1、2處各桿端的分配系數(shù)。 結點1的分配系數(shù)為結點2的分配系數(shù)為9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架(3) 計算固端彎矩(4) 計算結點的不平衡力矩結點1的不平衡力矩為結點2的不平衡力矩為 (5) 按輪流放松結點，進行彎矩分配與傳遞。9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架固端彎矩MF -300+300-600+60000結點分配傳遞結點分配傳遞結點分配傳遞結點分配傳遞結點分配傳遞結點分配傳遞結點分配傳遞結點分配傳遞最后彎矩+150 +150+75+75-386 -2890-193+96.5 +96.5+48.2+48.2-27.5 -20.7-13.8+6

10、.9 +6.9+3.4+3.4-1.9 -1.5-1.0+0.5 +0.5+0.2+0.2-0.1 -0.1-173.2+553.9 -553.9+311.3 -311.309-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架 (6) 計算桿端最后彎矩最后，將各桿端的固端彎矩和歷次所得到的分配彎矩和傳遞彎矩總和加起來，便得到各桿端的最后彎矩，根據各桿桿端的最后彎矩作彎矩圖(略)。本節(jié)敘述的方法同樣可適用于無結點線位移的剛架。9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架例： 用力矩分配法做圖示結構的彎矩圖。各桿EI=常數(shù)。 此結構有兩個對稱軸，根據對稱軸處的變形情況可簡化為取1/4結構進行計算。原結構桿件D

11、B的彎矩可由靜力平衡方程求出。 解:9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架1. 計算結點“1”的分配系數(shù) 令EI=6 傳遞系數(shù)2. 求固端彎矩9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架 4. 將固端彎矩和分配彎矩、傳遞彎矩的結果相加得最后彎矩，根據各桿桿端的最后彎矩利用疊加法作出剛架的彎矩圖。3. 進行分配、傳遞 9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架 (1) 思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的，即都是先固定結點，只考慮除變形外的其他因素，然后再令結構發(fā)生變形，使結構達到最后的變形狀態(tài)。 (2)實現(xiàn)最后的內力和變形狀態(tài)的方法不同。位移法的最后變形狀態(tài)是一次性完成的，內力是由廣義

12、荷載和變形各自作用的結果相疊加來實現(xiàn)的；力矩分配法則是經循環(huán)運算、逐步修正，將各結點反復輪流地固定、放松，才使各結點的不平衡力矩逐漸趨近于零，桿端力矩也就逐步修正到精確值。力矩分配法與位移法的比較9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架 （2）結點有外力偶的結構。當結點上有外力偶時，為正確計算該處不平衡力矩，宜取該結點為隔離體，畫出集中力偶和固端彎矩的實際方向，則由結點的力矩平衡方程求出不平衡力矩，不平衡彎矩以逆時針旋轉為正。幾種情形下約束力矩的計算 （1）帶懸臂的結構。求圖a 所示連續(xù)梁結點B 的不平衡力矩，可將懸臂端的F 等效平移到支座C上（圖b），桿BC 的C 端彎矩為M，B 端的傳遞

13、彎矩為M/2，得B 端的約束力矩MB=Fl/8+M/2。9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架 例：求圖a所示連續(xù)梁結點B的不平衡力矩。解：由圖b可得結點B的不平衡力矩為9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架本章作業(yè)：9-1， 9-49-6，9-7一、力矩分配法的基本思路 力矩分配法適用于連續(xù)梁和無結點線位移的剛架。力矩分配法與位移法的基本理論是一致的，即認為結構最后的內力狀態(tài)是由荷載單獨作用（此時不考慮結點位移，即把結點位移約束住）和結點位移單獨作用下 （放松約束，使結構產生變形）產生的內力相疊加的結果。 但二者的不同之處在于用位移法計算時，我們把結構的最后變形看作是由初始狀態(tài)一次性

14、完成的；力矩分配法則是每次只完成一部分變形，經過幾次循環(huán)之后才逐漸達到最后的變形值，因而結構在總變形下產生的總內力也應當是由這幾次變形各自產生的內力相疊加。 本章總結例：圖示結構中各桿EI 相同，求分配系數(shù)BA 。 解：注意：本題需正確求解SBC 。，所以本章總結 （2）結點有外力偶的結構。當結點上有外力偶時，為正確計算該處不平衡力矩，宜取該結點為隔離體，畫出集中力偶和固端彎矩的實際方向，則由結點的力矩平衡方程求出不平衡力矩，不平衡彎矩以逆時針旋轉為正。1. 幾種情形下約束力矩的計算 （1）帶懸臂的結構。求圖a 所示連續(xù)梁結點B 的不平衡力矩，可將懸臂端的F 等效平移到支座C上（圖b），桿BC

15、 的C 端彎矩為M，B 端的傳遞彎矩為M/2，得B 端的約束力矩MB=Fl/8+M/2。本章總結 例：求圖a所示連續(xù)梁結點B的不平衡力矩。解：由圖b可得結點B的不平衡力矩為本章總結（3）支座沉降 例：求圖a所示連續(xù)梁有支座沉降時，結點C 的約束力矩。 解：本章總結 (1) 思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的，即都是先固定結點，只考慮除變形外的其他因素，然后再令結構發(fā)生變形，使結構達到最后的變形狀態(tài)。 (2)實現(xiàn)最后的內力和變形狀態(tài)的方法不同。位移法的最后變形狀態(tài)是一次性完成的，內力是由廣義荷載和變形各自作用的結果相疊加來實現(xiàn)的；力矩分配法則是經循環(huán)運算、逐步修正，將各結點反復輪流地固定、放松，才使各結點的不平衡力矩逐漸趨近于零，桿端力矩也就逐步修正到精確值。二、力矩分配法與位移法的比較本章總結例：已知各桿EI=常數(shù)，作圖a 所示結構的M圖。 解: ABCD為靜定部分，先求出該部分M 圖，再把MAB反作用于基本部分EABF，用位移法或力矩分配法求解，答案見圖b。本章總結 例：寫出圖a 所示結構的解題方法（用計算簡圖表示，并作簡要說明）。 解：易知，CIE為靜定的附屬部分，取CIE為隔離體，即可求出E、C的支座反力。再將支座反力分別反作用于