樣條插值函數(shù)的收斂性課件

1、2022/7/241第五章 函數(shù)插值問題提出 1 函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜不便于計(jì)算, 而又需要計(jì)算許多點(diǎn)處的函數(shù)值 2 僅有采樣值, 而又需要知道非采樣點(diǎn)處的函數(shù)值 上述問題的一種解決思路：建立復(fù)雜函數(shù)或者未知函數(shù)的一個(gè)便于計(jì)算的近似表達(dá)式. 2022/7/242內(nèi)容提要插值問題插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法分段插值法2022/7/243一、插值問題1. 定義2022/7/2442 . 幾何意義、內(nèi)插法、外插法內(nèi)插外插2022/7/2453. 多項(xiàng)式插值問題對(duì)于不同的函數(shù)族的選擇，得到不同的插值問題當(dāng)為一些三角函數(shù)的多項(xiàng)式集合時(shí):三角插值; 當(dāng)為一些有理分式集合時(shí)：有理插值；當(dāng)為一些多項(xiàng)式集合時(shí)：多項(xiàng)式插值

2、 2022/7/2464 . 存在惟一性分析 對(duì)于多項(xiàng)式插值問題，插值條件（1）等價(jià)于確定多項(xiàng)式的系數(shù)，使得滿足如下的線性方程組 定理1(存在惟一性) 滿足插值條件(1)的不超過n次的插值多項(xiàng)式是存在惟一的.2022/7/2475. 誤差估計(jì)引理 已知函數(shù)f(x)在a,b上具有m-1階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且在（a,b）上存在m階導(dǎo)數(shù)。 若它在該區(qū)間上有m+1個(gè)零點(diǎn)，則它的m階導(dǎo)函數(shù)在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。2022/7/248誤差估計(jì)(續(xù)1)分析：2022/7/249誤差估計(jì)(續(xù)2)2022/7/2410RemarkRemark3 可以通過求解線性方程組得到插值多項(xiàng)式. Remark1 插值誤差

3、與節(jié)點(diǎn)niix0=和點(diǎn)x之間的距離有關(guān), 節(jié)點(diǎn)距離x越近,插值誤差一般情況下越小. 2022/7/2411二、插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法由于插值多項(xiàng)式的存在惟一性，無論是用何種方法構(gòu)造出的插值多項(xiàng)式，它們均恒等，進(jìn)而截?cái)嗾`差也都相同。內(nèi)容提要Lagrange插值法Newton插值法等距節(jié)點(diǎn)插值公式帶導(dǎo)數(shù)的插值問題2022/7/2412 Lagrange 方法1.1 輔助問題2022/7/24131.1 輔助問題 2022/7/24141.2 Lagrange型插值公式上式是不超過n次的多項(xiàng)式，且滿足所有的插值條件，因而就是我們所需構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，稱之為L(zhǎng)agrange插值多項(xiàng)式。2022/7/24

4、15例題2022/7/24161.3 反插值法分析2022/7/2417問題求解2022/7/2418單值性條件不可缺少用反插值法時(shí)必須滿足單值性條件2022/7/24192. Newton插值法Lagrange 插值公式的特點(diǎn)：形式對(duì)稱通常用于理論分析當(dāng)增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，在計(jì)算實(shí)踐中不方便 分析 Ln+1(x) 與 Ln(x) 差別2022/7/24202.1 Lagrange插值多項(xiàng)式間的關(guān)系A(chǔ)A是Lk(x)的首項(xiàng)系數(shù)。2022/7/24212.2 Newton型插值公式2022/7/2422Newton插值公式（續(xù)）k=1,2,n2022/7/24232.3 差商的另一種計(jì)算方法k=1:2

5、022/7/2424計(jì)算方法(續(xù)1)k=2:2022/7/2425計(jì)算方法(續(xù)2)i, j, k互不相同一般地，k階差商：2022/7/2426差商表2022/7/24272.4 誤差估計(jì) 如果f(x)充分光滑，則有估計(jì)不足：對(duì)函數(shù)的光滑性要求高；需估計(jì)導(dǎo)函數(shù)的最值；偏保守。導(dǎo)數(shù)型誤差估計(jì)2022/7/2428誤差估計(jì)（續(xù)） 差商型誤差估計(jì)導(dǎo)數(shù)和差商的關(guān)系2022/7/2429差商型誤差估計(jì)特點(diǎn)對(duì)被插值函數(shù)光滑性要求不高；不適用于實(shí)際計(jì)算。例2022/7/2430例題求解解 1）建立差商表1.01.52.00.84150.99750.9093 0.312-0.1764-0.48842）插值#2

6、022/7/24313. 等距節(jié)點(diǎn)插值公式當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí)簡(jiǎn)化Newton插值公式2022/7/24323.1 常用算子定義恒等算子移位算子2022/7/2433向前差分算子2022/7/2434向后差分算子2022/7/2435中心差分算子2022/7/24363.2 差分與差商之間的關(guān)系一般地2022/7/2437（續(xù)）一般地差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系2022/7/24383.3 Newton向前插值公式記x=a+th， x-xi=(t-i)h2022/7/24393.4 差分表2022/7/2440例題解2022/7/2441續(xù)#2022/7/24423.5 Newton向后插值公式類似于向前差分

7、，也可以得到差商與向后差分的關(guān)系：將插值節(jié)點(diǎn)從大到小排列，即類似于向前插值公式，可得到Newton向后插值公式，又稱表末公式，它利用差分表的最下面一個(gè)斜行的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。2022/7/2443 帶導(dǎo)數(shù)的插值問題這一類插值問題為埃爾米特(Hermite)插值問題 2022/7/24444.1 輔助問題及Hermit插值2022/7/24454.2 輔助問題（1）的求解2022/7/2446（續(xù)）2022/7/24474.3 輔助問題（2）的求解2022/7/24484.4 Hermite插值問題解函數(shù)的存在惟一性 存在性： 惟一性：02022/7/24494.5 誤差估計(jì)分析：2022/7/24

8、50（續(xù)）函數(shù)零點(diǎn)（從小到大）至少2n+1個(gè)零點(diǎn)至少1個(gè)零點(diǎn)2022/7/24514.6 帶不完全導(dǎo)數(shù)的插值問題舉例分析（方法1）：誤差：2022/7/2452（續(xù)1）方法2：（用帶有重節(jié)點(diǎn)的差商表）2022/7/2453一個(gè)類似問題舉例（續(xù)2）2022/7/24543.1 高次插值的評(píng)述 在實(shí)際應(yīng)用中, 很少采用高次插值。.在兩相鄰插值節(jié)點(diǎn)間, 插值函數(shù)未必能夠很好地近似被插值函數(shù)。三、分段插值法.對(duì)于等距節(jié)點(diǎn)的牛頓插值公式, 函數(shù)值的微小擾動(dòng)可能引起高階差分有很大的變化.2022/7/2455（1）.函數(shù) 在區(qū)間-5,5上用等距節(jié)點(diǎn)的插值問題是上世紀(jì)初Runge研究過的一個(gè)有名實(shí)例. 在區(qū)

9、間上分別采用10次、15次、20次的等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式。 隨著插值次數(shù)的提高, 在 范圍內(nèi)的近似程度并沒有變好, 反而變壞. 高次插值并不一定帶來更好的近似效果. 高次插值的評(píng)述(續(xù))2022/7/2456(a) 高次插值的評(píng)述(續(xù))2022/7/2457(b) (c) 函數(shù) 的等距節(jié)點(diǎn)插值公式 在區(qū)間0, 5上的近似程度示意圖 高次插值的評(píng)述(續(xù))2022/7/2458高次插值的評(píng)述(續(xù))（2）高次多項(xiàng)式插值的穩(wěn)定性。對(duì)于一組節(jié)點(diǎn) 由函數(shù)值 以及近似值 以某種方法構(gòu)造出的插值多項(xiàng)式分別記為 和 . 如果對(duì)任意正數(shù) ,存在不依賴于n的正數(shù), 使得當(dāng) 時(shí)有 , 則稱該插值方法是數(shù)值穩(wěn)定的. 否則

10、就是不穩(wěn)定的.2022/7/2459由 和 構(gòu)造出的插值多項(xiàng)式分別記為 和 . 于是有 插值多項(xiàng)式的擾動(dòng)就是由節(jié)點(diǎn)函數(shù)值擾動(dòng)得到的插值多項(xiàng)式. 因而函數(shù)插值的穩(wěn)定性轉(zhuǎn)化為分析擾動(dòng) 關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的高階差商的大小。 高次插值的評(píng)述(續(xù))2022/7/2460當(dāng)節(jié)點(diǎn)是等距分布時(shí), 只需分析 的高階差分. 設(shè)在節(jié)點(diǎn) 處有 , 其它節(jié)點(diǎn)處的擾動(dòng)均為零. 知高次插值法不穩(wěn)定。及高次插值的評(píng)述(續(xù))2022/7/24613.2 分段插值 設(shè) 已知節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值 若 滿足 則稱 為分段插值函數(shù)。 是整體插值區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), 隨著子區(qū)間長(zhǎng)度 變小, 不提高子區(qū)間上的插值冪次便可以滿足給定的任意精度要求.但一般

11、說來, 在子區(qū)間的端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)是不存在的. 2022/7/2462（1） 等距節(jié)點(diǎn)分段二次插值的誤差估計(jì) 設(shè)f(x)在插值區(qū)間a,b 上具有三階連續(xù)的導(dǎo)函數(shù), 將 a,b均分成n個(gè)子區(qū)間, 記 ，區(qū)間端點(diǎn)為若在每個(gè)子區(qū)間 上采用二次的等距節(jié)值 , 插值節(jié)點(diǎn)為 、 和 , 插值多項(xiàng)式 2022/7/2463設(shè) , 上式可簡(jiǎn)化為 等距節(jié)點(diǎn)分段二次插值的誤差估計(jì)（續(xù)） 子區(qū)間 上的插值余項(xiàng) 2022/7/2464 設(shè) , 由于這一估計(jì)與 無關(guān), 對(duì) 有等距節(jié)點(diǎn)分段二次插值的誤差估計(jì)（續(xù)） 2022/7/2465對(duì)任意近似精度要求 , 可解得當(dāng) 趨于零時(shí), 分段插值函數(shù) 在整體插值區(qū)間 上一致地收斂到被

12、插值函數(shù) .等距節(jié)點(diǎn)分段二次插值的誤差估計(jì)（續(xù)） 2022/7/2466（2） 分段二次插值多項(xiàng)式的基表示 對(duì)于 定義如下分段二次函數(shù) 2022/7/2467關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的分段二次插值多項(xiàng)式有如下基表示: 分段二次插值多項(xiàng)式的基表示（續(xù)） 2022/7/2468 是關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的分段二次插值基函數(shù),圖形如下所示：分段二次插值基函數(shù)示意圖 分段二次插值多項(xiàng)式的基表示（續(xù)） 2022/7/24693.3 三次樣條插值 分段插值法具有一致的收斂性, 它只保證插值函數(shù)整體的連續(xù)性, 但在連接處不一定光滑，不能夠滿足精密機(jī)械設(shè)計(jì)（如船體、飛機(jī)、汽車等的外形曲線設(shè)計(jì)）對(duì)函數(shù)光滑性的要求。早期的工程技術(shù)人員在繪

13、制給定點(diǎn)的曲線時(shí)，使用一種具有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條（或金屬條），稱之為樣條（Spline），強(qiáng)迫它彎曲通過已知點(diǎn)。彈性力學(xué)理論指出樣條的撓度曲線具有二階連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，并且在相鄰給定點(diǎn)之間為三次多項(xiàng)式，即為數(shù)學(xué)上的三次樣條插值曲線。2022/7/2470（1） 樣條插值的定義 .在小區(qū)間 上是不超過m次的多項(xiàng)式. .在節(jié)點(diǎn) 處具有 階連續(xù)的導(dǎo)數(shù);則稱s(x)是關(guān)于分劃 的 次樣條函數(shù).定義 給定區(qū)間 的一個(gè)分劃 若實(shí)值函數(shù)s(x)滿足若還滿足. , 則稱s(x)是f(x)關(guān)于分劃 的 m次樣條插值函數(shù) 。2022/7/2471三次樣條插值函數(shù) 在每一個(gè)小區(qū)間上是不超過3次的多項(xiàng)式, 在整個(gè)插值區(qū)間上有

14、4n個(gè)系數(shù). 且有4n-2個(gè)約束: 內(nèi)節(jié)點(diǎn) 邊界節(jié)點(diǎn)樣條插值的定義 （續(xù)）2022/7/2472要確定4n個(gè)系數(shù)，還需附加2個(gè)約束條件. 常用的約束條件有以下三類：此時(shí)一般有 成立.周期性邊界條件 , .彎矩邊界條件 特別的稱 為自然邊界條件. 轉(zhuǎn)角邊界條件 樣條插值的定義 （續(xù)）2022/7/2473（2） 三彎矩構(gòu)造法記 , 基本步驟如下：.取 為待定參數(shù)，并用s(x)的插值條件寫出 的表達(dá)式。.代入s(x)的表達(dá)式，得各個(gè)區(qū)間上的表達(dá)式。.用 在內(nèi)節(jié)點(diǎn) 的連續(xù)條件及邊界條件導(dǎo)出關(guān)于 的方程組。.求解后得到 。 2022/7/2474式中 。 對(duì) 積分兩次, 并利用插值條件 , 確定兩個(gè)積

15、分常數(shù), 得到 三彎矩構(gòu)造法（續(xù)）2022/7/2475計(jì)算 類似可以得到 三彎矩構(gòu)造法（續(xù)）2022/7/2476 兩邊同乘以 , 得 令 , 有式中 , . 三彎矩構(gòu)造法（續(xù)）2022/7/2477若附加彎矩約束條件, 得系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu), 故系數(shù)矩陣非奇異, 上述線性方程組有唯一解，可用追趕法求解。將解帶回到子區(qū)間上的表達(dá)式中（用二階導(dǎo)表示），即有s(x)在每個(gè)區(qū)間上的表達(dá)式。 三彎矩構(gòu)造法（續(xù)）2022/7/2478若附加轉(zhuǎn)角邊界條件, 得線性方程組為 三彎矩構(gòu)造法（續(xù)）2022/7/2479對(duì)于周期性邊界條件, 得：即式中 , . 三彎矩構(gòu)造法（續(xù)）2022/7/2480線性方程組為: 將 當(dāng)作已知參數(shù), 從后 個(gè)方程中求解出用 表示的后 個(gè)參數(shù), 然后將它們代入第一個(gè)方程解得 , 最終得到其它參數(shù). 三彎矩構(gòu)造法（續(xù)）2022/7/2481（3）樣條插值函數(shù)的收斂性 對(duì)于轉(zhuǎn)角邊界條件、彎矩邊界條件、周期性邊界條件的三次樣條插值函數(shù)是存在惟一的。 三次樣條插值函數(shù)對(duì)被插值函數(shù)的逼近也是收斂的、數(shù)值穩(wěn)定