不確定度講課課件

1、1測量不確定度 趙明輝21. 1 測 量 測量給出關于某物的屬性，它可以告訴我們某物體有多重，或多長，或多熱。測量總是通過某種儀器或器具來實現(xiàn)的，尺子、秒表、稱重秤、溫度計等都是測量器具。被測量的測量結果通常由兩部分組成：一個數(shù)和一個測量單位。例如人體溫度37.2，人體溫度是被測量，37.2是數(shù)，是單位。 對于比較復雜的測量，通過實際測量獲得被測量的測量數(shù)據(jù)后，通常需要對這些數(shù)據(jù)進行計算、分析、整理，有時還要將數(shù)據(jù)歸納成相應的表示式或繪制成表格、曲線等等，亦即要進行數(shù)據(jù)處理，然后給出測量結果。 31.2 關于測量誤差測量誤差（measurement error）定義為： 測量結果減去被測量的真

2、值。由于真值不能確定，實際測量中是用“約定真值”代替。 測量誤差是指示值與約定真值之差。測量誤差通常是能夠定量評定的量，并可用于對測量值進行修正。但是，對誤差的識別及其后的修正不可能完全精確，這種不精確性的本身將會產生測量不確定度。 還必須區(qū)分誤差與錯誤/疏忽。錯誤和疏忽既不能量化，也不是測量不確定度的輸入量。真值永遠不知道！41.2 關于測量誤差(續(xù))誤差可以分為隨機誤差和系統(tǒng)誤差兩類。誤差等于隨機誤差與系統(tǒng)誤差之和。測量誤差示意圖如圖1.1所示。被測值為Y，真值為t，第i次測量結果為yi。由于測量誤差的存在，測得值（單次測得值yi或測量平均值 ）與真值 t 不能重合。設測量值呈正態(tài)分布N(

3、，)。則分布曲線總體均值的位置（即值）決定了系統(tǒng)誤差的大??；曲線的形狀（隨標準偏差而定）決定了隨機誤差的分布范圍k ，k，以及其在該范圍內取值的概率。 5隨機 誤差誤差系統(tǒng)誤差測得值 y真值k測得值總體均值樣本均值測得值概率分布曲線ktyi圖1.1 測量誤差示意圖總體概率分布的期望有限次數(shù)測量平均值(總體均值的一個無偏估計)單次測量值61.3 關于允差（Tolerance） 允差有兩層含義，對測量而言，允差是對指定量量值的限定范圍或允許范圍。典型的例子是零部件特定尺寸的制造允差(最大/最小)，通常規(guī)定其能夠保證與配件的合適配合。要能夠測量這種零部件并保證符合允差，擴展不確定度U就必須小于允差，

4、通常推薦的最小比率為35比1。 允差也常用于測量儀器設備，這時是指由儀器設備制造廠調試和檢定儀器設備時，儀器設備示值的合格范圍。儀器設備的允差是貢獻給測量不確定度的一個重要分量。在評定測量不確定度時，了解和解釋允差的確切含義和用途是重要的。71.4 關于準確度（Accuracy）定義：測量結果與被測量真值的一致程度。 【注】1. 不要用術語精密度代替準確度。 2. 準確度是一個定性的概念。 鑒于不可能準確地確定真值的大小，因而定義“準確度”這個術語說明測量結果與被測量的真值的接近程度，所以準確度是一個定性的概念。因而準確度不能量化，也不能作為一個量進行運算。 準確度是定性的概念，不能量化82.

5、1 基本統(tǒng)計計算 通過多次重復測量并進行某些統(tǒng)計計算，可增加測量得到的信息量。有兩項最基本的統(tǒng)計計算：求一組數(shù)據(jù)的平均值或算術平均值（數(shù)學期望），以及求單次測量或算術平均值的標準偏差（方差）。92.2 最佳估值多次測量的平均值 由于各種原因，例如由于環(huán)境條件的變化、測量器具沒有工作在完全穩(wěn)定的狀態(tài)、測量人員的讀數(shù)誤差等，使測量的讀數(shù)有變化，通常人們通過多次測量并取其讀數(shù)的算術平均值給出測量結果。平均值給出的是被測量“真值”的最佳估值。 一般而言，測量數(shù)值越多，得到的“真值”的估計值就越好。理想的估計值應當用無窮多數(shù)值集來求平均值。但是增加讀數(shù)要做額外的工作，并增大測量成本，且會產生“縮小回報”

6、的效果。什么是合理的次數(shù)呢？10次是普遍選擇的，因為這能使計算容易。20次讀數(shù)只比10次給出稍好的估計值，50次只比20次稍好。根據(jù)經驗通常取610次讀數(shù)就足夠了。 102.3 分散范圍(區(qū)間) 標準偏差 在重復測量給出不同結果時，需要了解這些讀數(shù)分散范圍有多寬。測量結果的分散范圍告訴了我們關于測量不確定度的情況。通過了解讀數(shù)分散范圍有多大，就能著手判斷這次測量或這組測量的質量如何。 定量給出分散范圍的常見形式是標準偏差。一個數(shù)集的標準偏差給出了各個讀數(shù)與該組讀數(shù)平均值之差的典型值。 根據(jù)“經驗”，全部讀數(shù)大概有三分之二（68.27）會落在平均值的正負（）1倍標準偏差范圍內，大概有全部讀數(shù)的9

7、5會落在正負2倍標準偏差范圍內。雖然這種“尺度”并非普遍適用，但應用廣泛。標準偏差的“真值”只能從一組非常大（無窮多）的讀數(shù)求出。由有限個數(shù)的讀數(shù)所求得的只是標準偏差的估計值，稱為實驗標準偏差或估計的標準偏差，用符號s表示。 112.4 實驗標準（偏）差計算式 貝塞爾公式 對同一被測量X作n次測量，表征每次測量結果分散性的量s(xi)可按下式算出：式中xi為第i次測量的結果; 為所考慮的n次測量結果的算術平均值； 稱為殘差。 上式稱作貝塞爾公式，它描述了各個測量值的分散度。有時將s(xi)稱作單次測量結果的標準偏差，或稱為實驗標準差。 122.5 平均值的標準（偏）差 用下式計算平均值的標準偏

8、差： 需要指出，單次測量的實驗標準差 隨著測量次數(shù)的增加而趨于一個穩(wěn)定的數(shù)值；平均值的標準偏差 則將隨著測量次數(shù)的增加而減小， 13標準偏差的特性10標準偏差測量次數(shù)n單次測量標準差平均值標準差142.6 自由度 在方差計算中，自由度為和的項數(shù)減去和的限制數(shù)，記為。在重復條件下對被測量做n次獨立測量，其樣本方差為 :式中vi為殘差。所以在方差的計算式中，和的項數(shù)即為殘差vi的個數(shù)n。而且殘差之和為零，即i=0 是限制條件，故限制數(shù)為1，因此可得自由度n1。 153 測量不確定度3.1 測量不確定度的發(fā)展歷史 為了能統(tǒng)一地評價測量結果的質量. 早在1963 年,美國國家標準局的Eisenhart

9、 在研究“儀器校準系統(tǒng)的精密度和準確度的估計”時提出測量不確定度的概念. 20 多年來,國外在測量不確定度的評定方面做了大量的工作, 國際標準化組織( ISO) 于1993 年發(fā)布了測量不確定度的評定標準. 為了適應全球經濟一體化發(fā)展的需求,20 世紀90 年代末,我國檢測和校準領域亦引用不確定度概念,取代傳統(tǒng)的誤差評定,并頒布了相應的評定標準. 中國實驗室國家認可委員會按ISO/IEC17025校準和檢測實驗室能力的通作要求對校準和檢測實驗室認可時,亦有測量不確定度的評定要求。 測量不確定度用于衡量測量結果的質量。 163.2 測量不確定度 3.2.1 測量不確定度定義 測量不確定度（unc

10、ertainty of measurement）： 表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結果相聯(lián)系的參數(shù)。注：1. 此參數(shù)可以是諸如標準偏差或其倍數(shù)，或說明了置信水準 的區(qū)間的半寬度。 2. 測量不確定度由多個分量組成。其中的一些分量可用測量 列結果的統(tǒng)計分布估算，并用實驗標準偏差表征。另一些 分量可用基于經驗或其他信息的假定概率分布估算，也可 用標準偏差表征。 3. 測量結果應理解為被測量之值的最佳估計，而所有的不確 定度分量均貢獻給了分散性，包括那些由系統(tǒng)效應引起的 （如與修正值和參考測量標準有關的）分量。 4. 不確定度恒為正值。當由方差得出時，取其正平方根。17 5. 不確定度一詞

11、指可疑程度，廣義而言，測量不確定度義 為對測量結果正確性的可疑程度。不帶形容詞的不確定 度用于一般概念，當需要明確某一測量結果的不確定度 時，要適當采用一個形容詞，比如合成標準不確定度或 擴展不確定度；但不要用隨機不確定度和系統(tǒng)不確定度 這兩個術語，必要時可用隨機效應導致的不確定度和系 統(tǒng)效應導致的不確定度。 6. JJF1001-1998 通用計量術語及定義給出的上述不確 定度定義是可操作的的定義，即著眼于測量結果及其分 散性。雖然如此，這個定義從概念上來說與下述曾使用 過的定義并不矛盾： 由測量結果給出的被測量的估計值的可能誤差的量度。 表征被測量的真值所處范圍的評定。 不論采用以上哪一種

12、不確定度的概念，其評定方法均相 同，表達形式也一樣。 183.2.1 何謂“測量結果”？ 測量結果是被測量的最佳估計值，它不是真值。 測量結果是由測量所得到的值。必要時應表明它是示值、未修正測量結果或已修正測量結果，還應表明是否已對若干個測量結果進行了平均，即它是由單次測量所得，還是由多次測量所得。對于前者，測得的值就是測量結果；對于后者，測得值的算術平均值才是測量結果。193.2.2 何謂“被測量之值”？ 我們知道，測量誤差（measurement error）定義為：測量結果減去被測量的真值。由于真值不能確定，實際測量中是用“約定真值”代替。 定義中的“被測量之值”廣義而言是指被測量的真值

13、。但是，真值是一個理想的概念，不可能被確切地知道。 我們應當將“被測量之值”理解為被測量的最佳估值。 203.2.3 何謂“分散性”？ 分散性是表示測量結果之間相互不一致程度的一個量，例如重復性、復現(xiàn)性，以及測量不確定度。重復條件下測量列按貝塞耳法計算得到的實驗標準偏差s就是表示測量結果分散性的一個量。 定義的注1指出，分散性這一“參數(shù)”可以是“標準偏差或其倍數(shù)”。 為了與傳統(tǒng)的測量誤差相區(qū)別，測量不確定度用u（uncertainty的字頭）而不用s表示。 定義的注3指出，“所有的不確定度分量均貢獻給了分散性，包括那些由系統(tǒng)效應引起的（如與修正值和參考測量標準有關的）分量”。也就是說，不確定度

14、評定應當考慮已識別的系統(tǒng)效應的影響。換句話說，測量結果是指對已識別的系統(tǒng)效應修正后的最佳估值。213.2.4 測量不確定度由多個分量組成 定義的注2指出，“測量不確定度由多個分量組成。其中的一些分量可用測量列結果的統(tǒng)計分布估算，并用實驗標準偏差表征。另一些分量可用基于經驗或其他信息的假定概率分布估算，也可用標準偏差表征”。 “經驗的”或“假定概率的分布”說明，不確定度評定帶有主觀鑒別的成分。也就是說，測量不確定度評定與評定人員的理論知識和實踐經驗密切相關。所以，定義中使用了“合理地”一詞。測量不確定度評定與評定人員的理論知識和實踐經驗密切相關。223.2.5 如何理解測量不確定度？ 所謂“區(qū)間

15、半寬度”，對于不對稱分布的不確定度，則取其中間值。 定義的注4指出，不確定度恒為正值。當由方差得出時，取其正平方根。 所以人們說，測量不確定度只有正號。 定義的注5指出，不確定度一詞指可疑程度?？梢愿爬ǖ卣f，測量不確定度是定量表示對測量結果的懷疑程度，以一個具有置信水準的區(qū)間的形式表示，而且不能用不確定度數(shù)值來修正測量結果。 233.2.5 如何理解測量不確定度？ 定義的注1還指出，測量不確定度是“說明了置信水準的區(qū)間的半寬度”。也就是說，測量不確定度需要用兩個數(shù)來表示：一個是測量不確定度的大小，即置信區(qū)間；另一個是置信水準（或稱置信概率），表明測量結果落在該區(qū)間有多大把握。 例如上述測量人體

16、溫度為37.2或加或減0.05，置信概率為99。該結果可以表示為：37.20.05，置信概率為99 24U=1u=1.0%U=2u=2.0%U=3u=3.0%測量結果p68p95p9925表3.1 測量誤差與測量不確定度的主要區(qū)別 序號測量誤差測量不確定度 1測量結果減去被測量的真值，是具有正號和負號的量值。用標準偏差或其倍數(shù)的半寬度(置信區(qū)間)表示，并需要說明置信概率。無符號參數(shù)（或取正號）。 2表明測量結果偏離真值,是一個確定的值。說明合理地賦予被測量之值(最佳估值)的分散性。 3客觀存在，不以人的認識程度而改變。與評定人員對被測量、影響量及測量過程的認識密切相關。 4不能準確得到真值，而

17、是用約定真值代替真值，此時只能得到真值得估計值。 通過實驗、資料、根據(jù)評定人員的理論和實踐經驗進行評定，可以定量給出。 5按性質可分為隨機誤差和系統(tǒng)誤差兩大類，都是無窮多次測量下的理想概念。 不必區(qū)分性質，必要時可表述為“隨機效應或系統(tǒng)效應引起的不確定度分量”?？蓪⒃u定方法分為“A類或B類標準不確定度評定方法”。 6已知系統(tǒng)誤差的估計值，可對測量結果進行修正，得到已修正的測量結果。 不能用測量不確定度修正測量結果。 26誤差（Error）準確度Accuracy不確定度（Uncertainty）測量結果測得結果減去被測量的真值測量結果與真值的一致程度表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結果相

18、聯(lián)系的參數(shù)測量儀器測量儀器的示值與對應輸入量真值之差（示值誤差）示值最大允許誤差沒有定義但需要給出儀器設備的準確度等級274.1 不確定度來源（1） 對被測量的定義不完整或不完善；（2） 實現(xiàn)被測量定義的方法不理想；（3） 取樣的代表性不夠，即被測量的樣本不能完全代表 所定義的被測量；（4） 對測量過程受環(huán)境影響的認識不周全，或對環(huán)境條 件的測量與控制不完善；（5） 對模擬式儀器的讀數(shù)存在人為偏差（偏移）； (6) 測量儀器計量性能（如靈敏度、鑒別力、分辨 力、穩(wěn)定性及死區(qū)等）的局限性；（7） 賦予計量標準的值或標準物質的值不準確；（8） 引用的數(shù)據(jù)或其他參數(shù)的不確定度；（9） 與測量方法和測

19、量程序有關的近似性和假定性；（10）被測量重復觀測值的變化等等。28 4.2 不確定度的類型4.2.1 隨機效應和系統(tǒng)效應 在測量中產生不確定度的效應有兩類：（1） 隨機效應：重復測量給出隨機的不同結果。如前所述，通過多次測量然后取平均值，可以期望獲得較佳的估計值。由這種方法求取測量不確定度，稱為A類不確定度評定方法。（2） 系統(tǒng)效應：對重復測量的每一個結果都有相同的影響。在這種情況下，只靠重復測量得不到附加信息。要估計系統(tǒng)效應產生的測量不確定度，需要采用其他方法，如不同的測量方法或不同的計算方法。由這種方法求取測量不確定度，稱為B類不確定度評定方法。294.3 分布數(shù)據(jù)散布的“形狀” 一組數(shù)

20、值的散布會取不同的形式，或稱為服從不同的概率分布。 （1） 正態(tài)分布 在一組讀數(shù)中，較多的讀數(shù)值靠近平均值，少數(shù)讀數(shù)值離平均值較遠。這就是正態(tài)分布或高斯分布的特征。 （2） 均勻分布（矩形分布） 當測量值非常平均地散布在最大值和最小值之間的范圍內時，就產生了矩形分布或稱為均勻分布。 （3） 其他分布 還有其他分布形狀，但較少見，例如三角分布、反余弦分布（U型分布）等。表4.1給出了幾種概率分布及其包含因子。30概率密度概率p=95. 45%概率p=68.27%等于概率曲線與橫坐標圍成的面積xf(x)整個分布曲線與橫坐標圍成的面積(概率)等于1概率p=99.73% 2 3 2 3 正態(tài)分布概率密

21、度函數(shù)曲線隨機變量x的取值31符合如下條件之一者一般可估計為正態(tài)分布：1)重復條件或復現(xiàn)條件下多次測量的算術平均值的分布；2)被測量量Y用擴展不確定度Up給出，而對其分布又沒有特殊指明時，估計值Y的分布； 3)被測量Y的合成標準不確定度 中，相互獨立的分量 較多，它們之間的大小也比較接近時，Y的分布； 4)被測量Y的合成標準不確定度 中，相互獨立的分量 中，存在兩個界限值接近的三角分布，或4個界限值接近的均勻分布時；5)被測量Y的合成標準不確定度 的相互獨立的 分量 中，量值較大的分量（起著決定作用的分布）接近正態(tài)分布時。32矩形(均勻)分布 標準不確定度： 特征： 估計值以p100的概率均勻

22、散布在a區(qū)間內，落在該區(qū)間外的概率為零；且沒有說明概率分布。 2a(=a )x1/2a矩形（均勻）分布33符合如下條件之一者一般可估計為矩型分布：1)數(shù)據(jù)修約導致的不確定度；2)數(shù)字式測量儀器對示值量化（分辨率）導致的不確定度；3)測量儀器由于滯后、摩擦效應導致的不確定度；4)按級使用的數(shù)字式儀表、測量儀器最大允許誤差導致的不確定度；5)用上、下界給出的線膨脹系數(shù)；6)測量儀器度盤或齒輪回差引起的不確定度；7)平衡指示器調零不準導致的不確定度。34三角分布 標準不確定度： 特征： 估計值以p100的概率落在a區(qū)間內，靠近x的數(shù)值比接近邊界的值多，落在該區(qū)間外的概率為零；且沒有說明概率分布。1/

23、ax2a(=a)三角分布35符合如下條件之一者一般可估計為三角分布：1)相同修約間隔給出的兩獨立量之和或差，由修約導致的不確定度；2)因分辨率引起的兩次測量結果之和或差的不確定度；3)用替代法檢定標準電子元件或測量衰減時，調零不準導致的不確定度；4)兩相同均勻分布的合成。36表4.1 常用分布與包含因子k、u(xi)的關系分布類別p(%)ku(xi)正 態(tài)99.733a/3三 角100梯 形 =0.711002a/2矩 形100反正弦100兩 點1001aa為測量值概率分布區(qū)間半寬度374.4 什么不是測量不確定度（1） 操作人員失誤不是不確定度。這一類不應計入對不確定度的貢獻，應當并可以通過

24、仔細工作和核查來避免發(fā)生。（2） 允差不是不確定度。允差是對工藝、產品或儀器所選定的允許極限值。（3） 技術條件不是不確定度。技術條件告訴的是對產品或儀器期望什么。技術條件包含的內容，包括“非技術”的質量項目，例如外觀。（4） 準確度（更確切地說，應叫不準確度）不是不確定度。遺憾的是這些術語的使用常被混淆。確切地說，“準確度”是一個定性的術語，如人們可能說，測量是“準確”的或“不準確”的。（5） 誤差不是不確定度。（6） 統(tǒng)計分析不是不確定度分析。統(tǒng)計學可以用來得出各類結論，而這些結論本身并不告訴我們任何關于不確定度的什么。不確定度分析只是統(tǒng)計學的一種應用。它們可能是不確定度的來源384.5

25、測量不確定度的結構 A類標準不確定度 標準不確定度 合成標準不確定度 B類標準不確定度測量不確定度 U（當無需給出Up時,k=23） 擴展不確定度 Up（p為置信概率） 小寫英文字母u(斜體)表示大寫英文字母U(斜體)表示394.5.1 評定不確定度的兩種方法A類評定：用對觀察列進行統(tǒng)計分析的方法，來評定 標準不確定度。 亦即采用統(tǒng)計方法進行的標準不確定度估 計（通常采用重復測量）。B類評定：用不同于對觀察列進行統(tǒng)計分析的方法，來 評定標準不確定度。 可根據(jù)其他信息的標準不確定度估計。這 些信息可能來自過去的經驗、校準證書、 生產廠的技術說明書、手冊、出版物、計 算、常識等。A類評定和B類評定

26、都是指標準不確定度的評定！404.5.2 合成標準不確定度定義： 當測量結果是由若干個其它量的值求得時，按其它各量的方差和協(xié)方差算得的標準不確定度。 注：它是測量結果標準差的估計值。 414.5.2 合成標準不確定度 影響測量結果不確定度的因素很多，為了計算總不確定度，需要將各不確定度分量進行合成。在計算合成標準不確定度之前，需要確定各輸入量的標準不確定度是否彼此相關。對于大多數(shù)情況，輸入量的標準不確定度是彼此互不相關的，這時，由A類和B類評定所計算得到的多個標準不確定度可以用“方和根（RSS）方法”有效地進行合成。這樣合成的結果稱為合成標準不確定度，用uc（下角標c是合成combined的詞

27、頭）或uc（y）（y的合成標準不確定度）來表示。424.5.3 擴展不確定度 定義： 確定測量結果區(qū)間的量，合理賦予被測量之值分布的大部分可望含于此區(qū)間。 注：擴展不確定度有時也稱展伸不確定度或 范圍不確定度。擴展不確定度通常用斜體大寫英文字母U表示。 434.5.4 包含因子k定義：為求得擴展不確定度，對合成標準不確 定度所乘之數(shù)字因子。 注：1. 包含因子等于擴展不確定度與合成標準 不確定度之比。 2. 包含因子有時也稱覆蓋因子。 3. 根據(jù)其含義可分為兩種： k=U/uc；kp=U/uc。 4. 一般在23之間。 5. 下腳標p為置信概率，即置信區(qū)間所需 之概率。 445 測量不確定度評

28、定步驟1 確定被測量和測量方法 包括測量原理、環(huán)境條件、所用儀器設備、測量程序和數(shù)據(jù)處理等。2 建立數(shù)學模型 確定被測量與各輸入量之間的函數(shù)關系。如果對被測量不確定度有貢獻的分 量未包括在數(shù)學模型中，應特別加以說明，如環(huán)境因素的影響。3 求被測量的最佳估值 不確定度評定是對測量結果的不確定度評定，而測量結果應理解為被測量之 值的最佳估計。確定不確定度的各種來源。4 確定各輸入量的標準不確定度 包括不確定度的A類評定和B類評定。5 確定各個輸入分量標準不確定度對輸出量的標準不確定度的貢獻 由數(shù)學模型對各輸入量求偏導數(shù)確定靈敏系數(shù)，然后由輸入量的標準不確定 度分量求輸出量對應的標準不確定度分量。6

29、 求合成標準不確定度 利用不確定度傳播率，對輸出量的標準不確定度分量進行合成。7 求擴展不確定度 根據(jù)被測量的概率分布和所需的置信水準，確定包含因子，由合成標準不確 定度計算擴展不確定度。8 報告測量結果的不確定度456.1 建立物理模型（確定測量方案） 評定之前，評定人員首先應當對測量過程及其物理模型有詳盡和充分地了解。也就是說，要知道我們需要測量什么？如何測量？為什么這樣測量？ 不確定度評定最重要的觀念之一是，要對測量過程，從而對測量不確定度主要來源有詳盡的了解。對不確定度來源的識別，要從仔細分析測量過程開始。這要求測量系統(tǒng)的設計人員和試驗人員，需要采用各種方法對測量程序和測量系統(tǒng)做詳細研

30、究。這些方法包括測量流程圖、計算機模擬、重復測量或交替測量，與其他方法比較等等。這意味著，測量系統(tǒng)的設計人員或熟練操作人員是最適合進行不確定度評定實踐的。466.1 建立物理模型(續(xù)) 對于初學者，通過對測量過程和測量系統(tǒng)的深入分析研究，列出不確定度評定所需的信息，包括：首先必須確定你需要測量什么，如何進行測量。也就是說，確定被測量和描述測量過程：給出測量原理框圖，明確測量參數(shù)；給出測量儀器/測量標準技術指標，并列出其計量特性；描述被測物品技術指標；列出測量依據(jù)的技術標準/規(guī)范/規(guī)程；描述測量方法；說明測量過程和環(huán)境；不確定度評定中需要說明的其他信息。476.2 建立數(shù)學模型 所謂建立數(shù)學模型

31、，就是根據(jù)被測量的定義和物理模型（測量方案），用一個函數(shù)關系將測量過程模型化，以確定被測量與有關量之間的函數(shù)關系。一個被測量可能依賴若干個有關量，為此，先要識別出所有被測的輸入量，然后通過數(shù)學模型（函數(shù)關系），用所有的已知輸入量計算輸出量（最終的待測量）。 只有評定了所有各輸入量的不確定度，才能給出被測量值（輸出量）的不確定度。 建立物理模型和相應的數(shù)學模型，實際上就給出了被測量值的不確定度主要來源。 486.2 建立數(shù)學模型(續(xù)) 在多數(shù)情況下，被測量Y（輸出量）不能直接測得，而是由N個其他量X1，X2，XN通過函數(shù)關系f來確定： Y=f(X1，X2，XN)式中Xi是對Y的測量結果y產生影響

32、的影響量（即輸入量）。上式稱為測量模型或數(shù)學模型，或稱為測量過程數(shù)學模型。輸出量Y的輸入量X1，X2，XN本身可看作被測量，也可取決于其他量，甚至包括具有系統(tǒng)效應的修正值，從而可能導出一個十分復雜的函數(shù)關系式，以至函數(shù)f不能用顯式表示。Y也可以用實驗的方法確定，甚至只用數(shù)值方程給出。上式也可能簡單到Y=X1+X2，甚至Y=X。 數(shù)學模型往往不是惟一的，通常取決于測量方法、測量儀器、環(huán)境條件等。 數(shù)學模型在建立之初，可能不夠完善，通過長期測量實踐，可對數(shù)學模型進行修正，使其不斷完善。 496.3 求最佳估值 注意，所謂最佳估值是指被測量（輸出量）Y的估計值y。 如果被測量Y的估計值為y，輸入量X

33、i的估計值為xi，則有: yf(x1，x2，xN) 可以用兩種方法用輸入量X1，X2，XN的估計值x1，x2，xN求取被測量Y的最佳估值y。 方法1）方法2）式中 是X的n次獨立觀測值xik的算術平均值。 當y是xi的線性函數(shù)時，兩種方法的結果相同。當y是xi的非線性函數(shù)時，建議采用方法1）求取被測量Y的最佳估值y。 506.3 求最佳估值(續(xù)) 需要指出，對于測量值來說，最佳值應是修正了已識別的系統(tǒng)效應和剔除了異常值的平均值。 最后需要指出，求最佳估值是測量不確定度評定必不可少的一個步驟。一方面是因為報告測量結果和報告測量結果的不確定度需要給出最佳估值；另一方面，計算相對不確定度需要有最佳估

34、值，相對不確定度等于不確定度除以最佳值的絕對值。516.4 輸出量標準不確定度分量的表示式 在識別了各個分量的不確定度后，下一步必須做的是，由適當?shù)姆椒▽Ω鱾€不確定度分量定量。根據(jù)上述分析，首先必須列出各個輸出量不確定度分量的表示式：式中傳播系數(shù)或靈敏系數(shù) 的含義是，輸入量的估計值xi的單位變化引起的輸出量的估計值y的變化量，即起到了不確定度的傳播作用。526.5 標準不確定度A類評定 6.5.1 基本方法（單次測量結果實驗標準差與平均值實 驗標準差） 對一個或一組相同的樣品在相同條件下做若干次重復測量，其測得結果未必是相同的。由于諸如電噪聲、振動等各種各樣因素的變化，測得值彼此之間會有區(qū)別而

35、且分布在其平均值周圍。如果這種隨機影響相對于其他不確定度分量是明顯的，則必須對它進行定量分析，隨后還必須包含在合成不確定度內。例如在重復性條件下得出n個觀測結果xi，則n次獨立觀測結果的算術平均值就是被測量的最佳估值，其標準偏差sest即表示被測量分散性的一個量。表6.1給出了平均值和標準偏差的估算步驟。 53表6.1 標準不確定度A類評定運 算 說 明 數(shù) 學 公 式 1對某量進行n次重復測量 xi (i=1,2,n) 2計算測量結果的平均值，即測量結果之和除以測量次數(shù)n 3求測量結果的殘差4對每一個殘差求平方和，再求殘差平方和除以（n1），其結果稱為方差V 5計算單次測量測量結果的估計標準

36、偏差（實驗標準偏差，貝塞耳公式） 6求單次測量的標準不確定度 7求平均值的標準偏差 8求平均值的標準不確定度 546.5 標準不確定度A類評定(續(xù)) 如果為客戶所做的某項測量不是實驗室的常規(guī)測量，則不確定度的A 類評定應隨該項測量實時進行。但實驗室常常是在類似的條件下，用相同的設備相同的方法，在常規(guī)基礎上做基本類似性質的測量。在這種情況下，通常不需要每次測量都進行A類標準不確定度評定，可以直接引用預先評定的結果。對隨機變量x根據(jù)n個測量結果的有限樣本所估計的標準偏差s(x)，就是對整體樣本的標準差(x)的估計值。如果隨后的測量只作幾次測量(典型情況是n3)，而且將n次測量的平均值作為結果提供給

37、客戶，則應由原先的實驗獲得的標準差s(x)除以次數(shù)n的平方根，以求得算術平均值的實驗標準差 （表6.2）。 55表6.2 算術平均值的實驗標準差和標準不確定度的估算運 算 說 明數(shù) 學 公 式一組n次測量估算的標準差s(x)除以實際測量測量次數(shù)n的平方根；是n次測量的算術平均值 ，并將其提供給用戶 平均值的標準不確定度：等于一倍平均值的標準偏差 56 【實例】 某實驗室事先對某一電流量進行n10次重復測量，測量值列于表6.3。按表6.1的計算步驟得到單次測量的估計標準偏差 s（x）0.074mA。 在同一系統(tǒng)中在以后做單次（n1）測量，測量值x46.3mA，求這次測量的標準不確定度u（x）。

38、在同一系統(tǒng)中在以后做3（n3）次測量， mA，求這次測量的標準不確定度 。 57表6.3 對某一電流量進行n10次重復測量的測量值 次數(shù)i 12345測量值 mA 46.4 46.5 46.4 46.3 46.5 次數(shù)i 678910測量值 mA 46.346.346.4 46.4 46.4 平均值 46.39mA 單次測量的標準偏差s(x) 0.074mA 58【解】 對于單次測量，則其標準不確定度等于1倍單次測量的標準偏差：x46.3mA，u(x)=s(x)=0.074mA?！窘狻?對于n3測量，測量結果為： 的標準不確定度為：59其他幾種常用的標準不確定度A類評定方法： 合并樣本標準差

39、極差 最小二乘法 阿倫方差 606.6 B類標準不確定度：（由于系統(tǒng)效應導致的不確定度） 不同于A類對觀測列進行統(tǒng)計分析的方法來評定標準不確定度，稱為不確定度B類的評定，有時也稱B類不確定度評定。B類不確定度評定是根據(jù)經驗和資料及假設的概率分布估計的標準（偏）差表征，也就是說其原始數(shù)據(jù)并非來自觀測列的數(shù)據(jù)處理，而是基于實驗或其他信息來估計，含有主觀鑒別的成分。B類不確定度的信息來源一般有： 611.以前的觀測數(shù)據(jù)；2.對有關技術資料的測量儀器特性的了解和經 驗；3.生產企業(yè)提供的技術說明文件；4.校準證書（檢定證書）或其他文件提供的數(shù) 據(jù)、準確度的等級或級別，包括目前仍在使 用的極限誤差、最大

40、允許誤差等；5.手冊或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定 度；6.規(guī)定試驗方法的國家標準或類似技術文件中 給出的重復性限 或復現(xiàn)性限。627. 測量儀器的示值不夠準確；8. 標準物質的標準值不夠準確；9. 引用的數(shù)據(jù)或其它參量的不夠準確；10.取樣的代表性不夠，即被測樣本不能完全 代表所定義的被測量；11.化學分析中的基體效應，分析空白，干擾 影響，回收率及反映效率等系統(tǒng)影響；12.測量方法和測量程序的近似和假設；13.其他因素63B類不確定度的評定方法:B類評定的標準不確定度可以用下述四種方法得到： （）若有關資料（如：計量校準/檢定證書，儀器說明書等）給出估計值xi的擴展不確定度U(xi)為

41、其估計值標準不確定度u(xi)的ki倍，則標準不確定度： 6.6 B類標準不確定度(續(xù))（由于系統(tǒng)效應導致的不確定度） 64（）如估計值xi的擴展不確定度U(xi)不是按標準不確定度u(xi)的倍給出，而是給出了置信概率P為90%、95%、99%的置信區(qū)間的半寬度 U90、U95 、 U99，除非另有說明，一般按照正態(tài)分布考慮評定其標準不確定度u(xi)。對應于上述三種置信概率的 包含因子kp分別為1.64、1.96或2.58，即：標準不確定度為: 6.6 B類標準不確定度(續(xù))（由于系統(tǒng)效應導致的不確定度） 656.6 B類不確定度的評定方法(續(xù))正態(tài)分布情況下置信概率與包含因子之間的關系

42、在第4.3節(jié)的表4.1給出了常用概率分布的包含因子。p(%) 5068.27909595.459999.73kp0.6711.6451.96022.5763666.6 B類不確定度的評定方法(續(xù)) （）如已知信息表明Xi之值接近正態(tài)分布，并以0.68的概率落于 (a+a-)/2=a的對稱范圍之內，按表-1，kp=1 ，則u(xi)=a。 （）若已知Xi估計值xi分散區(qū)間的半寬為a，且 落在a至a范圍內的概率p為100%，通過對分布的估計，可以得出xi的標準不確定度為： 67 用于測量的某臺設備的校準證書中說明，在它的校準范圍內的測量不確定度為U(x)0.10，置信概率p95。由置信概率95，可

43、以假定等效于用包含因子k2來表示該不確定度的。因此，在其校準范圍內，由該設備引起的標準不確定度u(x)為： 【例1】 由校準證書數(shù)據(jù)確定標準 不確定度 68【例2】校準證書給出電流表1A檔的 不確定度為滿偏轉的1.0， 置信概率95。 由證書可知，在該檔，不確定度U是1A的1.0，k2。所以，應當注意，當采用這一檔時，由電流表的校準引起的標準不確定度不是與讀數(shù)成正比的，而是一個固定值： 69檢定證書判斷合格的數(shù)據(jù) 對于檢定證書判斷合格的數(shù)據(jù)，應仔細閱讀檢定證書。（1） 當檢定證書給出準確度等別時，可以依據(jù)國家檢定系統(tǒng)表或檢定規(guī)程所規(guī)定的該等別的測量不確定度的大小進行評定，按6.7.2節(jié)和6.7

44、.3節(jié)的方法計算相應分量的標準不確定度。諸如量塊、天平、砝碼、標準溫度計的檢定證書。 70【例3】二等標準鉑銠10-鉑熱電偶檢定證 書給出熱電偶在3001100 范圍內檢定合格。 由JJG 2003-1987鉑銠10-鉑熱電偶計量器具檢定系統(tǒng)框圖(1)可知，二等標準鉑銠10-鉑熱電偶總（擴展）不確定度為1.0， (k=3)。 所以，由二等標準鉑銠10-鉑熱電偶引入的標準不確定度分量為： 71【例4】1000g F1等砝碼檢定證書給出檢 定合格。 由JJG 2053-1990質量計量器具檢定系統(tǒng)框圖可知，1000g F1等砝碼的質量總（擴展）不確定度（置信概率99.73%99）z20mg。因此，

45、包含因子k3。 所以，由1000g F1等砝碼引入的標準不確定度分量為： 72檢定證書判斷合格的數(shù)據(jù)(續(xù)) （2） 當檢定證書給出準確度級別時，可以依據(jù)國家檢定系統(tǒng)表或檢定規(guī)程所規(guī)定的該級別的最大允許誤差（示值允差）進行評定（包括沒有說明級別的檢定證書，也可按此方法處理）。 假定最大允許誤差為A，則區(qū)間半寬度為a=A，服從矩形分布，包含因子。儀器最大允許誤差（示值允差）引起的標準不確定度為： 73【例5】 0.2級三相標準電能表檢定證 書給出檢定合格，符合A型技 術指標要求的結論。 查JJG596-1999 電子式電能表檢定規(guī)程，0.2級A型三相（平衡負載）標準電能表，負載電流為0.1 IbI

46、max，功率因數(shù)cos=1時，基本誤差限為0.2。則區(qū)間半寬度為a=0.2，服從矩形分布，包含因子 。由此引起的標準不確定度為： 74【例6】儀器制造廠的說明書給出儀器的 允差（或誤差）為1%。 我們就可以假定這是對儀器最大誤差限值的說明，而且所有測量值的誤差值是等概率地（矩形分布）處于該限值范圍0.01，0.01內。（因為大于1%誤差限的儀器，屬于不合格品，制造廠不準出廠；或者檢定不合格，不準投入使用。）矩形分布的包含因子 ，儀器誤差的區(qū)間半寬度a=0.01(1%)。因此，標準不確定度為： 75【例7】 制造商給出A級100mL單標線容 量瓶的允差為0.1mL。 歐洲分析化學中心(EURAC

47、HEM)認為其服從三角分布，則區(qū)間半寬度為a=0.1 mL，包含因子 。由此引起的引起的標準不確定度為： 766.6.7 來源于手冊、數(shù)表或其他資料的數(shù)據(jù) 源于手冊、數(shù)表或相關資料的數(shù)據(jù)，必須仔細閱讀其說明。如果說明了分布，就按照具體分布求出標準不確定度；但是通常情況下查得的數(shù)據(jù)是被測量分布的極限范圍。從而可以得到被測量可能值的分布區(qū)間半寬度a，即允許誤差的極限值。由于a可以認為對應于置信概率p100的置信區(qū)間半寬度，因而就是該被測量的擴展不確定度。因此，被測量的標準不確定度可由下式給出： 包含因子k隨分布的不同而取不同數(shù)值77【例8】查2003年國際理論和應有化學聯(lián)合會原子量和同位素豐度委員

48、會發(fā)布的“相對原子質量表”，氧原子O的相對質量為15.9994(3) g/mol，括號內的數(shù)字“3”是指，氧原子的相對質量15.9994g/mol的最后一位數(shù)字“4”的最大允許誤差為0.0003g/mol，估計其可能概率分布為均勻分布，故包含因子k(O)= ， 區(qū)間半寬度a(0)= 0.0003g/mol，其標準不確定度u(O)為： 78【例9】 查物理手冊得到黃銅在20時的線膨脹系數(shù) a16.521061，但指明最小可能值為 16.401061，最大可能值為16.921061。 由給出的信息知道是不對稱分布，這時有： a=(16.4016.52)10610.121061， a=(16.921

49、6.52)10610.401061。 因此，區(qū)間半寬度a(aa)/2(0.400.12)/210610.261061，假設為均勻分布，包含因子 。其標準不確定度為： 796.6.8 B類不確定度評定方法的 其他常見情況 【例10】 數(shù)字顯示的分辯力引起的標準不確定度 如果儀器的分辯力為，則示值x將等概率處于x/2，x/2的區(qū)間任何位置。即被測量的可能值服從均勻分布，區(qū)間半寬度a/2，包含因子 。 因此分辯力引起的標準不確定度為： 80【例11】 儀器讀數(shù)滯后引起的標準不確定度 儀器讀數(shù)滯后的方向不是都能觀察得到，在平衡點附近會有振蕩。由于滯后所引起的可能讀數(shù)的范圍需要在測量之前事先進行觀測確定

50、。如果因滯后使測量結果的變化范圍為，則a/2可以看作置信概率p100的矩形分布的半寬度，包含因子 。 因此儀器滯后引起的標準不確定度為： 816.7 合成標準不確定度 得到各標準不確定度分量u(y) 后，需要將各分量合成給出被測量Y的合成標準不確定度uc(y)。下標c是“combined”(合成)的第一個字母。合成之前必須將所有的不確定度分量都換算為標準不確定度。合成時，需要考慮各輸入量之間的相關性。 現(xiàn)在討論經常遇到的標準不確定度的合成。826.7.1 直接測量 直接測量的量，其各分量的標準不確定度互不相關，采用方和根方法合成。例如在比較儀校準量塊，直接測量被校量塊與標準量塊的長度差；在校驗

51、臺上用標準電能表校準被校電能表的示值誤差。示值誤差的校準屬于此類?！纠侩娔鼙硎局嫡`差不確定度評定數(shù)學模型： 。H是被檢表的相對誤差，WO是三相電能表標準裝置上測得的相對誤差。輸入量WO的不確定度的來源主要有如下方面：在重復條件下測量結果不重復引起的標準不確定度分量uA；標準電能表的誤差引起的標準不確定度分量uB1；標準電能表檢定裝置讀數(shù)分辨力引入的標準不確定度分量uB2。uA、uB1和uB1互不相關，采用方和根方法計算輸入量WO的合成標準不確定度： 測量結果H（輸出量）等于直接測量的量WO（輸入量）。836.7.2 間接測量 間接測量是指最終的測量結果需要由多個被測量值計算給出。如果被測量Y

52、的估計值為y，輸入量Xi的估計值為xi，則有yf(x1，x2，xN) 對于間接測量，首先必須求出各個輸入量估計值xi的各項標準不確定度分量，然后按照直接測量的方法求出各輸入量估計值xi的合成標準不確定度uc(xi)。最后再對各輸入量估計值xi的合成標準不確定度uc(xi)進行合成，求出輸出量估計值y的合成標準不確定度uc(y)。 846.7.3 不相關輸入量的合成 對于輸入量互不相關（彼此獨立）的情況，可認為相關系數(shù)=0，有 對于大多數(shù)情況，輸入量是互不相關的，這時采用上式 合成，稱為用方和根（RSS）方法合成。下列幾種情況可認為量輸入量Xi互不相關，即相關系數(shù)r(xi，xj)0：輸入量Xi互

53、不相關；輸入量Xi屬于不同體系的分量，如人員引起的不確定度分量、溫度影響的不確定度分量、由上一級標準校準證書確定的不確定度分量；r(xi，xj)在1,1上對稱分布；輸入量Xi弱相關等。 856.7.4 合成不確定度表達的簡化形式 有時，在輸入量彼此獨立的線性模型的情況下，合成不確定度的表達可以采用更為簡單的形式。合成標準不確定度的三個簡單規(guī)則如下：【規(guī)則 1】只涉及量的和或差的線性模型，例如: 。則合成標準不確定度如下： 此時，有 ，所以可以將上式寫作：866.7.4 合成不確定度表達的簡化形式【規(guī)則2】只涉及積或商的模型，如果函數(shù)f的表現(xiàn)形式為： ,合成標準不確定度有：式中，式中，m是常數(shù)，

54、指數(shù)pi可以是正數(shù)、負數(shù)或分數(shù)(pi的不確定度可以忽略不計)，urel(xi)u(xi)/xi是相對標準不確定度。其靈敏系數(shù)cipi。 上式給出的是相對合成標準不確定度，對于線函數(shù) 的形式，采用相對標準不確定度進行評定比較方便。 87【例】 y=x1x2 (1) x1和x2不相關 應用規(guī)則2，采用相對標準不確定度，用方和根方法合成，輸出量y的相對合成標準不確定度為： (2) x1和x2相關，且相關系數(shù)r(x1，x2)=1 應用規(guī)則2，并考慮協(xié)方差項，輸出量y的相對合成標準不確定度為： 88【例】 y=x1/x2 x1和x2不相關。 x1和x2用同一臺儀器的相同量程測量。 應用規(guī)則2，采用相對標

55、準不確定度，用方和根方法合成，輸出量y的相對合成標準不確定度為： x1和x2是相關項，相關系數(shù)r(x1，x2)=1，但是靈敏系數(shù)分別為： 和 ，所以輸出量y的相對合成標準不確定度為： 為提高可靠性， uc rel(y)可以采用方和根方法合成。89【例】 ，且各輸入量相互獨立無關。 已知：x1= 80，x2= 20，x3= 40； u(x1)= 2，u(x2)= 1，u(x3)= 1。 求合成標準不確定度uc(y) 。 【解】906.7.4 合成不確定度表達的簡化形式【規(guī)則 3】在進行不確定度分量合成時，為方便起見，可將原始的數(shù)學模型分解，將其變?yōu)橹话ㄉ鲜鲈瓌t之一所覆蓋的形式。例如：表達式（x

56、1x2）/(x3 +x4)應分解成兩個部分：（x1x2）和(x3 +x4)。每個部分的臨時不確定度用規(guī)則1計算，然后將這些臨時不確定度用規(guī)則2合成為合成標準不確定度。 91【例】園形截面積試棒抗拉強度的計算公式為，式中F是拉力，由萬能試驗機讀數(shù)，d是用園形截面積試棒的直徑，不考慮溫度效應和應變率效應，求抗拉強度測量結果的合成標準不確定度。 分析可知，輸入量F和d互不相關，相關函數(shù)r(F，d)0，應用規(guī)則2，相對合成標準不確定度為： 92【例】 y=(p-q+r)，其中p=6.02，q=6.45，r=9.04；標準不確定度 u(p)=0.13，u(q)=0.05，u(r)=0.22。 將p，q，

57、r代入y ，有： y=6.02-6.45+9.04=7.61 應用規(guī)則1，有：93【例】 y=(op/qr)，其中o=2.46，p=4.32，q=6.38，r=2.99，標準不確定度u(o)=0.02，u(p)=0.13，u(q)=0.11，u(r)=0.07。 計算可得： y=(2.464.32)/( 6.382.99)=0.56 應用規(guī)則2可計算出y的相對標準不確定度：y的標準不確定度為：946.8 列表給出各不確定度分量評 定的匯總 對于初學者而言，列表給出不確定度分量的匯總是不確定度評定必不可少的一個步驟，該步驟可以使評定人員檢查所完成的不確定度評定，是否識別了對總不確定度有貢獻的所有

58、來源。也可以使評定人員進一步檢查，對不確定度有貢獻的所有來源是否都以足夠的準確度換算成了標準不確定度。通過不確定度分量匯總，可使評定人員進一步理清思路，明確哪一個不確定度來源對測量結果的質量影響較大，從而在測量過程中重點可知該因素的影響。 表6.6是推薦給初學者的一種不確定度分量匯總表格式。 95表6.6 推薦給初學者的不確定度評定匯總表不確定度來源輸入量輸出量數(shù)值評定類型概率分布包含因子標準不確定度靈敏系數(shù)自由度標準不確定度符號數(shù)值符號數(shù)值合成標準不確定度uc(y)擴展不確定度U(y)(取包含因子k2，p95%)967 擴展不確定度7.1 輸出量的分布特征 6.8節(jié)介紹了合成標準不確定度的評

59、定，其方法是首先確定輸出量的各個標準不確定度分量ui(y)=ciu(xi)，然后通過計算，求出合成標準不確定度uc(y)。 為了表征每一個輸入量Xi的測量不確定度，我們需要 確定3個參量，即標準不確定度u(xi)、自由度i以及 其分布特征。通常，A類評定方法給出的輸入量Xi的 可能值服從正態(tài)分布；B類評定方法估計的輸入量Xi 的可能值可能分別服從包括正態(tài)、均勻、三角等。 同樣地，為了表征輸出量（被測量）Y的測量不確定 度，也需要確定3個參量，即合成標準不確定度uc(y)、 有效自由度eff以及其分布特征。 977 擴展不確定度7.2 擴展不確定度的含義 測量不確定度的定義注1指出，測量不確定度

60、是“標準偏差或其倍數(shù)?；蛘f明了置信水準的區(qū)間的半寬度”。也就是說，測量不確定度需要用兩個數(shù)來表示：一個是測量不確定度的大小，即置信區(qū)間；另一個是置信概率（或稱置信水準），表明測量結果落在該區(qū)間有多大把握。 到目前我們僅給出了標準不確定度分量和合成標準不確定度的評定方法，標準不確定度分量的置信概率都比較低。例如服從正態(tài)分布的合成標準不確定度的置信概率p68左右。為了提高測量的可靠性，需要將置信區(qū)間進行擴大，以提供一個較高的置信概率。因此，可將合成標準不確定度uc(y)乘以包含因子（覆蓋因子、擴展因子、范圍因子）k，以給出擴展不確定度。 987 擴展不確定度 用包含因子k乘以合成標準不確定度uc所