數(shù)字信號(hào)處理課件：3 離散傅里葉變換

1、第3章 離散傅里葉變換 3.1 引言 3.2 傅里葉變換的幾種可能形式3.3 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）3.4 離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的性質(zhì) 3.5 離散傅里葉變換（DFT） 3.6 離散傅里葉變換的性質(zhì) 3.7 抽樣z變換頻域抽樣理論3.1 引 言 由于數(shù)字計(jì)算機(jī)只能計(jì)算有限長離散序列，因此有限長序列在數(shù)字信號(hào)處理中就顯得很重要，可以用z變換和序列的傅里葉變換來研究它。但是，這兩種變換無法直接利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。針對(duì)序列“有限長”這一特點(diǎn)，可以導(dǎo)出一種更有用的變換：離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，簡寫為DFT）。 作為有限長序列的一種傅里葉

2、表示法，離散傅里葉變換除了在理論上相當(dāng)重要之外，而且由于存在有效的快速算法快速離散傅里葉變換，因而在各種數(shù)字信號(hào)處理的算法中起著核心作用。 3.2 傅里葉變換的幾種可能形式一連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率傅里葉變換正變換： 反變換： 時(shí)域：連續(xù)非周期的時(shí)間函數(shù)頻域：非周期連續(xù)的頻譜函數(shù) 圖3-1連續(xù)非周期信號(hào)及其非周期、連續(xù)的頻譜密度 二連續(xù)時(shí)間、離散頻率傅里葉級(jí)數(shù)正變換： 反變換： 時(shí)域：連續(xù)周期的時(shí)間函數(shù)頻域：非周期離散的頻譜函數(shù) 其中：時(shí)域周期為T0；頻域譜線角頻率間隔為0 =2/T0圖3-2連續(xù)周期信號(hào)及其非周期的離散譜線 三離散時(shí)間、連續(xù)頻率 序列的傅里葉變換正變換： 反變換： 由于序列x(n)

3、可以看成是由模擬信號(hào)的抽樣得到的，現(xiàn)假設(shè)抽樣時(shí)間間隔為T，抽樣頻率為 ，則變換對(duì)也可寫成正變換： 反變換： 圖3-3 離散非周期信號(hào)及其周期性的連續(xù)譜密度 時(shí)域：離散非周期的時(shí)間函數(shù)頻域：周期連續(xù)的頻譜函數(shù) 總結(jié)：1）時(shí)域的連續(xù)對(duì)應(yīng)頻域的非周期，時(shí)域的非周期對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù)；時(shí)域的離散對(duì)應(yīng)頻域的周期，時(shí)域的周期對(duì)應(yīng)頻域的離散。 2）三種變換中至少有一個(gè)域上是連續(xù)的，這不適于應(yīng)用數(shù)字系統(tǒng)進(jìn)行信號(hào)的處理. 四離散時(shí)間、離散頻率 離散傅里葉變換圖3-4 離散周期的時(shí)間函數(shù)及其周期離散的頻譜函數(shù) 時(shí)域：離散周期的時(shí)間函數(shù)頻域：周期離散的頻譜函數(shù) 離散傅里葉級(jí)數(shù) 說明：1）離散傅里葉變換相當(dāng)于把序列的連

4、續(xù)傅里葉變換加以離散化（抽樣），頻域的離散化造成時(shí)間函數(shù)也呈周期，故級(jí)數(shù)應(yīng)限制在一個(gè)周期之內(nèi)（教材P100）。2）離散傅里葉變換對(duì)是針對(duì)有限長序列才存在。 離散傅里葉變換對(duì)為 ：正變換： 反變換： 一個(gè)域的離散就必然造成另一個(gè)域的周期延拓，而一個(gè)域的非周期必定對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的連續(xù)。 結(jié)論表3-1 四種傅里葉變換形式的歸納時(shí)間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期(T0)非周期和離散（ ）離散(T)和非周期 周期（ ）和連續(xù) 離散(T)和周期(T0)周期（ ）和離散（ ） 僅此變換對(duì)適合于在數(shù)字信號(hào)處理器上實(shí)現(xiàn)3.3 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS) 設(shè) 是一個(gè)周期為N的周期序列， 即

5、r為任意整數(shù) 周期序列不是絕對(duì)可和的，故不能進(jìn)行z變換，因?yàn)樵谌魏蝯值下，其z變換都不收斂，也就是 一周期序列離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的引入但周期序列可以用離散傅里葉級(jí)數(shù)來表示，該級(jí)數(shù)相當(dāng)于周期為N的成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列之和。復(fù)指數(shù)序列ek(n)對(duì)k呈現(xiàn)周期性，周期也為N。也就是說, 離散傅里葉級(jí)數(shù)的諧波成分只有N個(gè)獨(dú)立量，因而將周期序列展開成離散傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，只需取k=0 到N-1這N個(gè)獨(dú)立諧波分量即可。故 可展成如下的離散傅里葉級(jí)數(shù)，即 k次諧波的系數(shù) 預(yù)備知識(shí)：（3-14） 二. 的k次諧波系數(shù) 的求法 m為整數(shù)可證明: 即 為一個(gè)周期為N的周期序列 正變換： 反變換： 說明：時(shí)域周期

6、序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域（即其系數(shù)）仍然是一個(gè)周期序列， 與 是頻域與時(shí)域的一個(gè)周期序列對(duì)，是一對(duì)相互表達(dá)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)關(guān)系（這個(gè)關(guān)系是非常對(duì)稱的），因此我們把上兩式一起看作是周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）對(duì)。 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)對(duì)三. 離散傅氏級(jí)數(shù)的習(xí)慣表示法定義 離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）對(duì)變?yōu)?式中：DFS表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換，IDFS表示離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。例3-1（教材P103） 用DFS證明證明：該式說明周期性抽樣序列串可以用復(fù)指數(shù)之和來表示。具體證明過程見教材P104。 例3-2（教材P104）如圖3-6（a）所示， 是周期為N=10周期性矩形

7、序列，其一個(gè)周期可表示為（3-27） 試討論 的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù) 與 的一個(gè)周期x(n)的傅里葉變換 的關(guān)系。 解：1） 的傅里葉級(jí)數(shù)為（3-28） 圖3-6(a) 周期性矩形序列 圖3-6 (b) 周期性矩形序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的幅度2）周期序列 的一個(gè)周期的有限長序列x(n)的傅里葉變換為： 對(duì)比（3-28）式可見 說明：周期序列 的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù) 等于 的一個(gè)周期x(n)的傅里葉變換 在=2k/N（這里N=10，即為 的周期）上的抽樣值。 圖 3-7 對(duì)圖3-6所示序列的一個(gè)周期作傅里葉變換的幅值 圖 3-8 圖3-6和圖3-7的重疊圖，它表明一個(gè)周期序列的DFS系數(shù)等于周期

8、序列一個(gè)周期上的序列的傅里葉變換的采樣 3.4 離散傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì) 設(shè) 和皆是周期為N的周期序列，它們各自的DFS分別為： 一. 線性 （3-30） 式中a和b為任意常數(shù)，所得到的頻域序列也是周期序列，周期為N。二. 序列的移位 （3-31） 證: 由于 及 都是以N為周期的周期函數(shù)， 故 三調(diào)制特性（3-32）或 證: 該性質(zhì)表明對(duì)周期序列在時(shí)域乘以復(fù)指數(shù) 的l次冪，則相當(dāng)于在頻域搬移l，稱為調(diào)制特性。 說明四. 周期卷積 如果 則 證: 代入 (3-37)得 將變量進(jìn)行簡單換元，即可得等價(jià)的表示式 1）周期卷積過程中一個(gè)周期的某一序列值移出計(jì)算區(qū)間時(shí)，相鄰的一個(gè)周期的同一位置的序列值就移

9、入計(jì)算區(qū)間。2）運(yùn)算在m=0到N-1區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，即在一個(gè)周期內(nèi)將 與 逐點(diǎn)相乘后求和，先計(jì)算出n=0,1, N-1的結(jié)果，然后將所得結(jié)果周期延拓，就得到所求的整個(gè)周期序列。計(jì)算周期卷積的說明圖3-8 兩個(gè)周期序列（N=6）的周期卷積過程計(jì)算區(qū)由于DFS和IDFS變換的對(duì)稱性，可證明時(shí)域周期序列的乘積對(duì)應(yīng)著頻域周期序列的周期卷積。即，如果 則3.5 離散傅里葉變換（DFT）有限長序列的離散頻域表示 設(shè)x(n)為有限長序列，長度為N，即 一. DFT的定義為了引用周期序列的概念，可將它視為周期為N的周期序列 的一個(gè)周期，而把 看成x(n)的以N為周期的周期延拓， 即表示成:1有限長序列x(n)和周

10、期序列 的關(guān)系 這個(gè)關(guān)系可以用下圖來表明。把周期序列 的第一個(gè)周期n=0到n=N-1定義為“主值區(qū)間”。周期序列 主值區(qū)間內(nèi)的序列x(n)稱作“主值序列”。(2-26) (3-39) (3-40) x(n)與 的關(guān)系可以這樣描述： 是x(n)的周期延拓；x(n)是 的主值序列。 圖 有限長序列及其周期延拓周期序列還可表示為余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式的形式，即 例：設(shè) 是周期為N=9的序列，則有：表示（n模N）,即“n對(duì)N取余數(shù)”,或稱“n對(duì)N取模值”利用矩形序列RN(n)，即(3-42) 可將x(n)與 的關(guān)系表示成 (3-41) 頻域的周期序列 可看成是對(duì)有限長序列X(k)的周期延拓，而有限長序列X(k

11、)可看成是周期序列 的主值序列，即: (3-43) (3-44) 2. 周期序列 與有限長序列X(k)的關(guān)系DFS與IDFS的表達(dá)式為： 3. 從DFS到DFT則有限長序列的離散傅里葉變換的定義: 正變換： 反變換： 或簡練的表示成x(n)和X(k)是一個(gè)有限長序列的離散傅里葉變換對(duì)。稱式(3-45)為x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換(DFT), 稱式(3-46)為X(k)的N點(diǎn)離散傅里葉反變換(IDFT)。(3-45)(3-46)說明 凡是說到離散傅里葉變換關(guān)系之處，有限長序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來表示的，都隱含有周期性意義。 解： 由DFT的定義式利用復(fù)指數(shù)序列的正交特性，再考慮到k的取

12、值區(qū)間，可得 例（補(bǔ)充）：已知x(n)=cos(n/6)是一個(gè)長度N=12的有限長序列， 求它的N點(diǎn)DFT（） 。圖 有限長序列及其DFT若x(n)是一個(gè)有限長序列，長度為N，其z變換 比較z變換與DFT，我們看到，當(dāng) 時(shí) 即 二. DFT與序列傅里葉變換、z變換的關(guān)系（補(bǔ)充）DFT與z變換的關(guān)系 表明 是z平面單位圓上幅角為 的點(diǎn)，也即將z平面單位圓N等分后的第k點(diǎn)，故X(k)也就是對(duì)X(z)在z平面單位圓上N點(diǎn)等間隔采樣值此外， 由于序列的傅里葉變換X(ej)即是單位圓上的z變換，可得 DFT與序列傅里葉變換的關(guān)系為 上式說明X(k)也可看作序列x(n)的傅里葉變換X(ej)在區(qū)間0,2上

13、的N點(diǎn)等間隔采樣,其采樣間隔為N=2/N,這就是DFT的物理意義。注意：DFT的變換區(qū)間長度N不同,表示對(duì)X(ej)在區(qū)間0,2上的采樣間隔和采樣點(diǎn)數(shù)不同，故DFT變換結(jié)果也不同。 圖 DFT與序列傅里葉變換、z變換的關(guān)系 23.6 離散傅里葉變換的性質(zhì) 設(shè)序列都是N點(diǎn)有限長序列，用DFT表示N點(diǎn)DFT，且設(shè): DFTx1(n)=X1(k)， DFTx2(n)=X2(k)一. 線性式中，a, b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。二. 序列的圓周移位（） xm(n)=x(n+m)NRN(n) （3-50） 圓周移位的過程：1）將x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓得到周期序列 ; 一個(gè)長度為N的有

14、限長序列x(n)的圓周移位定義為：2）將 加以移位，得到 3）對(duì)移位的周期序列 取主值區(qū)間（n=0 到N-1）上的序列值，即x(n+m)NRN(n)。1. 定義：圖 圓周移位過程示意圖 顯然一個(gè)有限長序列x(n)的圓周移位序列xm(n)仍然是一個(gè)長度為N的有限長序列,見上圖(a)(d)。 由圖可見,由于是周期序列的移位,故只觀察 0nN-1 這一主值區(qū)間時(shí),某一采樣從該區(qū)間的一端移出時(shí),與其相同值的采樣又從該區(qū)間的另一端循環(huán)移進(jìn)。因而,可以想象x(n)是排列在一個(gè)N等分的圓周上,序列x(n)的圓周移位, 就相當(dāng)于x(n)在此圓周上旋轉(zhuǎn),如上圖(e) (g)所示,因而稱為圓周移位。若將x(n)向

15、左圓周移位時(shí)，此圓是順時(shí)針旋轉(zhuǎn); 將x(n)向右圓周移位時(shí)，此圓是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。 設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，xm(n)為x(n)圓周移位，即 則圓周移位后的DFT為 證：利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。 2. 時(shí)域圓周移位定理 (教材P112)（據(jù)DFS和DFT關(guān)系） 對(duì)于頻域有限長序列X(k)，也可看成是分布在一個(gè)N等分的圓周上，所以對(duì)于X(k)的圓周移位，利用頻域與時(shí)域的對(duì)偶關(guān)系，可以證明以下性質(zhì)： 則 這就是調(diào)制特性。它說明，時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。 3. 頻域圓周移位定理(教材P113)若三. 圓周卷積（） 若 則 1時(shí)域圓周卷積定理 設(shè)x1(n)和x2(n)都是點(diǎn)數(shù)

16、為N的有限長序列（0nN-1），且有：稱該運(yùn)算為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)圓周卷積N頻域序列相乘，乘積的IDFT等于它們各自IDFT的圓周卷積N 證： 這個(gè)卷積相當(dāng)于周期序列 和 作周期卷積后再取其主值序列。先將Y(k)周期延拓， 即 （據(jù)DFS的周期卷積公式） （ ）經(jīng)過簡單換元，也可證明1）畫出x1(m)和x2(m)；2）將x2(m)周期化，形成x2(m)N；3）翻褶形成x2(-m)N，取主值序列得x2(-m)NRN(m), 稱之為x2(m)的圓周反轉(zhuǎn);4) 對(duì)x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)序列x2(-m)NRN(m)圓周移位n，形成x2(n-m)NRN(m)；5) 當(dāng)n=0,1,2,N-1時(shí)，分

17、別將x1(m)與x2(n-m)NRN(m)相乘,并在m=0 到N-1 區(qū)間內(nèi)求和,得到圓周卷積y(n)。 圓周卷積過程（） 卷積過程可以用圖3-12來表示。圖 3-12 圓周卷積過程示意圖（N=7） 圓周卷積用符號(hào)來表示。 圓周內(nèi)的N表示所作的是N點(diǎn)圓周卷積。則時(shí)域圓周卷積公式可寫作 N 特點(diǎn)1）它和周期卷積過程是一樣的，只不過要取主值序列.2）兩個(gè)長度小于等于N的序列的N點(diǎn)圓周卷積長度仍為N，計(jì)算時(shí)要將不足部分由零點(diǎn)補(bǔ)齊，再進(jìn)行N點(diǎn)圓周卷積，這與一般的線性卷積不同。N或 N2頻域圓周卷積定理 若 x1(n)，x2(n)皆為N點(diǎn)有限長序列，則 N上式說明：時(shí)域序列相乘，乘積的DFT等于它們各自

18、DFT的圓周卷積再乘以1/N。 四. 有限長序列的線性卷積與圓周卷積（） 時(shí)域圓周卷積在頻域上相當(dāng)于兩序列的DFT的乘積,而計(jì)算DFT可以采用它的快速算法快速傅里葉變換（FFT),因此圓周卷積與線性卷積相比,計(jì)算速度可以大大加快。但是實(shí)際問題大多總是要求解線性卷積,例如信號(hào)通過線性時(shí)不變系統(tǒng),其輸出就是輸入信號(hào)與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的線性卷積。如果信號(hào)以及系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)都是有限長序列，那么是否能用圓周卷積運(yùn)算來代替線性卷積運(yùn)算而不失真呢？研究內(nèi)容1. x1(n)與x2(n)的線性卷積 設(shè)x1(n)是N1點(diǎn)的有限長序列（0nN1-1），x2(n)是N2點(diǎn)的有限長序列（0nN2-1）。 x1(m

19、)的非零區(qū)間為： 0mN1-1 x2(n-m)的非零區(qū)間為 ：0n-mN2-1 的非零區(qū)間為 ：0nN1+N2-2 y1(n)是N1+N2-1 點(diǎn)有限長序列,即線性卷積的長度等于參與卷積的兩序列的長度之和減1。 設(shè)y(n)=x1(n)x2(n)是兩序列的L點(diǎn)圓周卷積，LmaxN1, N2，這就要將x1(n)與x2(n)都看成是L點(diǎn)的序列。即 LL2. x1(n)與x2(n)的圓周卷積則 將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進(jìn)行周期延拓 它們的周期卷積序列為 注意：若周期卷積的周期L N1+N2-1,則y1(n)的周期延拓出現(xiàn)混疊現(xiàn)象.只有在LN1+N2-1時(shí),才沒有交疊現(xiàn)象.L因此 圓周卷積

20、正是周期卷積取主值序列，即 L點(diǎn)圓周卷積y(n)是線性卷積y1(n)以L為周期的周期延拓序列的主值序列 圓周卷積等于線性卷積的必要條件 圖3-13 線性卷積與圓周卷積補(bǔ)充：已知序列 （1）計(jì)算線性卷積 （要求畫出解題步驟與結(jié)果圖示）（2）計(jì)算N=5點(diǎn)的圓周卷積 （要求畫出解題步驟與結(jié)果圖示）（3）該圓周卷積結(jié)果 與線性卷積結(jié)果 是否等價(jià)？并說明圓周卷積代替線性卷積的條件.3.7 抽樣z變換頻域采樣理論 時(shí)域抽樣：對(duì)一個(gè)頻帶有限的信號(hào),根據(jù)抽樣定理對(duì)其進(jìn)行抽樣,所得抽樣信號(hào)的頻譜是原帶限信號(hào)頻譜的周期延拓而不發(fā)生頻譜混疊, 完全可以由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)。頻域抽樣: 對(duì)一有限長序列進(jìn)行DFT所得X

21、(k)就是序列傅氏變換的采樣，所以DFT就是頻域抽樣。是否對(duì)于任意一個(gè)序列都能用頻域采樣的辦法來逼近呢？其限制條件是什么呢？ 研究內(nèi)容設(shè)一個(gè)任意的絕對(duì)可和的非周期序列x(n)，其z變換為 x(n)絕對(duì)可和,其傅里葉變換存在且連續(xù),故z變換收斂域包括單位圓.對(duì)X(z)在單位圓上進(jìn)行N點(diǎn)等距采樣： 采樣以后是否仍能不失真地恢復(fù)出原序列x(n)。即頻域采樣后從X(k)的反變換中所獲得的有限長序列xN(n)=IDFTX(k)，能不能代表原序列x(n)？問題 先來分析X(k)的周期延拓序列 的離散傅里葉級(jí)數(shù)的反變換， 令其為 :頻域采樣同樣會(huì)造成時(shí)域的周期延拓 一、頻域采樣不失真條件 如果x(n)不是有限長序列（即無限長序列），則時(shí)域周期延拓后，必然造成混疊現(xiàn)象，