河南工業(yè)大學線性代數(shù)A,B測驗及答案

1、（試卷A）填空題（本題總計20分，每小題2分）1.排列7623451的逆序數(shù)是9113a202.若如912=1，則9213a220a219220619113a202.若如912=1，則9213a220a219220613.已知n階矩陣A、B=CAB和C滿足ABC=E，其中E為n階單位矩陣，則4.若A為矩陣，則非齊次線性方程組AX=b有唯一解的充分要條件是5.設(shè)A為86的矩陣，已知它的秩為4，則以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為6.設(shè)A為三階可逆陣，6.設(shè)A為三階可逆陣，J00A亠210，貝UA*=321丿7.若A為矩陣，則齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件日是12345kJ

2、304128.已知五階行列式D=1111111023kJ54321A41A419.向量：一(-2,1,0,2)丁的模(范數(shù))10.若=1k1T與=1-21T正交，貝Uk二二、選擇題(本題總計10分，每小題2分)1.向量組1,fr線性相關(guān)且秩為S，則(D)A.r=sB.r_sD.s：r2.若A為三階方陣，且A+2E=0,2A+E=0,3A4E=0，則A=(A)A.8A.8B.-8D.D.c.33.設(shè)向量組A能由向量組B線性表示，則(d)A.R(B)乞R(A)B.R(B)：R(A)C.R(B)二R(A)D.R(B)R(A)設(shè)n階矩陣A的行列式等于D，貝IkA等于。c(A)kA(B)knA(C)kn

3、，A(D)A設(shè)n階矩陣A,B和C,則下列說法正確的是。(A)AB=AC貝UB=C(C)(AB)t=atbt(B)AB=O,貝貝A=0或|B(D)(AB)(A_B)=A2_B2=0二、計算題（本題總計60分。1-3每小題8分,4-7每小題9分）1.計算n階行列式D=2222223992222TOCo1-5hz22222293n-122n2設(shè)A為三階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，且A=2,求(3A)-2A3求矩陣的逆廣111A=2-11J2廠、.2%+X2十Ax3=丸4.討論為何值時，非齊次線性方程組X四、證明題（本題總計10分）設(shè)為AX=bb=0的一個解，1,2川川2為對應齊次線性方程組AX=0的基

4、礎(chǔ)解系，證明,勺|川|後”亠線性無關(guān)。（答案一）一、填空題（本題總計20分，每小題2分）廣100、115；2、3；3、CA；4、R（A）=R（Ab）=n；5、2；6、210；7、321丿RA：n；8、0;9、3;10、1。.二、選擇題（本題總計10分,每小題2分1、D；2、A；3、D；4、C；5、B三、計算題（本題總計60分，1-3每小題8分，4-7他每小題9分）12222222-220a0a1a+0a0-000-n-30000-0n-2ri一/=3,4廠，n)1、-2-2-2-2q2口n-3-2)!-2)!=1(-2)12：n-3)(n-2)=-2(n(此題的方法不唯一，可以酌情給分。解：(

5、1)AB-2A二-11X111114、丿204=r113-15931=p-4-80、-11110-6-3-1173-11訂11117丿-8-12162B-2A分3.設(shè)A為三階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，且A=1，求(3A)-2A*因A*A=AE=乂,-1*(3A)-2A2*A-2A3-A341627故A得結(jié)果也正確。5、解;(2)(3)J100100、2+1J100100、1-100103+10-101101-1001丿01-1101丿4、解：(A,E)(-100100、1r-1)卩00-100、0-101102十1)010-1-1010-1211丿3十1)01-2-1一1丿32-100(A,b

6、)=-1-1-1(利用A-2-1一1丿-6分十公式求2一扎2(2)(1-)(1)(1一)唯一解：R(A)二R(A,b)=3無窮多解：R(A)=R(代b)=3無解：R(A)=R(A,b)用其他方法求得結(jié)果也正確。-29分(利6、解:111121022523111T01-1-1-310225丿00000丿(A,b)二722x32x4=0_X3-X4=0基礎(chǔ)解系為卜2、1巴=11，2001rX1X22x32x4=5X3-X4=-3得一特解-310-7分故原方程組的通解為:示不唯一，7、解：廣5、_2、-3ii0+kii+k2011J其中?k,k22只要正確可以給分特征方程)-1-41k-k?.R-9

7、分（此題結(jié)果表-e-2)e-i)2從而i=2,匕=爲=1（4分）當i=2時，由（A2E）X=0得基礎(chǔ)解系iWQM，即對應于i=2的全部特征向量為k（ki=O）（7分）當“時，由（AE）X=O得基礎(chǔ)解系廠（-i，-2,i）T，即對應于匕3胡的全部特征向量為k22（k2=0）四、證明題（本題總計10分）證：由i,21刑In工為對應齊次線性方程組AX=O的基礎(chǔ)解系，則i,2川山n.線性無關(guān)。（3分）反證法：設(shè)g川II4J線性相關(guān)，則由gl川莊2線性表示，即：iirr（6分）因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組解，故必是AX=0的解。這與已知條件為AX=bb=O的一個解相矛盾。（9分）.有上

8、可知，i,21川IIn-線性無關(guān)。（10分）試卷B考試說明：本課程為閉卷考試，考試時間100分鐘。滿分為：100分題號-一-二二三四五六總分得分一填空題(每題3分，共15分)TOCo1-5hz們“巾h)1設(shè)R的基為0=1。02=1，口3=1，則0=2在基0102,5下的坐OJ0JI3標為。2已知方陣A，且滿足方程A2-A-2I=0，貝yA的逆矩陣A二。3設(shè)A為3階實對稱矩陣，向量1二1,2,5T,k,2k,3T分別對應于特征值2和3的特征向量，則k二。q23、4若矩陣A=235的秩r(A)=2，則t=。1,2,，m中至少有兩個向量成正比;1,2,，m中至少有一個零向量；：,2,中至少有一個向量

9、可由其余的向量線性表示;1,2，m中任一部分組線性相關(guān)。2已知n階行列式A=0，則下列表述正確的是()。行列式A主對角線上的元素全為零;A的行向量組線性相關(guān)；方程AX=0僅有零解；(D)A的秩為n。3設(shè)A,B,C為同階方陣，下列結(jié)論成立的有()(A)AB=BA;(B)(AB宀ABJ；(C)若AC=BC，則B=C;(D)(AB)t=AtBt。4已知n元非齊次線性方程AX二b，AX=0為方程AX二b對應的齊次線性方程組，則有()。(A)若AX=0只有零解，則AX二b有惟一解；AX=b有惟一解的充要條件是r(A)=n;AX=b有兩個不同的解，則AX=0有無窮多解；AX=b有兩個不同的解，則AX=0的

10、基礎(chǔ)解系中含有兩個以上向量。k12“5.行列式式0的充要條件是()。2k1(A)k一1；三.計算下列各題(A)k一1；三.計算下列各題(B)k=3；32分)k=-1或k=3；(D)k=-1且k=3。1.求n階行列式1III10III1IIIIIIIIIIII1II0的值。2.設(shè)矩陣B滿足方程2J3丿-10丿3.設(shè)A=123,B=J301、23-b21-b勺24)求矩陣A二4.，求矩陣B。,求A+B,3A-2B及ABt。的特征值與特征向量。四.求向量組w=(-1,-1,0,0)T02=(1,2,1,-1)丁,叫=(0,1,1,T)TH4=(1,3,2,1)t,=(2,6,4,-1)t的一個極大無

11、關(guān)組,并將其余向量用這個極大無關(guān)組線性表示。(10分)五.設(shè)二次型仁石必風)2x|xf2x1x3,利用正交變換法將二次型f化為標準型，并寫出正交矩陣。(10分)六設(shè)線性方程組試確定a的值，使方程組有解，并求出其x-i2x2_X3_2X4二02片_x2_x3x4=13X-X2-2X3-X4=a全部的解。（10分）七.（8分）設(shè)向量組n_3）中，前n_1個向量線性相關(guān)，后n_1個向量線性無關(guān)，試證明：（1）冷可表示為：的線性組合；（2）n不能表示為rJlXn的線性組合。授課教師命題教師或線性代數(shù)命題組院系負責人簽命題負責人簽字年月曰字年月曰2007-2008學年第2學期線性代數(shù)A卷答案一填空題（每

12、題3分，共15分）1.（_1,_1,3）t；2AmBaI）；3k=-3；4t=3；5|2AB，=蘭213二.選擇題（每題3分，共15分）1.C;2B;3D;計算下列各題（解法不唯一，答案僅供參考，下同。）1.(-1嚴(n-1)。2-224、勺61、廣03.A+B=,3A-2B=,abt=43-=2,5-22=4。*101五.解：二次型對應的矩陣為A=020，特征多項式為|klA=2)2,J01丿從而，1=2=2,3=0.1=2=2所對應的特征向量有（0,1,0）T及（1,0,1亍。3=0所對應的特征向量（-1,0,1）T。正交單位化后得七.證明：(1)由題設(shè)知。2,111,%4線性無關(guān),n2-1-20、六解：(A,b)T0-5151，因此，當a=1時，方程組有解。000a1；1/31丫一般解為：X=10,01+匕|,1,0+