第三章生命年金的精算現(xiàn)值-優(yōu)質(zhì)課件

1、第三章 生命年金的精算現(xiàn)值第一節(jié) 生命年金概述生命年金（生存年金）的概念與種類 ：生命年金是指按預(yù)先約定的金額 , 以一定的時(shí)間為周期綿延不斷地進(jìn)行一系列的給 付 , 且這些給付必須以原指定的領(lǐng)取人的生存為前提條件 , 一旦原指定的領(lǐng)取人死亡 , 或 預(yù)先約定給付期屆滿時(shí) , 給付即宣告結(jié)束 生命年金在人壽保險(xiǎn)、退休金體系、殘疾保險(xiǎn)及撫恤保險(xiǎn)中均起著重要作用。如在人 壽保險(xiǎn)中保險(xiǎn)費(fèi)通常是以生命年金的方式分期繳納的 , 在退休金體系中退休金通常是以生 存年金的方式分期給付的 7/25/20221生命年金的種類離散型與連續(xù)型；期初支付與期末支付；即期與延期； 終身與定期以及變額生命年金與生命年金。

2、精算現(xiàn)值的計(jì)算方法 保險(xiǎn)金額為 1 個(gè)單位的 n 年生存保險(xiǎn) , 其給付保險(xiǎn)金現(xiàn)值的期望 ，稱為躉繳純保費(fèi) ( 這是與保險(xiǎn)相聯(lián)的緣故）。而在生命年金中 ,n 年期生存保險(xiǎn)的期望現(xiàn)值 E(Z)( 即建繳純保費(fèi) ) 稱為精算現(xiàn)值， 精算 一詞意味著除含利率外 , 還含有死亡率等 其他因素 7/25/20222 在生命年金中 , 保險(xiǎn)金額為 1 個(gè)單位的 n 年生存保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值 E(Z) 用符號(hào)nEx 表示, 即精算現(xiàn)值的計(jì)算方法 對(duì)于生命年金的精算現(xiàn)值 , 其計(jì)算方法有兩種 : 其一是現(xiàn)時(shí)支付法 , 其二是總額支付法 現(xiàn)時(shí)支付法的計(jì)算步驟是 :求出時(shí)刻 t 時(shí)生命年金的給付數(shù)額 ;確定時(shí)刻 t

3、時(shí)給付數(shù)額的精算現(xiàn)值 ; 對(duì)給付年金的精算現(xiàn)值按所有可能的給付時(shí)間進(jìn)行相加或積分。7/25/20223總額支付法的計(jì)算步驟是 : 求出從開(kāi)始支付至死亡或停止支付這段時(shí)間 t 內(nèi)所有年金給付額的現(xiàn)值 , 這一現(xiàn)值僅與利率有關(guān) ;將求出的現(xiàn)值乘以相應(yīng)的死亡概率或概率密度 ;對(duì)第二步得到的結(jié)果按所有可能的死亡時(shí)間 t 進(jìn)行相加或積分. 精算現(xiàn)值的兩種計(jì)算方法是等價(jià)的。7/25/20224 3.1 連續(xù)型生命年金連續(xù)型生命年金是指每時(shí)每刻連續(xù)不斷地進(jìn)行支付的生命年金。這類生命年金一般地 分為定期生命年金、終身生命年金、延期定期生命年金和延期終身生命年金等以終身生命年金為例 , 考察定額終身生命年金的精

4、算現(xiàn)值。假設(shè) (x) 按連續(xù)方式 支付年金額為 1 元的終身生命年金 , 其精算現(xiàn)值用符號(hào)表示(x) 未來(lái)壽命 T= T(x),則 T=T(x)的密度函數(shù)是7/25/202257/25/20226為衡量支付連續(xù)型的終身生命年金的風(fēng)險(xiǎn) , 我們可以考慮支付終身生命年金現(xiàn)值的方差。7/25/20227 例1 設(shè)死力是常值=0.04, 利力=0.06,在此假設(shè)條件下 , 求 : (1) 終身生命年金的精算現(xiàn)值(2) 終身生命年金現(xiàn)值的標(biāo)準(zhǔn)差 ;(3)終身生命年金現(xiàn)值超過(guò)其精算現(xiàn)值的概率(所收取的躉繳純保費(fèi)將小于支付實(shí)際給付年金額為 1 元的終身生命年金的概率 )。解: 7/25/202287/25/

5、20229類似地 , 對(duì)于 (x) 按連續(xù)方式領(lǐng)取的年金額為 1 元的 n 年定期生命年金 , 其精算現(xiàn)值用符號(hào) 表示. 利用現(xiàn)時(shí)支付法 , 則7/25/2022107/25/2022117/25/2022127/25/2022137/25/2022143.1.3 延期生命年金 考慮(x)的延期n年的終身生命年金，這種年金在(x)活過(guò)x+n歲的情況下，從x+n歲開(kāi)始，直到(x)死亡時(shí)為止一直以年率1進(jìn)行支付 7/25/202215比較“延期n年的終身生命年金”、“終身生命年金”和“n年期定期生命年金”，可以發(fā)現(xiàn)：“終身生命年金”=“延期n年的終身生命年金”+“n年期定期生命年金”例3-3已知死

6、亡概率在（0.100）上均勻分布，i=4%。年齡為40歲的人購(gòu)買(mǎi)每年給付額為3000元的連續(xù)給付型生命年金，求下列各種生命年金的精算現(xiàn)值。（1）終身生命年金（2）20年定期生命年金（3）延期10年的終身生命年金（4）延期10年的10年定期生命年金7/25/2022167/25/2022173.1.4 n年確定期生命年金 n年確定期生命年金是一種保證在前n年一定有支付的終身生命年金。該年金支付的現(xiàn)值隨機(jī)變量為：7/25/202218例3-5 某人x歲，購(gòu)買(mǎi)了一份10年確定期生命年金，以連續(xù)方式給付，每年給付金額為1，已知死亡在（0，30）內(nèi)均勻分布且=x+30， 。求該年金精算現(xiàn)值。7/25/2

7、022193.1.5 變額年金考慮支付率隨時(shí)間發(fā)生變化的年金。假設(shè)連續(xù)型生命年金在t時(shí)的支付率為g(t)，年金的支付期限為時(shí)間區(qū)間a，b，那么，由支付模式，知這種年金的精算現(xiàn)值為: （1）如果g(t)1，a=0，b=n時(shí)，上述一般年金就變成了連續(xù)型等額支付的n年期定期生命年金；（2）如果g(t)1，a=0，b=時(shí)，上述一般年金就變成了連續(xù)型等額支付的終身生命年金；（3）如果g(t)1，a=n，b=時(shí)，上述一般年金就變成了連續(xù)型等額支付的n年延期生命年金；（4）如果g(t)=t+1，a=0，b=時(shí)，上述一般年金就變成了年度遞增的連續(xù)支付型終身生命年金。 7/25/202220（5）如果g(t)t

8、，a=0，b=時(shí)，上述一般年金就變成了連續(xù)遞增的連續(xù)支付型終身生命年金。這種年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量 7/25/202221（6）如果g(t)=n-t，a=0，b=n時(shí)，上述一般年金就變成了年度遞減的連續(xù)支付型n年期定期生命年金。 7/25/202222將上述的有關(guān)連續(xù)型生命年金的討論小結(jié)如下： 7/25/2022237/25/202224 3.2 離散型生命年金離散型生命年金是指年金的領(lǐng)取人每次領(lǐng)取年金的時(shí)間間隔是離散的 , 如按每年、每 半年、每季度、每月來(lái)進(jìn)行的。離散型生命年金還分為 “ 期初付 ” 和 “ 期末付 ” 兩種情 形。其中 , 期初付生命年金在個(gè)人壽險(xiǎn)中得以廣泛應(yīng)用 , 大多數(shù)個(gè)

9、人壽險(xiǎn)的保險(xiǎn)費(fèi)就是按 期初付生命年金的方式分期繳納保險(xiǎn)費(fèi)的。3.2.1按年付的定額生命年金 按年付生命年金是以年為時(shí)間間隔 , 每年支付一次 , 每次支付的金額均相等的生命年金 7/25/202225以期初付的定額的終身生命年金為例 , 考慮其生命年金的精算現(xiàn)值:設(shè)年齡為x歲的生存者在每個(gè)年度初領(lǐng)取年金額為 1 個(gè)單位的終身生命年金 ( 即期初付終身生命年金 ) 的精算現(xiàn)值 7/25/202226上式表明 : 年齡為 x 歲的 lx個(gè)生存者 , 若每人繳納 元建立一筆基金 ( 基金總 額為 元 ), 并按預(yù)定年利率 i 計(jì)息積存 , 則可使該群體中生存到x+k 歲的 lx+k個(gè)人 , 每人獲得

10、 1 元的金額(k=0,1,2,.)若利用總額支付法 , 則期初付年金額為 1 個(gè)單位的終身生命年金支付的現(xiàn)值:7/25/202227交換求和的順序 , 則上式可轉(zhuǎn)化為這表明現(xiàn)時(shí)支付法與總額支付法計(jì)算精算現(xiàn)值的結(jié)果是相同的。若在引入換算函數(shù) , 則可以得 7/25/202228現(xiàn)在 , 我們來(lái)考察期初付年金額為 1 個(gè)單位的終身生命年金現(xiàn)值 的方差根據(jù)方差的性質(zhì)，則 7/25/202229下面 , 我們考察精算現(xiàn)值與躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系式 7/25/202230上式表明 : 年齡為x歲的生存者 , 在預(yù)定年利率為 i 的條件下 , 只要繳納金額 1元 , 便可享受期初付的年金額為 d 元的終身

11、生命年金; 而一旦死亡 , 還可在死亡的年度 末獲得 1 元的死亡保險(xiǎn)金. 若從一般的投資角度來(lái)解釋 , 即(x)現(xiàn)在投資資金 1元 , 在年利率 i 的條件下 , 可在 (x) 生存時(shí) , 其每年的年初均可獲得回報(bào) d 元 , 而 (x) 一旦死亡 , 則在其死亡的年度末償 還其投資的本金 1 元 7/25/202231 例 1 一份金額為 1 元的期初付終生生命年金從 90 歲開(kāi)始給付 , 其生存模型為 x90919293lx100723907/25/2022327/25/2022333.2.1 期初付生命年金7/25/2022342. 期初付定期生命年金每年支付1的n年期期初付定期生命年

12、金的現(xiàn)值隨機(jī)變量為7/25/2022357/25/2022363. 期初付延期終身生命年金期初付n年延期終身生命年金為：在年金受領(lǐng)人(x)活著的情況下，從x+n歲開(kāi)始，每年初支付1的年金。 7/25/2022374. 期初付確定期生命年金n年期期初付確定期生命年金是一種保證至少有n年支付的生命年金。 其現(xiàn)值隨機(jī)變量為7/25/2022383.2.2 期末付生命年金1. 期末付終身生命年金這種年金在年金受領(lǐng)人(x)活著的情況下，每年末支付1 該年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量為其精算現(xiàn)值為 表明年齡為x歲的生存者 , 在預(yù)定年利率為 i 的條件下 , 只要繳納金額 1元 , 便可享受期末付的年金額為 i元的終

13、身生命年金; 而一旦死亡 , 還可在死亡的年度 末獲得 1+i元的死亡保險(xiǎn)金7/25/2022393.2.2 期末付生命年金7/25/2022407/25/2022412. 期末付定期生命年金每年末支付1的n年期末付定期生命年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量為其精算現(xiàn)值為7/25/202242事實(shí)上，因?yàn)閷?duì)于n年期末付定期生命年金，其現(xiàn)值隨機(jī)變量為 7/25/2022437/25/202244 例2 一份于 60 歲簽發(fā)的年給付額為 1 元并且延期 10 年給付的生命年金 , 已 知死亡率服從 de moivre 分布且 =100 、 i =0, 試計(jì)算該年金給付總額超過(guò)該年金精算現(xiàn)值 的概率。7/25/20

14、2245解 : 由于死亡率服從 de moivre 分布且 =100, 得到lx= -x=100-x7/25/2022467/25/2022473.2.3 變額生命年金一般地，假設(shè)年金的支付期間為c，d，在k時(shí)年金的支付金額為h(k)，k=c，c+1，d，相應(yīng)年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量為Y，則（1）如果h(k)1，c=0，d=n時(shí)，上述一般年金就變成了離散型等額支付的n年期定期生命年金；（2）如果h(k)1，c=0，d=時(shí)，上述一般年金就變成了離散型等額支付的終身生命年金；（3）如果h(k)1，c=n，d=時(shí)，上述一般年金就變成了離散型等額支付的n年延期生命年金；（4）如果h(k)k，c=0，d=時(shí)，

15、上述一般年金就變成了離散型期末付年度遞增終身生命年金。7/25/2022487/25/2022497/25/2022507/25/202251t支付px+t020.80130.75240.5假設(shè)v=0.9，求該生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的均值和方差。7/25/2022527/25/2022533.3 每年 m 次支付的生命年金每年分 m 次支付的生命年金 在實(shí)際上，大多數(shù)個(gè)人生命年金通常是按月或按季或按每半年等方式來(lái)支付的。因此 , 討論每年分 m 次支付的定額生命年金有重要的現(xiàn)實(shí)意義 下面 , 我們以每年分 m 次支付 , 每次支付額為 1/m 元的期初付終身生命年金為例 , 求其精算現(xiàn)值，且根據(jù)

16、現(xiàn)時(shí)支付法 , 則 7/25/202254將按上述方式給付年金的現(xiàn)值記作 7/25/2022557/25/2022567/25/202257上式在高利率與低死亡率的特殊情況下常被采用 ,而在一般情況下 , 通常采用精算現(xiàn)值的傳統(tǒng)近似計(jì)算公式：下面 , 我們介紹一下式 (*) 的來(lái)歷 7/25/2022587/25/202259 例3 試根據(jù)附錄 I(C) 的生命表和預(yù)定年利率 i =6%, 并在死亡均勻分布的假設(shè)條件下 , 計(jì)算到 60 歲時(shí)起退休者每月領(lǐng)取1000元的期初付終身生命年金的精算現(xiàn)值。解，由于年利率 i =6%, 則年貼現(xiàn)率d=i/(1+i)=0.0566從而 , 月利率和月貼現(xiàn)

17、率分別可以得到7/25/2022607/25/202261對(duì)于每年分m次支付，每次支付金額相等的年金額為1元的期末付終身生命年金，其精算現(xiàn)值用符號(hào)表示為7/25/202262對(duì)于每年分 m 次支付、每次等額支付金額為 1 元的延期h年的期初付終身生命年金 , 其精算現(xiàn)值用符號(hào)表示為 , 則7/25/202263對(duì)于每年分 m 次支付 , 每次等額支付的年金額為 1 元的期初付n年定期生命年金 ,其精算現(xiàn)值用符號(hào)表示為 , 根據(jù)現(xiàn)時(shí)支付法， 則有7/25/202264例4試根據(jù)附錄 I(C) 生命表與預(yù)定年利率 i =6%, 并在死亡均勻分布的假設(shè)條件下 , 計(jì)算生存者在 45 歲時(shí)每月領(lǐng)取 8

18、00 元的期初付 25 年定期生命年金的精算現(xiàn)值.解 : 依題意 , 知 7/25/2022657/25/202266 根據(jù)現(xiàn)時(shí)支付法 , 則 7/25/2022673.3.2 每年分 m 次支付的變額定期生命年金考慮每年分 m 次支付 , 年金額按年變動(dòng)的期初付的 n 年定期生命年金的估值問(wèn)題。 設(shè)生存者自x歲開(kāi)始 , 終止于x+n 歲 , 領(lǐng)取的年金順序列為bx,bx+1, , by+n-1. 每年分 m 次等額期初支付 , 則在 y 歲與 y +1 歲之間的 m 次支付在 y 歲的精算現(xiàn)值是而該項(xiàng)生命年金在x歲時(shí)的精算現(xiàn)值記作(apv)x, 則7/25/202268又設(shè)生存者在每一個(gè)年齡

19、中死亡是均勻分布的 , 則 7/25/202269 若該項(xiàng)變額年金改為期末支付 , 并假設(shè)生存者在每個(gè)年齡中死亡是均勻分布的 , 記 7/25/202270 3.4 完全期末年金與比例期初年金在連續(xù)生存年金場(chǎng)合 , 連續(xù)直至死亡 , 不存在調(diào)整最后支付問(wèn)題。對(duì)于離散型生存 年金 , 尤其是按年支付的生存年金 , 會(huì)提出根據(jù)死亡日期按比例調(diào)整的問(wèn)題。譬如期末按 年提供支付額為 5000 元的生存年金 , 當(dāng)年金的領(lǐng)取者在支付日前 1 個(gè)月死亡時(shí) , 可從上 次領(lǐng)取日算起 , 對(duì)其活著的 11 個(gè)月按比例加付最后一次不滿 5000 元的零頭數(shù)額.又譬 如 , 按生存年金方式支付保費(fèi) 1000 元來(lái)

20、購(gòu)買(mǎi)人壽保險(xiǎn) , 當(dāng)被保險(xiǎn)人在周年繳費(fèi)日 1 個(gè)月后死亡時(shí) , 可退還該年度剩下 11 個(gè)月的已繳保費(fèi)。那么 , 前者屬于完全期末年金類型 , 后者屬于比例期初年金類型。7/25/202271完全期末年金每年 1 單位按 1/m 年期末支付 , 再加上根據(jù)從上個(gè) 1/m 年期末到死亡日這段時(shí)間調(diào) 整的零數(shù)支付 , 這種完全生存年金的精算現(xiàn)值記為 因 1/m 年期末 1/m 等價(jià)于按年 支付額它可以作為死亡發(fā)生在時(shí)刻 t 情況下的調(diào)整支付額 7/25/202272根據(jù)這一調(diào)整支付定義 , 完全期末生存年金恰好等價(jià)于年支付額為的連續(xù)型生存年金換句話說(shuō) , 在任何一個(gè) 1/m年中 , 如果 (x) 始終活著 , 那么連續(xù)生存年金提供的支付在該 1/m 年末的值為如果(x)在該 l/m 年內(nèi)死亡 , 那么連續(xù)生存年金所提供的支付在死亡時(shí)的值等價(jià)于它與完全期末生存年金的調(diào)整支付相當(dāng). 7/25/202273因此我們有包含利息因素的上式導(dǎo)致更為簡(jiǎn)單的結(jié)論 7/25/202274對(duì)上