2021年北京卷高考真題數(shù)學(xué)解析答案

1、2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)解析答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1. 【解析】【分析】結(jié)合題意利用并集的定義計算即可.【詳解】由題意可得：，即.故選：B.2. 【答案】D【解析】【分析】由題意利用復(fù)數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得：.故選：D.3. 【答案】A【解析】【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函

2、數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.4. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計算該幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐，其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1，故其表面積為，故選：A.5. 【答案】A【解析】【分析】分析可得，再將點代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】，則，則雙曲線的方程為，將點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：A.【答案】B【解析】【分析】由已知條件求出的值，利用等差中項的性

3、質(zhì)可求得的值.【詳解】由已知條件可得，則，因此，.故選：B.7. 【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時，取最大值.故選：D.【答案】B【解析】【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨故選：B.9. 【答案】C【解析】【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長為，則當(dāng)時

4、，弦長取得最小值為，解得.故選：C.10. 【答案】C【解析】【分析】使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項及求和公式即可得解.【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項和為，則，所以n的最大值為11.故選：C.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題5小題，每小題5分，共25分11. 【答案】【解析】【詳解】試題分析：的展開式的通項 令得常數(shù)項為.考點：二項式定理.12. 【答案】 . 5 . 【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式可求的橫坐標(biāo)，求出縱坐標(biāo)后可求.【詳解】因為拋物線的方程為，故且.因為，解得，故，所以，故答案為：5，

5、.13. 【答案】 . 0 . 3【解析】【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算直接計算即可.【詳解】，.故答案為：0；3.14. 【答案】（滿足即可）【解析】【分析】根據(jù)在單位圓上，可得關(guān)于軸對稱，得出求解.【詳解】與關(guān)于軸對稱，即關(guān)于軸對稱， ，則，當(dāng)時，可取的一個值為.故答案為：（滿足即可）.15. 【答案】【解析】【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于，當(dāng)時，由，可得或，正確；對于，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，正確；對于，當(dāng)直線過點時，解得，所以，

6、當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點，若函數(shù)有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點，錯誤；對于，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點，正確.故答案為：.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字

7、說明，演算步驟或證明過程16.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇：由正弦定理求解可得不存在；若選擇：由正弦定理結(jié)合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.【詳解】（1），則由正弦定理可得，解得；（2）若選擇：由正弦定理結(jié)合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，則周長，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長度為：；若選擇：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長度為：.17. 【答案】（1）

8、證明見解析；（2）【解析】【分析】(1)首先將平面進(jìn)行擴(kuò)展，然后結(jié)合所得的平面與直線的交點即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實數(shù)的值.【詳解】(1)如圖所示，取的中點，連結(jié)，由于為正方體，為中點，故，從而四點共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線交平面于點，當(dāng)直線與平面相交時只有唯一的交點，故點與點重合，即點為中點.(2)以點為坐標(biāo)原點，方向分別為軸，軸，軸正方形，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為2，設(shè)，則：，從而：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，

9、故（舍去）.【點睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18. 【答案】（1）次；分布列見解析；期望為；（2）見解析【解析】【分析】（1）由題設(shè)條件還原情境，即可得解；求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出，分類即可得解.【詳解】（1）對每組進(jìn)行檢測，需要10次；再對結(jié)果為陽性的組每個人進(jìn)行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；由題意，可以取20，30，則的分布列:所以；（2）由題意，可以

10、取25，30，設(shè)兩名感染者在同一組的概率為p，則，若時，；若時，；若時，.19. 【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，則，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，.20. 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓所過的點及四個頂點圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢

11、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，求出直線的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡，從而可求的范圍，注意判別式的要求.【詳解】（1）因為橢圓過，故，因為四個頂點圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，因為直線的斜率存在，故，故直線，令，則，同理.直線，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，綜上，或21. 【答案】（1）不可以是數(shù)列；理由見解析；（2）；（3）存在；【解析】【分析】(1)由題意考查的值即可說明數(shù)列不是數(shù)列；(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項，然后討論計算即可確定的值；(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實數(shù)的值.【詳解】(1)由性質(zhì)結(jié)合題意可知，矛盾，故前4項的數(shù)列，不可能是數(shù)列.(2)性質(zhì)，由性質(zhì)，因此或，或，若，由性質(zhì)可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因為或，所以或.若，則，不滿足，舍去.當(dāng)，則前四項為:0，0，0，1，下面用納法證明：當(dāng)時，經(jīng)驗證命題成立，假設(shè)當(dāng)時命題成立，當(dāng)時：若，則，利用性質(zhì)：，此時可得：；否則，若，取可得：，而由性質(zhì)可得：，與矛盾.同理可得：，有；，有；，又因為，有即當(dāng)時命題成立，證畢.綜上可得：，.(3)令，由性質(zhì)可知：，由于，因此數(shù)列為數(shù)