高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步6.3平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用學(xué)案新人教B版必修第二冊

1、- -3平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)幾何應(yīng)用通過本節(jié)課學(xué)習(xí)理解向量在處理有美平面幾 何問題中的優(yōu)越性并體會向量在幾何和現(xiàn)實(shí) 生活中的意義數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模物理應(yīng)用運(yùn)用向量的有美知識(向量加減法與向量數(shù) 量積的運(yùn)算法則等)解決簡單的物理問題數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模導(dǎo)學(xué)I聚I焦研讀導(dǎo)學(xué)善陋 W問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P168 P170的內(nèi)容，思考以下問題：.平面向量是如何體現(xiàn)在幾何問題中的？.平面向量是如何體現(xiàn)在物理問題中的？工新知.用向量方法解決平面幾何問題的步驟(1)轉(zhuǎn)化：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何 問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)運(yùn)算：通過向量運(yùn)算，研究幾

2、何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題.(3)翻譯：把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.2.向量方法解決物理問題的步驟(1)問題的轉(zhuǎn)化，把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.(2)模型的建立，建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型.(3)參數(shù)的獲取，求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)解.(4)問題的答案，回到物理現(xiàn)象中，用已經(jīng)獲取的數(shù)學(xué)結(jié)果去解釋一些物理現(xiàn)象.k自重檢/ J0已知向量a=(2, m與向量b=(1m 1)平行，則實(shí)數(shù) m的值為()A. - 1B. 1C. 2D. 1 或 2.一 ，,1 m 解析：選D.由1 m=2，得m= 1或m= 2,故選D.同 已知三個力f1 = ( 2, 1), f2=( 3, 2), f3=(4, 3

3、)同時作用于某物體上一點(diǎn),為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個力f4,則f4等于()A. (T, 2)D. (1 , 2)C ( 1, 2)解析：選D.由物理學(xué)知識知，要使物體保持平衡,則有一 f4=fl + f 2+f3=( 2, -1) + ( 3, 2)+(4, 3) = ( 1, 2),所以 f4= (1 , 2).故選D.如圖，已知點(diǎn)A(4, 0) , B(4 , 4) , C(2 , 6),則ACM OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為 解析：設(shè)點(diǎn) P(x, y),則 OP= (x, y),OB= (4 , 4), AP= (x-4, y-0) = (x-4, y) , AC= (2-4, 60)=(2,

4、 6),由 OPfOB 共線得4x 4y = 0，由APfAC線得 6(x4) (2)y = 0，聯(lián)立，解得x=3, y=3,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3, 3).答案：(3 , 3)Q如圖，已知兩個力的大小和方向，則合力的大小為 N;若用坐標(biāo)表示合力 F, 貝U F=.解析：由圖可知 F1=(2, 3), F2=(3, 1),則合力 F= F1+ F2= (2 , 3) + (3 , 1) = (5 , 4), 所以 | F| = 1/52+ 42 = ,41.答案：回 (5,4)探究點(diǎn)E11向量在平面幾何中的應(yīng)用例1已知O, A, B是平面上不共線的三點(diǎn)，直線 AB上有一點(diǎn)C,滿足2AOCB= 0.

5、用OA Obe示Oc(2)若點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，證明四邊形 OCA誕梯形.【解】(1)因?yàn)?A(CE3= 0,所以 2(00OA + (Ob-&=0,20G- 20AF OB-0G= 0,所以 0G= 20A OB(2)證明：如圖，由題得，誦D0F 0A_；0中 0A= 1(2 0A- 0b.結(jié)合（i）知， DA= ；0g所以DA/ 0g即DA/ 0G故四邊形 0GA電梯形.阿倒南國用向量方法解決平面幾何問題的步驟h n he *L獨(dú)立平面幾何與向黃的聯(lián)系，用向址表, 面幾何問題L示問題中涉及的幾何元素向量問題H病平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題向,運(yùn)算 H通過向景運(yùn)第，研究幾何元素間的關(guān)系J、.幾何

6、關(guān)系用運(yùn)算結(jié)果判斷幾何問策中的關(guān)系:f if f f f f f如圖，在直角梯形 ABGDK DG= -AB BE= 2EG 且 AE= rAB+sAD,則 2r+ 3s = (B. 2D. 4A. 1G. 3解析：選G.根據(jù)圖形由題意可得_2_ 2 AE= AB+ BE=AB -BG3=Ab+ 3(孤 M D(12=AB+ (AD DG33=3超2（超4曲因?yàn)?AE= rAB+ sAQ 12所以 r = 2，s = 3，所以 2r+ 3s= 1 + 2 = 3.探究點(diǎn)且向量在物理中的應(yīng)用（速度）例2 某人騎車以a km/h的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來， 而當(dāng)速度為2a km/h 時，

7、感到風(fēng)從東北方向吹來，試求實(shí)際風(fēng)速和方向.【解】設(shè)此人行駛速度為 a,則|a| =a,無風(fēng)時此人感覺到風(fēng)速為一 a,又設(shè)實(shí)際風(fēng)速為v,由題意知，此人所感到的從正北方向吹來的風(fēng)速為（va）,如圖所示，令OA= a, OEB= 2a,由于POOA=PX 故PA= v-a.又P%Ob=PB,故PB= v 2a,即此人的速度是原來的 2倍時所感到的風(fēng)速，由題意得/ PBO= 45 , PAL BO BA= AQ從而 BPO等腰三角形，所以 PB= PO / POA= /APO= 45 ,所以 PO=，2a, | v| =，2a km/h.故實(shí)際吹來的風(fēng)是風(fēng)速為 42a km/h的西北風(fēng).規(guī)律方r法算特

8、征作出幾何圖形，即可利用向量求解.一莊能副朝已知船在靜水中的速度大小為 速度大小，河寬為 20 m,船垂直到達(dá)對岸用的時間為 大小.解：設(shè)船在靜水中的速度為 Vi,水流速度為丫2, 建立如圖坐標(biāo)系.5 m/s,且船在靜水中的速度大小大于水的5s ,試用向量的減法來求水流的速度船的實(shí)際速度為V3,產(chǎn)L物理中的矢量主要有力、速度、位移，一般求功、動量及前面的三種只需根據(jù)它們的運(yùn)| Vi| = 5 m/s , | V3| = = 4 m/s ,則V3=(0, 4), Vi = (-3, 4), V2=V3vi=(0, 4)(3, 4)=(3, 0).所以| V2| = 3 m/s.即水流的速度大小為

9、 3 m/s.探究點(diǎn)向量在物理中的應(yīng)用(力)60且有一力例匡如圖，一物體受到兩個大小均為60 N的力的作用，兩力的夾角為方向水平，求合力的大小及方向.【解】 以6A O狗鄰邊作平彳r四邊形 oacb則Oep為合力.由已知可得 OA8等腰三角形,且/COA= 30 ,過 A作 ADL O什點(diǎn) D,則在 RtOA由OD=|OA cos300 =60X半=30如 故|而=2| Od=60J3,即合力的大小為60d3 N,方向與水平方向成30 角.規(guī)律忻法用向量方法解決物理問題的步驟(1)轉(zhuǎn)化：把物理問題中的相關(guān)量用向量表示，轉(zhuǎn)化為向量問題的模型.(2)運(yùn)算：通過向量的運(yùn)算使問題得以解決.(3)還原：

10、把結(jié)果還原為物理問題.跟蹤訓(xùn)練如圖所示，若物體的重量為G,且被兩根不等長的繩子吊起，繩子兩端點(diǎn) A和B保持同一高度，繩子與豎直方向的夾角分別為a和3 ,試求拉力Fl, F2的大小.解：以力的作用點(diǎn) O為原點(diǎn)，水平方向?yàn)?x軸，豎直方向?yàn)閥軸建 立平面直角坐標(biāo)系，將Fi, F2分別分解為水平方向和豎直方向上的力 Fix F2x, Fa,如圖所示，所以Flx+Fly=Fl,F2x+F&=F2.則由受力平衡知物體在水平方向和豎直方向上所受的合力分別為0,得Fix=- F2x,Fiy + F2y = 一 G,所以 1F11sin| Fi|cosa = | F2|sina + | F21cosr IE|

11、Gsin a cos 3 COS a +:sin 3解得|F2|igsin cos acos 3 +：sin a兩根繩子的拉力 Fi, F2的大小分別為IGIG1 .已知點(diǎn)A(2 , 3) , B( - 2, 6) , C(6 , 6) , D(10 , 3),則以ABC四頂點(diǎn)的四邊形是()A.梯形B.鄰邊不相等的平行四邊形C.菱形D.兩組對邊均不平行的四邊形解析：選 B.因?yàn)榇?(8 , 0), 亂(8 , 0),所以XD=BC因?yàn)楣?4 , 3),所以|BA=5,而| BC = 8,故為鄰邊不相等的平行四邊形.2.已知作用在點(diǎn) A的三個力fi = (3, 4)f2=(2, 5) , f3=

12、(3 , 1),且 A(1 , 1),則合力f =fl + f 2+ f3的終點(diǎn)坐標(biāo)為(9,1)(19)(9 , 0)(09)解析：選 A.f =f1 + f2+f3=(3，4)+(2-5)+(31)=(8, 0),設(shè)終點(diǎn)為B(x, y),則(x 1y-1) = (80),x 1=8,所以i所以|y1 = 0,Ab= tv,即(3 , 6) = t (1 , 2),所以 t = 3.x= 9,所以終點(diǎn)坐標(biāo)為(9, 1).Iy= 1,3.坐標(biāo)平面內(nèi)一只小螞蟻以速度v=(1 , 2)從點(diǎn)A(4 , 6)處移動到點(diǎn)B(7, 12)處，其所用時間為解析：設(shè)所用時間為t,則A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .人騎自行車的速

13、度是V1,風(fēng)速為V2,則人的實(shí)際速度為()vi V2V1+V2C. | vi| | V2IViD.不解析：選B.由向量的加法法則可得人的實(shí)際速度為V1 + V2.注意速度是有方向和大小的，是一個向量.當(dāng)兩人提起重量為 G的旅行包時，夾角為 0 ,兩人用力大小都為| F| ,若| F| = | G , 則0的值為（）B. 60A. 30C. 90D. 120解析：選D.由題意作出示意圖，由| F| = | G知4 AOC BOCTB是等邊三角形，所以 0 =120 .河水的流速為5 m/s, 一艘小船想以12 m/s的速度沿垂直河岸方向駛向?qū)Π?，則小船 的靜水速度大小為（）A. 13 m/sB.

14、 12 m/sC. 17 m/sD. 15 m/s解析：選A.設(shè)小船的靜水速度為 w,河水的流速為V2,靜水速度與河水速度的合速度為V,為了使航向垂直河岸，船頭必須斜向上游方向，即靜水速度V1斜向上游方向，河水速度 V2平行于河岸，靜水速度與河水速度的合速度V指向?qū)Π?，即靜水速度 | V1| 7 V| 2+| V2| 2 =122 + 52 = 13（m/s）.4.已知四邊形 ABCD&頂點(diǎn)坐標(biāo)是 A（ 1, -3 !； B1, 3 ! C2）D 7, - 2j,則四邊形ABC虛（）A.梯形B.平行四邊形D.菱形C.矩形解析：選A.因?yàn)锳B= 2, 3 ；,DC= (3 , 4),所以XB=

15、3氏 所以Xb/ Dc即AB/ DC又1 AB = y4+9 =y-, 1 DC =N9+ 16 = 5,所以| AB W| DC,所以四邊形 ABCD1梯形.用兩條成120。角的等長繩子懸掛一個燈具，已知燈具重量為 力大小為 N.解析：如圖，由題意，得/ AOe Z COB= 60 , |Oc=10,10 N,則每根繩子的拉則|OA=|Ob=10,即每根繩子的拉力大小為10 N.答案：10.如圖，設(shè) P為ABCft一點(diǎn)，且 2PA+ 2PB+ PC= 0,則 Saabp：S/ abc=解析：設(shè)AB的中點(diǎn)是D因?yàn)?PA+ PB= 2PD= 2pC所以 PD= -1PC, 4所以P為CD勺五等分

16、點(diǎn)， , , 1所以 ABP的面積為八ABC勺面積的-.5-1答案：157.某物體做斜拋運(yùn)動，初速度 |V0| =10 m/s ,與水平方向成 該物體在水平方向上的速度是 m/s.角，不計(jì)空氣阻力，則解析:設(shè)該物體在豎直方向上的速度為V1,水平方向上的速度為 V2,如圖所示，由向量求和的平行四邊形法則及直角三角形的知識可知,| V2| = | v01cos 601=10X 2=5（m/s）,即該物體在水平方向上的速度是5 m/s.答案：5.已知在平行四邊形 ABC珅，E, ,一1 一一F是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE= FC= 7AC試用向量方法證明四邊形 DEB他是平行四邊形.證明：設(shè) AD=

17、 a, AB= b,則DE=AE-AD1AC- a = 1b-3a, 444Fb=Ab-Af= b-4AC= 4b4a所以DE=FB,且D, E, F, B四點(diǎn)不共線，所以四邊形 DEBF平行四邊形.如圖，平行四邊形 ABCD, E, F分別是AQ AB的中點(diǎn),與DF的交點(diǎn).若AB= a, AD= b.G為BE(1)試以a, b為基底表示BE, DF;(2)求證：A G, C三點(diǎn)共線.解：（1） BE=AE-AB= b a,Df=AFAb= 2a-b.（2）證明：因?yàn)?d, g f三點(diǎn)共線，則DG= x DF, 即 AG=Ab+ 入 DF= 1 入 a+（1 入）b.因?yàn)锽, G, E三點(diǎn)共線

18、，則鼠 BE,即AG=AB+ be=（i - w）a+b,12入=1 j2由平面向量基本定理知 彳解得入=-,I 1-入-2所以 AG= 3( a + b) = 3AC,所以A G C三點(diǎn)共線.B 能力提升.在 ABC, D為 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 AD=?超2AC SABD=()323 ABC2A.31B.31 C.61D.2解析：選D.如圖所示，由 AD= 3AB+ 1AC導(dǎo)，點(diǎn)D在平彳T于AB邊的中位線上,SA ABD 1所以SA ABC 2. 一纖夫用牽繩拉船沿直線方向前進(jìn)60 m,若牽繩與行進(jìn)方向夾角為30。，纖夫的拉力為50 N ,則纖夫?qū)Υ龅墓?J.解析：所做的功 W= 60X50X cos 30 = 1 500 d3(J).答案：1 500 312.已知點(diǎn) A(g 1), B(0 , 0), qy3, 0), /BAC的平分線 AE與BC相交于點(diǎn)| BE | AB 一 一 1 jE此時有1=,則BO入CE其中人等于.工 |Ce |ACU人，一 ，| BE | AB一 一 ,一解析：由 L-=L-2L=2,得 | BE =2| C4如圖).|Ce | AC從