多目標(biāo)優(yōu)化（39頁(yè))ppt課件

1、建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的有關(guān)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型中的尺度變換多目的函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)關(guān)于離散變量的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題優(yōu)化方法的選擇及評(píng)價(jià)準(zhǔn)那么第七章 關(guān)于機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)當(dāng)中的 幾個(gè)問(wèn)題優(yōu)化數(shù)學(xué)模型總體包含：設(shè)計(jì)變量，目的函數(shù)，約束條件7.1.1關(guān)于設(shè)計(jì)變量確實(shí)定 工程設(shè)計(jì)中總是包含許多各種設(shè)計(jì)參數(shù)。在確定設(shè)計(jì)變量時(shí)，要對(duì)各種參數(shù)加以分析，以進(jìn)展取舍。 設(shè)計(jì)變量必需是獨(dú)立變量。要從優(yōu)相互依賴(lài)關(guān)系的變量中剔除非獨(dú)立變量。7.1建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的有關(guān)問(wèn)題 以下圖所示為汽車(chē)前輪轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)。 等腰梯形機(jī)構(gòu)ABCD中，給定機(jī)架長(zhǎng)度LAD=a常數(shù)。當(dāng)汽車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)，為了保證一切車(chē)輪都處于純滾動(dòng)，要求從動(dòng)件CD轉(zhuǎn)角 與自動(dòng)件AB轉(zhuǎn)角 堅(jiān)持

2、某確定關(guān)系 該四桿機(jī)構(gòu)的參數(shù)有各桿長(zhǎng)度：l1,l2,l3,l4，和初始角 其中l(wèi)4=a為知，是設(shè)計(jì)常量；又l1=l3，l3為非獨(dú)立變量；又 ，l2是l1與 的函數(shù)，故l2也為非獨(dú)立變量。所以只需兩個(gè)參數(shù)是獨(dú)立變量 設(shè)計(jì)變量愈多,維數(shù)愈高，設(shè)計(jì)的自在度越大，容易得到較理想的優(yōu)化結(jié)果；但維數(shù)越高，會(huì)使目的函數(shù)，約束函數(shù)所包含的變量增多，導(dǎo)致計(jì)算量增大，并使優(yōu)化過(guò)程更為復(fù)雜及降低解題的效率。所以，在建立目的函數(shù)時(shí)，確定設(shè)計(jì)變量的原那么是在滿足設(shè)計(jì)要求得前提下，將盡能夠減少設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)，即降低維數(shù)。 按設(shè)計(jì)問(wèn)題維數(shù)的大小，通常把優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題規(guī)模分為三類(lèi)：小型優(yōu)化問(wèn)題：維數(shù)2-10中型優(yōu)化問(wèn)題：維數(shù)1

3、0-50大型優(yōu)化問(wèn)題：維數(shù)50以上7.1.2關(guān)于目的函數(shù)的建立 優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型中的目的函數(shù)Fx，是以設(shè)計(jì)變量表示設(shè)計(jì)問(wèn)題所追求的某一種或幾種性能目的的解析表達(dá)式，用它來(lái)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣程度。通常，設(shè)計(jì)所追求的性能目的較多，建立目的函數(shù)，要針對(duì)影響質(zhì)量和性能最為重要的，最顯著的目的作為設(shè)計(jì)追求的根本目的寫(xiě)入目的函數(shù)。所建立的目的函數(shù)普通分為：?jiǎn)文康暮瘮?shù)，多目的函數(shù) 普通的，所包含的分目的函數(shù)越多，設(shè)計(jì)結(jié)果越完善，但設(shè)計(jì)求解的難度增大。因此，在實(shí)踐設(shè)計(jì)中，在滿足設(shè)計(jì)性能要求的前提下，應(yīng)盡量減少分目的函數(shù)的個(gè)數(shù)。7.1.3關(guān)于約束條件問(wèn)題 設(shè)計(jì)約束是在設(shè)計(jì)中對(duì)設(shè)計(jì)變量所提出的種種限制來(lái)確定的。約

4、束條件表達(dá)式同常有顯性約束與隱性約束；不等式約數(shù)與等式約束；邊境約束與性能約束等。 在設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量減少約束條件的個(gè)數(shù)。在眾多約束條件中，能夠存在消極約束，所謂消極約束是指在某些約束得到滿足時(shí)，而有另一個(gè)或幾個(gè)約束必然得到滿足，其作用被覆蓋，被覆蓋了作用的約束稱(chēng)為消極約束。假設(shè)經(jīng)分析能確認(rèn)是消極約束，在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，應(yīng)將其除掉。在普通情況下，消極約束是不容易識(shí)別出來(lái)的。所以，在很多時(shí)候，仍是將全部約束都列出來(lái)，不加區(qū)別的代進(jìn)算法程序中求解計(jì)算。7.2.1數(shù)學(xué)模型中的尺度變換 數(shù)學(xué)模型中的尺度變換問(wèn)題，是指用過(guò)改動(dòng)在設(shè)計(jì)空間中個(gè)坐標(biāo)分量的比例，以改善數(shù)學(xué)性態(tài)的一種方法。7.2.1設(shè)計(jì)變量的尺度變

5、換7.2.2約束條件的尺度變換7.2.3目的函數(shù)的尺度變換7.3多目的函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題 在設(shè)計(jì)中，優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的好壞僅依賴(lài)于一項(xiàng)設(shè)計(jì)目的，即所建立的目的函數(shù)僅含一個(gè)目的的函數(shù)，這樣的目的函數(shù)稱(chēng)為單目的函數(shù)，屬于單目的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。 在許多實(shí)踐設(shè)計(jì)中，一個(gè)設(shè)計(jì)方案又企望有幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)同時(shí)都到達(dá)最優(yōu)值，這種在優(yōu)化設(shè)計(jì)中同時(shí)要求兩項(xiàng)極其以上設(shè)計(jì)目的到達(dá)最優(yōu)值得問(wèn)題，成為多目的優(yōu)化設(shè)計(jì)，目標(biāo)函數(shù)稱(chēng)為多目的函數(shù)。7.3.1多目的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型 優(yōu)化設(shè)計(jì)中，假設(shè)有m個(gè)設(shè)計(jì)目的表達(dá)的目的函數(shù)要求同時(shí)到達(dá)最優(yōu)，那么表示為上式稱(chēng)為向量目的函數(shù)，是多目的函數(shù)；式中的f1(x),f2(x),，fm(x)稱(chēng)為目的函數(shù)中

6、的各分目的函數(shù)。數(shù)學(xué)模型的普通表達(dá)式gu(x) 0 (u=1,2,，p)hv(x)=0 (v=1,2，qn) 為了與單目的優(yōu)化問(wèn)題相區(qū)別，在目的函數(shù)前加V，即表示為7.3.2多目的優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念 在單目的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)于各種性態(tài)函數(shù)，總可以經(jīng)過(guò)對(duì)迭代點(diǎn)函數(shù)值的比較，找出全局最優(yōu)解，對(duì)恣意兩個(gè)解都能判別其優(yōu)劣。而多目的函數(shù)問(wèn)題與單目的那么有根本區(qū)別，任意兩個(gè)解之間，就不一定能判別出優(yōu)劣。1絕對(duì)最優(yōu)解定義一：普通表達(dá)式多目的設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題，假設(shè)包括一切的J=1，2，m對(duì)于恣意的設(shè)計(jì)點(diǎn)xD都有 fj(x) fj(x*)成立，那么點(diǎn)x*是多目的優(yōu)化問(wèn)題的絕對(duì)最優(yōu)解。無(wú)約束一維多目的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題(維數(shù)n=

7、1，分目的m=2)x*為絕對(duì)最優(yōu)解得迭代點(diǎn)，絕對(duì)最優(yōu)解x*，F(xiàn)*約束一維多目的優(yōu)化設(shè)計(jì)解的情況。在可行域0，1中，絕對(duì)最優(yōu)解發(fā)生在x*=1處。存在絕對(duì)最優(yōu)解x*，F(xiàn)*n=2m=2約束多目的優(yōu)化設(shè)計(jì)解的情況，點(diǎn)x*為最優(yōu)點(diǎn)。2有效解非裂解與劣解定義二：對(duì)于普通表達(dá)式，假設(shè)有設(shè)計(jì)點(diǎn)xD，不存在恣意的xD，使F(x) F(x*)成立，或fj(x) fj(x*)，對(duì)于一切的j=1，2，m成立。那么稱(chēng)x*為有效解或非劣解。例7.1 一個(gè)二維分目的n=1，m=2的多目的優(yōu)化問(wèn)題為D：見(jiàn)右以下圖。取x=b，該點(diǎn)是有效解。由于在可行域D內(nèi)，任取另一點(diǎn)X，不存在F(x) F(b)，即f1(x) f1(b)，又同

8、時(shí)有f2(x) f2(b)。x=b點(diǎn)滿足有效解定義。同理，區(qū)間1，2中的恣意一點(diǎn)都滿足有效解定義。所以，區(qū)間1，2組成了有效解非劣解集。定義三：在可行域D內(nèi)，除絕對(duì)最優(yōu)解與有效解集以外，部分的設(shè)計(jì)點(diǎn)均稱(chēng)劣解點(diǎn)，劣解點(diǎn)的全部稱(chēng)為劣解集。例7.2一個(gè)二維分目的的多目的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。D：見(jiàn)右圖，在可行域0，4內(nèi)，區(qū)間1，3為有效解集；0，1，3，4為劣解集。例7.3二維n=2兩個(gè)分目的m=2優(yōu)化問(wèn)題。分目的函數(shù)為f1(x),f2(x)，可行域D目的函數(shù)等值線見(jiàn)右以下圖。該優(yōu)化問(wèn)題不存在絕對(duì)最優(yōu)解，可行域D邊境上一段曲線A1至A2為有效解集，在可行域的其他部分全部構(gòu)成劣解集。將其映射到目的函數(shù)構(gòu)成空間

9、圖(b)，曲線A1A2與Q1Q2對(duì)應(yīng)，一些目的函數(shù)值比較小的解集在曲線Q1Q2上，為有效集。3最終解選好解 從有效解中選出最終解或稱(chēng)選好解。如無(wú)某種要求，普通從有效解集A1A2曲線或Q1Q2曲線中任選一點(diǎn)，都可作為最終解；有時(shí)，設(shè)計(jì)者要根據(jù)設(shè)計(jì)問(wèn)題的不同要求與志愿，從中選出一個(gè)符合某種要求“稱(chēng)心的解作為最終解。7.3.3多目的優(yōu)化問(wèn)題的求解方法 多目的優(yōu)化求解方法大體分為兩大類(lèi)。 其一是將多目的優(yōu)化問(wèn)題化為一系列單目的優(yōu)化問(wèn)題求解；另一是將多目的優(yōu)化問(wèn)題重新構(gòu)呵斥一個(gè)新的函數(shù)，即評(píng)價(jià)函數(shù)，從而將多目的優(yōu)化求解轉(zhuǎn)變?yōu)榍笤u(píng)價(jià)目的函數(shù)的最優(yōu)解。一，寬容分層序列法 該方法的根本思想是將中的m個(gè)目的函數(shù)

10、按工程中某種意義分清主次，按重要程度逐一排隊(duì)，重要的目的函數(shù)排在前面，然后依次對(duì)分目的函數(shù)求各自的最優(yōu)解，只是最后一個(gè)目的函數(shù)求優(yōu)應(yīng)在前一個(gè)目的最優(yōu)解的集合域內(nèi)求優(yōu)。但由于分目的函數(shù)的最優(yōu)解經(jīng)常是獨(dú)一的，其最優(yōu)解域的集合只需一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)那么求下一個(gè)目的函數(shù)的最優(yōu)解就無(wú)意義了。 為了使分層序列法不是去在有效解中秋最終解選好解的功能，那么將各目的函數(shù)的最優(yōu)值給與放寬，使在后一個(gè)分目的函數(shù)求優(yōu)時(shí)，能在前一個(gè)最優(yōu)值附近的某一范圍內(nèi)求優(yōu)。詳細(xì)做法如下： 對(duì)普通表達(dá)式的多目的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，給各分目的函數(shù)最優(yōu)值的寬容量分別是 那么寬容分層序列法的步驟如下m求解得到最優(yōu)解上式也可寫(xiě)為求解得到最優(yōu)解i=1，2，m

11、-1取最后一個(gè)目的函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn) 作為多目的優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)點(diǎn)x*。即二，線形加權(quán)法 線形加權(quán)法又稱(chēng)線形組合法，它是處置多目的優(yōu)化問(wèn)題常用的較簡(jiǎn)單的一種方法。 按各分函數(shù)的重要程度，對(duì)應(yīng)的選擇一組加權(quán)系數(shù)1，2，m。其界限為j=1，2，m用fj(x)與j(x)j=1，2，m的線形組合構(gòu)成一個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)求新的評(píng)價(jià)函數(shù)最優(yōu)解，即gu(x) 0 hv(x)=0 D：x*即將普通式的單多目的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求上式的單目的優(yōu)化問(wèn)題 關(guān)于確定一組合理的加權(quán)系數(shù)jj=1，2，m，希望能準(zhǔn)確的反映各目的函數(shù)在整個(gè)多目的優(yōu)化問(wèn)題中的重要程度，它是一個(gè)困難且較復(fù)雜的問(wèn)題，假設(shè)獲得合理，那么可以到達(dá)預(yù)期優(yōu)化的目的，否那么有

12、能夠呵斥計(jì)算錯(cuò)誤而失敗。目前，確定加權(quán)系數(shù)有的是設(shè)計(jì)者評(píng)設(shè)計(jì)閱歷直接給定，也有用試算統(tǒng)計(jì)計(jì)算。j=1，2，m 其中， j=1，2，m即分目的在可行域內(nèi)的最優(yōu)目的函數(shù)值。式中的 反映了各分目的函數(shù)分開(kāi)各自最優(yōu)值得程度。三，理想點(diǎn)法 多目的優(yōu)化問(wèn)題的普通式中，先求出各分目的函數(shù)在可行域D內(nèi)的最優(yōu)解 j=1，2，m最有函數(shù)值向量 上式稱(chēng)為理想解。 假設(shè)在本問(wèn)題不存在絕對(duì)最優(yōu)解的情況下，對(duì)于向量目標(biāo)函數(shù) 來(lái)說(shuō)理想解似得不到的；但要力求使各分目的僅能夠接近各自的理想值，那么可以以為到達(dá)有效解中的選好解。 在實(shí)踐的設(shè)計(jì)中，也經(jīng)常按照設(shè)計(jì)者的閱歷與期望制定出一個(gè)合理的各分目的函數(shù)值構(gòu)成理想解將 與 在寫(xiě)法上

13、一致為 ，在構(gòu)造設(shè)計(jì)方案與理想解之間的離差函數(shù)U(x),U(x)函數(shù)可取以下方式相對(duì)離差加權(quán)相對(duì)離差平方和加權(quán)離差絕對(duì)值離差將式 中的多目的函數(shù)構(gòu)造出以上幾式的單目的函數(shù)作為評(píng)價(jià)函數(shù)，用評(píng)價(jià)目的函數(shù)的解作為原多目的優(yōu)化問(wèn)題的最終解。其表達(dá)式為gu(x) 0hv(x)=0 D：四，乘除法 該方法適于處置下面問(wèn)題。按分目的函數(shù)的性質(zhì)可分為兩類(lèi)，兩類(lèi)的期望相反。其中的一類(lèi)是表現(xiàn)目的函數(shù)值越小越好，如追求體重輕，構(gòu)造緊湊，原資料耗費(fèi)少，加工本錢(qián)和加工費(fèi)低，磨損量和應(yīng)力小等；另外一類(lèi)表現(xiàn)為目標(biāo)函數(shù)值越大越好，如產(chǎn)品產(chǎn)量，機(jī)械效率，零件強(qiáng)度及剛度，利潤(rùn)，承載才干等。建議如下構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)：其中，s(sm)為

14、第一類(lèi)函數(shù)，(分目的函數(shù)期望取小)假設(shè)有兩個(gè)分目的函數(shù)f1(x),f2(x)期望maxf1(x),minf2(x)。如以下圖所示過(guò)域Df內(nèi)的任一經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o的直線oA，它的斜率為當(dāng) 時(shí)，即直線oA移到與域Df邊境的左方相切，切點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 即為乘除法求得的選好解五，協(xié)調(diào)曲線法 這種方法是用來(lái)處理設(shè)計(jì)目的相互矛盾的多目的設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題，為求最終解須對(duì)普通式個(gè)分目的函數(shù)加以協(xié)調(diào)，以求在有效解集中求出選好解，作為多目的優(yōu)化問(wèn)題的最終解。 現(xiàn)以?xún)蓚€(gè)分目的函數(shù)組成的多目的優(yōu)化問(wèn)題為例。兩分目的的最優(yōu)點(diǎn)分別在A1及A2，它們的分目的函數(shù)值為A1點(diǎn)A2點(diǎn)在可行域D內(nèi)任取一點(diǎn)B，其分目的函數(shù)值為當(dāng)固定

15、 ，極小化f1(x)的可行域邊境點(diǎn)C，C點(diǎn)的分目的函數(shù)值為當(dāng)固定 ，極小化f2(x)的可行域邊境點(diǎn)C，C點(diǎn)的分目的函數(shù)值為 可見(jiàn)，C，D兩點(diǎn)都優(yōu)于B點(diǎn)，在CD曲線上任選一點(diǎn)代表的方案至少有一個(gè)目的函數(shù)值的到改善，所以CD曲線上任一點(diǎn)都優(yōu)于B點(diǎn)。曲線A1CDA2代表著有效解的解集，故稱(chēng)此曲線為協(xié)調(diào)曲線。選好解最終解應(yīng)從協(xié)調(diào)曲線上選取。 為從協(xié)調(diào)曲線上確定選好解，再以f1(x),f2(x)為坐標(biāo)建立一個(gè)新的坐標(biāo)系，見(jiàn)前面圖2。將圖1的協(xié)調(diào)曲線轉(zhuǎn)換到新的坐標(biāo)系中，對(duì)應(yīng)關(guān)系為A1-Q1，C-G，D-H，A2-Q2，那么將A1CDA2曲線轉(zhuǎn)換到2圖中的Q1GHQ2曲線。 為在協(xié)調(diào)曲線上確定一個(gè)選好解，普

16、通需另外一項(xiàng)目的，為此在2圖中畫(huà)出稱(chēng)心曲線，隨著稱(chēng)心程度的添加可使分目標(biāo)函數(shù)值均有所下降，直到o點(diǎn)，此點(diǎn)是從協(xié)調(diào)曲線上得出的最稱(chēng)心設(shè)計(jì)方案。分目的函數(shù)值為 如何確定稱(chēng)心函數(shù)或稱(chēng)心曲線，要按工程實(shí)踐情況，很多時(shí)候是依設(shè)計(jì)者的實(shí)際閱歷而設(shè)置；也可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)而定。必要時(shí)對(duì)分目的函數(shù)實(shí)行線形加權(quán)。 協(xié)調(diào)曲線法適宜分目的追求出現(xiàn)矛盾情況。要在有效解集中找出最稱(chēng)心的設(shè)計(jì)方案。在優(yōu)化過(guò)程中，有時(shí)為了某個(gè)具有較差值的分目的也能到達(dá)較為理想，那么要增大其他分目的函數(shù)值為代價(jià)，其主要思想是對(duì)各分目的函數(shù)進(jìn)展協(xié)調(diào)，互相之間做出退讓?zhuān)罱K獲得一個(gè)工程實(shí)踐能認(rèn)可的稱(chēng)心方案。 對(duì)于兩個(gè)以上的分目的的多目的優(yōu)化問(wèn)題，所

17、畫(huà)的協(xié)調(diào)曲線就變成多維籠統(tǒng)空間的超曲面，不能夠用圖形來(lái)表示，那么只能按數(shù)學(xué)模型由計(jì)算機(jī)自動(dòng)處置。7.4關(guān)于離散變量的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題7.4.1離散變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的根本概念7.4.2離散變量?jī)?yōu)化方法簡(jiǎn)介湊整法網(wǎng)格法離散復(fù)合型法離散型懲罰函數(shù)法7.5優(yōu)化方法的選擇及評(píng)價(jià)準(zhǔn)那么7.5.1選擇優(yōu)化方法需思索的問(wèn)題 對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，在建立了數(shù)學(xué)模型之后，就要選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆椒?，?lái)進(jìn)展最優(yōu)解得求解。目前，普通的做法是由設(shè)計(jì)者根據(jù)實(shí)踐優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的特點(diǎn)，在對(duì)各種優(yōu)化方法按評(píng)價(jià)準(zhǔn)那么所作的優(yōu)缺陷引見(jiàn)，結(jié)合已有的一些閱歷來(lái)適當(dāng)?shù)倪x取算法。 根據(jù)優(yōu)化問(wèn)題的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)倪x擇優(yōu)化方法是一個(gè)很重要的問(wèn)題。下面就優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模

18、型方面要思索的一些要素分述如下：數(shù)學(xué)模型的類(lèi)型 包括以下幾個(gè)方面：是有約束還是無(wú)約束，如有約束是等式約束還是不等式約束或是兩者兼有；設(shè)計(jì)變量是延續(xù)的還是離散的或者是混合的；目的函數(shù)和約束函數(shù)是線形的還是非線性的，即屬于現(xiàn)行規(guī)劃問(wèn)題還是非線性規(guī)劃問(wèn)題。優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題規(guī)模的大小 主要指設(shè)計(jì)變量的多少和約束條件的多少。目的函數(shù)和約束函數(shù)能否延續(xù)和有凸性，能否存在一階和二階導(dǎo)數(shù)等。7.5.2優(yōu)化方法的評(píng)價(jià)準(zhǔn)那么 為了比較不同算法的特性以及相應(yīng)軟件的技術(shù)程度，就的要一個(gè)合理的評(píng)價(jià)準(zhǔn)那么來(lái)加以衡量。下面簡(jiǎn)述幾個(gè)主要的評(píng)價(jià)準(zhǔn)那么。1，可靠性 算法的可靠性是指在合理的精度要求下，在一定的計(jì)算時(shí)間或一定的迭代次數(shù)內(nèi)求出最優(yōu)解得勝利率。它表征了算法對(duì)各種優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的解題才干。可以解出的問(wèn)題越多，可靠性就