空間點模式方法和分析技術

1、空間點模式方法和分析技術研究生課程提綱4.1 空間點模式的概念與空間分析技術4.2 基于密度的方法樣方計數(shù)法與核函數(shù)法4.3 基于距離的方法4.4 G函數(shù)與F函數(shù)4.5 K函數(shù)與L函數(shù)4.6 K函數(shù)的擴展二元模式與空間-時間模式4.1 空間點模式的概念與空間分析技術 空間點模式的概念在地圖上，居民點、商店、旅游景點、流行病、犯罪現(xiàn)場等都表現(xiàn)為點的特征，有些是具體的地理實體對象，有些則是曾經(jīng)發(fā)生的事件的地點。離散地理對象或事件(點)的空間分布模式對于城市規(guī)劃、服務設施布局、商業(yè)選址、流行病的控制等具有重要的作用。根據(jù)地理實體或事件的空間位置研究其分布模式的方法稱為空間點模式，這是一類重要的空間分

2、析方法?？臻g點模式的概念點模式是研究區(qū)域R 內的一系列點S1 = (X1, Y1), S2 = (X2, Y2), , Sn = (xn , yn)的組合，其中Si是第i個觀測事件的空間位置。研究區(qū)域R 的形狀可以是矩形，也可以是復雜的多邊形區(qū)域。圖4.1 是點在研究區(qū)域中的各種分布模式?？臻g點模式的概念在研究區(qū)域中，雖然點在空間上的分布千變萬化，但是不會超出從均勻到集中的模式。因此一般將點模式區(qū)分為3 種基本類型：聚集分布隨機分布均勻分布對于區(qū)域內分布的點集對象或事件，分布模式的基本問題是：這些對象或事件的分布是隨機的、均勻的，還是聚集的？研究分布的模式對于探索導致這一分布模式形成的原因非常

3、重要。如果這些點對象存在類型之分，或者隨時間產生變化，那么還需要深入研究的問題是一類點對象的分布模式是否依賴于另外一類點對象的分布模式，或者前期的點模式是否對后期的點模式產生影響。空間點模式的概念從統(tǒng)計學的角度，地理現(xiàn)象或事件出現(xiàn)在空間任意位置都是有可能的。如果沒有某種力量或者機制來“安排”事件的出現(xiàn)，那么分布模式可能是隨機分布的，否則將以規(guī)則或者聚集的模式出現(xiàn)。若點模式為規(guī)則或聚集模式，則說明地理世界中的事物可能存在某種聯(lián)系。一種現(xiàn)象的分布模式是否對另一種現(xiàn)象的分布模式產生影響也是點模式需要解決的重要問題。點模式空間分析方法空間點模式的研究一般是基于所有觀測點事件在地圖上的分布，也可以是樣本

4、點的模式。由于點模式關心的是空間點分布的聚集性和分散性問題，所以形成了兩類點模式的分析方法：第一類是以聚集性為基礎的基于密度的方法，它用點的密度或頻率分布的各種特征研究點分布的空間模式；第二類是以分散性為基礎的基于距離的技術，它通過測度最近鄰點的距離分析占的空間分布模式。第一類分析方法主要有樣方計數(shù)法和核函數(shù)方法兩種；第二類方法主要有最近鄰距離法，包括最近鄰指數(shù)(NNI)、G-函數(shù)、F- 函數(shù)、K-函數(shù)方法等。點模式空間分析方法對點模式的空間分析，應注意空間依賴性對分布模式真實特征的影響?？臻g依賴性所產生的空間效應可能是大尺度的趨勢，也可能是局部效應。大尺度趨勢稱為一階效應，它描述某個參數(shù)均值

5、的總體變化性；局部效應也稱為二階效應，它是由空間依賴性所產生的，表達的是近鄰的值相互趨同的傾向，通過其對于均值的偏差計算獲得。點模式空間分析方法一階效應一般用點過程密度(S)描述，指在點S處單位面積內事件的平均數(shù)目(P. J. Diggle, 1983) 。用數(shù)學極限公式可定義為： ds是指在點S周圍一個足夠小的鄰域；E表示數(shù)學期望；Y(ds) 是ds內事件的數(shù)目。點模式空間分析方法點模式的一階效應有兩種分析方法：樣方計數(shù)法核密度方法樣方計數(shù)法首先將研究區(qū)域劃分為面積相等的子區(qū)域，即樣方，并根據(jù)每一個樣方中的事件數(shù)量來計算和概括統(tǒng)計量，然后將計數(shù)值除樣方的面積得到點分布的密度。樣方計數(shù)方法給出

6、的是空間點的密度變化，缺點是將信息聚集到面積單元中，引起信息的損失。核密度估計是使用原始的點位置產生光滑的密度直方圖的方法。點模式空間分析方法二階效應通過研究區(qū)域中兩個足夠小的子區(qū)域內事件數(shù)目之間的相互關系來描述。用數(shù)學極限公式可表示為 dsi和dsj分別表示si和sj周圍足夠小的鄰；E表示數(shù)學期望; Y(dsi)、Y(dsj)分別指dsi和dsj兩個小區(qū)域內的事件個數(shù)。點模式空間分析方法點模式的二階性質通過點之間的距離進行研究，如最近鄰距離。最近鄰距離的估計有兩種技術，即隨機選擇的事件與其最近鄰之間的距離，或隨機選擇的空間上的位置與最近鄰的事件之間的距離?？臻g依賴性可通過可視的方式檢查近鄰事

7、件距離的概率分布。聚集事件通常在低值端表現(xiàn)出陡峭的部分，而規(guī)則分布則在高值區(qū)域具有陡峭的曲線形式。K-函數(shù)允許考慮的不僅是最近鄰的事件，還依賴于過程是各向同性的基本假設。點模式的可視化與探索性分析表示空間點模式的最常用的方法是點狀地圖?？臻g點模式的探索性空間數(shù)據(jù)分析的目的在于導出概括的統(tǒng)計量或畫出觀測分布以研究特定的假設，所使用的檢測方法是一階或二階效應。完全隨機模式與點模式建?？臻g點模式分析技術的目的是解釋觀測的點模式，分析過程包括：基于一階或二階性質的計算分析建立完全隨機模式（CSR）比較或顯著性檢驗CSR是建模中的一個關鍵過程，用來檢驗過程是否是CSR的方法有很多，包括2 檢驗、K-S檢

8、驗，以及蒙特卡羅檢驗等方法。 基于密度的方法 樣方計數(shù)法與核函數(shù)法基于密度的方法樣方計數(shù)法1. 樣方分析的思想樣方分析（Quadrat analysis, QA）是研究空間點模式的最常用的直觀方法?；舅枷胧峭ㄟ^點分布密度的變化來探索空間分布模式：一般用隨機分布模式作為理論上的標準分布；將QA計算的點密度和理論分布作比較，判斷點模式屬于聚集分布、均勻分布，還是隨機分布。QA的計算過程：首先，將研究的區(qū)域劃分為規(guī)則的正方形網(wǎng)格區(qū)域。其次，統(tǒng)計落入每一個網(wǎng)格中點的數(shù)量。由于點在空間上分布的疏密性，有的網(wǎng)格中點的數(shù)量多，有的網(wǎng)格中點的數(shù)量少，還有的網(wǎng)格中點的數(shù)量為零。再次，統(tǒng)計出包含不同數(shù)量的點的網(wǎng)

9、格數(shù)量的頻率分布。最后，將觀測得到的頻率分布和已知的頻率分布或理論上的隨機分布（如泊松分布）作比較，判斷點模式的類型?；诿芏鹊姆椒臃接嫈?shù)法2. 樣方分析的方法QA中對分布模式的判別產生影響的因素有：樣方的形狀，采樣的方式，樣方的起點、方向、大小等，這些因素會影響到點的觀測頻次和分布。QA分析中樣方的形狀一般采用正方形的網(wǎng)格覆蓋，但也可定義其它樣方形狀，如圓形、正六邊形等。不管采用何種形狀的樣方，形狀和大小必須一致，以避免在空間上的采樣不均勻。由于QA估計的點密度隨著空間而變化，保持采樣間隔的一致性非常重要。除規(guī)則網(wǎng)格外，采用固定尺寸的隨機網(wǎng)格也能夠得到同樣的效果?；诿芏鹊姆椒臃接嫈?shù)法基

10、于密度的方法樣方計數(shù)法樣方方法分析空間點模式時，樣方的尺寸選擇對計算結果會產生很大的影響。根據(jù)Greig-Smith于1962年的試驗以及Tylor和Griffith、Amrhein的研究，最優(yōu)的樣方尺寸可根據(jù)區(qū)域的面積和分布于其中的點的數(shù)量確定： 其中Q是樣方的尺寸(面積)；A為研究區(qū)域的面積；n是研究區(qū)域中點的數(shù)量。這就是說最優(yōu)樣方的邊長取 。基于密度的方法樣方計數(shù)法當樣方的尺寸確定后，利用這一尺寸建立樣方網(wǎng)格覆蓋研究區(qū)域，統(tǒng)計落入每一個樣方中的點的數(shù)量，統(tǒng)計包含0，1，2，3，, 個點的樣方的數(shù)量，建立其頻率分布。根據(jù)觀測得到的頻率分布和已知點模式的頻率分布的比較，判斷點分布的空間模式。

11、觀測的頻率分布與己知頻率分布之間差異的顯著性是推斷空間模式的基礎，通常采用Kolmogorov-Simirnov檢驗(簡寫為K-S檢驗)?；诿芏鹊姆椒臃接嫈?shù)法如用80個樣方計算美國俄亥俄州的164個城市的分布模式。城市作為點實體?；诿芏鹊姆椒臃接嫈?shù)法QA計算的各種模式下不同數(shù)量城市的樣方的頻率分布基于密度的方法樣方計數(shù)法3. 樣方分析中點模式的顯著性檢驗常用的檢驗方法包括：根據(jù)頻率分布比較的K-S檢驗，根據(jù)方差均值比的2 檢驗。1) K-S檢驗K-S檢驗的基本原理是通過比較觀測頻率分布和某一“標準”的頻率分布，確定觀測分布模式的顯著性。首先假設兩個頻率分布十分相似。如果兩個頻率分布的差

12、異非常小，那么這種差異的出現(xiàn)存在偶然性；而如果差異大，偶然發(fā)生的可能性就小?；诿芏鹊姆椒臃接嫈?shù)法(1)假設兩個頻率分布之間不存在顯著性的差異。(2)給定一個顯著性水平，例如100次試驗中只有5次出現(xiàn)的機會，則。(3)計算兩個頻率分布的累積頻率分布。(4)計算K-S 檢驗的D統(tǒng)計量，即(5)計算作為比較基礎的門限值，即如果是兩個樣本模式比較，則(6)如果計算得出的D值大于這一閾值，可得出兩個分布的差異在統(tǒng)計意義上是顯著的。檢驗的基本過程如下：基于密度的方法樣方計數(shù)法在排除了均勻分布模式的基礎上，還需要進一步分析模式是否來自于隨機過程產生的點模式。隨機分布的點模式通過泊松過程產生。泊松分布的數(shù)

13、學公式是:泊松分布的含義為，當事件x取值k時的概率分布。在樣方分析中含義為，當研究區(qū)域中有n個隨機分布的點時，恰好有1，2, , k, ，n個點落入一個樣方中的概率。=n/m，指平均每個樣方中包含的點的數(shù)量。基于密度的方法樣方計數(shù)法為簡化泊松分布的概率計算，先給出x=0時的概率，然后給出概率計算的遞推表達式：到x=k時的遞推公式:基于密度的方法樣方計數(shù)法2) 方差均值比的X2檢驗在比較一個空間點模式是否與隨機分布模式相似時，除了使用K-S檢驗外，還可以根據(jù)泊松方程的參數(shù)進行比較。泊松分布的一個重要特性是：均值=方差=。這就啟示我們可以使用均值和方差的比值作為點模式是否相似于隨機分布的判斷準則。

14、定義方差均值比為 ，這里 ，如果空間點模式接近于：泊松分布，則R1。基于密度的方法樣方計數(shù)法2) 方差均值比的X2檢驗為了通過R推斷點模式是否來自于泊松過程，首先假設m個樣方中分別有(n1,n2,nm)個事件的計數(shù)，然后用均值和方差比定義一個檢驗統(tǒng)計量I(也稱分散性指數(shù))：對于CSR，I服從X2m-1分布，根據(jù)樣方計數(shù)可以方便地計算I，然后將I和顯著性水平為的值進行比較，推斷點模式是否來自于CSR。如果I顯著地大于X2m-1，表示聚集分布；如果I顯著地小于X2m-1，表示均勻分布?；诿芏鹊姆椒臃接嫈?shù)法2) 方差均值比的X2檢驗還可以利用方差均值比定義一個聚集性指數(shù)ICS (index of

15、 cluster size)判斷點模式的類型。ICS定義為：在CSR中，ICS的期望E(ICS)0；如果E(ICS)0，表示聚集分布模式；如果E(ICS)0，為帶寬；(x-Xi)表示估值點x到事件Xi處的距離?；诿芏鹊姆椒ê撕瘮?shù)影響KDE的主要因素是k( )函數(shù)的數(shù)學形式和帶寬 。Scott等1992年的統(tǒng)計試驗研究表明，當帶寬確定后，不同的核函數(shù)對密度估計的影響很小。在實際工作中，只需要選擇滿足一定條件的核函數(shù)即可。實踐中常用的核函數(shù)主要為四次多項式函數(shù)和正態(tài)函數(shù)（圖），分別為四次多項式函數(shù)：正態(tài)函數(shù)：是核函數(shù)的帶寬；dij是點i至點j之間的距離。1. 核密度的概念與方法基于密度的方法核函

16、數(shù)圖4.6 兩種常用的核函數(shù)基于密度的方法核函數(shù)根據(jù)上述討論，不難發(fā)現(xiàn)：(1)核函數(shù)k( )的值在di j=0時最大，隨著距離dij的增加，k( )值減小。(2)點s處的密度估計值是已知事件對于該點的綜合影響。距離大的事件影響小；距離近的事件影響大。(3) 核函數(shù)中的帶寬 確定了事件的影響范圍。1. 核密度的概念與方法基于密度的方法核函數(shù)2. 關于KDE 中的帶寬KDE估計中，帶寬的確定或選擇對于計算結果影響很大， 對 敏感。一般而言，隨著 的增加，空間上點密度的變化更為光滑；當減小時，估計點密度變化突兀不平?；诿芏鹊姆椒ê撕瘮?shù)下圖清楚地展示了不同的帶寬選擇對于點密度分布的影響：基于密度的方

17、法核函數(shù)那么應當如何選擇呢？在具體的應用實踐中，的取值是有彈性的，需要根據(jù)不同的值進行試驗，探索估計的點密度曲面 的光滑程度，以檢驗的尺度變化對于 的 影響。值還可以自動確定。當給定事件位置的觀測模式時，這一方法能夠在估計的可靠性和保持空間詳細程度兩個方面達到最佳平衡(Diggle，1983) 。很關鍵基于密度的方法核函數(shù)KDE中的帶寬的自適應確定前面所考慮的帶寬在研究區(qū)域R中是不變的。為了改善估計的效果，還可以根據(jù)R中點的位置調整帶寬的值，這種值的局部調節(jié)是自適應的。自適應方法，就是根據(jù)點的密集程度自動調節(jié)值的大小。在事件密集的子區(qū)域區(qū)，具有更加詳細的密度變化信息，值應小一點；在事件稀疏的子

18、區(qū)域，值應大一些。自適應的KDE可表達為下面的形式：式中，(si)是si鄰域中事件數(shù)量的函數(shù)?；诿芏鹊姆椒ê撕瘮?shù)3. KDE 中的邊緣效應在KDE中，需要密切注意的是靠近研究區(qū)域R邊界的地地方會產生扭曲核估計的邊緣效應，因為在靠近邊界的地方，可能位于邊界外的事件對于密度估計的貢獻被割斷了。避免這一問題的方法是在區(qū)域R的周界上建立一個警戒區(qū)。Kernel估計只計算區(qū)域R不落在警戒區(qū)內的點，但在警戒區(qū)內的事件要參與不在警戒區(qū)內的點的Kernel估計。基于密度的方法核函數(shù)另外，還可以用具有邊緣校正的核估計方法?；诿芏鹊姆椒ê撕瘮?shù)4. 應用實例對于具有一階密度或平穩(wěn)性的分布模式，KDE是有效的且實

19、用的檢驗方法，并且能夠消除樣方計數(shù)法中由于樣方的尺寸和形狀等對局部密度的影響。KDE估計是測度局部密度變化、探索事件分布熱點區(qū)域(hot spot)的有效技術。自Rosenblatt和Parsen分別于1956年和1962年提出核密度估計方法以來，這一方法得到了廣泛應用。下面的實例是KDE方法在熱帶氣旋源地分析中的應用?；诿芏鹊姆椒ê撕瘮?shù)19492002年臺風源地分布的核密度估計樣方計數(shù)法得到的臺風源地年分布4.3 基于距離的方法基于距離的方法1. 最鄰近距離法最鄰近距離法（也稱為最鄰近指數(shù)法）使用最鄰近的點對之間的距離描述分布模式，形式上相當于密度的倒數(shù)（每個點代表的面積），表示點間距，可

20、以看作是與點密度相反的概念。最鄰近距離法首先計算最鄰近的點對之間的平均距離，然后比較觀測模式和已知模式之間的相似性。一般將隨機模式作為比較的標準，如果觀測模式的最鄰近距離大于隨機分布的最鄰近距離，則觀測模式趨向于均勻，如果觀測模式的最鄰近距離小于隨機分布模式的最鄰近距離，則趨向于聚集分布。基于距離的方法1.1 最鄰近距離最鄰近距離是指任意一個點到其最鄰近的點之間的距離。利用歐氏距離公式，可容易地得到研究區(qū)域中每個事件的最鄰近點及其距離，將事件點si的最鄰近距離記為 。圖中分布有12個點，每一個點都有一個最鄰近點，例如編號為1的點的最鄰近點是2，最鄰近距離為。基于距離的方法點對之間的最鄰近距離不

21、是相互的，即j點是第i個點的最鄰近點，但i不一定是j的最鄰近點。在點分布模式中必定存在很多的點，其最鄰近點具有相互的最鄰近性。根據(jù)Cox于1981年的研究，在CSR模式中超過60%的最鄰近是相互的鄰近?；诰嚯x的方法2. 最鄰近指數(shù)測度方法為了使用最鄰近距離測度空間點模式，1954年Clark和Evans提出了最鄰近指數(shù)法(NNI)。NNI方法:首先對研究區(qū)內的任意一點都計算最鄰近距離；然后取這些最鄰近距離的均值作為評價模式分布的指標。對于同一組數(shù)據(jù)，在不同的分布模式下得到的NNI是不同的，根據(jù)觀測模式的NNI計算結果與CSR模式的NNI比較，就可判斷分布模式的類型。在聚集模式中，由于點在空間

22、上多聚集于某些區(qū)域，因此點之間的距離小，計算得到的NNI應當小于CSR的NNI；而均勻分布模式下，點之間的距離比較平均，因此平均的最鄰近距離大，且大于CSR下的NNI。因此通過最鄰近距離的計算和比較就可以評價和判斷分布模式。基于距離的方法2. 最鄰近指數(shù)測度方法NNI 的一般計算過程如下:(1)計算任意一點到其最鄰近點的距離(dmin)。(2) 對所有的dmin按照模式中點的數(shù)量n，求平均距離，即dmin表示每一個事件到其最鄰近的距離；si為研究區(qū)域中的事件；n是事件的數(shù)量。(3) 在CSR模式中同樣可以得到平均的最鄰近距離，其期望為E(dmin)，于是定義最鄰近指數(shù)R為 或基于距離的方法 根

23、據(jù)觀測模式和CSR模式的最鄰近距離或最鄰近指數(shù)，可以對觀測模式進行推斷，依據(jù)如下:(1)如果robs=rexp ,或者R=l，說明觀測事件過程來自于完全隨機模式CSR ，屬于隨機分布。(2) 如果robsrexp ,或者Rrexp ,或R1，同樣說明事件的過程不是來自于CSR，由于點之間的最鄰近距離大于CSR過程的最鄰近距離，事件模式中的空間點是相互排斥地趨向于均勻分布?；诰嚯x的方法3. 顯著性檢驗檢驗最鄰近指數(shù)顯著性的一種方法是首先計算觀測的平均最鄰近距離和CSR的期望平均距離的差異 ，并用這一差異和其標準差： 作比較。標準差描述了差異完全是偶然發(fā)生的可能性。如果計算的差異與其標準差比較相

24、對較小，那么這種差異在統(tǒng)計上不顯著，即點模式屬于CSR；如果計算的差異與其標準差比較相對較大，那么差異在統(tǒng)計上是顯著的，即點模式不屬于CSR 。理論上得到的標準差SEr 為基于距離的方法 4. 實例研究基于距離的方法 4. 實例研究上圖為烏干達的火山彈坑分布。根據(jù)點的空間位置，得到平均最鄰近距離為對應的CSR模式下的最鄰近距離為計算最鄰近指數(shù)為由于R大于1，因此火山彈坑的分布屬于均勻分布類型。4.4 G函數(shù)與F函數(shù)G函數(shù)與F函數(shù)NNI通過距離概念揭示了分布模式的特征，但是只用一個距離的平均值概括所有鄰近距離是有問題的。在點的空間分布中，簡單的平均最鄰近距離概念忽略了最鄰近距離的分布信息在揭示模

25、式特征中的作用。G函數(shù)和F函數(shù)就是用最鄰近距離的分布特征揭示空間點模式的方法。這兩個函數(shù)是一階鄰近分析方法，這兩個函數(shù)是關于最鄰近距離分布的函數(shù)。G函數(shù)G函數(shù) G函數(shù)記為G(d)，其使用所有的最鄰近事件的距離構造出一個最鄰近距離的累積頻率函數(shù)： 式中，si是研究區(qū)域中的一個事件；n是事件的數(shù)量；d是距離； #(dmin(si)d)表示距離小于d的最鄰近點的計數(shù)。G函數(shù)G函數(shù) 計算G(d)的一般過程如下： (1) 計算任意一點到其最鄰近點的距離(dmin); (2) 將所有的最鄰近距離列表，并按照大小排序； (3) 計算最近鄰距離的變程R和組距D，其R=max(dmin)-min(dmin);

26、(4) 根據(jù)組距上限值，累積計數(shù)點的數(shù)量，并計算累積頻率數(shù)G(d); (5) 畫出G(d)關于d的曲線圖。G函數(shù)用G函數(shù)分析空間點模式依據(jù)是G(d)曲線的形狀。如果點事件的空間分布趨向聚集，具有較小的最鄰近距離的點的數(shù)量就多，那么G函數(shù)會在較短的距離內快速上升；如果點模式中事件趨向均勻分布，具有較大的最鄰近距離的點的數(shù)量多，那么G函數(shù)值的增加就比較緩慢。即如果G(d)在短距離內迅速增長，表明點空間分布屬于聚集模式；如果G（d）先緩慢增長后迅速增長，表明點的空間分布屬于均勻模式。G函數(shù)F函數(shù)F函數(shù). F函數(shù)是一種使用最鄰近距離的累積頻率分布描述空間點模式類型的一階鄰近測度方法，記為F(d)。.

27、F函數(shù)首先在被研究的區(qū)域中產生一新的隨機點集P(p1,p2,pi)，其中pi是第i個隨機點的位置。然后計算隨機點到事件點S之間的最鄰近距離，再沿用G函數(shù)的思想，計算不同最鄰近距離上的累積點數(shù)和累積頻率。其計算公式可表示為： 式中，dmin(pi,S)表示從隨機選擇的pi點到事件點S的最鄰近距離，即計算任意一個隨機點到其最鄰近的事件點的距離。F函數(shù)G函數(shù)與F函數(shù)的差別G函數(shù)主要通過事件之間的接近性描述分布模式，而F函數(shù)則主要通過選擇的隨機點和事件之間的分散程度來描述分布模式。F函數(shù)曲線和G函數(shù)曲線呈相反的關系。在F函數(shù)中，若F函數(shù)曲線緩慢增加到最大表明是聚集模式，若F函數(shù)快速增加到最大則表明是均

28、勻分布模式。F函數(shù)3. G函數(shù)和F函數(shù)的統(tǒng)計推斷 CSR過程中的G和F研究表明，對于遵循完全隨機過程的泊松點過程，在最鄰 近距離變化范圍內的某個距離d內，點的數(shù)量均值等于 ，在最鄰近距離小于等于d時的累積概率分布為：根據(jù)觀測模式的函數(shù)曲線與CSR過程的函數(shù)曲線比較，得到： (1) 當G(d)CSR(G(d)或F(d)CSR(F(d)時，聚集分布； (2) 當G(d)CSR(F(d)時，均勻分布。F函數(shù)F函數(shù)（1）當G-F曲線位于對角線的上方時，點模式是聚集分布。（2）當G-F曲線位于對角線的下方時，點模式是均勻分布。（3）當G-F曲線位于接近于對角線時，點模式是隨機分布。F函數(shù)3. 2 顯著性

29、檢驗的隨機模擬方法CSR下的G函數(shù)和F函數(shù)給出了點模式的判據(jù)，其顯著性需要通過檢驗來推斷。G函數(shù)和F函數(shù)的顯著性檢驗一般使用蒙特卡羅隨機模擬方法。首先在研究區(qū)域R上利用蒙特卡羅隨機模擬的方法產生m次的CSR點模式，并估計理論分布，即 式中， (i1,2,m)是在R區(qū)域上模擬的n個CSR事件的m次獨立隨機模擬，且沒有經(jīng)過邊緣校正的經(jīng)驗分布函數(shù)的估計。F函數(shù)3.2 顯著性檢驗的隨機模擬方法為了評價觀測模式和CSR模式差異的顯著性，需要計算m次隨機模擬中分布函數(shù)G的上界U(d)和下界L(d)：計算得到的模擬m次CSR經(jīng)驗分布函數(shù)的上界和下界提供了與CSR差異顯著性的方法，得到的概率公式為若G(d)函

30、數(shù)曲線位于U(d)的上方，則可推斷觀測模式顯著聚集；若G(d)函數(shù)曲線位于L(d)曲線的下方，則可推斷觀測模式為顯著均勻；如果G(d)函數(shù)位于U(d)和L(d)曲線之間，可推斷觀測模式與CSR無顯著差別。F函數(shù)4.5 K函數(shù)與L函數(shù)K函數(shù)與L函數(shù)一階測度的最鄰近方法僅使用了最鄰近距離測度點模式，只考慮了空間點在最短尺度上的關系。實際的地理事件可能存在多種不同尺度的作用，為了在更加寬泛的尺度上研究地理事件空間依賴性與尺度的關系，Ripley提出了基于二階性質的K函數(shù)方法，隨后，Besage又將K函數(shù)變換為L函數(shù)。K函數(shù)和L函數(shù)是描述在各向同性或均質條件下點過程空間結構的良好指標。 K函數(shù)1. 定

31、義與K函數(shù)估計點Si的近鄰是距離小于等于給定距離d的所有的點，即表示以點Si為中心，d為半徑的圓域內點的數(shù)量。近鄰點的數(shù)量的數(shù)學期望記為E(#SC(Si,d)，有 E(#SC(si,d)表示以si為中心，距離為d的范圍內事件數(shù)量的期望。 于是，K函數(shù)定義為 或者 顯然，K(d)就是以任意點為中心，半徑為d的圓域內點的數(shù)量。因此K(d)定義為任意點為中心，半徑d范圍內點的數(shù)量的期望除以點密度。K函數(shù)K函數(shù)的估計K(d)的估計記為 ，則有：用 代替 (a是研究區(qū)域的面積，n是研究區(qū)域內點的數(shù)量) 則有 或K函數(shù) 一般計算過程主要分為以下兩步：1) 對于每一個事件都計算 ：a. 對每一個事件設置一個

32、半徑為d的圓；b. 計數(shù)d距離內點的數(shù)量；c. 將所有事件d距離的點的數(shù)量求和，然后用n乘以密度除以面積。2) 對任意的距離d重復執(zhí)行上述過程，例如1,2,3個單位距離等，為了便于算法設計，上面的估計還可以寫成下述形式：式中，K函數(shù)K函數(shù)的邊緣效應與校正在K函數(shù)的計算過程中同樣存在邊緣效應問題。當dij超出研究區(qū)域的范圍時，需要對其進行校正以消除邊緣效應，常采用下列形式： 式中，wij是校正因子。K函數(shù)2. K函數(shù)的點模式判別準則在均質條件下，如果點過程是相互獨立的CSR，則對于所有的，有 ,且有 于是比較 和 就能建立判別空間點模式的準則。 ，表示在d距離上 和來自于CSR過程的事件的期望值

33、相同。 ，表示在d距離上點的數(shù)量比期望的數(shù)量更多，于是d距離上的點是聚集的。 ，表示在d距離上點的數(shù)量比期望的數(shù)量更少，于是d距離上的點是均勻的。用K函數(shù)方法計算的觀測K（d）曲線和理論曲線相當接近，其中在d較小的情況下，觀測值小于理論值，在距離d較大的情況下，觀測值大于理論值。K函數(shù)揭示了在不同的空間尺度上分布模式的差異。K函數(shù)L函數(shù)K函數(shù)在使用上不是非常方便，對估計值和理論值的比較隱含著更多的計算量，而且K函數(shù)曲線圖的表示能力有限。Besag提出了以零為比較標準的規(guī)格化函數(shù)(即L函數(shù))，其形式為： 于是L(d)的估計 可寫成L函數(shù)不僅簡化了計算，而且更容易比較觀測值和CSR模式的理論值之間的差異。在L函數(shù)圖中，正的峰值表示點在這一尺度上的聚集或吸引，負的峰值表示點的均勻分布或空間上的排斥。 觀測模式隨著尺度d的變化而變化。在小尺度上表現(xiàn)出一階方法所揭示的均勻性，在較大尺度上表現(xiàn)出的是聚集性。L函數(shù)4.6 K函數(shù)方法的擴展二元模式與空間-時間模式K函數(shù)方法的擴展1. 兩元模式與交叉K函數(shù)首先考慮作為背景的總體的自然變異中的聚集性探測問題。設關注的第一種類型的事件為案例事件，第二種類型的事件是表示環(huán)境異質性的控制事件，案例事件和控制事