等效單擺周期的求解

1、“等效單擺”周期的求解“等效單擺”的種類繁多，但由單擺的周期公式 T =2立渦可知，一般的等效單擺 實質(zhì)上是改變擺長，或者是改變重力加速度，或者是同時改變擺長和重力加速度的情 形。故等效單擺的周期公式T=2n,:,式中L*為等效擺長，g*為等效（類）重力 加速度。我們要理解擺長L*是從懸點（靜止）或系統(tǒng)中的質(zhì)心（定點）算起；g*為等效（類） 重力場中的等效（類）重力加速度，g*的大小和方向是恒定不變的。一、等效擺長L* :1、單線擺擺長的改變例1、如圖所示，長為L的單擺，如果在O點的正下方L處的B點固定一個光 滑的釘子，使擺球A通過最低點向右擺動，懸線被釘子擋住成為一個新的單擺，則這個單擺的振

2、動周期是多少？（已知擺角9 5）解：其周期應(yīng)是擺長為L的單擺的周期Ti的一半與擺長為4L的單擺的周期T2的一半之和。即2、多線擺（雙線擺、三線擺、四線擺等）例2、如圖2所示，三線長均為L, BC、BD線拴在天花板上，兩線 與天花板的夾角均為9, AB線的下端拴上小球，現(xiàn)使球在垂直于紙面做 小角度擺動，問此擺的周期。解：此擺動方向在前后的豎直平面內(nèi)，故該擺的等效擺長為OA的 長即:L*= （1+sin L ,3、單線連接的兩球擺例3、如圖3所示，A、B （mA= 3m、mB=m）兩球作長為L的細(xì)線相連，A球 穿過光滑的水平橫桿且可以自由滑動，求此擺的周期？（振幅很?。┙猓河捎趦汕蛟跀[動過程中沿水

3、平方向所受的外力之和為零，故該系統(tǒng)有一定點0（質(zhì) 點）是不變的，故0點相當(dāng)于擺的懸點，則求擺長就容易。由水平方向的動量守恒得：mAVA=mBVB3mvA=mvBVA、VB分別是兩球回到平衡位置時的速率，而周期 Ta=Tb ,即據(jù)簡諧運(yùn)動的能量公式 TOC o 1-5 h z 1 一 2121 _E = Ek EP =mv kx =區(qū) mvm有 13mvA2 =gkAAA222又mvB =線Aai由上各式得有二3Aa(L-L )二 ；kA2Aa或Ab為振幅，由三角形相似有L故該擺的周期為TA =Tb =2n荷=立杵從種種擺長變化來看，將各種擺等效成一單線擺，確定擺動過程中系統(tǒng)中哪一點 是固定的這

4、點就相當(dāng)于懸點，再確定擺球質(zhì)心到懸點的距離，便可確定等效擺長，從 而確定該擺運(yùn)動的周期、等效重力加速度g*g 一 =*、在某種物理條件下，讓擺球在平衡位置靜止，擺球所受的各力中去掉懸繩的作用力，剩下各力沿繩方向合力即為F*,并且F*提供了簡諧運(yùn)動的回復(fù)力。F= m a,方向和a的方向相1、在加速的系統(tǒng)中：擺球所受的各力中包括慣性力，慣性力的大小 反，此時對單擺受分析時，慣性力要看成一個獨(dú)立存在的力。如圖4所示，一單擺在豎起向上的勻加速系統(tǒng)中(加速度為a),求此單擺的振動周期？解：如圖4 (a)所示，擺球受到純的拉力Ft,慣性力F,重力G,例歷阿的Ft去掉繩的拉力Ft,如圖4 (b)所示則擺球還

5、受兩個力G和F,這兩個力在平衡位置沿繩方向的合力為F*= G + F = m (g +a)一 f 一一g ).) gaT = 2- ,= 2- gLaA 6 F G圖4F*G例5、如圖5所示，一單擺在水平向右的勻加速系統(tǒng)內(nèi)，單擺的擺長為L,系統(tǒng)水平方向加速度為a,求此單擺的振動周期？解：如圖4 (a)所示擺球受到純的拉力Ft,慣性力F,重力G,去掉繩的拉力Ft,如圖4 （b）所示則擺球還受兩個力G和F,這兩個力在平衡位置沿繩方向的合力為F * = VG2 + F 正=m、g2 + a2g ： u jg2 a2.T 二2二2二L 277_g”aa2、帶電擺球在電場、磁場和重力場的復(fù)合場中運(yùn)動，要

6、弄清 電場力或磁場力是否恒定不變（是否有提供回復(fù)力）。例6、如圖6所示，擺球的質(zhì)量為m,擺長為L,若擺球的帶電量為+q,且在單 擺的懸點處放一帶電量為+Q的點電荷，試求單擺的振動周期？解：本題中的帶電擺球在重力場和電場的復(fù)合場中運(yùn)動時，擺球在運(yùn)動中的每個位置處所受的電場力是變化的（F電的大小不變，方向始 終隨線方向的變化而變化），故其不能合成一恒定不變的類重力加速度 g*。分析可知此電場力始終沿純方向不提供回復(fù)力，只有重力沿圓弧切線的分力提供擺球運(yùn)動的回復(fù)力。故 g*= g o7 = 2兀值=2圖6例7、如圖7所示，擺球的質(zhì)量為m,擺長為L,若擺球的帶電量為+q,且單擺處在豎直向下電場強(qiáng)度為

7、E的勻強(qiáng)電場中，試求單擺的振動周期？解：擺球受到純的拉力Ft,電場力F電，重力G,去掉繩的拉力Ft,則擺球還受兩個力G和F電（均為包力），這兩個力在平衡位置沿繩方向的合力為F= G + F 電=mg +qE圖7、等效擺長L*和等效重力加速度g*例8、（競賽練習(xí)題）如圖所示是一種記錄地震裝置的水平擺，擺球 m固定在邊 長為1,質(zhì)量可忽略不計的等邊三角形的頂點 A上，它的對邊BC跟豎直線成不大的 夾角內(nèi)擺球可繞固定邊BC擺動，求擺球作微小擺動的周期。解：此擺動方向在前后的豎直平面內(nèi)，該等效擺長為隱形擺長如圖（ b）中OA即L = 10A = l sin - 231等效重力加速度為g 二 g s i

8、 nsssss所以此擺做微小擺動的周期為T =2二二2二小，.綜上所述：由質(zhì)量為m的質(zhì)點和擺長為L組成的單擺的周期T與擺角8和質(zhì)量m 無關(guān)，若單擺在加速度為a的系統(tǒng)中式中的g*為g和a的矢量和（a方向和a的方向 相反）。若擺球帶電荷q,置于勻強(qiáng)電場中，則 g*為重力和電場力的矢量和與擺球的 質(zhì)量m比值；若單擺處于由位于單擺懸點處的點電荷產(chǎn)生的電場中，或磁場中時，周 期不變。四、鞏固練習(xí)：1、如圖9所示，擺球的質(zhì)量為m,擺長為L,若擺球的帶電量為+q,且單擺處在方向 垂直紙面向里的磁感強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場中，在擺角小于 50求該單擺的振動周期？O圖92、如圖10所示，擺球的質(zhì)量為m,擺長為L,若擺球的帶電量為+q, 平向右電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場中，在擺角小于50,求單擺的振動周期?且單擺處在水圖103、如圖11所示，擺球的質(zhì)量為 m,系在長為l的細(xì)繩