數(shù)值分析7 線性空間中向量的極限和范數(shù)

1、 5線性空間中向量的極限與范數(shù)直接法的誤差分析和迭代法的收斂性一線性空間中向量的極限一用范 數(shù)來度量一、向量的極限設(shè)V是n維向量空間(線性空間)，X(K)EV設(shè)點，點是仰勺一組基底，(& (k),&(k)，,&(k)是x(k)在這組 12n12n基底下的坐標，即X(k) =&(k) +&(k) + + & (1)(2)【定義1】|(向量序列的極限2對2于V中的向量序列X(K)，由(1)式， 若對于任何i (i=1,2,n)總成立 lim & k =& k 3 11則稱x(k)收斂到向量X = & +& + & 。 1122nn【例1】設(shè)11111V = R3, X(k) = (, (1 + )

2、k , 一)t V,貝U由于k 3時,0,(1 + )k e,kk2kkk1 八0,因此有2 kx( k) (0, e,0) t = x【例2】設(shè)V=R3X3中1 -1 k sin k / ksin k / k1 + 1/2k1/k1/k1 + 2 k2 k1 1 1 + 2k 汪意至 U lim 1 一一 = lim 1 + =lim k k32k k3 2klim x(k)= E (單位矩陣)。 k3k 3所以 sin k11,而 lim= 0 = lim ,k3 kk3k二、范數(shù)|【定義2】設(shè)V是線性空間，之對應(yīng)且滿足非負性對于xEV，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，hxh=0；齊次性對于xEV，II

3、 A x I = | 入 III x I若對于任意的xV,都有一個實數(shù)II xh與總有H X 110(3)入EC, C是復(fù)數(shù)域，總有(4)(3)三角不等式：對于x, yV,總有II x+y IIWII x | + | y II (5)則稱H x I為元素x的范數(shù)。三、向量的內(nèi)積與正交【定義3】|設(shè)V是實數(shù)域R上的線性空間，若對V中任意元素a , p和Y，都唯一地對應(yīng)一個實數(shù)(a , p )，使?jié)M足交換律：(a , p ) = (p , a )分配律：(a +p , y ) =(a , y)+(P，丫 )非負性：(a ,a ) 30,當(dāng)且僅當(dāng)a =0時(a ,a ) =0齊次性：對任意 keR,

4、 (ka , p )=k (a , p )則稱實數(shù)(a , p )為元素a與0的內(nèi)積?！咀ⅰ?)n維有序數(shù)組集(n維向量)&之中，對任意x, yeRn3, y)=才氣.七(6)i=1稱為x與y的內(nèi)積。2)a, b上連續(xù)函數(shù)的全體構(gòu)成線性空H V=Ca, b,對x, yeV, 規(guī)定(x, y) = jb p (t)x(t) y(t)dt ( 7 )a稱其為帶權(quán)p (t)的內(nèi)積。它顯然滿足內(nèi)積的定義。其中，權(quán)函數(shù)p(t)滿足:在a, b上p(t)N0；對于g(t)eca, b, j人p(t)g(t)dt恒存在，且對非負的ag(t),b P (t)g(t)dt = 0時恒有g(shù)(t) = 0。a【定義

5、4】若V中兩個向量x, y,其內(nèi)積滿足(x, y) =0 (8)則稱x與y為正交向量。當(dāng)V中的向量組x，x，x(n)兩兩正交時，稱其為正交向量 組。若還有II x|=1對任何i=1, 2,，n成立，則稱此向量組為標 準正交向量組。下面討論一些具體的范數(shù)。四、Rn中的范數(shù)x G Rnv(9)(10)Il x ii 1= x.j=1II x II 2= J(x, x)=II x II = max x81 j 0 1=0,即I X. | =0,當(dāng)且僅當(dāng)X=0 齊次性：對于入ER, XfRn,1)而H x H2),(j=1, 總有IMII廣習(xí)印|二1j=1三角不等式：ix+,qij=1依范數(shù)定義，x是

6、范數(shù)。注：1)Rn中的P范數(shù)：對于XeRn,xj i=13)Xj +七 j=ij=i+乙jj=1(11)2,., n)從而 x=0。=N-| XI1(12)X = X p ) p ,1 p 0; k E R 時，|kx| = |A(kx)| = |k|Ax| = |k| |x| ;驗證三角不等式，當(dāng)x, y E Rn,由H ： | b定義，有iix+l=iA(x+川 K10使對一切XERn，成立不等式aPk11xl p I虬k2k (14)常用的向量范數(shù)等價關(guān)系：|圳 J H n |x|II圳: I HI 2 jn 虬 土同I 11 圳2 IHI說明：任何兩種范數(shù)做為逼近度量的尺度，逼近性態(tài)是

7、一樣的。 五、方陣的范數(shù)【定義5】I Rnxn是n階方陣全體的集合，如果AFRnXn , A的某個 非負的實值函數(shù)II A H，滿足：（1）|A|30,而 |同| = 0。A = 0；（2）網(wǎng)| = |k|A|,k e R;（3）IA + 劌 | A| +| B；（4）網(wǎng) |A|.| B。則稱I A I是Rnxn上的一個方陣范數(shù)【例】（Frobenius范數(shù)）如果把方陣理解為n2維向量，按向量范數(shù)（2范數(shù)）的定義，來定義A的范數(shù)，即對AERnXn,規(guī)定|A| =咨 n aj）2 （15）i=1 j =1，A eRnXn，當(dāng)(16)為Frobenius范數(shù)（F范數(shù)）。I【定義6】| （方陣與向量

8、乘積的范數(shù)）對任何xeRnIAHa J Hl -I HII則稱I Al |與|H是相容的?！?a構(gòu)造方陣的算子范數(shù)：利用定義6,有|Ax| |A INI從而H llHlln a aX令=可，則y是單位向量，在閉球：=i內(nèi)ihi是變量的連續(xù)函數(shù)（定理4），因此，它能達到最大值|A|，即既| HM =1Hly =1 a a【定義7】I Ml是Rn上的任一向量范數(shù)，則lAl = ma4Arx0 xxRn=max|Ayl = max Axlyl=1 lx L1yeRnxwRn為Rnxn上的一個矩陣范數(shù)，稱為矩陣的算子范數(shù)。(17)可以驗證它符合方陣范數(shù)的定義常用的算子范數(shù)是從屬于向量P（P=1，2,

9、+8）范數(shù)的算子范數(shù):（1）列范數(shù)=max a1 j j(18)=%頂 At A（2） 2-范數(shù)2其中是AAtA方陣AtA的最大特征值.| A| = max aij j=1證（18）式：設(shè)|x|I，則 Ax = （3）行范數(shù)l|Ax|1= j=1設(shè)j=k時|i=1證（19）式：因為|A|2但是(19)(20)a x , a x，, a x )1 j j 2 j jnj jj =1j =1 町可=（i=1 j=1j=1aj i=1j=1 X X 0為AtA的特征值，量，則有2而l1，12, , l n為對應(yīng)的標準正交向量組。X0：單位向=c |Ll + C |Ll + + C |Ll1 12 2n n|x |2 = (x , x ) = C2 = 1i=1由于八2i=1入c 2i i i i ii ii=1i=1i=1|Ax0|2 = (%, ATAX0)=(二四 Zx c 口 = E 當(dāng)X0=以1時|Ap I2 =(日,ata)=(日,人日)=x111 11所以A2【例】設(shè)求范數(shù)II AH 1, 解顯然H a|I AIL 及I AIf。AH =7由于 IATA =IAI2, =