高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)3個(gè)附加題專項(xiàng)強(qiáng)化練二項(xiàng)式定理、數(shù)學(xué)歸納法理

1、 / 63個(gè)附加題專項(xiàng)強(qiáng)化練(三)二項(xiàng)式定理、數(shù)學(xué)歸納法(理科)*1.已知函數(shù) fo(x)=x(sin x+cos x),設(shè) f n(x)為 f ni(x)的導(dǎo)數(shù)，nCN.求fi(x), f2(x)的表達(dá)式；(2)寫出fn(x)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解：(1)因?yàn)閒 n(x)為f ni(x)的導(dǎo)數(shù)，所以 f i(x) =f 0,( x)=(sin x+cos x)+x(cos x sin x)= (x+1)cos x+ (x- 1)( - sin x),同理，f2(x) = (x+2)sin x(x 2)cos x.(2)由(1)得 f 3(x) =f 2 ( x) = (x+3)co

2、s x+(x3)sin x,把f1(x), f2(x), f 3( x)分別改寫為兀兀f 1(x) = (x+1)sin x + - +(x1)cos x + -2-,f2( x) = (x+ 2)sin x + -2- + (x 2)cos x+ -2- ,f3(x) = (x+3)sin x+ 2- + (x- 3)cos x+2-,猜測 f n(x) = (x+n)sin x+ n2L +(xn)cos x + n-21 .(*) 卜面用數(shù)學(xué)歸納法證明上述等式.(i )當(dāng)n= 1時(shí)，由(1)知，等式(*)成立.(ii)假設(shè)當(dāng)n=k(kCN*, k1)時(shí)，等式(*)成立，即 f k(x)

3、= (x+k)sin x + + (x-k)cos x + 2 則當(dāng)n=k+ 1時(shí),f k+ 1( x) = f k ( x)=sin x + (x+ k)cosx+2 + cosx+(xk) sin sinx+2-= (x + k+1)cos x+容+x(k+1) k +1k + 1=x + ( k+1)sin x + -2-兀 +x(k+1) , cos x+ -2-兀，即當(dāng)n=k+ 1時(shí)，等式(*)成立.綜上所述，當(dāng) n 2時(shí)，fn(x) = (x+n) sin x + 2+(x n)cos x + 成立.2.設(shè)1,2,3 ,，n的一個(gè)排列是 a1, a2, ,an,若a = i稱i為不

4、動(dòng)點(diǎn)(1 i (n1)3n+2n2=2；當(dāng) n = 2 或 3 或 4 時(shí)，4n(n- 1)3n+2n2.猜想：當(dāng) n5 時(shí)，4n(n 1)3n+2n2.卜面用數(shù)學(xué)歸納法證明.由上述過程可知，當(dāng) n=5時(shí)，結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k5, kCNj時(shí)結(jié)論成立，即4k(k1)3k+2k2,兩邊同乘以 4,得 4k+14( k-1)3k+2k2 = k - 3k+1+2(k+1)2+( k-4)3k + 6k2-4k- 2,而(k4)3 k+ 6k24k2=( k4)3 k+6( k2 k-2) + 2k+ 10= ( k4)3 k+ 6( k2)( k+ 1) + 2k+100,所以 4k+1(

5、k+ 1) -13k+1 + 2(k+ 1)2,即n = k+ 1時(shí)結(jié)論也成立.由可知，當(dāng)n5時(shí)，4n(n1)3n+2n2成立.綜上所述，當(dāng) n= 1 時(shí)，空(n1) a()+2n2；當(dāng) n=2 或 3 或 4 時(shí)，變5 時(shí)，(n- 1)ao+ 2n .4.在集合 A= 1,2,3,4 ,，2n中，任取n(mc2n, m nCN)個(gè)兀素構(gòu)成集合 A.若 An的所有元素之和為偶數(shù)，則稱“為A的偶子集，其個(gè)數(shù)記為f(n)；若An的所有元素之和為奇數(shù)，則稱 &為a的奇子集，其個(gè)數(shù)記為g(m.令F(m=f(mg(m.(1)當(dāng) n=2 時(shí)，求 F(1) , F(2) , F(3)的值；(2)求 F( n

6、) .解：(1)當(dāng) n=2 時(shí)，集合 A= 1,2,3,4,當(dāng)mr 1時(shí)，偶子集有2 , 4,奇子集有1 , 3,f(1) =2, g(1) =2, F(1) =0;當(dāng) m= 2 時(shí)，偶子集有2,4 , 1,3,奇子集有1,2 , 1,4 , 2,3 , 3,4,f(2) =2, g(2) =4, F(2) = 2;當(dāng) n3 時(shí)，偶子集有1,2,3 , 1,3,4,奇子集有1,2,4 , 2,3,4 , f(3) =2, g(3) =2, F(3) = 0.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，偶子集的個(gè)數(shù) f(n)2+CncT4+e-點(diǎn)，奇子集的個(gè)數(shù) g(n)=ddT UCnCn1-3+ CnCn,所以 f(

7、m = g(n)i, F(n) =f (n) -g(n) = 0.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),偶子集的個(gè)數(shù) f( n) = C0Cn+ C2CT2+dcT4+ CCn,奇子集的個(gè)數(shù) g(n)=dcT“CncT3+ CT 1Cn,所以 F(n) = f(nn-g(n)=CnCn1-CCTC2CT2CnCT3+ 一CnCn + CC0.-方面,(1+x) (1 x) = (Cn + CnX + Cnx + Gx ) , C n Gx + CnX + ( 1) Cnx , 所以(1 +x)n(1 川”中*的系數(shù)為 C0Cn-CnCT 1+C2CT2-C3CT3+cTC+cM；另一方面，(1 + x) n(1 -x

8、)n= (1 x2) n, (1 x2)n中 xm的系數(shù)為(1)mCm!,故 F( m =(D2c2n.,n訥偶數(shù),d 二 n綜上，F(xiàn)(n)=2 20, n訥奇數(shù).5.設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)經(jīng)過n(n C N)次求導(dǎo)后所得結(jié)果為y= f (n)(x).如函數(shù)g(x)=x3經(jīng)過1次求導(dǎo)后所得結(jié)果為g(x) =3x2,經(jīng)過2次求導(dǎo)后所得結(jié)果為 g(x) =6x,.若 f (x) = ln(2 x+ 1),求 f (x);(2)已知f(x)=p(x) q(x),其中p(x), q(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù).n求證：f(n)(x)=dp(n i)(x) q(i)(x).i =0解：(1)依題意，f (x)

9、 = 2X2= 2(2x+1)， x I If(x) =- 2(2x+ 1) 2X2= 4(2x+1) 2.1(2)證明：當(dāng) n= 1 時(shí)，f(1)(x)=p(1)(x) q(x) + p(x) q(1)(x)=Cnp(ni)(x)-q(i)(x);i = 0k假設(shè)n=k時(shí)，f(k)(x)= dp(J)(x) q(x)成立， 則門=卜+1時(shí), i =0f(k+1)(x)= (f(k)(x) =Ckp(k i + 1)(x) -q(i)(x) +p(ki)(x) q(i+ 1)(x)i =0=Cp(k+1)(x) - q(x) + C1p(k)(x) - q(1)(x) + C2p(k1)(x)

10、 q(2)(x)+ Ckp(x) - q(k)(x) + Cp(k)(x)q(1)(x)+ C1p(k1)(x)q(x)+Ck1p(1) (x) q(k)(x)+Ckp(x)-q(k1)(x)=Cp(k+1)(x) - q(x) + (C0+Ck) p(k)(x) - q(x) + (C1+C2) p(k1)(x) - q(x) + + (Ck1+ Ck) - p(x) - q(k)(x)+dp(x) - q(k1)(x)=C；+1p(k+ 1)(x) q(x) + Ck+1 p(k)(x) q(1)(x) +Ck+1p(k1)(x)q(x)+ + Ck+1p(x)-q(k)(x)+d=p(x

11、) q(k+1)(x)k+ 1=d+1p(k+1 i)(x)q(x),i =0所以，結(jié)論對n= k+1也成立.由得，f(n)(x)=dp(n i)(x) - q(i)(x).i = 06.設(shè)整數(shù)n9,在集合1,2,3 ,，n中任取三個(gè)不同元素 a, b, c(abc),記f(n) 為滿足a + b+c能被3整除的取法種數(shù).(1)直接寫出f(9)的值；(2)求f(n)表達(dá)式.解：(1) f(9) =12.(2)當(dāng) n=3k(k3, kCN*)時(shí)，記 k=n,集合為1,2,3 ,，3k1,3 k.3將其分成三個(gè)集合：”1,4 ,，3k-2 , B=2, 5,，3k-1 , C= 3,6 ,，3k.

12、要使得a+b+c能被3整除,a, b, c可以從A中取三個(gè)或從 B中取三個(gè)或從 C中取三個(gè)或從C中取一個(gè)，從A中取一個(gè),-3111 kk 1 k 2有 3以十 C1C1C1=2從B中取一個(gè)(此數(shù)與A中取的那個(gè)數(shù)之和能被3整除).故3 n33n2+6門門,+ k =18種取法；當(dāng) n=3k+1(k3, kCN*)時(shí)，記 k=n-,集合為1,2,3 ，3k,3k+1. 3將其分成三個(gè)集合：A=1,4，3k2,3 k+1, B= 2,5 ,，3k1, C= 3,6 ,要使得a+b+c能被3整除,a, b, c可以從A中取三個(gè)或從 B中取三個(gè)或從 C中取三個(gè)或從C中取一個(gè)，從B中取一個(gè),從A中取一個(gè)(此數(shù)與B中取的那個(gè)數(shù)之和能被3整除).故2C3+Ck+1 + C1C1C1+1 = k k1 k 23k+1 k k-12k k- 1 2+ k(k+1)=22n 3n + 6n 4+ k2(k+ 1) =18種取法;*當(dāng) n=3k+2(k3, kCN)時(shí)，記n 2k=-,集合為1,2,3，3k+1,3k+2. 3將其分成三個(gè)集合：A= 1,4 ,3k-2,3k+1, B= 2,5 ,，3k-1,3 k+2, C=3,6 ,，3k.要使得a+b+c能被3整除，a, b,c可以從A中取三個(gè)或從 B中取三個(gè)或從 C中取三k+1 k k 1個(gè)或從C中取一個(gè)，從B中取一個(gè)，從A