隨機(jī)變量及其分布列版塊五條件概率教師版普通高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義版

1、條件概率目知識(shí)內(nèi)容i.離散型隨機(jī)變量及其分布列離散型隨機(jī)變量如果在試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫字母x，丫，HI 表示.如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱 X為離散型隨機(jī)變量.2.幾類典型的隨機(jī)分布兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X10PpqX服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布.其中0 p 1 , q =1 -p ,則稱離散型隨機(jī)變量二點(diǎn)分布舉例：某次抽查活動(dòng)中，一件產(chǎn)品合格記為1,不合格記為0,已知產(chǎn)品的合格率為80%,隨機(jī)變量X為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則 X的分布列滿足

2、二點(diǎn)分布.X10p0.80.2兩點(diǎn)分布又稱0-1分布，由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，所以這種分 布又稱為伯努利分布.超幾何分布一般地，設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件（nWN）, 這n件中所含這類物品件數(shù) X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為 m時(shí)的概率為 m n -mP（X =m） =Cm ?n，（0W m w l , l 為 n和 M 中較小的一個(gè)）. cn我們稱離散型隨機(jī)變量 X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也不X服從參數(shù)為N ,M , n的超幾何分布.在超幾何分布中，只要知道N , M和n ,就可以根據(jù)公式求出 X取不同值時(shí)的概率 P(X

3、=m),從而列出X的分布列.二項(xiàng)分布.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果A及A,并且事件A發(fā)生的概率相同.在相同的條件下，重復(fù)地做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為 ?(k)=cn pk(1-p)n-(k=0, 1,2, (|, n).二項(xiàng)分布若將事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X ,事件A不發(fā)生的概率為q=1-p ,那么在n次獨(dú)立重復(fù) 試驗(yàn)中，事件 A恰好發(fā)生k次的概率是P(X =k) =C： pkqn,其中k=0, 1, 2,川，n .于 是得到X的分布列X01knPZ 0 nCn p q11 n1Cn p

4、 qk k n JCn p qxn n 0Cn p q由于表 中 的 第 二行恰好是二 項(xiàng) 展 開(kāi)(q n但n &p 十七肝pMfllCkp nknnq Cp q各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值,所以稱這樣的散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記作XB(n,p) .二項(xiàng)分布的均值與方差：若離散型隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，則E(X) =np , D(x) =npq (q =1 一 p).正態(tài)分布.概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來(lái)越大時(shí)，直方圖上面的折線所接近的曲線.在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量X ,則這條曲線稱為X的概率密度曲線.曲線位于橫軸的上方，它與

5、橫軸一起所圍成的面積是1,而隨機(jī)變量X落在指定的兩個(gè)數(shù)a, b之間的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積.正態(tài)分布定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的，而且每一個(gè)偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的 隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布.服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱正態(tài)變量.1正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為f(x)=e 2行，J2兀仃xWR,其中仃是參數(shù)，且仃0, -N也.式中的參數(shù)N和。分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差.期望為N、標(biāo)準(zhǔn)差為仃的正態(tài)分布通常記作 N(N,。2).正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：

6、我們把數(shù)學(xué)期望為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.重要結(jié)論：正態(tài)變量在區(qū)間(卜-5卜+叼，(N-2。，卜+2燈)，(N-3。，N+3內(nèi)，取值的概率分 別是 68.3% , 95.4% , 99.7% .正態(tài)變量在(3, +9)內(nèi)的取值的概率為1 ,在區(qū)間(N -3CT, N+3之外的取值的概率是0.3% ,故正態(tài)變量的取值幾乎都在距x = N三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的3a原 則.x右Z N(N, o2) , f (x)為其概率密度函數(shù)，則稱F(x) =P(X w x)=晨)出為概率分布, t2函數(shù)，特別的，二 N(0,12)，稱Wx)=(1/dt為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).二二 2P(t

7、x) =*(). cr標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得.分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線的理解即可.3.離散型隨機(jī)變量的期望與方差.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能的取的值是 x1 , x2,，xn,這些值對(duì)應(yīng)的概率是 p1, p2，pn ,則E(x) =x1p1+x2p2+|十xn pn ,叫做這個(gè)離散型隨 機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望).離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平.離散型隨機(jī)變量的方差一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是為，x2,，4,這些值對(duì)應(yīng)的概率是 pi,p2 ,，pn

8、,貝 1D(X) = (xiE(x)2 pi+ 僅2 E 僅)2p2 +川+xn Ex)fpn 叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量 X的方差.離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大小(離散程度).D(X)的算術(shù)平方根jD(x)叫做離散型隨機(jī)變量 X的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨 機(jī)變量波動(dòng)大小的量. X 為隨機(jī)變量，a, b為常數(shù)，則 E(aX+b)=aE(X)+b, D(aX+b)=a2D(X)；.典型分布的期望與方差:點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X的期望取值為p ,在n次二X的期望取值為np .X服

9、從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，則 E(X) =np ,X服從參數(shù)為N , M , n的超幾何分布,D(x) =npq (q =1 p) 超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量則eTD(X)=n(N -n)(N -M)M2N (N -1).事件的獨(dú)立性如果事件A是否發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率沒(méi)有影響，即 P(B|A) = P(B), 這時(shí)，我們稱兩個(gè)事件 A, B相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.如果事件A, A2,，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A1 n% nnA)=p(A)Mp(A2)KMP(An),并且上式中任意多個(gè)事件A換成其對(duì)立事件后等式仍成立.條件

10、概率對(duì)于任何兩個(gè)事件 A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)(B|A)”來(lái)表示.把由事件A與B的交(或積)，記做D =AB (或D=AB).部M修典例分析【例1】 把一枚硬幣拋擲兩次，事件A=第一次出現(xiàn)正面”，事件B=第二次出現(xiàn)反面 則 P(B A) = .【考點(diǎn)】條件概率【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵字】無(wú)P(A)11P(AB) = , P(B| A)=4P(AB)P(A)【解析】【例2】 拋擲一顆骰子兩次，在第一次擲得向上一面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的條件下，則第二次擲 得向上一面點(diǎn)數(shù)也是偶數(shù)的概率為 .【考點(diǎn)】條件概率【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】設(shè)第一次

11、擲得向上一面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的事件為A ,第二次擲得向上一面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的事件為B ,貝U P(A) =- , P(AB)=-,所求概率為P(B | A) = P(AB)=.24P(A) 22【例3】 擲兩枚均勻的骰子，記八=點(diǎn)數(shù)不同，B=至少有一個(gè)是6點(diǎn)”，求P(A|B)與P(B | A).【考點(diǎn)】條件概率【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略【答案】法由題意得:P(A) =P(B) =1 -P(B) =11136P(AnB) =x2 =(在第一次或第二次得到 6點(diǎn))； 6 618,P(ApB) 1故 P(B| A) =L_LL=；P(A) 3P(A|B)=P(ApB)P(B)1011(1,

12、1), (1,2),川,(1, 6)擲兩枚骰子的所有基本事件有:(2,1),(2,2),小，(2,6)(6,1), (6,2),小,(6 , 6)且每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相同.兩次點(diǎn)數(shù)不同包含 36-6=30個(gè)基本事件，其中至少含有一個(gè)6點(diǎn)的有10個(gè)，1故 P(B| A)=一 =;30 3在含有6的11個(gè)基本事件中，兩個(gè)點(diǎn)數(shù)不同的情況包含其中的10個(gè)，故10P(A|B)【例4】 設(shè)某種動(dòng)物活到20歲以上的概率為0.7,活到25歲以上的概率為0.4,求現(xiàn)齡 為20歲的這種動(dòng)物能活到25歲以上的概率.【考點(diǎn)】條件概率【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú) 【解析】略【答案】設(shè)這種動(dòng)物活到20歲以上的

13、事件為 A,活到25歲以上的事件為 B ,則P(A) = 0.7,且P(AB) = P(B) = 0.4,故在事件 A發(fā)生的條件下 B發(fā)生的概率為P(B| A)=P(AB)P(A)=04 %0.5714 . 0.7【例5】 某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率是，刮風(fēng)的概率是 2,既刮風(fēng)又下1515雨的概率是 工，設(shè)A =刮風(fēng)，B=下雨”，求P(BA), P(A B).10【考點(diǎn)】條件概率【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略【答案】由題意知:c1P(AnB)24P(A)= , P(B)=,1515P(BA)_P(AB)_3. p(ab)_P(AB) _3P(A) 4 P(B) 8【例6

14、】 設(shè)某批產(chǎn)品有4%是廢品，而合格品中的 75%是一等品，任取一件產(chǎn)品是一等 品的概率是【考點(diǎn)】條件概率【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】 設(shè)A=任取一件產(chǎn)品為一等品，B=任取一件產(chǎn)品為合格品”，所求概率為P(A) =P(B) P(A|B) =(10.04) M0.75=0.72 .【答案】0.72 ;【例7】甲、乙兩班共有70名同學(xué)，其中女同學(xué) 40名.設(shè)甲班有30名同學(xué)，而女生15名，問(wèn)在碰到甲班同學(xué)時(shí)，正好碰到一名女同學(xué)的概率？【考點(diǎn)】條件概率【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)P(B| A).【解析】略 【答案】設(shè)A表示事件 碰到甲班同學(xué)”，B表示事件 碰到女同學(xué)”，問(wèn)題即

15、為求1530P(aOb)P(aP1B)=，P(A)=一，由公式得 P(B|A)=0.57070P(A)當(dāng)然直接求的話，就是 P(B| A) 1 =0.5 .30【例8】 在10個(gè)球中有6個(gè)紅球，4個(gè)白球(各不相同)，不放回的依次摸出2個(gè)球,在第1次摸出紅球的條件下，第 2次也摸出紅球的概率是()A.B.C.D.【考點(diǎn)】條件概率 【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】法一：用條件概率考慮，二次都摸出紅球的概率為C21.CL =_ ,第一次摸出紅球C103的概率為9=3,故所求的概率為 3=5； 10 5395法二：第一次摸出紅球后還剩下 5個(gè)紅土和4個(gè)白球，故再次摸出紅球的概率 為！C；【

16、例9】 從1100個(gè)整數(shù)中，任取一數(shù)，已知取出的 一數(shù)是不大于50的數(shù)，求它是2或 3的倍數(shù)的概率.【考點(diǎn)】條件概率【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú) 【解析】用A表示取出的數(shù)50 B表示取出的數(shù)是2或3的倍數(shù)”，問(wèn)題即為求 TOC o 1-5 h z P(B|A).不大于50的數(shù)中2或3的倍數(shù)共有當(dāng)十50-50 =33個(gè)(x表示 236不超過(guò)x的最大整數(shù))，于是P(AnB)=a3 ,而P(A)=50,因此由公式 100100P(B | A) =P(A)B) =0.66 ,直接求的話就是 P(B | A)=絲=0.66 .P(A)50【例10】袋中裝有2n-1個(gè)白球，2n個(gè)黑球，一次取出n

17、個(gè)球，發(fā)現(xiàn)都是同一種顏色的, 問(wèn)這種顏色是黑色的概率是多少 ？【考點(diǎn)】條件概率【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略 【答案】設(shè)A表示 取出n個(gè)球是同一種顏色”，B表示力個(gè)球的顏色是黑色的問(wèn)題即為求 P(B|A).P(ApB) =-n2, P(A)=Cn0生，C4 n 1C4 n因此由公式P(B| A)- P2P(A)C2n直接求的話就是P(B 1AleMn V【例11】一袋中裝有10個(gè)球，其中3個(gè)黑球，7個(gè)白球，先后兩次從袋中各取一球(不 放回)已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率；已知第一次取出的是黑球，求第二次

18、取出的是白球的概率.【考點(diǎn)】條件概率 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵字】無(wú) 【解析】略 【答案】設(shè)A表示事件第一次取出的是黑球”，B表示事件第二次取出的是黑球”，C表示事件 第二次取出的是白球”則P(A) =P(B) =3 . P(C)=.1010問(wèn)題即求條件概率 P(B|A), P(aH B)=與=1,所以P(B | A) = P(A，B) =2 .A1015P(A) 9 P(A|B)=P1=2.P(B) 9問(wèn)題即求概率 P(C | A) , P(A AC)=( = P(A) -P(aH B),A1030所以 P(C|A)=WW，P(A) 9從結(jié)果可以看出 P(C | A) =1 -P(

19、B|A).【例12】有兩箱同類零件，第一箱內(nèi)裝 50件，其中10件是一等品；第二箱內(nèi)裝 30件, 其中18件是一等品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后隨機(jī)取出 兩個(gè)零件(取出的零件均不放回)，試求： 先取出的零件是一等品的概率； 在先取出的零件是一等品的條件下后取出的仍然是一等品的概率.(保留三位有效數(shù)字)【考點(diǎn)】條件概率【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略【答案】?jī)蓚€(gè)箱子被挑到的概率都是 0.5,兩個(gè)箱子先取出的是一等品的概率分別為0.5 0.2+0.506=0.4.1(=0.2),竺(=0.6),故先取出的是一等品的概率為 TOC o 1-5 h z 5030設(shè)A表示

20、第一次取出的是一等品，B表示 第二次取出的是一等品，問(wèn)題即為 求 P(B| A).兩個(gè)箱子 兩次抽到的都是一等品”的概率分別為:951因此 P(A B) =0.5 +0.5 . 245145故由公式 P(B| A) =P(A B) =0.486. P(A)【例13】設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表 分別為3份、7份和5份.隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩份， 求先抽到的一份是女生表的概率 p .己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率q .【考點(diǎn)】條件概率【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú) 【解析】略 【答案】三個(gè)地區(qū)的報(bào)名表被抽到的概

21、率都是 1 ,三個(gè)地區(qū)的報(bào)名表第一個(gè)被抽到的3是女生的概率分別為因此先抽到的一份是女生表的概率為:13171p =- 一 一 3 10 3 15 32925 90設(shè)A表示 第二次抽到的是男生表”，B表示第一次抽到的是女生表”，問(wèn)題即為求 P(B| A).三個(gè)地區(qū) 先后抽出的是女生表和男生表 ”的概率分別為: TOC o 1-5 h z A： A；7 A7 A88 A5 A；。5 =- = - = 222A* 30 A： 30 a2s30于是P(AB)=1Z J A 1 A=203 30 3 30 3 30 90類似于P(A) =1(?+ +型)=613 10 15 2590因此由公式P(B|A

22、) =P(A B)P(A)2061【例14】一輛飛機(jī)場(chǎng)的交通車載有 25名乘客途經(jīng)9個(gè)站，每位乘客都等可能在這9站中任意一站下車(且不受其他乘客下車與否的影響)，交通車只在有乘客下車 時(shí)才停車，求交通車在第i站停車的概率以及在第i站不停車的條件下在第 j站停車的概率，并判斷“第i站停車”與“第j站停車”兩個(gè)事件是否獨(dú)立.【考點(diǎn)】條件概率【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略 【答案】不妨記事件 Ai :交通車在第i站停車(i =1, 2, 3, 4, ., 9)我們考慮事件A的對(duì)立情形，即所有 25名乘客都在其余的8個(gè)站下車, 其概率為-j.p AA9在第i站不停車的條件下在第j站停車

23、的概率P(Aj A尸P Ai -P AAjP A而p A)=匕9,p(a?H8 i, pnx)=9 9代入有P(Aj A產(chǎn)1 -I- l8j由 P(Aj A )=1 7 25-#P A ,說(shuō)明事件Aj與A不獨(dú)立，于是事件Aj與A不獨(dú)8【例15】在5道題中有3道理科題和2道文科題.如果不放回地依次抽取2道題，求:(1)1次抽到理科題的概率；1次和第2次都抽到理科題的概率；第1次抽到理科題的條件下，第 2次抽到理科題的概率.【考點(diǎn)】條件概率【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解析】略【答案】設(shè)第1次抽到理科題為事件 A,第2次抽到理科題為事件 B ,則第1次和第2 次都抽到理科題為事件 AB .5道題中不放回地依次抽取 2道的事件數(shù)為 A =20 .根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，n(A尸A1次=12 .于是P(A)=1220因n(AB ) = A =6 ,所以P(AB)=620310解法1 :由可得，在第 1次抽到理科題的條件下,3第2次抽到理科題的概率