理論力學(xué)——剛體力學(xué)非線性系統(tǒng)

1、理論力學(xué)（三）剛體力學(xué)，非線性系統(tǒng)2011.11剛體的概念和性質(zhì)剛體是一種質(zhì)點(diǎn)系，其中所有質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置一直保持不變。剛體不發(fā)生任何形變。固體的物體受力時(shí)，如果形變較小，可以近似地視為剛體。剛體有形狀，有大小，有質(zhì)量分布。我們研究宏觀世界的物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果物體的大小不能忽略，用質(zhì)點(diǎn)模型就不夠全面，這時(shí)可以使用剛體模型。剛體的自由度在三維空間中運(yùn)動(dòng)的剛體，其自由度為6。平動(dòng)自由度3。決定了剛體上的一點(diǎn)的位置。轉(zhuǎn)動(dòng)自由度3。其中，2個(gè)自由度決定剛體上的某根軸線的方向，剩下的1個(gè)自由度決定剛體繞此軸旋轉(zhuǎn)的角度。決定剛體上的一點(diǎn)的坐標(biāo)需要3個(gè)自由度。決定剛體上的另一點(diǎn)又需要2個(gè)自由度（3個(gè)自由度，減去

2、這兩點(diǎn)之間的距離固定的約束條件）。決定第三個(gè)點(diǎn)還需要1個(gè)自由度（3個(gè)自由度，減去它與前這兩點(diǎn)之間的距離固定的2個(gè)約束條件）。再增加點(diǎn)自由度不增。一共還是6個(gè)自由度。剛體的本體坐標(biāo)本體坐標(biāo)系是固定在剛體上的坐標(biāo)系。它是隨剛體一起運(yùn)動(dòng)的。剛體上的任意一點(diǎn)在本體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值恒定不變?？臻g坐標(biāo)是我們所在的實(shí)驗(yàn)室慣性系的坐標(biāo)（可視為“靜止”坐標(biāo)）。要表示一個(gè)剛體的狀態(tài)，首先要用三個(gè)空間坐標(biāo)表示本體坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置，此外還要能表征本體坐標(biāo)的坐標(biāo)軸方向。剛體的運(yùn)動(dòng)方式平動(dòng)。剛體上任何一點(diǎn)都有相同的速度（和加速度）。本體坐標(biāo)方向保持不變?？梢杂脛傮w上的一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)表征整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。自由度為3（3個(gè)平動(dòng)自由

3、度）。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體圍繞一個(gè)固定的軸作轉(zhuǎn)動(dòng)。自由度為1。平面運(yùn)動(dòng)。剛體每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都限制在一個(gè)平面內(nèi)，限制不同質(zhì)點(diǎn)的平面彼此平行。自由度為3（2個(gè)平動(dòng)自由度，1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度）。定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上某一點(diǎn)固定。（3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度）一般運(yùn)動(dòng)。自由度為6（3個(gè)平動(dòng)，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)）歐拉定理定理：具有一個(gè)固定點(diǎn)的剛體的任意位移等效于繞該定點(diǎn)的某一軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)。如果能尋找到軸線和旋轉(zhuǎn)的角度，使原始位置的剛體經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)就能到達(dá)指定位置，則歐拉定理即獲得證明。實(shí)際上，由于原點(diǎn)不動(dòng)，只需要本體坐標(biāo)的x軸單位向量和y軸單位向量到達(dá)目標(biāo)位，剛體整個(gè)就到達(dá)目標(biāo)位。歐拉定理的證明確定旋轉(zhuǎn)軸是xx的垂直平分面與yy的垂

4、直平分面的交線。軸上任意一點(diǎn)到x和x等距，同時(shí)到y(tǒng)和y也等距。圖中黑的球面三角與紅的球面三角全等。因此當(dāng)x轉(zhuǎn)到x時(shí)，y也同時(shí)轉(zhuǎn)到y(tǒng)。因此，剛體通過一次旋轉(zhuǎn)，到達(dá)了指定位置。這樣，描述原點(diǎn)固定的剛體的狀態(tài)就等價(jià)于描述一次轉(zhuǎn)動(dòng)。第24次課設(shè)e為轉(zhuǎn)軸的方向向量。剛體上的任意一點(diǎn)的位置 r 在三個(gè)方向上分解：平行方向：垂直方向：速度切向：在繞 e 軸旋轉(zhuǎn)一定角度q之后，新位置為：轉(zhuǎn)動(dòng)后剛體上某一點(diǎn)的新位置ero也可以用4元數(shù)來表示轉(zhuǎn)動(dòng)。4元數(shù)是具有實(shí)部及3個(gè)虛數(shù)單位(i, j, k) 虛部的4元復(fù)數(shù)，表示為：其中虛數(shù)自身的乘積都是-1，可代表三維空間的三個(gè)相互垂直的方向。不同虛數(shù)相互的乘積（這里用 *

5、 表示）滿足矢量叉乘的規(guī)則：轉(zhuǎn)動(dòng)的4元數(shù)描述4元數(shù)可以進(jìn)行加減乘運(yùn)算。由于矢量叉乘規(guī)則，因此4元數(shù)的乘法也同樣不滿足交換律。但結(jié)合律和分配律都是滿足的，可進(jìn)行一般的代數(shù)運(yùn)算。將4元數(shù)q寫為純數(shù)n和矢量v兩部分，運(yùn)算結(jié)果為：四元數(shù)的運(yùn)算規(guī)則轉(zhuǎn)動(dòng)可以用一個(gè)歸一化的4元數(shù)來表示。對(duì)比可知得到的是角度為2q的旋轉(zhuǎn)。四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)兩次旋轉(zhuǎn)連續(xù)進(jìn)行可以復(fù)合為一次連續(xù)多次的旋轉(zhuǎn)最后都能用一次旋轉(zhuǎn)替代，這與歐拉定理是一致的。4元數(shù)用了4個(gè)分量表示一次旋轉(zhuǎn)，而旋轉(zhuǎn)的自由度為3，用矢量部分就能表示。冗余的1個(gè)量對(duì)應(yīng)于加入了模為1的歸一化條件的約束條件。用4元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)的方法廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)的3維繪圖等方面。旋轉(zhuǎn)的

6、復(fù)合以z軸為轉(zhuǎn)軸，進(jìn)行一次轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)q之后剛體上任意一點(diǎn)的空間坐標(biāo)變?yōu)樽儞Q矩陣為同樣我們可以獲得繞x軸或繞y軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣。剛體旋轉(zhuǎn)的矩陣表示旋轉(zhuǎn)時(shí)坐標(biāo)的矩陣變換用e表示任意矢量e的空間坐標(biāo)排成的列。本體坐標(biāo)系從原始位置轉(zhuǎn)動(dòng)到當(dāng)前位置，其3個(gè)軸的單位基矢量為ex，ey，ez。把3個(gè)單位基矢量的空間坐標(biāo)排為3列，構(gòu)成矩陣3x3的矩陣R = ex ey ez 。則矩陣R是旋轉(zhuǎn)的變換矩陣。此矩陣的各列是歸一的且彼此正交（單位基矢量性質(zhì)）。因 RTR=I，故|R|不為0，有逆矩陣存在，右乘R-1得RT=R-1。此矩陣的逆矩陣是自身的轉(zhuǎn)置。剛體上本體坐標(biāo)為(x,y,z)的任意一點(diǎn)當(dāng)前空間位置為r =

7、xex + yey + zez = Rr 這給出旋轉(zhuǎn)前后剛體上任一點(diǎn)（在原坐標(biāo)系中的）坐標(biāo)的變換。歐拉定理的矩陣證明由于R是單位基矢量為ex，ey，ez的空間坐標(biāo)排為3列構(gòu)成，因此（基矢量下標(biāo)加0是指旋轉(zhuǎn)前的坐標(biāo)）： ex0，ey0，ez0 R = ex，ey，ez 這給出了旋轉(zhuǎn)前后單位基矢量的變換。剛體從初始位置，不管經(jīng)過多少次定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，最終位置與初始位置之間的變換矩陣R可通過單位基矢量的坐標(biāo)排列得到。若存在轉(zhuǎn)軸X，它在旋轉(zhuǎn)變換R作用下不變，即說明可以通過一次旋轉(zhuǎn)從初始位置轉(zhuǎn)到最終位置。 因初始時(shí)的|R|=1，需舍棄負(fù)根。第25次課轉(zhuǎn)動(dòng)自由度為3，可以用3個(gè)角度來表示剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。首先，沿z軸

8、旋轉(zhuǎn)j角。然后沿x軸旋轉(zhuǎn)q角。最后沿著z軸旋轉(zhuǎn)y角。前兩次旋轉(zhuǎn)確定了z軸的指向，如同地球球面上的點(diǎn)用經(jīng)緯度確定，這兩個(gè)參量確定了z軸單位向量。歐拉角其中，角 j 稱為進(jìn)動(dòng)角，角 q 稱為章動(dòng)角，角 j 稱為自轉(zhuǎn)角。歐拉角經(jīng)過三次沿坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)之后剛體上任意一點(diǎn)的空間坐標(biāo)變?yōu)椋╡右肩標(biāo)是歐拉角旋轉(zhuǎn)的順序）或反過來從空間坐標(biāo)求本體坐標(biāo)：歐拉角旋轉(zhuǎn)的矩陣表示因此歐拉角旋轉(zhuǎn)的矩陣表示旋轉(zhuǎn)的次序是不可交換的，例如同樣是做以x為軸轉(zhuǎn)90，再以y為軸轉(zhuǎn)90，z軸的方向指向-y，但如果次序相反，則z軸最終指向x，可見結(jié)果不同。同樣，如果旋轉(zhuǎn)用4元數(shù)表示，這意味著4元數(shù)相乘不滿足交換率。如果旋轉(zhuǎn)用矩陣表示

9、，這等價(jià)于矩陣相乘也不滿足交換率。有限角旋轉(zhuǎn)的不可交換性yxyxzz但無限小角度的旋轉(zhuǎn)次序是可交換的。分析一下4元數(shù)相乘，不滿足交換率的項(xiàng)是叉乘項(xiàng)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角是一階無窮小的2dq時(shí)候，q=1+edq，兩次連續(xù)進(jìn)行時(shí)，叉乘項(xiàng)是二階小量，可被忽略。因此，無窮小角度旋轉(zhuǎn)是可交換的，且能表示為轉(zhuǎn)軸方向的大小為dq的矢量，并滿足合成法則。無窮小角度旋轉(zhuǎn)的可交換性無限小角度的旋轉(zhuǎn)可以用矢量edq表示，剛體上任意一點(diǎn)的位移為定義轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度矢量為因此，剛體上任意一點(diǎn)的速度為；旋轉(zhuǎn)的角速度及剛體點(diǎn)速度無限小角度的旋轉(zhuǎn)可以用矢量表示，因而角速度也是矢量。對(duì)于歐拉角隨時(shí)間變化產(chǎn)生的角速度為：歐拉角角速度的矩陣變換同樣

10、，也可以直接計(jì)算：角速度使得4元數(shù)隨時(shí)間產(chǎn)生變化：其中，w0是空間坐標(biāo)的4元數(shù)矢量，而w是本體坐標(biāo)的角速度4元數(shù)矢量。角速度引起的歐拉角和4元數(shù)變化第26次課作業(yè)：4.1，4.3，4.4，4.5旋轉(zhuǎn)的角加速度定義為剛體上任意一點(diǎn)的速度為因此，剛體上任意點(diǎn)的加速度由角加速度和向心（軸）加速度引起。旋轉(zhuǎn)的角加速度及剛體點(diǎn)加速度本體坐標(biāo)原點(diǎn)O移動(dòng)時(shí)剛體上任意一點(diǎn)P的速度為：若以剛體上另一點(diǎn)O為本體坐標(biāo)系原點(diǎn)則又有因?yàn)镻點(diǎn)的任意性，可知 w = w，即角速度與本體坐標(biāo)的原點(diǎn)選擇無關(guān)。一般運(yùn)動(dòng)時(shí)剛體點(diǎn)的速度剛體做一般運(yùn)動(dòng)時(shí)，本體坐標(biāo)中有一點(diǎn)C的速度為0：這一點(diǎn)我們叫它轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。若以這一點(diǎn)為本體坐標(biāo)系的原

11、點(diǎn)，剛體在這一瞬間圍繞這點(diǎn)做純轉(zhuǎn)動(dòng)。這時(shí)剛體上的任意一點(diǎn)P的速度為而過C點(diǎn)且沿著 w 方向軸線上，各點(diǎn)速度都為0，我們稱這個(gè)軸線為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸。轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心和瞬軸轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心可以直接求解：利用剛體上任意兩點(diǎn)P、Q的速度方向均分別與CP、CQ垂直的性質(zhì)，可以做垂線獲得交點(diǎn)，即為瞬心C點(diǎn)。利用滾動(dòng)接觸點(diǎn)找轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。當(dāng)剛體與空間靜止的物體接觸并在其上做純滾動(dòng)時(shí)，接觸點(diǎn)即為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的尋找各個(gè)時(shí)刻的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心在空間坐標(biāo)中留下的軌跡稱為空間極跡。極跡，類似南北極點(diǎn)留下的軌跡。由于不同時(shí)刻有不同的點(diǎn)成為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心，轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心在本體坐標(biāo)系中也留下了軌跡，稱為本體極跡。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)可以看作是本體極跡在空間極跡軌道上做純滾

12、動(dòng)的過程。空間極跡和本體極跡將剛體看成質(zhì)點(diǎn)系，其動(dòng)量為（帶撇為質(zhì)心系）：即剛體的總動(dòng)量等價(jià)于全部質(zhì)量集中在質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。而剛體的角動(dòng)量為：剛體的角動(dòng)量等效于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量，以及圍繞質(zhì)心的角動(dòng)量 L 兩部分。剛體的動(dòng)量和角動(dòng)量質(zhì)心系中圍繞質(zhì)心的角動(dòng)量 L 可表示為：這里定義了慣量張量（其中I是單位張量）：慣量張量這里寫為并矢形式，它也有矩陣形式。剛體的角動(dòng)量和慣量張量角動(dòng)量 L 寫成矩陣的表達(dá)式可知慣量張量的矩陣表達(dá)為（離散和連續(xù)情況）：角動(dòng)量和慣量張量的矩陣表示剛體的動(dòng)能為：也可表示為等效質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能和圍繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的動(dòng)能兩部分。剛體的動(dòng)能慣量張量是對(duì)稱的矩陣。在本體坐標(biāo)系中計(jì)算慣量張

13、量，其分量保持不變。慣量張量給出了剛體的力學(xué)性質(zhì)，用于計(jì)算角動(dòng)量和動(dòng)能十分便利。慣量張量對(duì)角項(xiàng)總為正（0），稱為相應(yīng)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，非對(duì)角項(xiàng)稱為慣量積，對(duì)于對(duì)稱情況，慣量積為0。由于動(dòng)能的非負(fù)性質(zhì)，慣量張量也是非負(fù)的二次型矩陣。特別地，當(dāng)慣量張量只有對(duì)角項(xiàng)不為0時(shí)，3個(gè)對(duì)角項(xiàng)都必須是非負(fù)的。慣量張量的一些性質(zhì)一般情況下，角動(dòng)量 L 的方向并不與角速度 w方向平行。只在特殊情況下兩者平行：滿足這種條件的軸的方向稱為主軸方向，這個(gè)條件也等價(jià)于求方程的非零解，因此，要求線性方程組的系數(shù)行列式為0：行列式為0的條件得到了關(guān)于 l 的一元三次方程，有3個(gè)解，都是非負(fù)的實(shí)數(shù)：慣量張量的主軸同時(shí)，l 也是慣

14、量張量矩陣的本征值，非0解 w 的方向向量即為該本征值對(duì)應(yīng)的本征向量。由于慣量張量是對(duì)稱的，不同的本征值對(duì)應(yīng)的本征向量彼此垂直：相同的本征值時(shí)（重根），它們的本征向量的線性組合也是本征向量，可在它們線性組合構(gòu)成的平面內(nèi)找到兩個(gè)相垂直的本征向量。慣量張量的本征值和本征向量以3個(gè)相互垂直的本征向量方向?yàn)檩S向建立本體直角坐標(biāo)系，即本征向量坐標(biāo)系，此時(shí)有同樣處理另外兩個(gè)方向，可得慣量張量為對(duì)角陣本征向量坐標(biāo)系中的慣量張量一般情況下，本體坐標(biāo)系并非本征向量坐標(biāo)系，但可以通過一次旋轉(zhuǎn)，從本征向量坐標(biāo)系（不帶撇）變換到一般的本體坐標(biāo)系（帶撇）。旋轉(zhuǎn)矩陣R為歸一化的3個(gè)本征列向量并排排列得到。旋轉(zhuǎn)矩陣R滿足正

15、交歸一的條件，其逆矩陣即為自身的轉(zhuǎn)置。本體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換慣量張量的對(duì)角項(xiàng)是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，特別是取本征向量坐標(biāo)系時(shí)，慣量張量只有對(duì)角項(xiàng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不為零。當(dāng)質(zhì)心不在轉(zhuǎn)軸上時(shí)，有平行軸定理均勻?qū)ΨQ簡(jiǎn)單幾何體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為這里 Lx Ly 是物體在x和y方向的尺度。N是與幾何體形狀有關(guān)的正整數(shù)（方3，圓4，球5）。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算長(zhǎng)方體a*b*c圓柱體pa2*H橢球體4pa*b*c/3球殼4p(a3-b3)/3第27次課作業(yè)：4.2，4.6，4.8，4.9定義任意方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 使得剛體繞該方向軸線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 與方向有關(guān)，當(dāng)然與角速度大小無關(guān)。沿軸線方向截取長(zhǎng)度為 的點(diǎn)，當(dāng)方向變

16、動(dòng)時(shí)，該點(diǎn)的軌跡就是一個(gè)橢球面：這即為慣量橢球。慣量橢球利用主軸方向的3個(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可方便地構(gòu)建慣量橢球。對(duì)于任意方向，從慣量橢球面到中心的距離 d，可得到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I=d-2 從而可計(jì)算動(dòng)能T=I w2/2。角動(dòng)量的方向就是橢球面的法線方向。事實(shí)上，沿著橢球面法線方向即為橢球方程左端的梯度方向：慣量橢球是較“圓”的橢球，因?yàn)槊總€(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都不大于其他兩個(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和（由定義可證），因而橢球的3個(gè)軸相差不大。慣量橢球的應(yīng)用求均質(zhì)圓錐體的慣量張量，原點(diǎn)在底面圓心。舉例均質(zhì)立方體頂點(diǎn)位于原點(diǎn)且三個(gè)邊分別位于三個(gè)坐標(biāo)軸上，邊長(zhǎng)為a。求慣量張量并做對(duì)角化。舉例牛頓矢量力學(xué)對(duì)剛體定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問題的處理。

17、在本體坐標(biāo)系中：歐拉動(dòng)力學(xué)方程拉格朗日方程處理剛體定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問題，結(jié)果不變。以拉格朗日法求方程由角速度的歐拉角表達(dá)式得求 w 對(duì) y 偏導(dǎo)時(shí)，y 增加對(duì)本體坐標(biāo)系中的矢量是反向旋轉(zhuǎn)，而求力矩時(shí)在空間坐標(biāo)系中，是正向旋轉(zhuǎn)。依對(duì)稱性同樣可得x和y方向的動(dòng)力學(xué)方程。拉格朗日法得到歐拉動(dòng)力學(xué)方程四元數(shù)處理剛體定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問題，結(jié)果不變。四元數(shù)的動(dòng)力矩方程定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體不受外力矩（或合外力矩為0），稱為自由剛體。由于總力矩為0，因而角動(dòng)量守恒。又約束轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)沒有力矩做功，剛體的動(dòng)能守恒。當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量的本體坐標(biāo)分量會(huì)不斷變化，但它的大小不會(huì)變化。因此有兩個(gè)守恒量：當(dāng)然也可以直接積分得到這兩個(gè)守恒量。力矩方

18、程分別點(diǎn)乘w積分，或者點(diǎn)乘（I1wx，I2wy，I3wz）積分即可。自由轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體從中解出以wz表示的wx，wy：可以解析求解，得到關(guān)于第一類不完全橢圓積分的特殊函數(shù)，由于數(shù)學(xué)上繁瑣就不再詳解和討論。自由轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體求解以本體坐標(biāo)系中的慣量橢球代表剛體，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度w與慣量橢球交點(diǎn)Q處，有固定的切平面。這是因?yàn)榍忻娴姆ň€方向即為守恒的角動(dòng)量的方向，因此切平面都是彼此平行的；同時(shí)，原點(diǎn)O到切平面的距離也固定：而Q點(diǎn)也是轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心，因此，轉(zhuǎn)動(dòng)的空間極跡在此固定平面內(nèi)，本體極跡在慣量橢球上。慣量橢球在平面上做（原點(diǎn)O固定的）純滾動(dòng)。自由轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的幾何圖示可以看出，如果有兩個(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相同，慣量橢球就是軸對(duì)

19、稱的，其空間極跡就是一個(gè)圓，轉(zhuǎn)軸OQ繞著角動(dòng)量L的方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，可以解析求解。如果慣量橢球不是軸對(duì)稱的，空間極跡的曲線就會(huì)比較復(fù)雜，不易求解。自由轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的極跡QLO作業(yè)：4.10，4.12，4.14，4.15第28次課自由轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，如果主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中有兩個(gè)相同，稱為對(duì)稱歐拉陀螺。它的慣量橢球是軸對(duì)稱的，設(shè) I1=I2，因此：在本體坐標(biāo)系中，角速度矢量其大小不變，并圍繞 z 軸做角頻率為W的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)稱歐拉陀螺在空間坐標(biāo)系中， 也是常數(shù)，與 z 軸即L的夾角也是常數(shù)，為 cos-1(wz/w)。通過計(jì)算本體坐標(biāo)系z(mì)軸上的點(diǎn)的速度，可以計(jì)算該軸的回旋角頻率。對(duì)稱歐拉陀螺的極跡ww進(jìn)一步求解對(duì)稱

20、歐拉陀螺的歐拉角結(jié)果無章動(dòng)，有進(jìn)動(dòng)。地球可看作對(duì)稱歐拉陀螺，其南北軸線半徑短于赤道面的半徑，因而南北軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大，比例為(I3-I1)/I1=1/306，而wz為1天對(duì)應(yīng)的角頻率。故進(jìn)動(dòng)周期約300天。但實(shí)際為420天。這是由于地球非剛體、非軸對(duì)稱和非自由不受外力矩等所致。對(duì)稱歐拉陀螺的運(yùn)動(dòng)設(shè)想一個(gè)沿主軸做定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的剛體，不妨設(shè)沿x軸，即 w=wex，受到微小擾動(dòng)而變化。此時(shí)：由于wy，wz 都是小量，乘積為二階小量可忽略?？傻脀x為常量，而wy，wz 是以角頻率做簡(jiǎn)諧振蕩或增長(zhǎng)和衰減，決定于 n2 的正負(fù)。歐拉陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)的穩(wěn)定性若歐拉陀螺是對(duì)稱的，設(shè) I1=I2，此時(shí)對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)顯然是穩(wěn)

21、定的。而對(duì)于開始是x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，可得wy 將是線性增加的，因而總是不穩(wěn)定的。有時(shí)，物體并非理想剛體，其內(nèi)部的耗散作用使得動(dòng)能不斷降低，但內(nèi)力作用并不改變角動(dòng)量，角動(dòng)量依然守恒。對(duì)此，可作如下處理：對(duì)稱歐拉陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)的穩(wěn)定性考慮耗散使動(dòng)能減小。若 I1 I3（相當(dāng)于勻質(zhì)物體z軸方向尺度大于其他兩個(gè)方向尺度），動(dòng)能減小則q角增加，這時(shí)旋轉(zhuǎn)軸逐漸遠(yuǎn)離z軸，因而繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。對(duì)稱歐拉陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)的穩(wěn)定性拉格朗日陀螺是在重力場(chǎng)中的對(duì)稱陀螺，繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。此時(shí)拉格朗日函數(shù)為：其中，y ，j 和時(shí)間 t 都沒有出現(xiàn)。這樣，就有3個(gè)運(yùn)動(dòng)積分。對(duì)應(yīng)守恒的廣義動(dòng)量：拉格朗日陀螺反解可得：守恒的廣義能量積分為：這相

22、當(dāng)于以q 為廣義坐標(biāo)的質(zhì)量為I1的質(zhì)點(diǎn)在有效勢(shì)中Veff中運(yùn)動(dòng)：拉格朗日陀螺的有效勢(shì)如圖所示，若能量為E，則q 在q1與q2之間的勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化。進(jìn)動(dòng)速度是否能為負(fù)，決定了運(yùn)動(dòng)的3種形態(tài)。拉格朗日陀螺運(yùn)動(dòng)的圖示VeffEq1q2p作業(yè)：4.16，4.17，4.18，4.20第29次課對(duì)于高速回轉(zhuǎn)情況，當(dāng)q 變小使進(jìn)動(dòng)速度為0之時(shí)，若q 繼續(xù)變小有效勢(shì)會(huì)迅速增大達(dá)到總能量，q 迅速達(dá)到極小值q1 。因而此時(shí)，章動(dòng)速度很小，以致可以視為0?？焖倮窭嗜胀勇莞咚倩剞D(zhuǎn)情況，也可近似認(rèn)為q 不變，進(jìn)動(dòng)速度均勻且遠(yuǎn)小于自轉(zhuǎn)速度。角動(dòng)量以自轉(zhuǎn)角動(dòng)量為主。重力矩與角動(dòng)量垂直，因而它使角動(dòng)量回旋

23、而不改變其大小。此時(shí)，可估算進(jìn)動(dòng)速度。快速拉格朗日陀螺近似解LzmgM子彈高速旋轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性。子彈射出之時(shí)，由于槍膛里的來復(fù)線的作用，向前的同時(shí)也有高速的旋轉(zhuǎn)。此時(shí)，空氣阻力產(chǎn)生力矩，使子彈頭方向偏離正前方。但由于高速旋轉(zhuǎn)時(shí)的穩(wěn)定性，力矩的作用僅使轉(zhuǎn)軸方向產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)，彈頭依然基本保持向前的方向?；剞D(zhuǎn)力矩。若要使高速旋轉(zhuǎn)的剛體轉(zhuǎn)向，需要在轉(zhuǎn)軸上施加很大的力矩。如螺旋槳飛機(jī)轉(zhuǎn)向，螺旋槳軸受到的力矩為 ，遠(yuǎn)大于靜態(tài)時(shí)所受的力矩。這在設(shè)計(jì)時(shí)要注意?；剞D(zhuǎn)羅盤。利用高速旋轉(zhuǎn)剛體的特點(diǎn)，用于導(dǎo)航?？焖倮窭嗜胀勇莸膽?yīng)用將定軸設(shè)為空間坐標(biāo)系的 z 軸。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)整理得特別當(dāng) y=0 或I1=I2時(shí)，空間坐標(biāo)系

24、中所受力矩為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)所受力矩將定軸設(shè)為空間坐標(biāo)系的z軸。對(duì)于 y=0 的剛體，空間坐標(biāo)系解剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)均勻圓盤轉(zhuǎn)軸安裝偏離盤面法線方向1，圓盤質(zhì)量20kg，半徑0.2m，距離軸兩端都是0.5m，轉(zhuǎn)速12000r/min求軸上所受動(dòng)反作用力。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)例題剛體的運(yùn)動(dòng)可分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。處理平動(dòng)，剛體可用質(zhì)點(diǎn)模型；處理轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)常用歐拉角描述。有限角度轉(zhuǎn)動(dòng)不是矢量，而無限小角度轉(zhuǎn)動(dòng)是矢量，符合交換率和矢量合成法則。因此，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)能合成唯一的角速度矢量w，且剛體上任意點(diǎn)的速度表示為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，本體極跡在空間極跡上做純滾動(dòng)。使用剛體的慣量張量和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度w就能描述

25、剛體的角動(dòng)量和能量。剛體的具體形狀、質(zhì)量分布等都是通過慣量張量影響它的動(dòng)力學(xué)行為。剛體力學(xué)總結(jié)每個(gè)剛體都存在三個(gè)相互垂直的主軸方向，以此三個(gè)方向建立的本體直角坐標(biāo)系中，剛體的慣量張量矩陣是對(duì)角線型的，且數(shù)值不變。剛體的動(dòng)力學(xué)方程，即外力矩等于角動(dòng)量的變化，從中可以解出角速度w隨時(shí)間的變化。自由定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，角動(dòng)量守恒，角速度w絕對(duì)值不變，繞角動(dòng)量方向作勻速進(jìn)動(dòng)。對(duì)稱剛體在重力場(chǎng)中的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其章動(dòng)角的變化如同限制在有效勢(shì)阱中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，剛體的運(yùn)動(dòng)具有穩(wěn)定性。定軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)軸若與慣量主軸不平行，轉(zhuǎn)軸將產(chǎn)生較大的動(dòng)反作用力矩。剛體力學(xué)總結(jié)（續(xù)）作業(yè)：4.19，4.21，4.22，4

26、.23第30次課牛頓力學(xué)處理經(jīng)典力學(xué)問題相當(dāng)成功，以至于歷史上人們認(rèn)為，當(dāng)初始條件一旦給定，用牛頓力學(xué)就可以精確計(jì)算出以后力學(xué)體系的變化。相對(duì)論打破了牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀，但相對(duì)論本質(zhì)上仍然是確定性的。量子力學(xué)的結(jié)果有著隨機(jī)性，但幾率分布是確定的。但即使是確定性的系統(tǒng)，如果具有非線性性質(zhì)，初始條件的任何微小變化都可能使結(jié)果產(chǎn)生巨大的差別。這種決定性的方程給出看似隨機(jī)的結(jié)果的現(xiàn)象，稱為混沌（Chaos）。在線性系統(tǒng)中，初始條件的微小變化只能使結(jié)果也產(chǎn)生微小變化，混沌是非線性系統(tǒng)特有的現(xiàn)象。非線性系統(tǒng)和混沌1961年冬的一天，美國(guó)麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)家愛德華洛侖茲在計(jì)算機(jī)上模擬天氣情況，他的真空管計(jì)算

27、機(jī)速度約每秒做6次乘法。經(jīng)簡(jiǎn)化后的洛侖茲氣象模型為洛侖茲方程的結(jié)果在相空間 中形成“奇怪吸引子”。http:/website/archives/lorenz_attactor洛侖茲方程為省時(shí)間，洛侖茲將上次記錄的中間數(shù)據(jù)作為初值輸入重新計(jì)算，指望重復(fù)出現(xiàn)上次計(jì)算的后半段結(jié)果，然后再接下去往前算。然而經(jīng)過一段重復(fù)后，計(jì)算機(jī)卻偏離了上次的結(jié)果。初始值微小的變化，可能引起一段時(shí)間之后的結(jié)果產(chǎn)生巨大的變化。這種特性，即著名的蝴蝶效應(yīng)。蝴蝶效應(yīng)他第二次輸入時(shí)去掉了小數(shù)點(diǎn)后面三位：0.506127 = 0.506小振幅的單擺，方程有確定的解析解。對(duì)于一般受迫情況，相圖上出現(xiàn)周期吸引子或極限環(huán)。單擺系統(tǒng)（線

28、性）簡(jiǎn)諧振蕩：閉合圈-周期環(huán)阻尼振蕩：從外向內(nèi)收縮的螺旋線，最終停止于中點(diǎn)-不動(dòng)點(diǎn)吸引子 受迫振動(dòng)：經(jīng)過暫態(tài)之后趨于一穩(wěn)定的閉合圈-周期吸引子或極限環(huán)大振幅情況下有阻尼時(shí)（左）和無阻尼時(shí)（右）的相圖，及相圖上的橢圓點(diǎn)、雙曲奇點(diǎn)（鞍點(diǎn)）、分界線。單擺相圖周期變量的柱形相圖相圖橫坐標(biāo)q是以2p為周期的，擺角p是單擺的同一個(gè)倒立位置，把相圖上G點(diǎn)與G點(diǎn)重迭一起時(shí)，就把相平面卷縮成一個(gè)柱面。所有相軌線都將呈現(xiàn)在柱面上。對(duì)于大振幅的阻尼單擺，仍然有橢圓積分的解析解。但對(duì)于一般受迫情況，無解析解，相圖上出現(xiàn)混沌。受迫阻尼單擺可寫為自治系統(tǒng)：自治系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程不顯含時(shí)間 t 的。一個(gè)自治系統(tǒng)在其相空間上的

29、相軌線不會(huì)相交，即通過每一相點(diǎn)的軌線是唯一的，而非自治系統(tǒng)中相軌線則會(huì)相交。受迫阻尼單擺（非線性）若沿f方向截取一系列截面，則根據(jù)該自治系統(tǒng)的性質(zhì)，每個(gè)截面上只有一個(gè)交點(diǎn)，即相軌線一次性的穿過每一個(gè)截面。因 f = Wt = 2np，若以2p 為周長(zhǎng)，將相空間彎成一圓環(huán)，則在該環(huán)形相空間上所取的任一固定截面稱為龐加勒截面。龐加勒截面圖相軌線在龐加勒截面上的交點(diǎn)的集合就稱為龐加勒截面圖。通過分析相軌線在龐加勒截面上的交點(diǎn)的分布規(guī)律，就可了解到在長(zhǎng)時(shí)間周期性的演變過程中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。單周期振動(dòng)，每隔2p運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)原，即相軌線每次都從同一點(diǎn)穿過龐加勒截面，在龐加勒截面圖上只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)(a)；倍周

30、期的運(yùn)動(dòng)，龐加勒截面圖上有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)(b)；運(yùn)動(dòng)無周期性，則龐加勒截面圖上有無窮多個(gè)點(diǎn)(c)。龐加勒截面圖的應(yīng)用(a)(b)(c)隨著驅(qū)動(dòng)力增加，單擺的龐加勒截面上周期增加。周期數(shù)增加(a)雙周期(b)四周期(c)混沌隨著驅(qū)動(dòng)力增加，單擺運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)成倍增加，最后出現(xiàn)混沌。在混沌狀態(tài)中又復(fù)現(xiàn)的周期性運(yùn)動(dòng)，稱為混沌區(qū)中的周期窗口。如繼續(xù)增大驅(qū)動(dòng)力 ，則出現(xiàn)一個(gè)三倍周期的運(yùn)動(dòng)-周期三窗口。再增大驅(qū)動(dòng)力時(shí)，系統(tǒng)又再次進(jìn)入混沌狀態(tài)。混沌與周期性交替出現(xiàn)三周期的運(yùn)動(dòng)隨著外加的受迫力增大，系統(tǒng)由單周期，變?yōu)槎吨芷诘倪\(yùn)動(dòng)，即出現(xiàn)了倍周期分岔。最后出現(xiàn)混沌。處于混沌狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的行為對(duì)于初值十分敏感，稱這一

31、特性為混沌的初值敏感性-蝴蝶效應(yīng)。即相軌道(運(yùn)動(dòng)狀態(tài))完全不可預(yù)測(cè)。混沌系統(tǒng)的吸引子圖(a)中兩條曲線的運(yùn)動(dòng)完全各異，但它們的龐加勒截面圖(c)和(d)卻又是完全相同的?；煦绲南嘬壘€在龐加勒截面上的這種點(diǎn)集稱為混沌吸引子。混沌行為具有極為敏感的初值依賴性，相軌道(運(yùn)動(dòng)狀態(tài))完全不可預(yù)測(cè)。貌似隨機(jī)的混沌運(yùn)動(dòng)，其長(zhǎng)期的演化行為遵從確定的規(guī)律-混沌運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在規(guī)律性?；煦缥邮欠蔷€性耗散系統(tǒng)混沌的特征，表明耗散系統(tǒng)演化的歸宿。代表混沌行為的全局特征混沌吸引子卻具有不依賴于初值的、確定的規(guī)則。這是混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)別于真實(shí)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的重要標(biāo)志。在混沌狀態(tài)中又復(fù)現(xiàn)的周期性運(yùn)動(dòng)。而真正的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)中，不可能出現(xiàn)這種情

32、況?；煦缗c隨機(jī)性對(duì)于自治的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的方程一般可以寫為在相空間的軌跡一般沒有交點(diǎn)。但也有例外，即在一些不動(dòng)點(diǎn)或平衡點(diǎn)P處，其速度為0，有：從而相軌線失去前進(jìn)的方向，即平衡點(diǎn)處可以出現(xiàn)軌線相交的現(xiàn)象。因而這些平衡點(diǎn)也成為奇點(diǎn)。在平衡點(diǎn)附近，相軌線的走向?yàn)閯?dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)雅可比矩陣為平衡點(diǎn)的類型由雅可比矩陣的本征值決定。對(duì)于雅可比矩陣的每一個(gè)本征值li，對(duì)應(yīng)一個(gè)本征向量Xi定義新的坐標(biāo)平衡點(diǎn)附近的走向平衡點(diǎn)附近，對(duì)于雅可比矩陣的每一個(gè)本征值li及對(duì)應(yīng)一個(gè)本征向量Xi，該本征向量隨時(shí)間的變化因子為exp(lit)。本征值是正實(shí)數(shù)，則相軌跡沿著本征向量方向遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)；反之，若為負(fù)實(shí)數(shù)，則向平衡點(diǎn)靠攏

33、。若出現(xiàn)共軛復(fù)數(shù)的本征值，相軌跡在這對(duì)共軛向量決定的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，并依實(shí)部的正負(fù)決定是遠(yuǎn)離還是靠近平衡點(diǎn)。以二維相空間為例，有橢圓點(diǎn)（本征值為純虛數(shù)），鞍點(diǎn)（兩本征值符號(hào)相反），焦點(diǎn)（共軛復(fù)數(shù)，實(shí)部為負(fù)時(shí)是穩(wěn)定的，為正就不穩(wěn)定），穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)（兩個(gè)正本證值），不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)（兩個(gè)負(fù)本征值）。平衡點(diǎn)的類型對(duì)于二維相空間，從平衡點(diǎn)的雅可比矩陣，求本征值，得到一元二次方程：平衡點(diǎn)的類型分為：中心點(diǎn)。Rel=0鞍點(diǎn)。l10，l20穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。l10，l20，l20穩(wěn)定焦點(diǎn)。Rel0二維相空間平衡點(diǎn)的類型p2=4ql10l20l20共軛Rel0pql10l2x+a/2b）和比例變換，兩者本質(zhì)相同。蟲口模型平方項(xiàng)帶來

34、了最簡(jiǎn)單的非線性項(xiàng)。遞推關(guān)系本來等價(jià)于微分方程的速度用時(shí)間差分表示：但Dt-0時(shí)，每次 x 的變動(dòng)不趨向于0，數(shù)值差分的不穩(wěn)定造成和微分方程的解不同的結(jié)果。遞推關(guān)系取為在整個(gè)區(qū)間取值迭代便得出由周期運(yùn)動(dòng)到倍周期分岔，再進(jìn)入混沌狀態(tài)的整個(gè)演化過程。如下圖所示。蟲口模型的倍周期分岔倍周期分岔序列： 1-2-4-8-.2n-.每次分岔開始的m變化很有規(guī)律：當(dāng)n-時(shí)，則意味著系統(tǒng)已進(jìn)入混沌狀態(tài)。右圖方框內(nèi)是周期窗口。在混沌區(qū)中重又出現(xiàn)的周期性運(yùn)動(dòng)。窗口中包含著與整體完全相似的結(jié)構(gòu)。從倍周期分岔到混沌123混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)看似混亂的混沌體系中，包含著豐富有序的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。任何局部的小區(qū)域都包含著整體的

35、信息，具有與整體完全相似的規(guī)律。在混沌內(nèi)部所包含的這種在不同尺度上的相似結(jié)構(gòu)稱為自相似性。在整個(gè)區(qū)間取值迭代便得出由周期運(yùn)動(dòng)到倍周期分岔，再進(jìn)入混沌狀態(tài)的整個(gè)演化過程。如下圖所示。從拓?fù)淇臻g上來講，自相似結(jié)構(gòu)的維數(shù)往往不是整數(shù)維，而是分?jǐn)?shù)維的，也就是具有分形的性質(zhì)。混沌帶的合并 -從逆著混沌演化的方向，可找到混沌帶合并的規(guī)律：自相似結(jié)構(gòu)若將第n倍周期分岔（或混沌帶合并）時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)m記為mn，則相繼兩次分岔（或合并）的間隔之比趨于同一個(gè)常數(shù)費(fèi)根鮑姆常數(shù)：注意：常數(shù)d并不只限于單擺公式，而是對(duì)所有同一類的變換，所得的d值都精確地相同。 d的數(shù)值只與系統(tǒng)的某種非線性性質(zhì)有關(guān)，而與各個(gè)系統(tǒng)的其他具體

36、細(xì)節(jié)無關(guān)。它反映出混沌演化過程中所存在的一種普適性，是混沌內(nèi)在規(guī)律性的另一個(gè)側(cè)面反映。普適的費(fèi)根鮑姆常數(shù)對(duì)初值敏感的系統(tǒng)，初值有個(gè)偏差D0，則導(dǎo)致迭代之后差別為D1=f (x0)D0，迭代n次之后差別為Dn=f (n)(x0)D0=f (x0) f (x1) . f(n)(xn-1)D0因此Dn隨著n大致呈指數(shù)增長(zhǎng)?？啥x李雅普諾夫指數(shù)l為對(duì)數(shù)情況下的增長(zhǎng)系數(shù)，即 Dn = elt D0顯然，可計(jì)算l如下右圖是拋物線變換 的李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)在二十世紀(jì)七十年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德爾勃羅特在他的著作中探討了英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？這個(gè)問題這依賴于測(cè)量時(shí)所使用的尺度。如果用公里作測(cè)量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會(huì)被忽略；改用米來做單位，測(cè)得的總長(zhǎng)度會(huì)增加，但是一些厘米量級(jí)以下的就不能反映出來。存在著可以變化許多個(gè)數(shù)量級(jí)的“無標(biāo)度”區(qū)，長(zhǎng)度不是海岸線的定量特征，就要用分維。分維才是海岸線的確切特征量，海岸線的分維均介于1到2之間。分形和分維分形具有自相似結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)?？梢允褂煤?jiǎn)單結(jié)構(gòu)通過自相似嵌套，形成復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。自然界中的樹木、海岸線、山峰、布朗運(yùn)動(dòng)、湍流等都可以看作是分形。分形具有標(biāo)度不變形的特點(diǎn)。如果標(biāo)度為L(zhǎng)的分形結(jié)構(gòu)體積是V，則有其中，D是分形的維數(shù)。對(duì)于簡(jiǎn)單的幾何體，維數(shù)是整數(shù)，對(duì)于分形，其維數(shù)一般是分?jǐn)?shù)。分形的自相似結(jié)構(gòu)和分?jǐn)?shù)維下圖