高等數(shù)學(xué)第一章-課件(2)

1、高 等 數(shù) 學(xué) 第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)第一節(jié)函數(shù)第二節(jié)極限第三節(jié)極限的運(yùn)算第四節(jié)初等函數(shù)的連續(xù)性第五節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第一節(jié) 函數(shù) 函數(shù)一1.函數(shù)的概念定義11 給定兩個(gè)實(shí)數(shù)集D和E，若有一個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，使得對(duì)每個(gè)xD，都有唯一確定的值yE與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)f是定義在數(shù)集D上的函數(shù)，記作y=f(x) ，xD。其中，x稱(chēng)為自變量，y稱(chēng)為因變量，D稱(chēng)為函數(shù)fx的定義域，全體函數(shù)值的集合E稱(chēng)為函數(shù)的值域.如果在D中任取某一個(gè)數(shù)值x0，與之對(duì)應(yīng)的y的數(shù)值y0，稱(chēng)為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，記作y0=f(x)0 。 第一節(jié) 函數(shù) 關(guān)于函數(shù)的定義，我們進(jìn)行如下說(shuō)明：定義11中函數(shù)f(x)的值域

2、可以由定義域D和對(duì)應(yīng)關(guān)系f所確定，因此，定義域D和對(duì)應(yīng)關(guān)系f是確定函數(shù)的兩個(gè)主要因素。由此，我們說(shuō)某兩個(gè)函數(shù)相同，是指它們有相同的定義域和相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 第一節(jié) 函數(shù) 第一節(jié) 函數(shù) 2.函數(shù)的表示法圖11常用的函數(shù)的表示方法主要有三種：（1）圖像法。如圖11所示的曲線(xiàn)就表示了一個(gè)函數(shù)y=f（x）。這時(shí)直線(xiàn)x=a與曲線(xiàn)y=f（x）交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)b就是函數(shù)值f（a）,b=f（a）。 第一節(jié) 函數(shù) （2）列表法。三角函數(shù)表等是最常見(jiàn)的列表表示的函數(shù)。（3）解析法（公式法）。其圖像如圖12所示。圖12 第一節(jié) 函數(shù) 3.函數(shù)的特性1）有界性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈,若存在正數(shù)M,使得對(duì)每一個(gè)xD,

3、都有f（x）M成立,則稱(chēng)f（x）為上的有界函數(shù),否則,稱(chēng)f（x）為D上的無(wú)界函數(shù)。有界函數(shù)的幾何意義：若函數(shù)f（x）為D上的有界函數(shù),則函數(shù)f（x）的圖像完全落在直線(xiàn)y=M與y=-M之間。 第一節(jié) 函數(shù) 第一節(jié) 函數(shù) 圖13圖14 第一節(jié) 函數(shù) 3）奇偶性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),若對(duì)于任意xD,都有（1）f（x）=f（-x）成立,則稱(chēng)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；4）周期性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈,若存在一個(gè)正數(shù)T,使得對(duì)于任意xD有(xT)D,且f（xT）=f（x）恒成立,則稱(chēng)f（x）為周期函數(shù),T稱(chēng)為f（x）的周期。 第一節(jié) 函數(shù) 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)二1.反函數(shù)函數(shù)f（x）反映了兩個(gè)

4、變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,當(dāng)自變量在定義域D內(nèi)取定一個(gè)值后,因變量y的值也隨之唯一確定。例如，在自由落體運(yùn)動(dòng)中,如果已知物體下落時(shí)間t，要求出下落距離s,則有公式s=12gt2(t0,g為重力加速度),這里的t是自變量而距離s是因變量。但我們也常常需要考慮反過(guò)來(lái)的問(wèn)題。 第一節(jié) 函數(shù) 第一節(jié) 函數(shù) 2.復(fù)合函數(shù)在有些實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)兩個(gè)變量之間的依賴(lài)關(guān)系不是直接的,而是通過(guò)第三個(gè)變量聯(lián)系起來(lái)的。例如，質(zhì)量為m的物體做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí),動(dòng)能E是時(shí)間t的函數(shù)(不考慮空氣阻力)。 第一節(jié) 函數(shù) 第一節(jié) 函數(shù) 初等函數(shù)三1.基本初等函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中,我們已經(jīng)熟悉以下幾類(lèi)函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函

5、數(shù)和反三角函數(shù),將這五類(lèi)函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù)。（1）冪函數(shù)y=x，是常數(shù)，R,其圖像如圖1-5所示。（2）指數(shù)函數(shù)y=ax,a是常數(shù)且a0，a1，x（-，+），其圖像如圖1-6所示。 第一節(jié) 函數(shù) 圖1-5 圖1-6 第一節(jié) 函數(shù) 圖1-7 第一節(jié) 函數(shù) (4)三角函數(shù)。三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)和余割函數(shù)6種。正弦函數(shù)y=sinx，x（-，+），y-1，1，其圖像如圖1-8所示。圖1-8 第一節(jié) 函數(shù) 余弦函數(shù)y=cosx，x（-，+），y-1，1，其圖像如圖1-9所示。圖1-9 第一節(jié) 函數(shù) 正切函數(shù) y=tanx，kZ，xk+y（-，+），其圖像如圖1

6、-10所示。圖1-10 第一節(jié) 函數(shù) 余切函數(shù)y=cotx，kZ，xk，y（-，+）,其圖像如圖111所示。圖111 第一節(jié) 函數(shù) 第一節(jié) 函數(shù) 圖112圖113 第一節(jié) 函數(shù) 反正切函數(shù)y=arctanx，x（-，），y其圖像如圖114所示。圖114 第一節(jié) 函數(shù) 反余切函數(shù)y=arccotx，x（-，），y（0，），其圖像如圖115所示。圖115 第一節(jié) 函數(shù) 2.初等函數(shù)第二節(jié) 極 限數(shù)列極限的定義一極限概念是求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的。例如，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積的方法割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用。設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正六邊形，把它

7、的面積記為A1;再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2;再作內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3;循此下去，每次邊數(shù)加倍，一般把內(nèi)接正62n-1邊形的面積記為An(nN+).這樣，就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積。第二節(jié) 極 限例如,數(shù)列(3)與(4)均為發(fā)散數(shù)列。因?yàn)閿?shù)列(-1) n的每一項(xiàng)值隨著n的改變?cè)?和1這兩個(gè)數(shù)值上擺動(dòng),從而不能無(wú)限接近于某一個(gè)確定的數(shù)值；數(shù)列n2由于它的通項(xiàng)n2隨著n無(wú)限增大,也在無(wú)限制的增大,從而不能無(wú)限接近于某一個(gè)確定的數(shù)值,所以這兩個(gè)數(shù)列都不收斂。一般地,有如下數(shù)列極限的定義。第二節(jié) 極 限收斂數(shù)列的性質(zhì)二定理1-1（極限的唯一性） 如果數(shù)列xn收斂，那么它的極限唯一

8、。定理1-2（收斂數(shù)列的有界性） 如果數(shù)列xn收斂，那么數(shù)列xn一定有界。 定理1-3（收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系） 如果數(shù)列xn收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a。第二節(jié) 極 限函數(shù)的極限三1.x趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限x趨于無(wú)窮大表示自變量的絕對(duì)值無(wú)限增大,記為x。顯然,同時(shí)包含兩種情況：當(dāng)x0時(shí),記為x+（讀作x趨于正無(wú)窮大）；當(dāng)x0時(shí),記為x-（讀作x趨于負(fù)無(wú)窮大）。考察函數(shù)f(x)=SX(1xSX)和g(x)=arctanx的圖像（如圖1-16和圖1-17所示）第二節(jié) 極 限圖116 圖117第二節(jié) 極 限第二節(jié) 極 限2.x趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限x趨于某一定數(shù)x0,它表示

9、自變量x以任何方式從x0的左、右兩側(cè)趨近于x0,記為xx0。通常x從x0的左側(cè)趨近于x0記為xx0-,x從x0的右側(cè)趨近于x0記為xx0+.可見(jiàn),xx0同時(shí)包含xx0-和xx0+兩個(gè)過(guò)程。第二節(jié) 極 限由圖118可見(jiàn)。 由圖119可見(jiàn),函數(shù)f(x)=x+2,當(dāng)x無(wú)限趨近于2而不等于2時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就無(wú)限地趨近于4。第二節(jié) 極 限圖118 圖119第二節(jié) 極 限3.單側(cè)極限有些函數(shù)在某些點(diǎn)的左、右兩側(cè)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式不同(如分段函數(shù)中某些點(diǎn))或函數(shù)僅在某一側(cè)有定義(如區(qū)間端點(diǎn)上),函數(shù)在這些點(diǎn)上的極限只能單側(cè)地加以討論。 函數(shù)圖像如圖120所示。圖120第二節(jié) 極 限無(wú)窮小量與無(wú)窮大量四1.

10、無(wú)窮小量定義19 若函數(shù)f(x)在自變量的某一變化過(guò)程中的極限為零,則稱(chēng)該函數(shù)為自變量在此變化過(guò)程中的無(wú)窮小量,簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小。通常函數(shù)極限有x+,x- , x,xx0 + ,xx0 -,xx0這六種情形。因此,只簡(jiǎn)單地說(shuō)函數(shù)是無(wú)窮小量是不確切的,還必須指出x的趨近方式。第二節(jié) 極 限另外，無(wú)窮小是一個(gè)以0為極限的函數(shù)，不要把它與很小的數(shù)混淆起來(lái)。除了常數(shù)0可作為無(wú)窮小之外,其他任何常數(shù),即使其絕對(duì)值很小,都不是無(wú)窮小。無(wú)窮小量有如下一些性質(zhì)。性質(zhì)11 有限個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小。性質(zhì)12 有限個(gè)無(wú)窮小之積仍為無(wú)窮小。性質(zhì)13 無(wú)窮小量與有界函數(shù)之積仍為無(wú)窮小。第二節(jié) 極 限2.無(wú)窮大量定義110

11、 若函數(shù)fx在自變量的某一變化過(guò)程中絕對(duì)值fx無(wú)限增大,則稱(chēng)函數(shù)fx為自變量在此變化過(guò)程中的無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大。必須注意,無(wú)窮大()不是數(shù),不可與很大的數(shù)混為一談。另外,與無(wú)窮小不同的是,在自變量的同一變化過(guò)程中,兩個(gè)無(wú)窮大相加或者是相減的結(jié)果是不確定的,須具體問(wèn)題具體考慮。第二節(jié) 極 限3.無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系第三節(jié) 極限的運(yùn)算函數(shù)極限的運(yùn)算法則一1.極限的四則運(yùn)算法則第三節(jié) 極限的運(yùn)算第三節(jié) 極限的運(yùn)算第三節(jié) 極限的運(yùn)算兩個(gè)重要極限二第三節(jié) 極限的運(yùn)算第三節(jié) 極限的運(yùn)算無(wú)窮小的比較三從第二節(jié)我們已經(jīng)知道,兩個(gè)無(wú)窮小的和、差、積仍是無(wú)窮小。但是,關(guān)于兩個(gè)無(wú)窮小的商,卻會(huì)出現(xiàn)不同的情況。例如

12、,當(dāng)x0時(shí),3x,x2,sinx都是無(wú)窮小。兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限的各種不同情況,反映了不同的無(wú)窮小趨于零的“快慢”程度。就上面的幾個(gè)例子來(lái)說(shuō),在x0的過(guò)程中,x20比3x0“快些”,反過(guò)來(lái)3x0比x20“慢些”，而sinx0與x0“快慢相仿”。下面就無(wú)窮小之比的極限存在或?yàn)闊o(wú)窮大時(shí),來(lái)說(shuō)明兩個(gè)無(wú)窮小之間的比較。第三節(jié) 極限的運(yùn)算第四節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性一1.函數(shù)在點(diǎn)x0的連續(xù)性函數(shù)連續(xù)的概念源于對(duì)幾何曲線(xiàn)的直觀分析,粗略地說(shuō),如果函數(shù)是連續(xù)的,那么它的圖像是一條連綿不斷的曲線(xiàn),當(dāng)然我們不能滿(mǎn)足于這種直觀的認(rèn)識(shí),我們需要用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言給出它的精確定義。第四節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性考察如圖1

13、-21所示的函數(shù)圖像。圖1-21第四節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性故函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù),如圖1-22所示。圖1-22第四節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性2.左連續(xù)、右連續(xù)第四節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性3.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性第四節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點(diǎn)二第四節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算三1.連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性第四節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性2.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性第四節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性四1.初等函數(shù)的連續(xù)性第四節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性2.用函數(shù)的連續(xù)性求極限第五節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最大值和最小值定理一先說(shuō)明最大值和最小值的概念。對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x),如果有x0I,使得對(duì)任一xI都滿(mǎn)足 f(x)f(x0)(f(x)f(x0),則稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值)。第五節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1-14 若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則fx在a,b上有最大值和最小值（如圖1-23所示）。圖1-23第五節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在區(qū)間0,2上有間斷點(diǎn)x=1,f(x)雖然在閉區(qū)間0,2上有界,但是既無(wú)最大值又無(wú)最小值。如圖1-24所示。圖1-24第五節(jié) 閉區(qū)