塑性力學(xué)-第三章

1、塑性(sxng)力學(xué)第三章40學(xué)時教材：塑性(sxng)力學(xué)引論（修訂版），王仁、黃文彬、黃筑平著廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院碩士研究生40學(xué)時課程共九十六頁第三章 應(yīng)變分析、應(yīng)力(yngl)分析和屈服條件 共九十六頁3.1 應(yīng)變(yngbin)張量和應(yīng)力張量 （2）或用張量定義(dngy)表示來表示。在小變形假設(shè)下，相應(yīng)的(工程)應(yīng)變可定義為：在直角坐標(biāo)系中，任意一點的位置可用坐標(biāo)值或 來表示。相應(yīng)點的位移可用或小變形下的應(yīng)變定義共九十六頁如此定義(dngy)的應(yīng)變是二階對稱張量 上式中應(yīng)變的六個獨立分量是通過三個位移(wiy)分量的偏導(dǎo)數(shù)給出的，消去位移(wiy)后可得到應(yīng)變分量之間的關(guān)系，即

2、協(xié)調(diào)條件。物體在變形和運動過程中，其質(zhì)點的速度分量假設(shè)下可表示為：（3）在小變形定義變形（速）率張量 在小變形情況下變形（速）率張量也是應(yīng)變張量的時間變化率 （4） 共九十六頁在此種情形下，應(yīng)變增量(zn lin)可表示為（5） 對于率無關(guān)材料，與真實時間(shjin)成單調(diào)遞增關(guān)系的參數(shù)都可取為時間(shjin)參量。式中參數(shù)t不一定是真實時間。Cauchy應(yīng)力張量 在通過物體內(nèi)任一點的面元上，其應(yīng)力向量可用Cauchy公式來確定。共九十六頁用張量方式來描述(mio sh)，Cauchy公式可以寫作（6） Tnz（6）式可以(ky)用來描述應(yīng)力邊界條件共九十六頁共九十六頁 在連續(xù)介質(zhì)中應(yīng)用(

3、yngyng)Newton第二定律（或動量守恒定律），可以得到應(yīng)力張量滿足的運動方程（7）（8）而 在連續(xù)介質(zhì)中應(yīng)用動量矩守恒定律，可以得到應(yīng)力張量滿足(mnz)的對稱性條件（7）、（8）兩式是在變形后的幾何位置上建立起來的，但在小變形情形下，變形前后的坐標(biāo)可不加區(qū)別。共九十六頁 準(zhǔn)靜態(tài)情形下，省略（7）式的慣性項，從而得到(d do)平衡方程：（9） 共九十六頁3.2 應(yīng)變張量或應(yīng)力(yngl)張量的不變量 當(dāng)所截取(jiq)的面元是以 為法向量時，面元上只有正應(yīng)變（或正應(yīng)力）而沒有剪應(yīng)變（或剪應(yīng)力）時， 向量 稱為稱為主方向，相應(yīng)的正應(yīng)變（或正應(yīng)力）則稱為主應(yīng)變（或主應(yīng)力）。 先來看主應(yīng)力

4、，由任一截面上的應(yīng)力向量滿足關(guān)系主方向、主應(yīng)變和主應(yīng)力當(dāng)面元只有正應(yīng)力時，該應(yīng)力向量與面元法向量平行，故于是有共九十六頁 再來看主應(yīng)變(yngbin)，由于應(yīng)變(yngbin)張量的坐標(biāo)變換公式與應(yīng)力張量坐標(biāo)變換公式相同，因此確定主應(yīng)變(yngbin)也有相同公式（應(yīng)變張量與應(yīng)力張量都是二階對稱張量，在坐標(biāo)變換上具有同樣的性質(zhì)）。于是，可以(ky)寫出統(tǒng)一的公式 （10） 式中 是 的主值。若 代表應(yīng)力張量， 是主應(yīng)力。若 代表應(yīng)變張量， 是主應(yīng)變。共九十六頁應(yīng)力不變量(binling)與應(yīng)變不變量(binling) （10）式具有非零解的條件是由此得到(d do)關(guān)于的三次多項式（11）（1

5、2）其中稱為 的第一、第二和第三不變量。因為它們與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。共九十六頁 可以證明 有三個實根（可參考彈塑性力學(xué)的習(xí)題與例題(lt)，清華徐秉業(yè)編），這里不證。將 的主值記為 、 和 ，且規(guī)定 。（12）式也可用主值來表示(biosh)：（13） 共九十六頁3.3 偏應(yīng)力(yngl)張量和偏應(yīng)變張量 基于實驗測試結(jié)果，對于大多數(shù)金屬材料，在較大的靜水壓力作用下，材料仍表現(xiàn)為彈性性質(zhì)。這就意味著，應(yīng)力張量可以(ky)分為兩部分。一部分是靜水應(yīng)力，它對材料的作用不會造成塑性變形。另一部分可以(ky)使得材料產(chǎn)生塑性變形。定義靜水分量和偏量 （14）（15）共九十六頁 張量 的偏量 的幾點性質(zhì)

6、(xngzh)：1. 和 具有相同的主方向(fngxing)，其不變量可表示為（16） 共九十六頁如果(rgu)則也是相應(yīng)(xingyng)偏張量的特征方程共九十六頁因此 和 具有(jyu)相同的主方向共九十六頁2. 可通過(tnggu) 表示為（17） 證明(zhngmng)于是有共九十六頁又得證上式也可通過(tnggu)主值 表示為（18）如 的主值滿足(mnz) ，則有基本不等式（19）共九十六頁證明(zhngmng) 得證比較(bjio)共九十六頁是很重要的參數(shù)(cnsh)，用它可定義一些重要的參量。如定義(dngy)等效應(yīng)變式中 是應(yīng)變張量 的偏張量。（20）定義等效應(yīng)力 （21）式

7、中 是應(yīng)力張量 的偏張量。定義等效剪應(yīng)變（22）共九十六頁定義(dngy)等效剪應(yīng)力（23）定義(dngy)八面體剪應(yīng)變（24）定義八面體剪應(yīng)力（25）共九十六頁共九十六頁3.4 屈服(qf)條件把簡單(jindn)應(yīng)力狀態(tài)下屈服應(yīng)力的概念推廣到一般應(yīng)力狀態(tài)。假定材料在變形的初始階段處于彈性狀態(tài)，這種彈性狀態(tài)的界限稱為屈服條件。當(dāng)微元的應(yīng)力狀態(tài)達(dá)到該界限時，進(jìn)一步的加載就可能使微元產(chǎn)生不可恢復(fù)的塑性變形。屈服條件可以用表達(dá)式 寫出。屈服條件在以應(yīng)力分量為坐標(biāo)的應(yīng)力空間中一般是一個曲面，稱為屈服曲面。當(dāng)應(yīng)力 位于此曲面之內(nèi),即 時,材料處于彈性狀態(tài); 當(dāng)應(yīng)力位于此曲面上,即 時,材料將開始屈服而

8、進(jìn)入塑性狀態(tài)。共九十六頁各向同性( xin tn xn)假設(shè)：材料是初始各向同性的。即材料的初始屈服與材料的取向無關(guān)，即與坐標(biāo)系選擇無關(guān)。由這一假設(shè)，屈服條件可表示成三個主應(yīng)力的函數(shù)：（26）或應(yīng)力(yngl)張量不變量的函數(shù)：靜水應(yīng)力不影響材料的塑性性質(zhì)的假設(shè)：即屈服條件只與應(yīng)力偏量有關(guān)。于是屈服條件可以用應(yīng)力偏張量的不變量來表達(dá)兩個重要的假設(shè)（27）（28）共九十六頁 一般來說，這兩個假設(shè)對多數(shù)金屬和飽和土是適用的。在不適用的情形，需要對屈服條件(tiojin)進(jìn)行修正。 由這兩個假設(shè)，如果屈服曲面存在，則可能在主應(yīng)力空間中用幾何方法加以描述。 在主應(yīng)力空間中，任意一應(yīng)力狀態(tài)都可用一個向量

9、 來表示。 上式還可分解為偏量部分(b fen)和靜水應(yīng)力部分(b fen)。 共九十六頁為主偏應(yīng)力(yngl)向量為靜水應(yīng)力(yngl)向量。注意到知與是正交的。過O點以 為法向量的平面習(xí)慣上稱為平面，可寫為（29）由于與正交，主偏應(yīng)力向量 過O點,知主偏應(yīng)力向量 是平面的面內(nèi)向量。 共九十六頁 以下， 建立 平面上的直角坐標(biāo)系，并建立主應(yīng)力 主偏應(yīng)力 與 平面上相應(yīng)的點的坐標(biāo)的關(guān)系。主應(yīng)力坐標(biāo)系基矢頂點(dngdin)構(gòu)成一平面，該平面平行于平面。將基矢投影(tuyng)到平面上，得。由于不平行于平面,再將基矢的頂點連線投影到平面上，由于這些頂點連線平行于平面，投影所得線的長度不變。將有所

10、縮減。共九十六頁中任意兩向量(xingling)及頂點連線構(gòu)成一個等腰三角形， 其頂角角度為120，底角(d jio)角度為30。因此可以算出 共九十六頁那么(n me)，主偏應(yīng)力在平面上的 坐標(biāo)值為：平面上任一點的坐標(biāo)(zubio)可用主偏應(yīng)力表達(dá)為： 共九十六頁同樣(tngyng)，主應(yīng)力在平面上的 坐標(biāo)值為：于是平面上任一點的坐標(biāo)可用主應(yīng)力(yngl)或主偏應(yīng)力(yngl)表達(dá)為： （30）共九十六頁用極坐標(biāo)描述(mio sh)，有：（31）上式中 稱為Lode參數(shù)(cnsh)，表示了主應(yīng)力之間的相對比值。 （31）式中 因此有（31）共九十六頁如果(rgu)規(guī)定 ，則Lode參數(shù) 的取

11、值范圍為（-1，1）或 。例如：純拉伸(l shn) 對應(yīng)于 。純剪切 對應(yīng)于 。純壓縮 對應(yīng)于 。注意到 ，由（30）式可解出：（32）共九十六頁屈服(qf)曲面與屈服(qf)曲線 屈服曲面與 平面的交線稱為(chn wi)屈服曲線。 當(dāng)屈服條件不受靜水應(yīng)力影響時，從主應(yīng)力空間來看，此時的屈服條件 表示的是一個母線垂直于 平面的柱面。 因為該曲面與靜水應(yīng)力（ 是向量 的大?。┑拇笮o關(guān)，這意味著以任何一個平行于平面的平面去截曲面 ，得到的交線都是形狀一樣的。 共九十六頁在這種情形下，要討論屈服條件只需分析 平面上的屈服曲線。屈服曲線(qxin)的幾何性質(zhì)根據(jù)材料(cilio)的屈服是初始各向

12、同性的這一假定，如果 是屈服曲線上的一點， 也是屈服曲線上的一點。由（30）式知 也是屈服曲線上的一點共九十六頁可知屈服曲線對稱于 軸，同理可知還對稱于 軸和 軸。 又根據(jù)材料的屈服是初始各向同性的這一假定，材料的拉伸和壓縮屈服極限相等(xingdng)（對許多金屬材料近似成立）。還可知，如果 是屈服曲線上的一點，則 也是屈服曲線上的一點。于是由（30）式知因此 平面上 也是屈服曲線上的一點。但由于屈服曲線對稱于 軸， 必是屈服曲線上的一點。故知屈服曲線對稱于過原點且垂直于 軸的直線。共九十六頁 同理，過原點的另外兩條投影(tuyng)軸的垂線也是對稱軸。因此，在各向同性假設(shè)下屈服曲線有6條對

13、稱軸。所以，在此情形下，只要在30范圍內(nèi)做屈服試驗就可以確定屈服曲線。共九十六頁3.5 幾個常用的屈服(qf)條件一、Tresca屈服(qf)條件（1864年） 當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時，材料開始產(chǎn)生屈服。如果規(guī)定 ，則Tresca屈服條件可寫為（33） 由（30）式可知，上式在 平面上相當(dāng)于 內(nèi)與 軸平行的直線段：（34） 根據(jù)對稱性對其加以延拓，知Tresca屈服條件在 平面上是一個正六邊形。如果不規(guī)定 ，則（33）式可寫為共九十六頁（35） 在主應(yīng)力空間中Tresca屈服條件是一個(y )正六面體柱面。其母線與軸線 相平行。共九十六頁對于平面應(yīng)力狀態(tài)(zhungti) ，（35）式可

14、寫作（36） 這在 應(yīng)力平面(pngmin)上是一個六邊形，它是六棱柱面與 平面(pngmin)相截得到的交線。值的確定 值由實驗確定。例如可用簡單拉伸 測得（37） 如果采用純剪切實驗 ，則（38） 共九十六頁 顯然，如果Tresca屈服條件正確，則測得的 值應(yīng)相同，即應(yīng)有（39） 關(guān)于Tresca屈服條件(tiojin)的應(yīng)用 在主方向已知的情形下，Tresca屈服條件是便于應(yīng)用的。如不是這樣，應(yīng)用起來(q li)就不大方便。設(shè) ,即 。由（31）和（32）式，有 共九十六頁于是(ysh)這樣，Tresca屈服(qf)條件可寫為： 這樣Tresca屈服條件就能用偏應(yīng)力張量的不變量來表示。一

15、般來說，應(yīng)用起來還是不大方便的。上式還可以寫為共九十六頁二、Mises屈服(qf)條件（1913年）Tresca屈服條件沒有考慮(kol)中間主應(yīng)力的影響。 Mises屈服條件假定（28）式 具有如下的最簡形式： （40） 其中 為材料常數(shù)。由上式可見Mises屈服條件與 無關(guān)。 由（31）式，上式也可寫為（41） 可見，Mises屈服條件在 平面上是一個圓，在主應(yīng)力空間中則是一個母線與軸線 相平行的圓柱面。共九十六頁對于 平面應(yīng)力狀態(tài)，Mises屈服條件可表示為（42） 這在 應(yīng)力平面上是一個橢圓。對Mises屈服(qf)條件的物理解釋 材料微元的八面體剪應(yīng)力或材料微元單位(dnwi)體積的

16、剪切應(yīng)變能達(dá)到一定數(shù)值時，材料微元就將開始進(jìn)入屈服。八面體剪應(yīng)力剪切應(yīng)變比能 共九十六頁共九十六頁值的確定(qudng)值由實驗(shyn)確定。 例如在簡單拉伸 時，應(yīng)用Mises屈服條件，可以測得（43） 如果采用純剪切實驗 ，則由（44） 共九十六頁 顯然，如果Mises屈服條件正確，則用不同的試驗測得的 值應(yīng)相同，即應(yīng)有（45） Tresca屈服條件(tiojin)與Mises屈服條件的簡單比較 在 平面上，假定簡單拉伸時兩個屈服面重合，則Tresca 六邊形內(nèi)接于Mises 圓。此時由（37）、（38）式 ,和（43）、（44）式 ，知若以拉伸試驗確定屈服參數(shù)，在純剪切時兩種屈服條件

17、相差最大。共九十六頁 如假定(jidng)純剪切時兩個屈服面重合，則Tresca六邊形外切于Mises圓。此時由（37）、（38）式和（43）、（44）式 知在簡單拉伸時，兩種屈服(qf)條件相差最大。不論哪種情況，最大的相對誤差都是共九十六頁三、最大偏應(yīng)力(yngl)屈服條件（或雙剪應(yīng)力(yngl)屈服條件）最大偏應(yīng)力(yngl)屈服條件 最大偏應(yīng)力屈服條件的概念最早是由R.Schmidt在1932年提出的。俞茂宏用雙剪應(yīng)力的概念對上述屈服條件作了說明。 最大偏應(yīng)力屈服條件可用下式表示（46） 上式又可表示為共九十六頁 顯然，考慮到對稱性，上式在 平面上構(gòu)成由六條直線圍成的正六邊形。要確定這

18、一六邊形，可利用（30）式。由（30）式的第二式，知正六邊形的一條直線與 垂直。由拉壓屈服對稱，可得正六邊形另一條與 垂直的直線。類推確定這一六邊形。最大偏應(yīng)力(yngl)屈服條件共九十六頁值的確定(qudng)如果用簡單拉伸(l shn) 確定 ，則與Tresca屈服條件和Mises屈服條件的簡單比較最大偏應(yīng)力屈服條件在 平面上是一個外接于Mises圓的正六邊形。與Tresca六邊形相比，它的方位相差30。雙剪應(yīng)力屈服條件 當(dāng)兩個較大的主剪應(yīng)力的絕對值之和達(dá)到某一數(shù)值時，材料將開始屈服。設(shè) ，則主剪應(yīng)力絕對值可定義為： （47） 共九十六頁雙剪應(yīng)力屈服(qf)條件由下式表示：（48） 最大誰

19、大？上式（雙剪應(yīng)力(yngl)屈服條件）與最大偏應(yīng)力(yngl)屈服條件（46）式等價，因為若 ，注意到 ，有共九十六頁 所以(suy)雙剪應(yīng)力屈服條件與最大偏應(yīng)力屈服條件等價共九十六頁 由（31）、（32）和（46）式，在未知最大主應(yīng)力方向(fngxing)時最大偏應(yīng)力屈服條件可寫為 其中(qzhng)共九十六頁3.6 屈服(qf)條件的實驗驗證用這樣的試件和加載方式可以實現(xiàn)(shxin)可變的雙向應(yīng)力狀態(tài)。 共九十六頁設(shè)圓管的平均半徑為 ，壁厚為 ， 。在拉力 和內(nèi)壓 的作用下，圓管近似地處于平均應(yīng)力(yngl)狀態(tài)。在柱坐標(biāo)系中圓管中任意一點的應(yīng)力(yngl)分量為：，（49）如果(rg

20、u) ，則可取 ，故有：（50） 當(dāng) 等于零時， 這對應(yīng)于簡單拉伸的情形。共九十六頁當(dāng) 時， 當(dāng) 時， 于是，知在 的范圍內(nèi)改變 和 的比值時，可以(ky)得到 在 內(nèi)不同的值。與Lode的實驗結(jié)果(ji gu)比較 設(shè) ，規(guī)定拉伸時各種屈服條件是重合的（即各種屈服條件的參數(shù)都以拉伸試驗來加以確定）。對Tresca屈服條件，有（51） 共九十六頁 對于Mises屈服(qf)條件，由（41）式, ， ,和（43）式，有上式還可以(ky)表示為 因此屈服條件可以寫為（52） 利用（30）和（31）式共九十六頁對于最大偏應(yīng)力(yngl)屈服條件,由 ，所以， 或從上式中可解出而當(dāng) 時，但由最大偏應(yīng)力

21、(yngl)屈服條件 共九十六頁因此(ync)而當(dāng) 時，由最大偏應(yīng)力(yngl)屈服條件 因此于是最大偏應(yīng)力的屈服條件可寫為（53） 可知，以 為縱坐標(biāo)，以 為橫坐標(biāo)，將（51）、（52）和（53）式與試驗結(jié)果比較，便可看出哪種屈服條件更為接近真實結(jié)果。共九十六頁共九十六頁二、薄圓管受拉力和扭矩的聯(lián)合(linh)作用（Taylor-Quinney，1931年）共九十六頁在拉力(ll)和扭矩的作用下，（54）相應(yīng)(xingyng)的主應(yīng)力為：相應(yīng)的主偏應(yīng)力為：（55）（56）共九十六頁從而(cng r) （57） 當(dāng) 時 ， ，對應(yīng)(duyng)于簡單拉伸的情形。 當(dāng) 時 ， ，對應(yīng)于純剪切的情

22、形。 于是，改變 和 的比值，可以得到 在 內(nèi)不同的值。 仍規(guī)定拉伸時各種屈服條件是重合的。對Tresca屈服條件，有共九十六頁或 （58） 對于(duy)Mises屈服條件，有（59） 或 對于(duy)最大偏應(yīng)力屈服條件。由（56）式知，當(dāng)時， 。且 ，因此最大偏應(yīng)力屈服條件可寫為或 （60） 共九十六頁 于是，以 為縱坐標(biāo)，以 為橫坐標(biāo)，將（58）、（59）和（60）式與試驗結(jié)果(ji gu)比較便可看出哪種屈服條件更為接近真實結(jié)果(ji gu)共九十六頁回推法得到(d do)的屈服面 (引自蘇莉西北工業(yè)大學(xué)2007年碩士論文)共九十六頁鋼薄圓管軸向拉壓/扭轉(zhuǎn)(nizhun)測試初始屈服

23、面共九十六頁3.7* 巖土力學(xué)中的庫倫(k ln)屈服條件共九十六頁共九十六頁共九十六頁共九十六頁確定(qudng)B點如何(rh)確定A點？共九十六頁共九十六頁平面(pngmin)上I10故由（66）式共九十六頁3.8 加載條件(tiojin)屈服條件是指當(dāng)材料(cilio)未經(jīng)受任何塑性變形時的彈性響應(yīng)的界限。加載條件材料經(jīng)受過塑性變形后的彈性響應(yīng)的界限。（68） 是用于刻劃塑性變形歷史的內(nèi)變量參量。在應(yīng)力空間中，這是一個以 為參數(shù)的曲面，稱之為加載曲面。 需要說明的幾點：隨 的變化，加載曲面的大小、形狀和位置都要發(fā)生變化。 共九十六頁應(yīng)力狀態(tài)(zhungti)不能位于加載曲面之外（不考慮

24、應(yīng)變率效應(yīng)時）應(yīng)力位于加載曲面之內(nèi)時，應(yīng)力的改變不引起 的變化，材料也不產(chǎn)生新的塑性變形。應(yīng)力位于加載曲面之上時，繼續(xù)加載將使得 改變，材料產(chǎn)生新的塑性變形，加載曲面也將變化。加載曲面的變化可用下式來描述： （69）于是知加載過程(guchng)中，加載曲面應(yīng)滿足以下條件： 上式通常稱為一致性條件。（70）共九十六頁 在不同的加載路徑下，加載曲面(qmin)的演化是不同的。要描述加載曲面(qmin)的演化規(guī)律，需要建立合理的模型，常用的模型主要有兩種。一種是等向強化模型，一種是隨動強化模型。1.等向強化(qinghu)模型（71） 等向強化模型的特點是：加載曲面是屈服曲面在應(yīng)力空間中的相似擴大，忽略了塑性變形引起的材料各向異性性質(zhì)。 是一個標(biāo)量內(nèi)變量。 按等效塑性應(yīng)變定義的塑性變形參量共九十六頁 按塑性功定義(dngy)的塑性變形參量函數(shù) 一般可由簡單拉伸實驗確定。 特別地，對于Mises屈服(qf)條件，相應(yīng)的等向強化模型為（72） 例如在單軸拉伸試驗中取 ，或 。又取 或 。這樣可以方便地由實驗確定函數(shù)共九十六頁對于Tresca屈服(qf)條件（略）（73）2.隨動強化(qinghu)模型（74） 隨動強化模型的特點：加載曲面就是屈服曲面隨