2021-2022學(xué)年廣東省深圳中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 14 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 14 頁2021-2022學(xué)年廣東省深圳中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1若由數(shù)字一共可以組成個不同的三位數(shù)（各位上的數(shù)字可以相同），則（）ABCD【答案】B【分析】利用分步乘法原理直接求解即可.【詳解】分三步：第一步確定百位上的數(shù)字有5種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，數(shù)字可以重復(fù)，有5種選法；第三步確定個位上的數(shù)字，有5種選法；根據(jù)分步乘法原理可知共組成個三位數(shù)，即，故選：B2深圳中學(xué)高二年級某班班會開展“學(xué)黨史，感黨

2、恩”演講活動，安排甲乙丙丁四名學(xué)生按次序演講，但甲不在第一個演講，所有的安排方法數(shù)為（）A13B14C15D18【答案】D【分析】分別確定安排甲和安排余下3個同學(xué)的排法，再由分步乘法計數(shù)原理求解.【詳解】先安排甲有3種安排方法，再安排乙丙丁三位同學(xué)有6種安排方法，由分步乘法計數(shù)原理可得所有的安排方法數(shù)為18，故選：D.3已知曲線，曲線與直線，則（）A與均相切B與均不相切C與相切，與不相切D與不相切，與相切【答案】A【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】設(shè)曲線在點處的切線的斜率為0，則，所以，切線方程為，設(shè)曲線在點處的切線的斜率為0，則，所以或，取可得切線方程為，所以與均相切，故選：A.4

3、已知函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線方程為（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式可求出，即可求出切點，從而得出切線方程【詳解】由可知，而，所以，解得，即，所以，因此曲線在點處的切線方程為，即故選：A5在的展開式中，下列結(jié)論錯誤的是（）A所有項的二項式系數(shù)和為64B所有項的系數(shù)和為0C常數(shù)項為20D二項式系數(shù)最大的項為第4項【答案】C【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式，以及項的系數(shù)和二項式系數(shù)的概念，逐項分析判斷即可得解.【詳解】對A，所有項的二項式系數(shù)和為，故A正確；對B，要求所有項的系數(shù)和，令可得，故B正確；對C，由通項，令可得，所以常數(shù)項，故C錯誤；對D，根據(jù)通項公式第

4、4項的二項式系數(shù)為，為組合數(shù)（）的中間項，故D正確.故選：C6“碳中和”是指企業(yè)、團體或個人等測算在一定時間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”某“碳中和”研究中心計劃派5名專家分別到A，B，C三地指導(dǎo)“碳中和”工作，每位專家只去一個地方，且每地至少派駐1名專家，則分派方法的種數(shù)為（）A90B150C180D300【答案】B【分析】根據(jù)題意，運用分類討論思想，結(jié)合排列和組合的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】根據(jù)題意有兩種方式：第一種方式，有一個地方去3個專家，剩下的2個專家各去一個地方，共有種方法，第二種方式，有一個

5、地方去1個專家，另二個地方各去2個專家，共有，所以分派方法的種數(shù)為，故選：B7已知，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致為（）ABCD【答案】C【分析】法一：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性以及特殊值可以得到選項；法二：得到的解析式之后，令，求分析的單調(diào)性，通過單調(diào)性得到選項.【詳解】法一：，定義域為，所以，則，所以為偶函數(shù)，故排除，；又，故排除D，故選：C.法二：因為，定義域為，所以，令，則，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合選項可知選C.故選：C.【點睛】思路點睛：由函數(shù)的解析式識別圖象，常通過判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及特殊值的方法來識別.8已知分別是曲線與曲線上的點，則的取值范圍是（）AB

6、CD【答案】B【分析】利用曲線與曲線互為反函數(shù)，可先求點到的最小距離，然后再求的取值范圍.【詳解】曲線與曲線互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于對稱，求出點到的最小距離設(shè)曲線上斜率為的切線為，由 得，切點坐標(biāo)為，即的最小值為，無最大值，即故選：B.9以下四個式子分別是求相應(yīng)函數(shù)在其定義域內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，其中正確的是（）ABCD【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運算對四個選項一一求導(dǎo)，即可判斷.【詳解】對于A，故A錯；對于B，故B錯；對于C，故C對；對于D，故D錯.故選：C.二、多選題10如圖，用4種不同的顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為（）ABCD【答案

7、】ACD【分析】選項ACD均可以對其每一步的方法數(shù)進行合理解釋，而選項B方法總數(shù)錯誤，不能對其每一步的方法數(shù)進行合理解釋.【詳解】選項A：表示先著色中間兩格下面一格.從4種顏色取3種，有個方法，上面一格，從與中間兩格不同的顏色中取出一個，有個方法，故共有個不同方法.正確；選項B：,方法總數(shù)不對.錯誤；選項C：表示先對中間兩格涂顏色. 從4種顏色取2種，共有個方法，上下兩格都是從與中間兩格不同的顏色中取出一個，有個方法.故共有個不同方法.正確；選項D：表示兩種情況：上下兩格顏色相同，中間兩格從3個剩下的顏色取2種，共有個不同方法；上下兩格顏色不同，中間兩格從2個剩下的顏色取2種，共有個不同方法.

8、 綜合可知方法總數(shù)為：個不同方法.正確.故選：ACD11以下關(guān)于排列數(shù)與組合數(shù)的命題中，真命題有（）A若且，則B若且，則C對任意且恒有D對任意恒有【答案】BCD【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式判斷各選項的對錯.【詳解】取，則，A錯，若且，則，所以，B對，對任意且，所以，C對，對任意所以，D對，故選：BCD.12已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增B有極小值，且極小值是的最小值C設(shè)，若對任意，都存在，使成立，則D【答案】ACD【分析】首先確定定義域，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值，逐項分析判斷即可得解.【詳解】由，可得，求導(dǎo)可得，由，可得，當(dāng)，時，為減函數(shù)，當(dāng)時，為增函

9、數(shù)，故A正確；對B， 的極小值為，而，故極小值不是最小值，故B錯誤；對C，在上的值域包含在上的值域，由時， 為減函數(shù)，當(dāng)時， 為增函數(shù)，故的值域為，由在上的值域為，所以，故C正確；對D，由，所以，所以，即，又，故成立，故D正確.故選：ACD三、填空題13已知一物體的運動方程是的單位為的單位為），則該物體在時間段內(nèi)的平均速度與時刻的瞬時速度相等，則_.【答案】【分析】由平均速度和瞬時速度的概念可得關(guān)于的等量關(guān)系，從而得到的取值.【詳解】在到t+這段時間內(nèi)，物體的平均速度，所以該物體在時間段內(nèi)的平均速度為6,當(dāng)無限趨近于0時即可得到時刻的瞬時速度即,由題意平均速度與時刻的瞬時速度相等，即,解得,故

10、答案為：14若正邊形有條對角線，則的值為_.【答案】【分析】根據(jù)正邊形有對角線為，求解即可.【詳解】正邊形有個頂點，共可連接個連線，故對角線為，即，所以或（舍）.故答案為：15以下四個關(guān)于階乘“!”的結(jié)論：；對任意，則能整除；存在，使得；若則或.其中正確的個數(shù)為_.【答案】3【分析】結(jié)合階乘的定義和性質(zhì)判斷各命題的對錯，由此確定正確命題的個數(shù).【詳解】因為，所以，錯，因為，又，所以能整除；對，因為，所以存在，使得；對，因為，所以，故或，所以對，故答案為：316用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字)，要求任何兩個相鄰數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是_.【答案】40

11、【分析】結(jié)合分步計數(shù)原理第一步將3，5排列，第二步將4，6排列，第三步將1，2排列即可.【詳解】第一步：先將3，5排列有種，第二步：再將4，6插空排列（滿足奇偶性不同）有種，第三步：將1，2捆綁插空排列有種，由分步計數(shù)原理可得種，故答案為：40.四、解答題17規(guī)定，其中這是組合數(shù)的一種推廣.(1)求的值；(2)設(shè)，求的最小值及的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題目定義即可求出；（2）根據(jù)題目定義求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)基本不等式即可解出【詳解】(1)(2)因為，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，的最小值18已知展開式的二項式系數(shù)和為，且.(1)求的值；(2)設(shè)其中且，求的值.【答

12、案】(1)2(2)5【分析】（1）由題意可得，得，然后令，可求得，再令，可求出，從而可求出的值（2）根據(jù)題意可得，變形可得，由二項定理展可得，從而由整除的性質(zhì)可得答案【詳解】(1)因為展開式的二項式系數(shù)和為，所以，得，所以，令，則，令，則，所以(2)，因為能被6整除，而，所以19已知函數(shù)，(1)已知，求的值；(2)是否存在，使得對任意，恒有成立？說明理由.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)公式求出，即可解出；（2）將方程化簡得，即可求出滿足題意【詳解】(1)因為，所以，而，由解得(2)對任意，恒成立，即，化簡可得，所以時，可使得對任意，恒有成立20設(shè)函數(shù)f(x)ax(a，bZ)，曲線y

13、f(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y3.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線yf(x)上任一點的切線與直線x1和直線yx所圍三角形的面積為定值，并求出此定值【答案】(1) f(x)x；(2)證明見解析【詳解】(1)解f(x)a，解得或因為a，bZ，故f(x)x.(2)在曲線上任取一點，由f(x0)1知，過此點的切線方程為y1 (xx0)令x1，得y， 切線與直線x1的交點為 (1,)；令yx，得y2x01，切線與直線yx的交點為(2x01,2x01)；直線x1與直線yx的交點為(1,1)，從而所圍三角形的面積為|2x011|2.所以，所圍三角形的面積為定值2.21已知函數(shù)，其中(1

14、)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間內(nèi)存在最小值，且最小值不大于，求的取值范圍及的零點個數(shù).【答案】(1)答案見解析(2)，3個【分析】(1)求出，分和分別得出函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)由（1）得出的函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)條件則，從而得出的取值范圍，然后由單調(diào)性結(jié)合零點存在定理可判斷出零點個數(shù).【詳解】(1)當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，所以由，解得或由，解得所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上所述：當(dāng)時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間當(dāng)時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)由（1）可知當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，則在區(qū)間內(nèi)不存在最小值.當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在區(qū)間內(nèi)存在最小值，且最小值不大于則 ，解得 所以的范圍是， ，由在上單調(diào)遞增，且，所以在上有一個零點.在上單調(diào)遞減,且，所以在上有一個零點.在上單調(diào)遞增且，所以在上有一個零點.所以有3個零點.22已知函數(shù)，其中(1)若有兩個極值點，記為求的取值范圍；求證