6.1電磁場(chǎng)邊界積分方程

1、第六章邊界單元法有限元法屬于偏微分方程法。對(duì)于求解有界電磁場(chǎng)域的場(chǎng)分布，尤其是有復(fù)雜邊界和多種媒質(zhì)、線性或非線性、靜態(tài)或時(shí)變場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算都是十分成功的，有的文獻(xiàn)認(rèn)為有限元法是應(yīng)用最廣，最重要的數(shù)值分析方法。當(dāng)然，任何一種數(shù)值分析方法都不是萬(wàn)能的，有限元法的不足之處主要表現(xiàn)為：對(duì)于無(wú)界求解區(qū)域的處理比較困難；所求得的數(shù)值解是位函數(shù)值，再通過(guò)求導(dǎo)，一般比位值的精度低一個(gè)數(shù)量級(jí)，所以計(jì)算精度較低；對(duì)時(shí)變電磁場(chǎng)的求解，計(jì)算量太大。在以上這幾點(diǎn)所反映的問(wèn)題上，邊界單元法解決得比較好，有明顯優(yōu)勢(shì)。此外，邊界單元法還具有能降低所研究問(wèn)題的維數(shù)，離散剖分和數(shù)據(jù)準(zhǔn)備簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，它已成為計(jì)算場(chǎng)的重要方法，我們需要

2、進(jìn)行學(xué)習(xí)。電磁場(chǎng)邊界積分方程電磁場(chǎng)邊界元方程的基本關(guān)系設(shè)三維線性泊松方程為所求場(chǎng)的控制方程,D是具有邊界面S的求解區(qū)域。在S上含有給定的第一和第二類(lèi)邊界條件的邊界s和s，S=S+S。對(duì)于這類(lèi)恒定場(chǎng)，定解問(wèn)1212題可表示為：TOC o 1-5 h zV2u二fgDvu二ugSs1duq二二qgS、dnS2式中：u表示位函數(shù)，f是場(chǎng)源密度函數(shù)（如）。若已求得近似解，帶入邊值問(wèn)題，8用R、R和R分別表示方程余量及邊界余量：12q-qS取權(quán)函數(shù)w,按加權(quán)余量法,令誤差分配的加權(quán)積分為：即有如下方程6ww,R一,R一w,R=06n12JRwdv=JRds+JRwdsD16n2J(V2u一-u)ds+J

3、(q-q)wdsS(uSdnS2由矢量恒等式V-(wVu)=VwVu+wV2uwV2u=V-(wVu)-Vw-VuVCvw)=VuVw+uV2wuV2w=V-(uVw)-Vu-Vw-在D域上做體積分J(wV2u-uV2w)dV=JV-(wVu-uVw)dV6u6uw-usj6n6n丿JCvV2u-uV2w)1v=JD稱(chēng)為格林第二恒等式。有ds代入上面的加權(quán)積分式中：ds/duw(1)(2)iTOC o 1-5 h z=f(u-)ds+J(q-q)wdsss5nss12等式左右兩端面積分中的同類(lèi)項(xiàng)合并：JCV2w-fwV=-Jqwds-fqwdsDSSS1dwdw+Juds+Judssdnssd

4、n1上式就是電磁場(chǎng)邊界元方程的基本關(guān)系式?？煽闯鰴?quán)函數(shù)在D中應(yīng)有二階連續(xù)編導(dǎo)數(shù),而位函數(shù)u只須在D中連續(xù)，若取w為基本解可以推導(dǎo)出邊界積分方程。6.1.2電磁場(chǎng)的直接邊界積分方程如果用F表示Laplace方程的基本解，則:V2F=5i(5=5(r-rJ)ii1F=(R=r-r)4兀ri在三維場(chǎng)中的基本解應(yīng)為球?qū)ΨQ(chēng)形：最簡(jiǎn)單的源是點(diǎn)源，它在一定邊界條件和(或)初始條件下場(chǎng)的表達(dá)式稱(chēng)為格林函數(shù)。所謂“基本解”就是指在無(wú)界空間的格林函數(shù)，它是相應(yīng)微分方程的基本解。當(dāng)點(diǎn)位于D域內(nèi)時(shí)，積分dfuV2Fdv=-fu5dv=-fu5Crhv=-uDDiDii這實(shí)際反映5函數(shù)積分的抽樣性。若點(diǎn)在D域之外，則積

5、分為零。以F為權(quán)函數(shù)，若“i”點(diǎn)在D域之內(nèi)，將F代入基本關(guān)系式中，有:5F5Fu+JfFdv=-Juds-Juds+JqFds+JqFdsiDs5nss5nsss2121可以簡(jiǎn)寫(xiě)為：ds-ffFdv1稱(chēng)此式為電磁場(chǎng)直接邊界積分方程。代入F=-得4兀r合u分析上式：當(dāng)u及工在邊界上的值以及f在D域內(nèi)的值均為已知時(shí)，就可用上式通dn過(guò)面積分和體積分來(lái)確定D域內(nèi)任意一點(diǎn)的位值。其中面積分可以視為L(zhǎng)aplace方程的通解，加上體積分計(jì)算之和可視為泊松方程的特解。6.1.3電磁場(chǎng)的間接邊界積分方程若令D，表示S面以外區(qū)域，u是D域中Laplace方程的解:V2u=0eD于是在D，域中，上面推導(dǎo)的直接邊界

6、積分方程(2)式應(yīng)為dF)dSdn丿此時(shí)“i”點(diǎn)在D夕卜，uV2Fdv=0，f二0。D用(2)式減上式可得：dF(3)ds-J(u一u)ds-JfFdvsSnd亦為求解D域內(nèi)電磁場(chǎng)的間接邊界積分方程。若將(3)式轉(zhuǎn)換為等效源表示的公式，就得到了電磁場(chǎng)的間接邊界積分方程。1.在靜電場(chǎng)中f=-:電荷體密度函數(shù)。SuSub-=一：表示邊界面兩側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度法向分量的突變量，相當(dāng)于面電荷分SnSn布的單層源TUU=-:表示邊界面兩側(cè)位函數(shù)值的突變量，T等效于偶極子分布的雙層源。將基本解代入(3)式得：1u=JPdv+1r1ds+JtQr1dsi4eDr4eSr4eSQnIr丿式中：右端體積分項(xiàng)表示D域內(nèi)自

7、由電荷對(duì)域內(nèi)點(diǎn)的電位值的貢獻(xiàn)，而兩項(xiàng)面積分則表示D域外部的電荷在D域內(nèi)各點(diǎn)產(chǎn)生電位的貢獻(xiàn)，稱(chēng)它的靜電場(chǎng)的間接邊界積分方程2.在恒定磁場(chǎng)中對(duì)標(biāo)量磁位而言(分析同靜電場(chǎng))：TOC o 1-5 h zdudutf二P，=b，uu二T1-，則恒定磁場(chǎng)的間接邊界積分方程為4兀rmQnQnmmm(1)dsQn(r丿考慮到基本解F1p1o1Qu=Jmdv+JmdsJti4兀dr4兀sr4兀sm6.2邊界積分方程中邊界點(diǎn)上的奇異性邊界點(diǎn)上的奇性及其處理方法前面討論所得到的邊界積分方程，點(diǎn)“”均在域D內(nèi)，若“i”點(diǎn)在邊界面上，在進(jìn)行面積分時(shí)就會(huì)出現(xiàn)R=0的情況，即在積分中出現(xiàn)了奇點(diǎn)。我們來(lái)分析已導(dǎo)出的邊界積分方

8、程(2)式：QFQFu=JfFdvJudsJuds+JqFds+JqFdsiQnssQnss2s1s2s11.設(shè)三維區(qū)域的邊界s是光滑的，在邊界面上以“i”點(diǎn)為球心，很小的r為半徑作半O球面，取r趨于零時(shí)的極限，以考察小半球心點(diǎn)處的位函數(shù)值。O在S2有邊界點(diǎn)i，取上式右端第二項(xiàng)QFudsQnQFussQn2r0ds+Jr0QFdsQn又在S面上：roafa11anarr=r（4兀r丿4兀r2oor=ro代入上式右端第二項(xiàng)中：aFSroans4兀r2roou_1Jds=lim-2兀r2uS4兀r2rT04兀r2oroo1oo1ulimrT0odsudsu可見(jiàn)上式圍繞奇點(diǎn)的積分，給出了-芳，當(dāng)rT

9、0時(shí),oro2afiJudsu+J2i、afudss2(不含奇點(diǎn))an22.如果是二維區(qū)域的光滑邊界，二維Poisson方程的基本解F1lnran1)lnr2兀丿此時(shí)的10是繞i點(diǎn)的半圓,r0則前面式中右端第二項(xiàng)當(dāng)rT0取極限：limlroanlrolimJ1rod12兀r丿olimu.兀r*2兀r丿o與三維的情況一樣，繞奇點(diǎn)積分，仍給出-af1Jud1=u+J2iI12（不含奇點(diǎn)）an3.對(duì)于式中的右端第四項(xiàng)，繞奇點(diǎn)的面積分三維情況下：aFaFu=JfFdvJudsJuds+JiS2anS2qFdssS1qFds二維情況下lim卩rT01Soro=limJdslimrT0o2兀r2o4兀ro

10、limJqFds二limJqslnrdlrT0klrs丿rT0kl2兀o丿oooro1二limqlnr-兀rrT0oks2兀oo丿qlnrq=slimo匚lim212rT0oo二0可見(jiàn)并不存在奇性，即奇點(diǎn)是可去奇點(diǎn)。綜上分析，光滑邊界上“i”點(diǎn)的位值ui1Ju二JfFdv-JafudsJuafds+JqFds+JqFds2DS2anS1sanS2sS1f/auaf二-JfFdv+JIFudsDSk、anan丿將此式與D域內(nèi)點(diǎn)位U的計(jì)算式合并，可表為:i(4)JfFdVD其中:1GD域內(nèi)c=1G光滑的邊界上i20gD域外上式稱(chēng)為電磁場(chǎng)邊界元法的通用積分方程。應(yīng)當(dāng)注意到當(dāng)2點(diǎn)確定時(shí)，它只可能在S上

11、或者S2上。在S上則只涉及兩個(gè)積分項(xiàng);i121在s上也只涉及兩個(gè)積分項(xiàng)，且一項(xiàng)為可去奇點(diǎn)積分，僅處理其中1項(xiàng)。在分析思路上，2將點(diǎn)視為在D域內(nèi)而無(wú)限接近s面。這也說(shuō)明：對(duì)邊界上點(diǎn)“”奇性的分析，為什么只考慮面積分項(xiàng)？為什么只推導(dǎo)兩項(xiàng)。6.2.2只存在一種等效源情況對(duì)于間接邊界積分方程=_JfFdv+JFDsdu，)dsdn丿aFJ(u-u)-sands在靜電場(chǎng)情況進(jìn)行分析：1.如果u=u，即邊界上沒(méi)有位的突變，則上式變?yōu)橹挥袉螌釉吹姆e分式audsan丿-JfFdv=JFods-JfFdvDsD只從o角度來(lái)講，此式屬于第一類(lèi)Fredholm積分方程。如果u為已知，由上式可求得oi的分布。要求“i”點(diǎn)的位函數(shù)的法向?qū)?shù)，即要求出上式中的導(dǎo)數(shù)：1Jos匕ds-Jf匕dvanDan根據(jù)邊界上點(diǎn)的奇性討論，可推導(dǎo)得知在光滑邊界上o1fafcafq=+JodSJfdVi28sandanau2.如果一an對(duì)于o而言，此式屬于第