4.4感生電磁感應(yīng)

1、44感生電磁感應(yīng)導(dǎo)體相對磁場靜止，由于磁場的變化而引起導(dǎo)體內(nèi)感生電動勢的現(xiàn)象叫感生電磁感應(yīng)。即：.S、a均不變，但B變而使得變。產(chǎn)生原因:.分析：.回路置于變化的磁場里，最簡單的方法就是回路平面和磁場垂直，回.1Api；路中會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢,如果回路閉合就有感應(yīng)電流RAt，如果回路不閉合，感生電動勢仍是At，不產(chǎn)生感應(yīng)電流。這是法拉等的發(fā)現(xiàn)。由于法拉第自身不可避免的局限，他沒有再追究這一現(xiàn)象的深層本質(zhì)。接過接力棒再創(chuàng)佳績的是麥克斯韋，他指出感應(yīng)電動勢其實跟導(dǎo)體的性質(zhì)和種類無關(guān)，純粹是由變化多端的磁場引起的。放置了閉合回路，回路中就有電流，這只是表面現(xiàn)象，不是事情的本質(zhì)。麥克斯韋相信，即使不在導(dǎo)

2、體回路，變化著的磁場也能在其周圍空間激發(fā)一種稱為渦旋電場的場，渦旋電場和靜電場的共同點就是對電荷都有作用力，當(dāng)然差異點也有不少。例如靜電荷它可以單獨存在，其電場線是閉合的無頭尾無始終。如果恰好變化磁場中有閉合導(dǎo)體回路，變化磁場產(chǎn)生的渦旋電場電場線跟導(dǎo)體不垂直因而分解出與導(dǎo)體相切的分量，導(dǎo)體中的自由電荷受其作用力就會定向移動成為電流。這就是感應(yīng)電動勢的非靜電力的來源。麥克斯韋最早分析了這種情況，他敏感地預(yù)見到這一現(xiàn)象，表明電場和磁場之間必然有某種當(dāng)時尚未發(fā)現(xiàn)的新關(guān)系。讓我們更具體地分析：.一個物理場，既圖4-4-1呈現(xiàn)某種空間分布又隨時間依一定規(guī)律變化。我們說這個場是空間和時間的函數(shù)。磁場和電場

3、一樣，是矢量場。如果說它是勻強的，是指它非穩(wěn)恒，空間分布狀況不變但隨時間改變其大小，場線會隨時間變密或變疏。本題中變化磁場產(chǎn)生渦旋電場的問題，按麥克斯韋的理論，是一個十分復(fù)雜的問題。僅在非常特殊的場合，再附加上非?？量痰臈l件，場的分布才是很確定的，中學(xué)階段我們面對的模型幾乎都是這樣的:.磁場被限制在一個圓柱狀空間，有理想邊界即磁場在邊界上突變，在界內(nèi)勻強，在圓柱外突變?yōu)榱?。磁感線跟圓柱軸線平行，在與磁場垂直的平面上磁場邊界是有限大的圓。按麥克斯韋理論:.如果磁場隨時間均勻變化，那么產(chǎn)生的渦旋電場就不隨時間變化；如果磁場隨時間是振蕩的，那么產(chǎn)生的渦旋電場就是同頻率振蕩的，如圖4-4-1所示。渦旋

4、電場的電場線是一系列環(huán)抱磁感線的同心圓。沿這些同心圓的半徑方向放置導(dǎo)體，導(dǎo)體上是不可能產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的，在這個方向上導(dǎo)體內(nèi)的帶電粒子即受到渦旋電場力作用也不會沿導(dǎo)體定向移動。如果有環(huán)形導(dǎo)體恰好與電場線平行，導(dǎo)體上能產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，那是確定無疑的。在上述這些特殊條件下，由變化磁場產(chǎn)生的渦旋電場，其特征是:.空間各點的E渦一定處在與磁場垂直的平面上，即渦沒有跟B平行的分量；磁場邊界內(nèi)外都有三渦。上面說過E渦的場線是與磁場邊界同心封閉圓，任何一個磁場邊界同心的圓周上任意一點的左渦沿切線方向；左渦的指向與磁場變化的關(guān)系遵從楞次定律，即E渦的方向就是感應(yīng)電動勢的方向；左渦的大小，可以從渦旋電場力是非靜電

5、力這一點出發(fā)來推導(dǎo)，根據(jù)電動勢定義，電動勢應(yīng)等于單位正電荷從電源負(fù)極通過電源內(nèi)部移往正極，單位正電荷在回路上繞行一周，非靜電力做功W二Wq二E-2，此處設(shè)該回路半徑為r,又根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定s=S=兀廠2-律3AtAt，這兩個在本質(zhì)與現(xiàn)象的關(guān)系，其實是一回事，數(shù)廠cAbrAbE-2兀r=nr2E值上應(yīng)相等，即渦At，所以渦2At。該結(jié)果僅適用于rWR的范圍（R是磁場邊界半徑），其說明E渦大小由兩個因素決定:.一是磁感應(yīng)強度變ABABABE2兀r=兀R2化率At；二是r，如果At是恒量，那么,在rR處，渦At，r2Ab磁通量9二BS中的S，只能計及有磁感線穿過的面積沢R2,E渦二2?可。請我A

6、b們關(guān)注石這個物理量，這是一個非常重要的物理量，以下的每個A類例題和BAb類例題，我們都要跟石打交道。產(chǎn)生感應(yīng)電磁現(xiàn)象的原因是由于感生渦旋電場的作用，假如有一個局限在圓柱形范圍內(nèi)的勻強磁場B,B的方向平行于圓柱體的軸。當(dāng)B的大小在增加時，感生電場的方向如圖圖4-4-2所示。根據(jù)對稱性，在回路上各點處的感生電場方向必然與回路想切，感生電場的電場線是一些同心圓。因此，感生電場的電感線是閉合線，無頭無尾，像旋渦一樣，所以由磁場變化而激發(fā)的電場也叫旋渦電場。而靜電場的電感線卻是起于正電荷而終于負(fù)電荷，是有頭有尾的。這是一個很重要的區(qū)別。根據(jù)電動勢和電場的關(guān)系，如果磁場區(qū)域半徑為R，回路的半徑為r，回路

7、上的電場強度為E，則因為A=nr2AB,圖4-4-2所以有r.AB2石5r2.Ab、2rAt441、磁場中導(dǎo)體的感生電動勢在一個半徑為R的長直螺線管中通有變化的電流，使管內(nèi)圓柱形的空間產(chǎn)生變化的磁場，且AB/At0（圖4-4-3）。如果在螺線管橫截面內(nèi)，放置一根長為R的導(dǎo)體棒ab，使得oa=ab=ob，那么ab上的感生電動勢eab是多少？如果將導(dǎo)體棒延伸到螺線管外，并使得ab=bc=R呢？前面已說過:.長直通電螺線管內(nèi)是勻強磁場，而管外磁場為零，所以本題研究的是一個圓柱形勻強磁場。盡管根據(jù)前述E的表達式，可知ab棒所在各點的電場強度，但要根據(jù)這些場強來求出8ab卻要用到積分的知識，因此，一般中

8、學(xué)生無法完成，我們可取個等邊三角形面積oab，因為oa和ob垂直于感生電場的電力線，所以oa和ob上沒有感生電動勢。又根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，oab回路上的感生電動勢紅二空R2ABAt4At這也就是8ab的大小。nCAB12丿如果將ab延伸到c，則可研究Aoac，根據(jù)同樣的道理圖4-4-3可知8ac很明顯，上面這個問題可以這樣解的前提是磁場局限于圓柱形內(nèi)。如果一根導(dǎo)體棒是放在一個寬廣的或是其它范圍不規(guī)則的磁場內(nèi)，那是得不出上述結(jié)果的，假如將一個導(dǎo)體閉合回路放在磁場中，對磁場就沒有那么嚴(yán)格的要求了，這類問題一般說來同學(xué)們是熟悉的，但如果是一個比較復(fù)雜的電路放在磁場中，處理時就要用一些新的方法。4

9、42、磁場中閉合電路的感生電動勢圖4-4-5(a)(b)個比圖4-4-4較復(fù)雜的閉合電路的感生電流的問題，一般除了用到有關(guān)電磁感應(yīng)的知識以外還要用到解復(fù)雜電路的回路電壓定律和節(jié)點電流定律。將一個半徑a、電阻為r的圓形導(dǎo)線，接上一個電阻為R的電壓表后按圖4-4-4(a)、(b)兩種方式放在磁場中，連接電壓表的導(dǎo)線電阻可忽略，(a)、(b)中的圓心角都是0。均勻變化的磁場垂直于圓面，變化率AB/d=k。試問(a)、(b)中電壓表的讀數(shù)各為多少？因為電壓表的讀數(shù)與它兩端的正負(fù)無關(guān)，所以可以任意假設(shè)磁場B的方向和變化率的正負(fù)?，F(xiàn)在我們設(shè)B垂直于紙面向里，且AB/At=k0(圖4-4-5)。S二a2)回

10、路OPS1Q的面積12兀，回路OPS2Q的面積2兀C)S二吭a2722兀。這兩個回路單獨存在時的感生電流方向相同，都是逆時針的，感生電動勢的大小分別為)k兀a27k,ABA?18/8=0/(2兀-9)12PS1Q段導(dǎo)線和QS2P段導(dǎo)線電阻分別為02兀一0R=r,R=ri2兀22兀如圖4-4-6中標(biāo)出的電流，應(yīng)該有I=I-IV21對兩個回路分別列出電壓方程8=IR-1R,111V8=IR+IR222v(R為伏特表的內(nèi)阻)。由、可解得I?(2兀-0丄+兀RiL2兀即有=I12因此所以圖4-4-4(a)的接法中電壓表的讀數(shù)為零。再看圖4-4-4(b)中的接法:.電流設(shè)定如圖4-4-6,圖4-4-6小

11、回路和大回路的感生電動勢大小分別為8,=S學(xué)=岸-兀a2-1a2sin0kiiAt12兀2丿f一a2+1a2sin0kI2兀2丿=1ka2-sin0）2L=S孝22At=-ka2（2兀一0+sin0）2丁12R2+IVR（R為伏特表的內(nèi)阻）。由上述方程可解得I-2兀2a2ksin0/0（2兀-0）工V由些可知電壓表的讀數(shù)為V=IR=2兀2a2ksin0/V本問題中我們用到的電流方程（如式）和回路電壓方程（如、式），實際上就是上一講中提到過的基爾霍夫方程。在解決電磁感應(yīng)的問題時，用電壓回路方程十分方便，因為電磁感應(yīng)的電動勢是分布在整個回路上的。附:.靜電場與感生電場的比較就產(chǎn)生原因而言，靜電場是

12、靜止電荷產(chǎn)生的，而感生電場是變化多端的磁場激發(fā)的。就性質(zhì)而言，當(dāng)單位正電荷繞封閉合回路一周靜電場力的功為零。當(dāng)感生電場驅(qū)使單位正電荷繞付線圈一周時，感生電場力的功不為零，其數(shù)值恰為副線圈內(nèi)產(chǎn)生的感生電動勢，數(shù)值上等于通過副線圈的磁通量對時間的變化率。靜電場是保守場，感生電場是非保守場。靜電場的電力線是有頭有尾的不封閉曲線，而感生電場的電力線是無頭無尾的閉合曲線。靜電場是有源場，而感生電場是無源場。典型例題例1、無限長螺線管的電流隨時間作線性變化（M/At=常數(shù)）時，其內(nèi)部的磁感應(yīng)強度B也隨時間作線性變化。已知AB/At的數(shù)值，求管內(nèi)外的感生電場。解:如圖4-4-7所示為螺線管的橫截面圖，C表示

13、螺線管的邊緣，其半徑為R。由于對稱性以及感生電場的電力線是一些封閉曲線的性質(zhì)，可知管內(nèi)外的感生電場電力線都是與C同心的同心圓，因此:.cA=E2兀r當(dāng)rVR時，感AtE-丄孚S感2兀rAt2兀rAtrAb2當(dāng)rR時R2ABE感=牙瓦E2兀r學(xué).兀rR2感At所以PE感的大小在管內(nèi)與r成正比，在管外與r成反比。感生電場電力線的方向Ab可由楞次定律確定，當(dāng)At0時，電力線方向為逆時針方向。例2、在一無限長密繞螺線管中有一均勻磁場，磁感應(yīng)強度隨時間線性變化（即AB/At=常數(shù)），求螺線管內(nèi)橫截面上長為l的直線段MN上的感生電動勢。（橫截面圓的圓心O到MN的垂直距離為h）解:求感生電動勢有兩種方法。（

14、1）根據(jù)電動勢的定義:.某一線段上的感生電動勢等于感生電場搬運單位正電荷沿此段運動時所做的功。在MN上任選一小段Al，O點到Al距離為r,AlP處的E感如圖4-4-8所示，與A的夾角為感生電場沿A移動單位正電荷所做的功為AA=E感感Icos0AA=LAB-Alcos02AtErcos0=hAA=2氣Al把MN上所有&的電動勢相加,聖1ABai=1hiAB(2)用法拉第定律求解。連接OM，ON，則封閉回路三角形OMN的電動勢等于2At2At其所包圍的磁通量的變化率。1=BS=IhB2aiAb=hl-At2AtPOM和ON上各點的感生電場先感均各自與0M和ON垂直，單位正電荷OM和ON上移動時，感生電場的功為零，故OM和ON上的感生電動勢為零，封閉回路OMNO的電動勢就是MN上的電動勢。電動勢的方向可由楞次定律確定。例3、兩根長度相度、材料相同、電阻分別為R和2R的細(xì)導(dǎo)線，圍成一直徑為D的圓環(huán)，P、Q為其兩個接點，如圖4-4-9所示。在圓環(huán)所圍成的區(qū)域內(nèi),存在垂直于圓指向紙面里的勻強磁場。磁場的磁感強度的大小隨時間增大，變化率為恒定值b。已知圓環(huán)中的感應(yīng)電動勢是均勻分布的。設(shè)MN為圓環(huán)上的兩點,MN間的弧長為半