彈性力學(xué)3應(yīng)變分析課件

1、3-1 相對位移張量和應(yīng)變張量xyzO一. 一點的相對位移張量P設(shè) 點的位移分量為相鄰一點AA1P1位移分量為兩點間的位移（矢量）差將 在 處展開，并忽略高階項，則 相對位移張量一般為非對稱張量。 相對位移張量反映了一點相對位移的總體情況，既包含了因剛體位移產(chǎn)生的相對位移，又包含了因變形位移產(chǎn)生的相對位移；稱為P點的相對位移張量二. 轉(zhuǎn)動張量xyzOPAA1P1設(shè)若為剛體位移，則展開由dxidxj的任意性，其項前系數(shù)為零。即所以相對剛體位移張量為反對稱張量，并記為滿足此條件的相對位移張量稱為相對剛體位移張量或轉(zhuǎn)動張量將相對位移張量分解為對稱和反對稱張量為其中第二項 第一項為不包含剛體位移的相對

2、位移張量，即由變形產(chǎn)生的相對位移張量。稱為應(yīng)變張量，記為 。三. 應(yīng)變張量與 對比，即等于轉(zhuǎn)動張量應(yīng)變張量是對稱張量3-2 幾何方程Cauchy方程xyzOP 建立應(yīng)變與位移的關(guān)系，揭示應(yīng)變張量各分量的物理意義考察P點， 分別沿 x、y、z正向引三正交線元 r、s、t變形后P點移動到P點P三線元的長度和相對夾角也發(fā)生變化將三線元變形前后的位置分別向三坐標面投影，建立其應(yīng)變和位移的關(guān)系投影引起的誤差為高階微量以向yz平面投影分析為例yzOPP設(shè)P點的坐標為 y、zs、t 的長度為dy、dz點P到P 的位移為 v、ws點到s 的位移為 vs 、ws由正應(yīng)變的定義由切應(yīng)變的定義t點到t 的位移為 v

3、t 、wt若向xy平面投影同理可得若向zx平面投影同理可得綜合之此方程組表明了應(yīng)變與位移的關(guān)系，稱為幾何方程或Cauchy方程對比應(yīng)變張量各分量，可見 應(yīng)變張量分量與工程應(yīng)變的原始定義完全相同，但工程切應(yīng)變是角應(yīng)變分量的2倍，故一點應(yīng)變狀態(tài)可由應(yīng)變張量描述幾何方程可表示為3-3 應(yīng)變張量的性質(zhì)由于應(yīng)變張量是對稱二階張量，因此與應(yīng)力張量具有類似的性質(zhì)一. 任意方向的正應(yīng)變和任意兩垂直方向的切應(yīng)變1.設(shè)一點的應(yīng)變狀態(tài)為ij ，則該點任意方向N (l1 , l2 , l3) 正應(yīng)變2.設(shè)一點的應(yīng)變狀態(tài)為ij ，兩垂直方向分別為 r ( l1 , l2 , l3 ) 和 s ( l1 , l2 , l

4、3 ) ，則該點rs方向上的切應(yīng)變二. 應(yīng)變狀態(tài)的坐標變換 設(shè)一點的應(yīng)變狀態(tài)在 Oxyz 坐標系下的應(yīng)變張量為ij ，旋轉(zhuǎn)后的坐標系為 Oxyz ，兩坐標系間的方向余弦為lij ，則三. 主應(yīng)變、主方向 設(shè)一點的應(yīng)變狀態(tài)為ij，xyzOrst123 過此點可作任意組三向正交線元，總存在一組線元在變形前后始終保持正交，即兩兩方向上的切應(yīng)變?yōu)榱恪?將該組線元方向稱為應(yīng)變主方向，沿主方向的正應(yīng)變稱為主應(yīng)變。（該組線元所構(gòu)成的三軸又稱為應(yīng)變主軸，兩兩線元構(gòu)成的平面稱為應(yīng)變主平面。） 由以上定義，類似主應(yīng)力分析可得1. 主平面（主方向）方程其中 為主應(yīng)變，lj 為主方向2. 主應(yīng)變方程（特征方程）3.

5、應(yīng)變不變量三實根按 1 2 3 排序4. 最大最小應(yīng)變最大正應(yīng)變 max 1最小正應(yīng)變 min 3最大最小切應(yīng)變5. 八面體應(yīng)變八面體表面法線方向的正應(yīng)變八面體表面上兩正交方向的切應(yīng)變6. 應(yīng)變強度四. 體積應(yīng)變和應(yīng)變張量分解1. 體積應(yīng)變 由正交三線元可構(gòu)成一微元體，考察變形前后微元體體積的變化。xyzOP變形前微元體體積變形后微元體邊長其中， 表示切應(yīng)變的高價微量變形后微元體體積定義體積應(yīng)變可見應(yīng)變張量的第一不變量的物理意義為體積應(yīng)變考察位移場即其散度說明應(yīng)變張量的第一不變量或體積應(yīng)變的數(shù)學(xué)意義為位移場的散度當(dāng) = 0時，稱為物體是不可壓縮的，因此不可壓縮的條件為：應(yīng)變張量的第一不變量為零

6、或位移場的散度為零2. 應(yīng)變張量的分解與應(yīng)力張量的分解類似，可將應(yīng)變張量分解為球張量和偏張量其中只有體積改變而無形狀改變只有形狀改變而無體積改變不變量3-4 變形協(xié)調(diào)方程一. 問題的提出 1. 根據(jù)連續(xù)性假定，受力物體在變形前后都是連續(xù)的。 3. 由于幾何方程是導(dǎo)出關(guān)系，數(shù)學(xué)上它們之間并不是相互獨立的，而存在著一定的相互制約關(guān)系。 2. 由幾何方程可知，給定位移函數(shù)ui可唯一地確定應(yīng)變分量ij。 4. 物理上，相互獨立的應(yīng)變分量不能保證物體的連續(xù)性，物體內(nèi)在變形時會出現(xiàn)分裂和重疊。二. 變形協(xié)調(diào)關(guān)系應(yīng)變分量間的關(guān)系考察幾何方程在xy平面內(nèi)所以同理，考察yz和zx平面可得故得第一組變形協(xié)調(diào)方程考察故得第二組變形協(xié)調(diào)方程如果作不同的數(shù)學(xué)運算組合可得若干組變形協(xié)調(diào)方程 若把幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程視為泛定方程組，因僅聯(lián)系九個量（六個應(yīng)變、三個位移），需九個獨立方程。而幾何方程有六個，故在若干組變形協(xié)調(diào)方程中，只有三個方程獨立。 需要指出，變形協(xié)調(diào)方程是應(yīng)變張量的稟性方程。即，滿足變形協(xié)調(diào)方程是任何真實應(yīng)變張量的必要條件。精品課件！精品課件！3-5 位移邊界條件 給定邊界上的位移和約束情況（如沉降，