有限元第四章一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論課件

1、第四章一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論關(guān)于有限元方法的一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論；有限元解的收斂性以及單元精度問(wèn)題；本章的主要對(duì)象是函數(shù)： 真實(shí)解是一個(gè)函數(shù)； 基函數(shù)是一組函數(shù)； 試探函數(shù)是某一類函數(shù)； 有限元解是某類函數(shù)中使P 取最小值的那一個(gè)函數(shù)。本章中： “元素”指的就是函數(shù)； “空間” 就是具有某種性質(zhì)的函數(shù)的集合，即函數(shù)空間。4-1 線性空間（向量空間） 1. 線性空間的定義滿足下列條件的空間E為線性空間(1) x, y , zE 有如下“加法”運(yùn)算（i）（ii）（iii）存在“零元素” q E x E 有（iv） x E 存在逆元素 x E 使(2) 設(shè) 中的元素與實(shí)數(shù)域的元素有“數(shù)乘”運(yùn)算，即 x,

2、y E，a, b K(實(shí)數(shù)域）（i）（ii）（iii）（iv）若為實(shí)數(shù)域則 稱為實(shí)線性空間， 為復(fù)數(shù)域則 稱為復(fù)線性空間。例C a,b 若、是a, b上的連續(xù)函數(shù)，則 也是a, b上的連續(xù)函數(shù)。故定義在a, b上的所有連續(xù)函數(shù)組成一個(gè)線性空間。記作C a, b。 例L2 （a,b）若 、 是（a, b）上平方可積的函數(shù)，即 、 存在 則所以 也是（a, b）上平方可積的函數(shù)。所有（a, b）上平方可積的函數(shù)組成一個(gè)線性空間，記作L2 (a, b)。例C1 a,b若 、 、 、 在a, b上連續(xù)，則也在（a, b）上連續(xù)。所有函數(shù)本身及一階導(dǎo)數(shù)都在（a, b）上連續(xù)的函數(shù)組成一種線性空間，記作C

3、1 a, b。例Rn n 維歐氏空間是線性空間，R2（二維平面）, R3（三維空間）是 n 維歐氏空間的特例。例Pn(x) a,b定義在 a,b 上的n 次多項(xiàng)式 Pn(x) a,b C a,b構(gòu)成線性空間。 2 線性空間的維數(shù)( 1 ) 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)設(shè) 為線性空間的n個(gè)元素（i）若存在不全為零的常數(shù)使得則稱 線性相關(guān)； (ii) 若僅當(dāng)才成立，則稱 線性無(wú)關(guān)。( 2 ) 線性空間的維數(shù)若線性空間 滿足（i）任意n+1個(gè)元素一定線性相關(guān)。（ii）存在著n個(gè)線性無(wú)關(guān)的元素。則稱線性空間 的維數(shù)為n。例若 線性無(wú)關(guān)，則所有形式為的試探函數(shù)組成n維線性空間。而所有形式為的位移場(chǎng)則組成 2n 維

4、線性空間。例由于可以找出任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的連續(xù)函數(shù)（ ） 所以空間為無(wú)限維線性空間。2 空間也是無(wú)限維線性空間。3. 線性空間的模（范數(shù)）（）模的定義 當(dāng)線性空間 E 中的任意一個(gè)元素 x 可用一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記作x（表示“大小”或“長(zhǎng)度”）稱為E 空間為模線性空間或賦范線性空間，實(shí)數(shù)x稱為?；蚍稊?shù)。模的性質(zhì)如下： (i) x0 ,僅當(dāng) x 0 時(shí) x=0(ii) 對(duì)任一常數(shù)有: x=x(iii) 對(duì)任意x、y E有: x + yxy （此式又稱三角不等式）。x-元素 x 的“大小”，x - y-兩個(gè)元素 x、y 之間的“距離”。 當(dāng)u-uh0， 設(shè)真實(shí)解為u，有限元解為uh，有限元解收

5、斂于真實(shí)解。模的定義不同，收斂的意義也不同。例 在 平面() 內(nèi)，向量 x（x1, x2）可以有下列三種模的定義:例設(shè) x, y E 則， II x- y II 可以表示這兩個(gè)元素的“接近程度”，若在R2 空間中的兩個(gè)元素，x ( 1, 1 ), y ( 2, 4 )可以有如下模的定義:x (1,1) 3y (2,4)圖在實(shí)數(shù)域內(nèi)， 模 與絕對(duì)值 是等價(jià)的。（）兩種常用的模 一致模若u C a, b，則 u 必在 a, b 上取到最大值和最小值，故: L2 模若u L2 (a, b)則 存在，L2 模 定義為：按一致模收斂是一致收斂，按 L2 模收斂則是平均收斂。 4-2 內(nèi)積空間（酉空間）.

6、 內(nèi)積對(duì)于線性空間 的每一對(duì)元素 u、v 定義一個(gè)確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，稱為 u、v 的內(nèi)積，記作（u、v），且滿足:(i)（ u、v）（v、u） （對(duì)稱性）(ii) 對(duì)任一常數(shù)有(u, v) = (u, v) （齊次性）(iii) 對(duì)于u1、u2、v E有 ( u1+u2 , v ) = ( u1 , v )+( u2 , v ) （可加性）(iv) (u , u) 0 僅當(dāng) u 0 時(shí)(u , u ) = 0。定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。例 u(x), v(x) C2 a, b 至少存在以下四種形式的內(nèi)積：其中 r (x) 是a, b上的給定函數(shù)。. 內(nèi)積模 在內(nèi)積空間，可以直接利用內(nèi)

7、積來(lái)定義元素的模 在內(nèi)積空間中，u 與 v 之間的距離可用內(nèi)積模表示 3. 正交性 內(nèi)積空間與一般線性空間的不同之處是可以用內(nèi)積來(lái)定義兩個(gè)元素之間的正交關(guān)系，函數(shù)之間的“正交”。若（ u、v）則稱 u、v正交。模及正交性涵義取決于內(nèi)積的定義。 例 若積分 存在， 可定義內(nèi)積則模的定義而u、v 正交的含義為：例如，在 0, 上當(dāng) mn 時(shí) sinmx 與sinnx 正交。例若 0 且積分存在 而 u、v 正交則意味著內(nèi)積模即通常理解的 u、v以 為權(quán)正交。4. Schwarz 不等式 設(shè) u、v 是內(nèi)積空間的兩個(gè)元素，t 為任一實(shí)數(shù)，則 tu-v 也是內(nèi)積空間的一個(gè)元素，顯然，它自身的內(nèi)積 上式

8、對(duì)任何實(shí)數(shù) t 都成立的充分必要條件是： 即或Schwarz不等式 對(duì)于a、b 兩個(gè)向量 Euclid空間的三角不等式 5. 收斂性與完備性（1）收斂性（賦范線性空間），若存在則，稱 為點(diǎn)列 的強(qiáng)極限，讀作： 強(qiáng)收斂于 ，模的定義不同收斂的涵義不同。（2）完備性若 E 空間中的每一個(gè)元素列收斂于 E 中的一個(gè)元素，則稱空間 E 是完備的。 Hilbert空間-完備的內(nèi)積空間。Banach空間-完備的賦范線性空間。 是Hilbert空間的子空間。 是 的子集。 許多數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的解存在于某一類函數(shù)空間中。換句話來(lái)說(shuō)為了得到有意義的解，必需明確解的存在空間。即對(duì)組成解的函數(shù)的類型作一限定。值得注意

9、的是，如果限制的過(guò)于嚴(yán)格會(huì)將一些解排除在外，限制過(guò)寬可能導(dǎo)致解無(wú)意義。 有限元解的存在空間為索伯列夫空間，是Hilbert 空間的子空間。4-3 索伯列夫空間HK. HK 空間的定義及實(shí)例廣義導(dǎo)數(shù) 當(dāng) k 為非負(fù)整數(shù)時(shí)，HK() 表示在定義域內(nèi)，函數(shù)本身以及直到k階導(dǎo)數(shù)都平方可積的函數(shù)全體。 （）若 u(x) H1(0, L)，則積分xuu1u2u3u4u5x5x4x3x2x10圖4-2對(duì)于圖4-2 所示的分段線性插值函數(shù)u(x)而言，顯然上兩式成立。 在點(diǎn) x2、x3、x4 處，按通常的意義u 不存在，左導(dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)。 補(bǔ)充定義：取兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的平均值作為該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值（廣義導(dǎo)數(shù)）。定義了

10、廣義導(dǎo)數(shù)的空間就是完備的線性空間 在通過(guò)結(jié)點(diǎn)時(shí)不連續(xù)，有限跳躍量， 在結(jié)點(diǎn)處為函數(shù)。函數(shù)本身可積，但平方不可積。結(jié)論：對(duì)于分段線性插值的函數(shù)u(x)而言：u H1(0, L)，但u H2(0, L)。 （）設(shè)為一平面二維區(qū)域， 將分成若干三角形的片（單元），取各三角形的項(xiàng)點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)， 以結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值對(duì)單元內(nèi)的位移場(chǎng)進(jìn)行分片線性插值。 函數(shù)u(x,y)在上連續(xù)，且積分 x圖4-3y存在在單元邊界和結(jié)點(diǎn)處 ：?jiǎn)卧吔缟先∵吔鐑蓚?cè)的平均值，在結(jié)點(diǎn)處取包圍這個(gè)結(jié)點(diǎn)各單元的加權(quán)平均值（按各單元所占有的角度加權(quán)） 為一函數(shù)結(jié)論：二維分片線性插值的函數(shù)u，有u H1()，但uH2()。（）在研究梁的彎曲時(shí)

11、以結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值作為結(jié)點(diǎn)參數(shù)，采用分段三次Hermite插值來(lái)構(gòu)造試探函數(shù)v(x)(圖4-4)。v(x)、v(x)在 0, L上連續(xù)xvx1x2x3x4圖4-4存在在結(jié)點(diǎn)處：v 為一函數(shù)，平方以后不可積。結(jié)論：對(duì)于分段三次Hermite插值的函數(shù)v(x) 有vH2(a, b)， 但u3(a, b)。HK空間中所提到的導(dǎo)數(shù)，都是指廣義導(dǎo)數(shù)。如果通常意義下的導(dǎo)數(shù)存在，它將與廣義導(dǎo)數(shù)完全一致。任何一個(gè)HK空間都是無(wú)限維線性空間。H2()是H1()的子空間；H()是H()的子空間又是H)的子空間。H()只要求函數(shù)本身平方可積，與L2()是一回事。一般說(shuō)來(lái)，用分片插值多項(xiàng)式定義的函數(shù)，在單元

12、內(nèi)部的可微性都比較好。在整個(gè)區(qū)域上的可微性主要取決于插值函數(shù)在穿過(guò)單元邊界時(shí)的性質(zhì)。. 索伯列夫空間的模 設(shè)為一平面二維區(qū)域當(dāng)u H1()時(shí)，模的定義為：當(dāng)u H2() 時(shí)，定義如此定義模的意義：若u 為位移函數(shù)，則在討論收斂性時(shí)，若收斂一定意味著函數(shù)本身（位移）的收斂性，也包括了函數(shù)的若干階導(dǎo)數(shù)（自然包括了應(yīng)力）的收斂性。 . 索伯列夫空間的半模（積分中不含函數(shù)自身） 當(dāng)為一平面二維區(qū)域時(shí)，半模的定義下：當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí)上兩式定義的半模描述了某一階廣義導(dǎo)數(shù)的“大小”。 . 能量模和能量?jī)?nèi)積 彈性體的變形能總是非負(fù)的， 可以用一非負(fù)實(shí)數(shù)與其對(duì)應(yīng)。如果所加的位移約束條件使整個(gè)系統(tǒng)不能做剛體運(yùn)動(dòng)，那么

13、只有在系統(tǒng)的位移恒為零時(shí)總變形能才等于零。在這種情況下就允許我們把變形能作為一種模的定義（能量模），并且由此受到啟發(fā)去定義能量?jī)?nèi)積。 借用了數(shù)學(xué)上的模與內(nèi)積的概念，可以抽象的表達(dá)總勢(shì)能函數(shù)及分析解的性質(zhì)。將u, v 的能量?jī)?nèi)積寫(xiě)成 D(u, v)u 的能量模對(duì)于的軸向受拉桿（圖4-5），有 Lf(x)x,u0圖4-5vx圖4-6 對(duì)于彈性基礎(chǔ)上的簡(jiǎn)支梁（圖4-6），若支承剛度為k(x), 則能量?jī)?nèi)積和能量模的平方分別為當(dāng)k 0 時(shí)，梁彎曲變形能 能量?jī)?nèi)積能量模的平方x,uy,v圖4-7平面應(yīng)力問(wèn)題 分別表達(dá)兩種不同的位移場(chǎng)能量模的平方 能量?jī)?nèi)積 外力 f 在位移場(chǎng) u 上作的功也可表示為內(nèi)積形

14、式 (f, u)勢(shì)能駐值條件 這里 u 泛指一般的位移場(chǎng)，而 f 則泛指一般外載荷。這樣借助能量?jī)?nèi)積和能量模的概念，我們就可以暫時(shí)擺脫問(wèn)題的具體物理背景，而理論分析得到的結(jié)論將適用于任何一個(gè)具體的問(wèn)題（橢圓型方程邊值問(wèn)題）。 系統(tǒng)的總勢(shì)能寫(xiě)成 ：泛定方程邊界條件初始條件偏微分方程的定解問(wèn)題4-4 插值逼近的誤差分析hP2 (x)x1A1A2x2x3A3圖4-81. 一維情況單元 e 為長(zhǎng) h 的區(qū)間，設(shè)真解 u H3 (0, h) A1、A2、A3 為曲線 u(x) 上的三個(gè)點(diǎn)，過(guò)這三個(gè)點(diǎn)作一條二次曲線 p2(x.)xu(x)u0研究以 p2(x) 代替 u(x) 造成的誤差 誤差函數(shù): 在

15、0, h 上連續(xù) x1E(x)xx2x*1x30 x*2圖4-9必存在兩個(gè)點(diǎn)x1*,x2*, x1x1*x2x2*x3 (圖4-9)使得 x*xx*10 x*2圖4-10因此又可以找到一點(diǎn)x*,x1*x*x2* (圖4-10) 使得利用Schwarz不等式，則進(jìn)一步可得到誤差函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)的半模與函數(shù) u 的三次導(dǎo)數(shù)半模之間的關(guān)系類似有放大積分區(qū)間函數(shù)u 對(duì)x 的三次導(dǎo)數(shù)的半模的平方重要結(jié)論： （1）適當(dāng)增加單元內(nèi)插值點(diǎn)個(gè)數(shù)，增加插值多項(xiàng)式次數(shù)，有可能提高精度，但要受到函數(shù)本身（真解）可微性的限制。當(dāng)u HK(e) 、(k2)時(shí)采用k1次多項(xiàng)式可以達(dá)到最高的精度 (函數(shù)本身的誤差為hk (e)

16、 )。再增加插值多項(xiàng)式次數(shù)，精度當(dāng)然不會(huì)降低，但也未必能夠提高。當(dāng)uH1(e) 時(shí)一般采用線性插值。（2）函數(shù)本身的精度最好，導(dǎo)數(shù)的精度低于函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高，精度越低。2. 一般情況若函數(shù)（真解）u HK(e), (k2)。在單元內(nèi)用一個(gè)多項(xiàng)式逼近函數(shù)u； 插值多項(xiàng)式記作k1u。其中下標(biāo) k1 意味著插值多項(xiàng)式完全到 k1 次; 當(dāng)k2 時(shí)有(4-4-1)(4-4-2)(4-4-3)當(dāng) k3 時(shí)有 （2）當(dāng)uH3(e) 時(shí)，可以采用二次插值多項(xiàng)式，提高收斂速度。當(dāng)uH1(e) 時(shí)前述誤差估計(jì)式不能直接用，但仍可采有線性插值，函數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)的收斂性可以加以證明，但收斂速度可能較慢。 其中 h

17、 為單元直徑，即單元內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的最大距離，對(duì)三角形為最長(zhǎng)邊，對(duì)矩形為對(duì)角線。C 代表與 u 和、h 無(wú)關(guān)、只與單元形狀（對(duì)三角元指內(nèi)角，對(duì)矩形元指長(zhǎng)寬比）有關(guān)的常數(shù)。 （1）當(dāng)uH2(e) 時(shí)，采用完全到一次項(xiàng)的多項(xiàng)式，當(dāng)h0時(shí)函數(shù)誤差為(h2)階，一階導(dǎo)數(shù)誤差為(h)階。 有限元解的誤差不僅取決于插值多項(xiàng)式次數(shù)，而且有賴于真實(shí)解的可微性（實(shí)際的位移場(chǎng)的平緩性）。4-5 廣義解的可微性角點(diǎn) . 有限元解的容許空間 橢圓型方程邊值問(wèn)題的總勢(shì)能函數(shù)為： 滿足強(qiáng)制性邊界條件和協(xié)調(diào)條件、且使總勢(shì)能取駐值（最小值）的 u 稱為在Ritz 意義下的廣義解。 二階問(wèn)題： D (u, u) 可能包括 u

18、和 u 的一階導(dǎo)數(shù)，為使P存在必須要求u H1()。H1()稱為二階問(wèn)題的容許空間。 而四階問(wèn)題的容許空間則是H()。 u 的能量模2. 廣義解可微性 (解函數(shù)的平滑性)三方面的因素：材料性質(zhì)不連續(xù)、載荷不連續(xù)以及角點(diǎn)。 (1) 材料性質(zhì)不連續(xù) 假設(shè)求解區(qū)域由兩種材料組成，材料分界線是一光滑曲線。 只要在劃分單元時(shí)使作為單元邊界，那么這種材料性質(zhì)的不連續(xù)雖然降低了廣義解在整個(gè)區(qū)域上的可微性，卻不會(huì)降低在單元內(nèi)的可微性。(圖4-11) 圖4-110yx(2) 載荷不連續(xù)圖4-12一維二階問(wèn)題（桿拉伸），允許內(nèi)部載荷為集中力 二維二階問(wèn)題（膜、平面應(yīng)力）不允許在內(nèi)施加集中力（過(guò)分奇異）。二維四階問(wèn)

19、題（板彎曲）允許施加集中力。 取載荷不連續(xù)處作為單元邊界，這種不連續(xù)性就不致降低單元內(nèi)廣義解的可微性。 (3) 角點(diǎn)FEDCBA(a)P2P1(c)P(b)圖4-13(d)角點(diǎn)是指邊界上不光滑的點(diǎn)。在角點(diǎn)附近往往伴隨著應(yīng)力集中現(xiàn)象，應(yīng)力變化急劇 。 采用逐步加密的單元網(wǎng)格，這種網(wǎng)格在奇點(diǎn)附近的單元取的很小，但只采用低階插值多項(xiàng)式； 在奇點(diǎn)附近的單元上假定具有某種奇異項(xiàng)的位移場(chǎng)（即，采用與遠(yuǎn)離奇異點(diǎn)的單元不同的單元）。 在劃分單元時(shí)使分界線為單元邊界；取角點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，但是單元內(nèi)假設(shè)的多項(xiàng)式形式的插值函數(shù)仍然不能很好地逼近角點(diǎn)附近急劇變化的應(yīng)力場(chǎng)。 在角點(diǎn)附近挖出一個(gè)小扇形區(qū)，取為極點(diǎn)，則在極坐標(biāo)下

20、泊松方程的形式為 薄膜問(wèn)題 設(shè)角點(diǎn)附近的邊界為直線，沿此邊界施加 u = 0 的邊界條件，扇形夾角 ( 0即出現(xiàn)凹角時(shí)，u 不在屬于H2。 =2時(shí)， 具有 的奇異性，對(duì)應(yīng)的位移項(xiàng)為： 平面應(yīng)力場(chǎng)的裂紋尖端存在著類似的情況（圖4-14(a)） 對(duì)于固定自由邊界的分界點(diǎn)上，通過(guò)對(duì)稱延拓，不難看出，與內(nèi)角為的自由邊界相當(dāng)（圖4-14（b） 對(duì)于凹角（特別是對(duì)于裂紋），采用大致均勻的單元網(wǎng)格即使是采用高次插值多項(xiàng)式也不會(huì)在奇點(diǎn)附近取得較好的逼近效果（因?yàn)樵谄纥c(diǎn)附近，真實(shí)解與多項(xiàng)式相甚遠(yuǎn)），而且這種誤差會(huì)傳播到不包含奇導(dǎo)性的其他單元。 在裂紋附近的單元中采用除完全的一次項(xiàng)外還可以增加相當(dāng)于 的項(xiàng)的插值方

21、式。 4-6 協(xié)調(diào)位移單元的收斂性和誤差估計(jì)uShuhH1u0圖4-151. 有限元空間Sh 對(duì)于任何實(shí)際需要用有限元分析的問(wèn)題首先要做到:(i) 將區(qū)域劃分為m個(gè)單元（在平面情況下可以是三角元或矩形元）。 (iii) 選擇每個(gè)單元內(nèi)的插值多項(xiàng)式。多項(xiàng)式滿足協(xié)調(diào)性和可微性要求，且多項(xiàng)式的系數(shù)要能由單元所包括的結(jié)點(diǎn)參數(shù)唯一確定。(ii) 配置好每個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)，選擇好每個(gè)結(jié)點(diǎn)參數(shù)。對(duì)于二階問(wèn)題總以結(jié)點(diǎn)函數(shù)值為結(jié)點(diǎn)參數(shù)，以下我們僅限于討論二階問(wèn)題。 得到一組基函數(shù)1、2、n。它們滿足協(xié)調(diào)性和可微性要求；每個(gè)基函數(shù)只在一個(gè)結(jié)點(diǎn)上為，在其余結(jié)點(diǎn)上為零。 我們把形如u =uii（其中i為定義的基函數(shù)，ui 任意常