數(shù)字邏輯電路2邏輯函數(shù)及其簡化課件

1、第二章 邏輯函數(shù)及其簡化 2.1 邏輯代數(shù) 2.2 邏輯函數(shù)的簡化 1849年，英國數(shù)學家喬治-布爾，布爾代數(shù) 描述客觀事物邏輯關系的數(shù)學方法1938年，克勞德-香農(nóng)，開關代數(shù) 將布爾代數(shù)應用到繼電器開關電路的設計，又稱為。布爾代數(shù)成為數(shù)字邏輯電路分析和設計的基礎，又稱為 邏輯代數(shù)本章重點：邏輯函數(shù)化簡2.1 邏輯代數(shù)2.1.1 基本邏輯 邏輯運算是邏輯思維和邏輯推理的數(shù)學描述。 具有“真”與“假”兩種可能，并且可以判定其“真”、“假”的陳述語句叫邏輯變量。一般用英文大寫字母A，B，C表示。例如，“開關A閉合著”，“電燈F亮著”，“開關D開路著”等均為邏輯變量，可分別將其記作A，F(xiàn)，D；“開關

2、B不太靈活”，“電燈L價格很貴”等均不是邏輯變量。 一個結(jié)論成立與否，取決于與其相關的前提條件是否成立。結(jié)論與前提條件之間的因果關系叫邏輯函數(shù)。通常記作：F = f (A, B, C, ) 邏輯函數(shù) F 也是一個邏輯變量，叫做因變量或輸出變量。因此它們也只有“1”和“0”兩種取值，相對地把A， B， C， 叫做自變量或輸入變量。 2.1.1 基本邏輯1. 與邏輯(與運算、 邏輯乘) 決定某一結(jié)論的所有條件同時成立，結(jié)論才成立，這種因果關系叫與邏輯，也叫與運算或叫邏輯乘。 圖 2-1 與門邏輯電路實例圖 例如，對圖2-1所示電路的功能作如下描述：“開關A閉合，并且開關B閉合，則電燈F亮”。2.1

3、.1 基本邏輯這三個陳述語句均具有“真”、“假”兩種可能，其對應關系如表2-1(a)所示。用“1”代表邏輯“真”，用“0”代表邏輯“假”，則表2-1(a)可改為表2-1(b)的形式。這種表格叫真值表。所謂真值表，就是將輸入變量的所有可能的取值組合對應的輸出變量的值一一列出來的表格。它是描述邏輯功能的一種重要形式。表 2-1 與邏輯的真值表 (a) (b)A B FA BF假 假假 真真 假真 真假假假真0 00 11 01 100011. 與邏輯(與運算、 邏輯乘) 由表2-1可知，上述三個語句之間的因果關系屬于與邏輯。 其邏輯表達式(也叫邏輯函數(shù)式)為： F=AB讀作“F等于A乘B”。在不致

4、于混淆的情況下，可以把符號“”省掉。在有些文獻中，也采用、&等符號來表示邏輯乘。 由表2-1的真值表可知，邏輯乘的基本運算規(guī)則為： 00=0 01=0 10=0 11=1 0A=0 1A=A AA=A1. 與邏輯(與運算、 邏輯乘) 實現(xiàn)“與運算”的電路叫與門，其邏輯符號如圖2-2所示， 其中圖(a)是我國常用的傳統(tǒng)符號，圖(b)為國外流行符號，圖(c)為國家標準符號。 圖 2-2 與門的邏輯符號 1. 與邏輯(與運算、 邏輯乘)決定某一結(jié)論的所有條件中， 只要有一個成立， 則結(jié)論就成立，這種因果關系叫或邏輯。 例如，對圖2-3所示電路的功能，作如下描述：“開關A閉合，或者開關B閉合，則電燈F

5、亮”。顯然這三個語句都是邏輯變量，分別記作A，B，F(xiàn)。其真值表如表2-2所示。圖 2-3 或門邏輯電路實例圖 2. 或邏輯(或運算、邏輯加)表 2-2 或邏輯的真值表 (a) (b)A B FA BF假 假假 真真 假真 真假真真真0 00 11 01 10111由表2 - 2可知，上述三個語句之間的因果關系屬于或邏輯。 其邏輯表達式為： F=A+B讀作“F等于A加B”。有些文獻也采用、等符號來表示邏輯加。 2. 或邏輯(或運算、邏輯加)邏輯加的運算規(guī)則為： 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 0+A=A 1+A=1 A+A=A 實現(xiàn)“或運算”的電路叫或門， 其邏輯符號如圖2-4所

6、示。 圖 2-4 或門的邏輯符號 2. 或邏輯(或運算、邏輯加)若前提條件為“真”，則結(jié)論為“假”； 若前提條件為“假”， 則結(jié)論為“真”。即結(jié)論是對前提條件的否定， 這種因果關系叫非邏輯。例如，對圖2-5所示電路的功能作如下描述： “若開關A閉合， 則電燈F就亮”。把以上兩個陳述句分別記作A、 F，則其真值表如表2-3所示。 圖 2-5 非門邏輯電路實例圖 3. 非邏輯(非運算， 邏輯反) (a) (b)A FA F假真真假0 1 10表 2-3 非邏輯的真值表 3. 非邏輯(非運算， 邏輯反)由表2-3的真值表可知，上述兩個語句之間的因果關系屬于非邏輯，也叫非運算或者叫邏輯反。其邏輯表達式

7、為：讀作“F等于A非”。 通常稱A為原變量， 為反變量， 二者共同稱為互補變量完成“非運算”的電路叫非門或者叫反相器，其邏輯符號如圖2-6所示。 3. 非邏輯(非運算， 邏輯反)非運算的運算規(guī)則是： 圖 2-6 非門的邏輯符號(a) 常用符號； (b) 國外流行符號； (c) 國標符號 2.1.2 基本邏輯運算 1. 邏輯加（或運算） 邏輯加的意義是A或B只要有一個為1，則函數(shù)值P就為1。它表示或邏輯的關系。在電路上可用或門實現(xiàn)邏輯加運算，又稱為或運算。運算規(guī)則為：A0AA11AAA推出000011101111 2. 邏輯乘（與運算） 邏輯乘的意義是A或B都為1時，函數(shù)值P才為1。它表示與邏輯

8、的關系。在電路上可用與門實現(xiàn)邏輯乘運算，又稱為與運算。運算規(guī)則為：推出 3. 邏輯非（非運算） 邏輯非的意義是函數(shù)值為輸入變量的反。在電路上可用非門實現(xiàn)邏輯非運算，又稱為非運算。運算規(guī)則為：推出4. 復合邏輯運算 （1） 與非邏輯 “與非”邏輯是“與”邏輯和“非”邏輯的組合。 先“與”再“非”。 其表達式為 實現(xiàn)“與非”邏輯運算的電路叫“與非門”。 其邏輯符號如圖2-7所示。 常用符號； (b) 國外流行符號； (c) 國標符號圖 2-7 與非門的邏輯符號（2） “或非”邏輯 “或非”邏輯是“或”邏輯和“非”邏輯的組合。 先“或”后“非”。 其表達式為： 實現(xiàn)“或非”邏輯運算的電路叫“或非門”

9、。其邏輯符號如圖2-8所示。 常用符號； (b) 國外流行符號； (c) 國標符號圖圖 2-8 或非門的邏輯符號 (3) “與或非”邏輯 “與或非”邏輯是“與”、 “或”、 “非”三種基本邏輯的組合。 其表達式為： 實現(xiàn)“與或非”邏輯運算的電路叫“與或非門”。其邏輯符號如圖2-9所示。 常用符號； (b) 國外流行符號； (c) 國標符號圖 2-9 與或非門的邏輯符號 (4) “異或”邏輯及“同或”邏輯兩變量的“異或”及“同或”邏輯 若兩個輸入變量A、B的取值相異，則輸出變量P為1；若A、 B的取值相同， 則P為0。這種邏輯關系叫“異或”邏輯，其邏輯表達式為： 讀作“P等于A異或B”。 “異或

10、”運算也叫“模2加”運算。 實現(xiàn)“異或”運算的電路叫“異或門”。 其邏輯符號如圖2-10所示。 常用符號； (b) 國外流行符號； (c) 國標符號圖2-10 異或門的邏輯符號若兩個輸入變量A、B的取值相同，則輸出變量P為1； 若A、B取值相異，則P為0。這種邏輯關系叫“同或”邏輯，也叫“符合”邏輯。其邏輯表達式為： 實現(xiàn)“同或”運算的電路叫“同或門”。 其邏輯符號如圖2-11所示。 常用符號； (b) 國外流行符號； (c) 國標符號圖 2-11 同或門的邏輯符號兩變量的“異或”及“同或”邏輯的真值表如表2-4所示。 表 2-4 “異或”及“同或”邏輯真值表 A B0 00 11 01 10

11、1101001“異或”和“同或”的運算規(guī)則：00=101=010= 011=1A0=AA1=AAA=0AA=1AB=ABAB=ABAB=ABAB=AB =ABAB=AB =AB定義：對于輸入變量的所有取值組合，函數(shù)F1和F2的取值總是相反，則稱F1和F2互為反函數(shù)。記作： 由表2-4可知，兩變量的“異或邏輯”和“同或邏輯”互為反函數(shù)。即 由對偶規(guī)則(見2.1.5)可知， A B和AB互為對偶式。 ABAB反函數(shù)多變量的“異或”及“同或”邏輯 多變量的“異或”或“同或”運算， 要利用兩變量的“異或門”或“同或門”來實現(xiàn)。實現(xiàn)電路分別如圖2-12和圖2-13所示。 (1) n個變量的“異或”邏輯的

12、輸出值和輸入變量取值的對應關系是：輸入變量的取值組合中，有奇數(shù)個1時，“異或”邏輯的輸出值為1；反之，輸出值為0。利用此特性，可作為奇偶校驗碼校驗位的產(chǎn)生電路。 (2) 偶數(shù)個變量的“同或”，等于這偶數(shù)個變量的“異或”之非。奇數(shù)個變量的“同或”，等于這奇數(shù)個變量的“異或”。圖 2-12 多變量的“異或”電路 由圖2-12(a)得： 由圖2-12(b)得： 圖2-13 多變量的“同或”電路由圖2-13(a)得： 由圖2-13(b)得： Y1=A BY=Y1 C=(A B)C=A B CY1=A B Y2=C DY=Y1 Y2=(A B)(C D)=A B C D2.1.3 真值表與邏輯函數(shù) 圖2

13、-14 樓道燈開關示意圖ABadbc 在實際問題中，基本邏輯運算很少單獨出現(xiàn)。開關A 開關B 燈 c d 亮 c b 滅 a d 滅 a b 亮設邏輯變量 開關A 開關B 燈 c d 亮 c b 滅 a d 滅 a b 亮取P=1 表示燈亮 P=0 表示燈滅開關A和B接a,b時為1開關A和B接c,d時為0A B P0 0 10 1 01 0 01 1 1真值表邏輯函數(shù)表達式： 與或表達式： 把每個輸出變量P=1的相對應一組輸入變量組合狀態(tài)以邏輯乘的形式表示（用原變量表示變量取值1，反變量表示取0），再將所有P=1的邏輯乘進行邏輯加，即得出P的邏輯表達式，這種表達式又稱為與或表達式，或稱為“積之

14、和”式。或與表達式： 把每個輸出變量P=0的相對應一組輸入變量組合狀態(tài)以邏輯乘的形式表示（用原變量表示變量取值0，反變量表示取1），再將所有P=0的邏輯加進行邏輯乘，即得出P的邏輯表達式，這種表達式又稱為或與表達式，或稱為“和之積”式。例2-1 列出下述問題的真值表，并寫出描述該問題的邏輯函數(shù)表達式。 有A、B、C3個輸入信號，當3個輸入信號中有兩個或兩個以上為高電平時，輸出為高電平，其余情況下，均輸出低電平。解 A、B、C3個輸入信號共有8中可能的輸入組合， 000，001，010，011，100，101，110，111根據(jù)問題的要求，可得到真值表如下：A 0 1 0 1 0 1 0 1B

15、0 0 1 1 0 0 1 1C 0 0 0 0 1 1 1 1P 0 0 0 1 0 1 1 1函數(shù)表達式為：表 2-5 真值表 2.1.4 邏輯函數(shù)相等 假設，F(xiàn)(A1,A2,An)為變量A1,A2,An的邏輯函數(shù)，G(A1,A2,An) 為變量A1,A2,An的另一邏輯函數(shù)，如果對應于A1,A2,An的任一組狀態(tài)組合，F(xiàn)和G的值都相同，則稱F和G是等值的，或者說F和G相等，記作F=G. F和G有相同的真值表 FG例2-2 設 F(A,B,C)=A(B+C) G(A,B,C)=AB+AC試證明： F=GA B C F=A(B+C) G=AB+AC0 0 0 0 00 0 1 0 00 1

16、0 0 00 1 1 0 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1證明： 真值表表 2-6 真值表 結(jié)論:在“相等”的意義下，A(B+C)和AB+AC是表示同一邏輯的兩種不同的表達式。（1）關于變量和常量關系的公式 p24A+0=AA+1=1交換律 A+B=B+A AB=BA（2）交換律、結(jié)合律、分配律 p24 結(jié)合律 A+B+C=(A+B)+C ABC=(AB)C分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)（3）邏輯代數(shù)的一些特殊規(guī)律 p24-25重疊律 A+A=A AA=A反演律2.1.5 三個規(guī)則 1、代入規(guī)則 2、反演規(guī)則 3、對偶

17、規(guī)則 1、代入規(guī)則 任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的地方都代之以一個邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。例2-3 已知等式A(B+E)=AB+AE，試證明將所有出現(xiàn)E的地方代之以(C+D)，等式仍成立。 解：原式左邊AB+(C+D)=AB+A(C+D)=AB+AC+AD 原式右邊AB+A(C+D) =AB+AC+AD 所以等式成立： AB+ (C+D)=AB+A (C+D)2、反演規(guī)則（德摩根定理，互補規(guī)則） 例2-4 已知 ， 求 解：可以推導直接用反演規(guī)則設F是一個邏輯函數(shù)表達式，如果將F進行如下轉(zhuǎn)換： 0 11 0所有變量取反得到新的函數(shù)式 ， 稱為原函數(shù)F的反函數(shù)，或稱為補函數(shù) 3

18、、對偶規(guī)則設F是一個邏輯函數(shù)表達式，如果將F進行如下轉(zhuǎn)換： 0 11 0得到新的函數(shù)式 ， 稱為原函數(shù)F的對偶式F=A(B+C) G=AB+AC則：2.1.6 常用公式證明：推廣之：CAABBCCAABBCD (G+E)BCCAABBCD(G+E)CAAB+=+=+=+1吸收吸收證明p28常用公式4CAABBCAABCCAAB+=+= 基本表達形式 按邏輯函數(shù)表達式中乘積項的特點以及各乘積項之間的關系，可分5種一般形式。例：與或式與非與非式與或非式或與式或非或非式2.1.7 邏輯函數(shù)的標準形式 最小項及最小項表達式如果一個具有n個變量的函數(shù)的“積”項包含全部n個變量, 每個變量都以原變量或反變

19、量形式出現(xiàn), 且僅出現(xiàn)一次，則這個“積”項被稱為最小項，也叫標準積。假如一個函數(shù)完全由最小項的和組成, 那么該函數(shù)表達式稱為最小項表達式。 最小項表達式變量的各組取值A B C000001010011100101110111對應的最小項及其編號最小項編 號編號規(guī)則:原變量取1,反變量取0。表 2-7 三變量函數(shù)的最小項：例2-5 將 展開成最小項表達式解：即n個變量的所有最小項之和恒等于1。所以 =m2+ m3+ m6+ m7注意：變量的順序.= m(2, 3, 6, 7)2）當時，。1）只有一組取值使 mi1。 3）全部最小項之和等于1，即mi1。 最小項的性質(zhì) ：5）當函數(shù)以最小項之和形式

20、表示時，可很容易列出函數(shù)及反函數(shù)的真值表（在真值表中，函數(shù)所包含的最小項填“1”）。4）n變量的最小項有n個相鄰項。一對相鄰項之和可以消去一個變量。相鄰項：只有一個變量不同（以相反的形式出現(xiàn)）。一般表達式： 除非號去括號補因子真值表除非號去括號補因子方法 最小項表達式的求法例2-6：函數(shù) F=AB + AC A B C F0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11111其余補00000表 2-8用真值表求最小項表達式例2-7：函數(shù) F=AB + AC 所以: F=m(1,3,4,5)由一般表達式直接寫出最小項表達式 最大項及最大項表達式如果一個具有n個變

21、量的函數(shù)的“和”項包含全部n個變量, 每個變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn), 且僅出現(xiàn)一次，則這個“和”項被稱為最大項，也叫標準和。假如一個函數(shù)完全由最大項的積組成, 那么該函數(shù)表達式稱為最大項表達式。 最大項表達式變量的各組取值A B C000001010011100101110111對應的最大項及其編號最大項編 號編號規(guī)則:原變量取0,反變量取1。表 2-9 三變量函數(shù)的最大項所以與最小項類似，有注意：變量順序.例如：最大項表達式: F 兩種標準形式的轉(zhuǎn)換以最小項之和的形式表示的函數(shù)可以轉(zhuǎn)換成最大項之積的形式，反之亦然。= m(2, 3, 6, 7)F(A,B,C)= m(0, 1, 4,

22、5)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)而:所以,有 F(A,B,C)=m(2,3,6,7)= M(0,1,4,5)F(A,B,C)= m(0,1,4,5)同理例2-8A B C F0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 0解表 2-10作業(yè)2-1P51 52 習題 1.(3), 2.(2), 3.(1)(3), 4.(1)(3), 5.(4)(7), 7.(1)小結(jié)2-1重點：常用公式 三個規(guī)則（代入規(guī)則，反演規(guī)則，對偶規(guī)則）難點：反演規(guī)則2.2 邏輯函數(shù)的簡化邏輯函數(shù)與邏輯圖圖 2-15 函數(shù)的邏輯

23、圖從邏輯問題概括出來的邏輯函數(shù)式， 不一定是最簡式。 化簡電路， 就是為了降低系統(tǒng)的成本，提高電路的可靠性， 以便用最少的門實現(xiàn)它們。例如函數(shù)如直接由該函數(shù)式得到電路圖，則如圖2-16所示。圖 2-16 F 原函數(shù)的邏輯圖 但如果將函數(shù)化簡后其函數(shù)式為F=AC+B只要兩個門就夠了， 如圖2-17所示。圖 2-17 函數(shù)化簡后的邏輯圖力爭“表達式簡單”“電路使用元器件少”“設備簡單”邏輯函數(shù)化簡的原則 邏輯函數(shù)化簡， 并沒有一個嚴格的原則，通常遵循以下幾條原則： (1) 邏輯電路所用的門最少； (2) 各個門的輸入端要少； (3) 邏輯電路所用的級數(shù)要少； (4) 邏輯電路能可靠地工作。邏輯函數(shù)

24、化簡的方法 邏輯函數(shù)化簡， 根據(jù)函數(shù)的特點，主要有三種方法： (1) 公式法化簡； (2) 卡諾圖化簡； (3) 計算機輔助系統(tǒng)化簡。該方法運用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對邏輯函數(shù)進行推導、變換而進行化簡，沒有固定的步驟可以遵循，主要取決于對公理、定理和規(guī)則的熟練掌握及靈活運用的程度。有時很難判定結(jié)果是否為最簡。2.2.1 公式化簡法（代數(shù)法）2.1.6 常用公式 1. 應用吸收定律1 任何兩個相同變量的邏輯項， 只有一個變量取值不同(一項以原變量形式出現(xiàn)， 另一項以反變量形式出現(xiàn))， 我們稱為邏輯相鄰項(簡稱相鄰項)。 如AB與 ，ABC與 都是相鄰關系。如果函數(shù)存在相鄰項，可利用吸收定律1

25、， 將它們合并為一項，同時消去一個變量。 例 2-9解 有時兩個相鄰項并非典型形式， 應用代入法則可以擴大吸收定律1的應用范圍。 例 2-10解 令 ， 則例 2-11解令例2-12解利用等冪律，一項可以重復用幾次。例2-13其中 與其余四項均是相鄰關系，可以重復使用。解所以2. 應用吸收定律2、 3 利用它們，可以消去邏輯函數(shù)式中某些多余項和多余因子。 若式中存在某單因子項，則包含該因子的其它項為多余項，可消去。如其它項包含該因子的“反”形式， 則該項中的“反”因子為多余變量，可消去。 例 2-14解例 2-15解 令 , 則例 2-16解令3. 應用多余項定律例 2-17解例 2-18解例

26、 2-19 化簡解4. 綜合例子例 2-20 化簡解5. 拆項法例2-21化簡 解 直接用公式已無法再化簡時，可采用拆項法。拆項法就是用 去乘某一項，將一項拆成兩項，再利用公式與別的項合并達到化簡的目的。 6. 添項法 在函數(shù)中加入零項因子 ，利用加進的新項，進一步化簡函數(shù)。 例2-22 化簡 解解：例2-23 例2-24 反演被吸收被吸收配項例2-25作業(yè)2-2P52-53 習題 8.(1)(3)(5)小結(jié)2-2重點：常用公式的理解與熟練應用難點：公式法化簡如何得到一個最簡的結(jié)果2.2.2 圖解法（卡諾圖化簡）1、卡諾圖化簡的基本原理 卡諾圖的結(jié)構(gòu)特點是需保證邏輯函數(shù)的邏輯相鄰關系， 即圖上

27、的幾何相鄰關系。卡諾圖上每一個小方格代表一個最小項。 為保證上述相鄰關系， 每相鄰方格的變量組合之間只允許一個變量取值不同。為此，卡諾圖的變量標注均采用循環(huán)碼。 如圖所示： 一變量卡諾圖：有21=2個最小項，因此有兩個方格。外標的0表示取A的反變量，1表示取A的原變量。 二變量卡諾圖：有2=4個最小項，因此有四個方格。外標的0、 1含義與前一樣。 三變量卡諾圖：有23=8個最小項。圖 2-18 15變量的卡諾圖(1) 四變量、 五變量卡諾圖分別有24=16和25=32個最小項， 其卡諾圖如圖2-18(d)和2-184(e)所示。圖 2-18 15變量的卡諾圖(2)2、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法 若

28、將邏輯函數(shù)式化成最小項表達式，則可在相應變量的方格中填上1，其余填0，以下函數(shù)可用卡諾圖表示成圖2-19。如邏輯函數(shù)式是一般式，則應首先展開成最小項標準式。 實際中，一般函數(shù)式可直接用卡諾圖表示。 圖 2-19 邏輯函數(shù)用卡諾圖表示例2- 26 將 用卡諾圖表示。 解 我們逐項用卡諾圖表示，然后再合起來即可。 ：在B=1, C=0對應的方格(不管A，D取值)填1； ：在C=1, D=0所對應方格中填1； ：在B=0，C=D=1對應方格中填1； ：在A=C=0, D=1對應方格中填1；ABCD：填1。圖 2-20 邏輯函數(shù)直接用卡諾圖表示3、相鄰最小項合并規(guī)律 1. 兩相鄰項可合并為一項， 消去

29、一個取值不同的變量，保留相同變量； 2. 四相鄰項可合并為一項， 消去兩個取值不同的變量， 保留相同變量， 標注為1原變量，0反變量； 3. 八相鄰項可合并為一項，消去三個取值不同的變量，保留相同變量，標注與變量關系同上。 4.按上規(guī)律，不難得16個相鄰項合并的規(guī)律。 圖 2-21 相鄰最小項合并規(guī)律注意：合并的規(guī)律是2n個最小項的相鄰項可合并，不滿足2n關系的最小項不可合并。如2、4、8、16個相鄰項可合并，其它的均不能合并；而且相鄰關系應是封閉的，如m0、m1、m3、m2四個最小項，m0與m1，m1與m3，m3與m2均相鄰，且m2和m0還相鄰。這樣的2n個相鄰的最小項可合并。 而m0、m1

30、、m3、m7，由于m0與m7不相鄰，因而這四個最小項不可合并為一項。 4、與或邏輯化簡 運用最小項標準式， 在卡諾圖上進行邏輯函數(shù)化簡， 得到的基本形式是與或邏輯。 其步驟如下： (1) 將原始函數(shù)用卡諾圖表示； (2) 根據(jù)最小項合并規(guī)律畫卡諾圈， 圈住全部“”方格； (3) 將上述全部卡諾圈的結(jié)果， “或”起來即得化簡后的新函數(shù)； (4) 由邏輯門電路， 組成邏輯電路圖。 例2- 27 化簡解 第一步： 用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。 ： 對應m3、m11對應m4、m5、m12、m13對應m1、m5對應m10、m11圖 2-22 例2-27函數(shù)的卡諾圖表示 第二步： 畫卡諾圈圈住全部“”方格。

31、具體化簡過程見圖2-23。為便于檢查，每個卡諾圈化簡結(jié)果應標在卡諾圖上。圖 2-23 例2-27的化簡過程 第三步： 組成新函數(shù)。 每一個卡諾圈對應一個與項，然后再將各與項“或”起來得新函數(shù)。故化簡結(jié)果為 第四步：畫出邏輯電路。 圖 2-24 例2-27化簡后的邏輯圖例 2-28 化簡 解 其卡諾圖及化簡過程如圖2 - 11所示。在卡諾圈有多種圈法時，要注意如何使卡諾圈數(shù)目最少，同時又要盡可能地使卡諾圈大。比較圖(a)、 (b)兩種圈法，顯然圖(b)圈法優(yōu)于圖(a)圈法，因為它少一個卡諾圈，組成電路就少用一個與門。故化簡結(jié)果應為圖(b)，邏輯圖如圖2 - 12所示。其化簡函數(shù)為圖 2-25 例

32、2-28化簡過程圖 2-26 例2-28邏輯圖例2- 29 化簡 解 該函數(shù)的卡諾圖如圖2-27(a)所示，化簡情況如圖(b)、 (c)所示。圖(b)是初學者常圈成的結(jié)果，圖(c)是正確結(jié)果，即這二者的差別在于圖(b)將m6和m14圈為二單元圈。圖(c)將m4、 m6、m12、m14圈成四單元圈。前者化簡結(jié)果為BCD，而后者為BD，少了一個變量。圖 2-27 例2-29的化簡過程例 2-30 化簡 解 其卡諾圖及化簡過程如圖2-28(a)所示，邏輯圖如圖(b)所示，化簡函數(shù)為 此例在圈的過程中注意四個角m0、m2、m8、m10可以圈成四單元圈。圖 2-28 例2-30化簡過程及邏輯圖例2- 3

33、1 化簡 解 化簡過程如圖2 - 29(a)、 (b)所示， (a)中出現(xiàn)了多余圈。m5、m7、m13、m15雖然可圈成四單元圈，但它的每一個最小項均被別的卡諾圈圈過，是多余圈，此時最佳結(jié)果應如圖(b)所示?；喗Y(jié)果的邏輯電路圖如圖2-29(c)所示，化簡函數(shù)為圖 2-29 例2-31化簡過程及邏輯圖5、其它邏輯形式的化簡（1）與非邏輯形式 所謂與非式， 就是全由與非門實現(xiàn)該邏輯，前面講邏輯函數(shù)相互變換時已講過，將與或式兩次求反即得與非式。 其化簡步驟如下： 第一步： 在卡諾圖上圈“”方格， 求得最簡與或式； 第二步： 將最簡與或式兩次求反， 用求反律展開一次， 得到與非表示式； 第三步： 根

34、據(jù)與非式， 用與非門組成邏輯電路。例 2-32 將例2-272-31用與非門實現(xiàn)。 解 例2-27與或結(jié)果為圖 2-30 例2-27用與非門實現(xiàn)例2-29例2-32各與非式為(例2-28)(例2-29)(例2-30)(例2-31)圖 2-31 例2-28例2-31的與非邏輯圖（2）或與邏輯形式 首先從卡諾圖上求其反函數(shù)，其方法是圈“”方格， 然后再用摩根定律取反即得或與式。 例 2-33求 的反函數(shù)和或與式。 圖 2-32 求例2-33的反函數(shù)解 求反函數(shù)過程如圖2-32所示。 其次， 再由反函數(shù)求得原函數(shù)， 利用摩根定律就得或與式。圖 2-33 從卡諾圖上直接圈得或與式 總結(jié)如下： 在卡諾圖

35、上圈“0”方格， 其化簡結(jié)果： 變量為0原變量；變量為1反變量，然后變量再相“或”起來，就得每一或項，最后再將每一或項“與”起來而得或與式。故此例可不通過求反函數(shù)，直接由上述過程得到或與式(如圖2-33所示)：其邏輯圖如圖2-34所示。圖 2-34 例2-33的或與邏輯圖（3）或非邏輯形式將或與邏輯兩次求反即得或非表示式：按邏輯表達式即可畫出或非邏輯電路圖，如圖2-35所示。圖 2-35 例2-33的或非邏輯圖（4）與或非邏輯形式 與或非邏輯形式可從兩種途徑得到：一種是從與或式得到， 例2-27將結(jié)果兩次求反，不用摩根定律處理， 即得與或非式。 另一種是求得反函數(shù)后，再求一次反，即不用摩根定律

36、處理， 也可得與或非式。例2-33的結(jié)果求反即得。其邏輯圖如圖2-36所示。一般前一種途徑所得電路要多用一個反相器，所以常用后一種方法得最簡與或非式。 圖 2-36 例2-27、例2-33的與或非邏輯圖作業(yè)2-3P53 習題 9.(1)(4)(5) (7)小結(jié)2-3重點：卡諾圖化簡四變量邏輯函數(shù)難點：如何化簡到最優(yōu)狀態(tài)6、無關項及無關項的應用 邏輯問題分完全描述和非完全描述兩種， 對應于變量的每一組取值， 函數(shù)都有定義，即在每一組變量取值下， 函數(shù)F都有確定的值，不是“”就是“”，如表2-5所示。 邏輯函數(shù)與每個最小項均有關，這類問題稱為完全描述問題。 在實際的邏輯問題中，變量的某些取值組合不

37、允許出現(xiàn)， 或者是變量之間具有一定的制約關系。我們將這類問題稱為非完全描述，如表2-6所示。該函數(shù)只與部分最小項有關，而與另一些最小項無關，我們用或者d或用表示。 表 2-5完全描述 A B CF00001111001100110101010100010010表 2-6 非完全描述 A B CF000011110011001101010101010X1XXX對于含有無關項邏輯函數(shù)可表示為也可表示為即不允許AB或AC或BC為1。圖 2-37 不考慮無關項的化簡圖 2-38 考慮無關項函數(shù)化簡11ABC000111100100 包含無關最小項的邏輯函數(shù)的化簡無關最小項：一個邏輯函數(shù), 如果它的某些

38、輸入取值組合因受特殊原因制約而不會再現(xiàn), 或者雖然每種輸入取值組合都可能出現(xiàn), 但此時函數(shù)取值為1還是為0無關緊要, 那么這些輸入取值組合所對應的最小項稱為無關最小項。無關最小項用“d”或者“”或者用表示。無關最小項可以隨意加到函數(shù)表達式中，或不加到函數(shù)表達式中，并不影響函數(shù)的實際邏輯功能。其值可以取1，也可以取0。例2-34 :十字路口紅綠燈,設控制信號G=1 綠燈亮； 控制信號R=1 紅燈亮； 則 GR可以為GR=00、01、10，但GR 11。例2-35 :電動機正反轉(zhuǎn)控制,設控制信號F=1 正轉(zhuǎn)； 控制信號R=1 反轉(zhuǎn)； 則 FR可以為FR=00、01、10，但FR 11。例2-36

39、: 8421BCD碼中，從1010 1111的六種編碼不允許出現(xiàn)，可視為無關最小項。A B C DF0 0 0 0d0 0 0 110 0 1 000 0 1 110 1 0 0d0 1 0 110 1 1 000 1 1 1d1 0 0 0d1 0 0 101 0 1 011 0 1 1d1 1 0 011 1 0 101 1 1 011 1 1 1d100 01 11 1000011110ABCD11111解：1)不考慮無關最小項：例2-37：給定某電路的邏輯函數(shù)真值表如下，求F的最簡與或式。A B C DF0 0 0 0d0 0 0 110 0 1 000 0 1 110 1 0 0d0

40、 1 0 110 1 1 000 1 1 1d1 0 0 0d1 0 0 101 0 1 011 0 1 1d1 1 0 011 1 0 101 1 1 011 1 1 1d100 01 11 1000011110ABCD11111dddddd2)考慮無關最小項：101狀態(tài)未給出，即是無所謂狀態(tài)。表 2-11 真值表例2-38：已知真值表如圖，用卡諾圖化簡。CAB00011110010011001化簡時可以將無所謂狀態(tài)當作1或0，目的是得到最簡結(jié)果。認為是1AF=A例2-39 化簡解 化簡過程如圖2-39所示，化簡函數(shù)為圖 2-39 例2-39化簡及邏輯圖例 2-40 化簡 解 化簡過程如圖2-40所示，由于m11和